Qua A dựng mặt phẳng P vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng P và hình chóp.... Biện luận số nghiệm của phương trình..[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 79 ) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y=x − x2 +2 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số m 2 Biện luận số nghiệm phương trình x −2 x − 2= theo tham số m |x − 1| Câu II (2.0 điểm ) sin 2 x 2 cos x sin x Giải phương trình: Giải phương trình: log x x 14 log16 x x 40 log x x 0 Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân x sin x I dx cos x x −1 y z +2 = = và mặt phẳng −3 (P):2 x+ y+ z −1=0 Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A vuông góc với d và nằm (P) Câu V:(1.0điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A (1 ;1; 2) , B (2 ; 0; 2) Tìm quỹ tích các điểm cách hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy) PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a(2.0 điểm) Câu IV(1.0điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: Cho hàm số f (x)=e x − sin x + x2 − Tìm giá trị nhỏ f ( x) và chứng minh f (x)=0 có đúng hai nghiệm ¿ z z 2=−5 −5 i Giải hệ phương trình sau tập hợp số phức: z 21+ z 22=− 5+2 i ¿{ ¿ A 0; Câu VII.a(1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho Δ ABC có Các đường phân giác và trung d : x y ,d : x y 0 Viết phương tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình là trình ba cạnh tam giác ABC B.Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2.0 điểm) x+1 x x+2 x Giải phương trình + =6 − Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x = Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên a và mặt chéo SAC là tam giác Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( P) và hình chóp (2) Hết đề … Họ và tên thí sinh: ……… …………… ; Số báo danh: ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 79 ) điểm Câu I a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x x Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R x 0 y' x 2 Sự biến thiên: y' 3 x x Ta có 0,25 0,25 y y 2; yCT y CD Bảng biến thiên: x y' 0,25 0 y 2 Đồ thị: 0,25 y x -3 -2 -1 -1 -2 -3 b) Biện luận số nghiệm phương trình x −2 x − 2= m theo tham số m |x − 1| (3) x2 x Ta có m x x x m,x 1 x phương trình số giao điểm thẳng y m,x 1 0,25 Do đó số nghiệm y x x x , C' f x x 1 y x x x f x x nên C' bao gồm: Vì + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x 1 + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x 1 qua Ox Đồ thị: và đường 0,25 0,25 y x -3 -2 -1 -1 -2 -3 Dựa vào đồ thị ta có: + m : Phương trình vô nghiệm; 0,25 + m : Phương trình có nghiệm kép; + m : Phương trình có nghiệm phân biệt; + m 0 : Phương trình có nghiệm phân biệt Câu II a) b) điểm Giải phương trình sin 2 x 2 cos x sin x sin x sin x 1 sin x 1 0 Biến đổi phương trình dạng Do đó nghiệm phương trình là 7 k 2 5 k 2 x k 2 ; x k 2 ; x ;x 6 18 18 3 log x x 14 log16 x x 40 log x x 0 Giải phương trình 0,75 0,25 (4) 1 x 0; x 2; x ; x 16 Điều kiện: Dễ thấy x = là nghiệm pt đã cho Với x 1 Đặt t log x và biến đổi phương trình dạng 42 20 0 t 4t 2t 1 t ;t x 4; x 2 Giải ta Vậy pt có nghiệm x =1; x 4; x Câu III a) 0,25 1.0 điểm x sin x I dx cos x 0,25 x dx 4 I xd J, cosx cosx cosx 3 Để tính J ta đặt t sin x Khi đó dx J cosx I Câu V 0,5 Tính tích phân Sử dụng công thức tích phân phần ta có Câu IV 0,25 4 2 ln 2 với dx J cosx 0,5 dt t1 3 t ln t 1 3 ln 2 2 Vậy 1.0 điểm Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng ( P) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A vuông góc với d và nằm (P) 7 A 2; ; Tìm giao điểm d và (P) ta 2 uu r uu r uu r uu r uu r ud 2;1; 3 ,nP 2;1;1 u ud ;n p 1; 2; Ta có : x 2 t; y 2t; z Δ 2 Vậy phương trình đường thẳng là 1.0 điểm Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A (1 ;1; 2) , B (2 ; 0; 2) Tìm quỹ tích các điểm cách hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy) 0,25 0,25 0,5 0,25 (5) OA, OB 2; 2; 2 1;1; 1 OAB : x y z 0 Oxy : z 0 N x; y; z OAB cách và Oxy d N , OAB d N , Oxy x y x y z z x y z z x y z 0 1 z 0 Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình x y z 0 và Câu VIa x y z 0 2.0 điểm x − Tìm giá trị nhỏ chứng minh f (x)=0 có đúng hai nghiệm Cho hàm số f ( x)=e x − sin x + f (x) và x f ' x 0 e x x cos x Ta có f ( x ) e x cos x Do đó x Hàm số y e là hàm đồng biến; hàm số y x cosx là hàm nghịch biến vì y' sin x 0,x Mặt khác x=0 là nghiệm phương trình e x x cos x nên nó là nghiệm y f x Lập bảng biến thiên hàm số (học sinh tự làm) ta đến kết luận phương trình f (x)=0 có đúng hai nghiệm Từ bảng biến thiên ta có Câu VII.a 0,25 0,5 f x x 0 x − Tìm giá trị nhỏ chứng minh f (x)=0 có đúng hai nghiệm Cho hàm số 0,25 f ( x)=e x − sin x + f (x) và x f ' x 0 e x x cos x Ta có f ( x ) e x cos x Do đó ¿ z z 2=−5 −5 i 2 Giải hệ phương trình sau tập hợp số phức: z 1+ z 2=− 5+2 i ¿{ ¿ Đáp số: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; – i), (-2 + i; + 3i), (1 + 3i; -2 + i) 1.0 điểm A 0; Trong mặt phẳng Oxy cho Δ ABC có Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình là 0,25 (6) d1 : x y 0,d : x y 0 Viết phương trình ba cạnh tam giác ABC B d1 d B 2; 1 AB : x y 0 Ta có d H 2; 3 , A' 4;1 Gọi A' đối xứng với A qua Ta có A' BC BC : x y 0 Câu VI.b Tìm 2.0 điểm 0,25 x+1 x x+2 x Giải phương trình + =6 − Biến đổi phương trình đã cho dạng x 2 3 x log 39 39 Từ đó ta thu 2x Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau y = x.sin2x, y = 2x, x = Ta có: x.sin2x = 2x x.sin2x – 2x = x(sin2x – 2) =0 x = Diện tích hình phẳng là: S=| (x sin x −2 x)dx|=| x (sin x − 2)dx| ¿ u=x dv=(sin x −2)dx ⇒ 2 π π π π π ¿ du=dx Đặt ⇔ S= − + = − 4 4 − cos x v= −2x ¿{ ¿ (đvdt) | Câu VII.b 0,25 0,25 C 28; AC : x y 35 0 3.22 x 27.32 x 6.22 x 0,25 0,5 0,5 0.5 0.5 | 1.0 điểm Cho chóp tứ giác SABCD có cạnh bên a và mặt chéo SAC là tam giác Qua A dựng mặt phẳng ( P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( P) và hình chóp Học sinh tự vẽ hình Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC Gọi I AC' SO 1 a a2 S AD' C' B' B' D' AC' BD 2 Kẻ B' D' // BD Ta có 0,25 0,25 0,5 (7)