Định m để hàm số 1 có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB[r]
(1)Hội Những Người Ôn Thi Đại Học http://facebook.com/onthidh Đề thi thử số ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn thi : TOÁN - khối A Thời gian: 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x 3x mx (1) với m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình: tan x cot x 2sin x sin x x2 35 5x x 24 ln dx Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I x ( e ) Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC M, cắt SD N Tính thể tích khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp đường thẳng AN và mp(ABCD) 300 Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là cạnh tam giác Tìm GTLN biểu thức a3 b3 c3 15abc T a 2b b2a b2c c 2b a 2c c 2a II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chƣơng trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I thuộc đường thẳng d : x y và có hoành độ xI=9/2, trung điểm cạnh là giao điểm (d) và trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật Trong mặt phăng Oxy cho đường tròn ( C): x2 + y2 =1 Tìm tất các giá trị thực m để trên đường thằng y = m tồn đúng hai điểm phân biệt mà từ điểm đó kẻ hai tiếp tuyến với (C) cho góc hai tiếp tuyến 600 Giải bất phương trình : log x log x 1 Câu VII.a (1,0 điểm) Giải bất phương trình: log x 1 log ( x 1) B Theo chƣơng trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ): x y 8x y 21 và đường thẳng (d): x + y 1=0 Xác định toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) biết A nằm trên (d) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) z 5i Câu VII.b (1 điểm) Tìm số phức z có môđun nhỏ thỏa mãn: z3i HẾT http://facebook.com/onthidh (2) SƠ LƢỢC ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI KHẢO SÁT LẦN 1_2012 Nội dung Câu Điểm I 1.0 Hàm số có cực trị và y’ = có nghiệm phân biệt ' 3m m 3 (1) y x 3x mx 0.25 2m m ( x 1) y '( 2) x 3 Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số có phương trình 2m m y ( 2) x 3 m6 6m ;0 , B 0; Đường thẳng này cắt trục Ox và Oy tai A 2(m 3) Tam giác OAB cân và OA OB m6 6m 2(m 3) 0.25 0.25 m 6; m ; m 2 Với m = thì A B O đó so với điều kiện ta nhận m 0.25 II 2.0 1.0 tan x cot x 2sin x Điều kiện: x k ,(1) sin x 4sin x cos x 2sin 2 x sin x sin x 2(1 cos x) cos x 2(1 cos 2 x) (1) 0,25 cos 2 x cos x 0,25 cos x (loai do:sin x 0) x k cos x 0,25 0.25 0.25 Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm là: x http://facebook.com/onthidh k , k Z 0.25 1.0 (3) BPT tương đương: x 35 x 24 x 11 a)Nếu x x 11 (5 x 4)( x 35 x 24) x 35 x 24 2 0.25 không thỏa mãn BPT b)Nếu x > 4/5: Hàm số y (5x 4)( x 35 x 24) với x > 4/5 y’= 5( x 35 x 24) (5 x 4)( x 35 x 24 ) >0 x>4/5 0.25 Vậy HSĐB +Nếu 4/5<x thì y(x) 11 0.25 +Nếu x>1 0.25 thì y(x)>11 Vậy nghiệm BPT x>1 III 1.0 x 3 ln Ta c ó I e dx x x e (e 2) x = 0.25 x Đặt u= e 3du e dx ; x u 1; x ln u 2 1 3du du =3 4u 4(u 2) 2(u 2) 1 u (u 2) Ta được: I 0.25 1 1 =3 ln u ln u 4 ( u ) 1 3 ln( ) 0.25 Vậy I 3 ln( ) IV 0.25 1.0 + Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC M, mp(SBD) kẻ BG cắt SD N + Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên dễ có SG suy G là trọng tâm tam giác SBD SO Từ đó suy M, N là trung điểm SC, SD 1 + Dễ có: VS ABD VS BCD VS ABCD V 2 Theo công thức tỷ số thể tích ta có: VS ABN SA SB SN 1 1.1 VS ABN V VS ABD SA SB SD 2 VS BMN SB SM SN 1 1 VS ABN V VS BCD SB SC SD 2 Từ đó suy ra: VS ABMN VS ABN VS BMN V + Ta có: V SA.dt ( ABCD) ; mà theo giả thiết SA ( ABCD) nên góc hợp AN với mp(ABCD) chính là góc NAD , lại có N là trung điểm SC nên tam giác NAD cân N, SA a suy NAD NDA 300 Suy ra: AD tan 300 http://facebook.com/onthidh 0.25 0.25 0.25 (4) 1 3 Suy ra: V SA.dt ( ABCD) a.a.a a 3 3 5 3a3 Suy ra: thể tích cần tìm là: VMNABCD VS ABCD VS ABMN V V V 8 24 0.25 V 1.0 Giả sử a b c 3 2 2 2 Xét hàm số f ( x) x b c 15xbc 3( x b b x b c c b x c c x) , x b; a 0.25 f ( x) 3x2 15bc 3(2 xb b2 xc c ) f ( x) x 3(2b 2c) 6( x b c) f ( x) là hàm giảm trên miền b; a f ( x) f (b) 3b2 15bc 3(2b2 b2 2bc c2 ) 9bc 6b2 3c2 3(b c)(2b c) 0.25 f ( x) là hàm giảm f (a) f (b) 2b3 c3 15b2c 3(2b3 2b2c 2c 2b) (b c)[4b2 c 5bc] (b c)2 (4b c) f ( a) a3 b3 c3 15abc 3(a2b b2a b2c c2b a2c c2a) T 0.25 0.25 VI.a 2.0 1.0 9 3 và I d : x y I ; 2 2 Vai trò A, B, C, D là nên trung điểm M cạnh AD là giao điểm (d) và Ox, suy M(3;0) 9 2 AB IM xI xM yI yM 4 S 12 S ABCD AB AD = 12 AD = ABCD 2 AB I có hoành độ xI 0.25 AD d , suy phương trình AD: x 3 y x y M AD Lại có MA = MD = Vậy tọa độ A, D là nghiệm hệ phương trình: x y y x y x 2 2 2 x 3 y x 3 y x 3 x y 3 x x x Vậy A(2;1), D(4;-1), x 1 y y 1 http://facebook.com/onthidh 0.25 (5) x x xI A C xC xI xA 9 3 I ; là trung điểm AC, suy ra: 2 2 yC yI y A y y A yC I Tương tự I là trung điểm BD nên ta có: B(5;4) Vậy tọa độ các đỉnh hình chữ nhật là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1) 0.25 0.25 1.0 Đường tròn tâm O(0;0); bán kính R = Giả sử PA; PB là hai tiếp tuyến đường tròn (A; B là hai tiếp điểm) TH 1: APˆ B 600 OP P thuộc đƣờng tròn (C1) tâm O; bán kính R = 2 P thuộc đường tròn (C2) tâm O;bán kính R = 3 Đương thẳng y = m thoả mãn yêu cầu bài toán nó cắt (C1) hai điểm phân biệt và không có điểm chung với (C2) 2 Vậy các giá trị m thoả mãn bài toán là: m và m2 3 TH 2: APˆ B 1200 OP 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0 VII.a t t 6 Đặt t log ( x 1) ta được: t 2t t 5t 14t 24 0 4(2 t ) 2 t log ( x 1) vậy: log ( x 1) 1 x 3 x 15 0.25 0.25 0.25 0.25 VI.b 2.0 1.0 Đường tròn (C ) có tâm I(4;-3); bán kính R = Vì I nằm trên (d), đó AI là đường chéo hình vuông x = x = là hai tiếp tuyến (C ) nên: Hoặc A là giao điểm (d) với đưòng thẳng: x = A(2; -1) Hoặc A là giao điểm (d) với đưòng thẳng: x = A(2; -1) Với A(2;-1) thì C(6;-5); hai đỉnh là (2;-5) ; (6;-1) Với A(6;-5) thì C(2;-1) ; hai đỉnh là: (6;-1); (2;-5) 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0 Ta có: AB (2; 2; 2), AC (0; 2; 2) Suy phƣơng trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: x y z 0, y z http://facebook.com/onthidh 0.25 (6) Vectơ pháp tuyến mp(ABC) là n AB, AC (8; 4; 4) Suy (ABC): 0.25 x y z 1 x Giải hệ: y z y Suy tâm đường tròn là I (0; 2;1) 2 x y z z 0.25 2x y z Bán kính là R IA (1 0)2 (0 2)2 (1 1)2 0.25 1.0 VII.b Gọi z = a + bi (a,b thuộc R) z a bi a bi 5i a 1 b 5 i , a bi i a 3 b 1 i z3i z 5i 2 a 1 b 5 2 a 3 b 1 z 5i z3i a 1 b 5 2 a 3 b 1 a2 b2 10a 14b * 0.25 0.25 * là phương trình đường tròn mặt phẳng phức Nên số phức có môđun nhỏ phần thực và phần ảo là nghiệm đƣờng tròn * và đƣờng thẳng IO với I là tâm đƣờng tròn, I(-5;-7) 34 370 t a 5t 37 IO : pt : 37t 74t b t 37 370 t 37 z 5 34 370 34 370 7 n 37 37 , z 5 0.25 0.25 37 370 37 370 7 l 37 37 Câu V cách khác Ta chứng minh T , và dấu đẳng thức xảy a b c Giả sử a b c Đặt f (a) 3(a 2b b2a b2c c 2b a 2c c 2a) a b3 c 15abc f (b) 3(b3 b3 b2c c 2b b2c c 2b) b3 b3 c3 15b 2c f (a) f (b) (a b)[3b(a b) 3b 3c(a b) 3c (a b ab) 15bc] (a b)(2ab 5b2 3ac 3c 12bc) (a b).g (a) với g (a) 2ab 5b 3ac 3c 12bc g (b) 2b 5b 3bc 3c 12bc g (a) g (b) 2b(a b) 3c(a b) (a b)(2b 3c) , mà g (b) 7b2 3c 9bc 21 bc Suy f (a) f (b) mà http://facebook.com/onthidh (7) f (b) 3(b3 b3 b 2c c 2b b 2c c 2b) b b c 15b 2c 4b3 6c 2b 9b 2c c b3 c 3b3 3b 2c 6c 2b 6b 2c (b c)[b c bc 3b 6bc] (b c)[4b c 5bc] (b c)[4b(b c) c(b c)] (b c) (4b c) f ( a) T Cảm ơn Onthdh_fb@yahoo.com gửi tới www.laisac.page.tl http://facebook.com/onthidh (8)