KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN Nhận xét1: Việc giải bài toán1 coi như xong,ta thử đặt vấn đề: “ Nếu hai đường tròn cho trước O và O’ không tiếp xúc ngoài với nhau tại A mà hai đường tr[r]
(1)KHAI THÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG SGK I ĐẶT VẤN ĐỀ: Ở trường THCS dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh,trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Để rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh, ngoài việc trang bị tốt kiến thức bản, người thầy giáo cần giúp các em hệ thống hoá các dạng bài tập để các em dễ nhớ, dễ vận dụng Trong chương trình lớp9, học sinh làm quen với đường tròn và các bài toán liên quan đến nó Những bài toán này không có các bài kiểm tra thông thường mà còn thường gặp các kì thi tuyển sinh vào lớp10 PTTH, thi chọn học sinh giỏi các cấp, thi vào trường chuyên,lớp chọn Khi giải xong bài toán SGK nhiều bạn coi là xong việc thì thật là đáng tiếc vì các bạn đã bỏ lỡ hội rèn luyện và khám phá tri thức cho mình Bao các bạn tự đặt cho mình câu hỏi: “ Có thể khai thác và phát triển bài toán này theo nhiều hướng khác không ? ” Khi đó các bạn thấy nhiều điều thú vị và bổ ích.Chẳng hạn chúng ta “ Khai thác và phát triển bài toán 39 tr.123 SGK toán tập 1” Sau đây là vài kinh nghiệm nhỏ mà tôi tích luỹ quá trình dạy toán và giải toán, xin trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp II NỘI DUNG Bài toán 1:( Bài 39.tr.123 SGK) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC.B (O),C (O’), tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC I a ) CMR: BAC 90 b) Tính số đo: OIO ' c) Tính độ dài BC,biết: OA= 9cm,O’A= 4cm Lời giải a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: IA IB; IB IC IA IB IC BC ABC vuông A (vì có trung tuyến AI BC 90 ) BAC b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OI là phân giác BIA ,O’I là phân giác AIC mà BIA và AIC là hai góc kề bù OIO ' 90 c) Ta có: OIO ' vuông I có IA là đường cao Theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có: IA2 OA.OA ' IA2 9.4 36 62 IA 6cm BC 2.IA 2.6 12cm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN Nhận xét1: Việc giải bài toán1 coi xong,ta thử đặt vấn đề: “ Nếu hai đường tròn cho trước (O) và (O’) không tiếp xúc ngoài với A mà hai đường tròn đó ngoài ,ta thiết lập bài toán tương tự đó ta còn có kết luận đã chứng minh trên không? ”Ta có bài toán khác: Bài toán2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ngoài nhau.Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC.B (O),C (O’), đương nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) các điểm D và E Các đường thẳng BD và CE cắt A (2) Gọi I là trung điểm BC Chứng minh rằng: a) BAC 90 b) AD.AB = AE.AC c) Tứ giác BCED nội tiếp d) IA OO' Lời giải a) Theo tính chất góc tiếp tuyến và dây cung ta có: ABC O ; ACB O ' 1 2 O O ' 180 Mà ( vì OB // O’C) nên ABC ACB 90 BAC 90 b) Ta có: ABC ACO ' ( Vì cùng phụ với ACB ); ACO ' CEO ' (vì EO ' C cân O’) mà CEO ' AED (đối đỉnh) Do đó AED ABC Vậy ABC AED( g.g ) AE AD AE AC AB AD AB AC (đpcm) AED ABC ABC DEC 180 Vậy tứ giác BCED nội c) Theo câu b) ta có: tiếp d) Vì ABC vuông A có AI là trung tuyến nên AI IB IC ABI cân I ABI BAI AED IAC 90 IA OO' Nhận xét 2: Sau giải xong bài toán2 ta thử đặt vấn đề: “ Nếu hai đường tròn cho trước (O) và (O’) cắt nhau,ta thiết lập bài toán tương tự đó ta còn kết luận BAC 90 chứng minh trên không ? ” Ta có bài toán khác: Bài toán 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt hai điểm M,N Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC.B (O),C (O’) Đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) các điểm D và E Các đường thẳng BD và CE cắt A Chứng minh rằng: a) BAC 90 b) Tứ giác BCDE nội tiếp c)AB.AD = AC.AE Lời giải a) Theo tính chất góc tiếp tuyến 1 1 DBC O ; ECB O '1 2 và dây cung ta có: O ' 180 O Mà 1 (vì OB // O’C) DBC ECB 90 BAC 90 b) Ta có: DBC O ' CE (vì cùng phụ với BCE ).mà O ' CE O ' EC (do EO ' C cân DEC DBC DEC & DBC O’) tứ giác BCDE nội tiếp (vì DC góc nhau) c) Ta có: AED ABC (g.g) AE AD AE AC AB AD AB AC ( đpcm) cùng nhìn (3) Nhận xét 3: Đến đây ta có thể đặt vấn đề tiếp: “ Nếu hai đường tròn cho trước (O) và (O’) đựng tiếp xúc với ta có thiết lập bài toán tương tự không ? Khi đó có tồn lời giải không ? ” Nhận xét 4: Ta thấy các bài toán 1,2,3 liên quan đến tiếp tuyến chung ngoài BC và góc BAC 90 , nên ta có: - Nếu (O) và (O’) đựng thì không còn tồn tiếp tuyến chung BC nên không tồn lời giải bài toán - Nếu (O) và (O’) tiếp xúc thì đó B và C trùng A đó không tồn BAC 90 nên không tồn lời giải bài toán Trên đây là cách khai thác bài toán theo hướng thay đổi vị trí tương đối hai đường tròn tức là thay đổi giả thiết bài toán và ta có kết luận BAC 90 Bây ta khai thác bài toán1 theo hướng khác đó là “ tìm bài toán đảo” “vẫn giữ nguyên giả thiết bài toán và thiết lập bài toán có kết luận khác ”.Sau đây tôi xin giới thiệu số bài toán Bài toán 4: (Bài toán đảo) Cho ABC vuông A.Vẽ đường tròn tâm (O) qua A và tiếp xúc với BC B,vẽ đường tròn tâm (O’) qua A và tiếp xúc với BC C Chứng minh rằng: a) (O) và (O’) tiếp xúc A b) Trung tuyến AM ABC là tiếp tuyến chung hai đường tròn A Lời giải a) Các AOB & AO ' C là các tam giác cân Nên: AOB OBA và O ' AC O ' CA Tacó: OBA ABC 90 & O ' CA ACB 90 ' AC BAO O 90 Do đó: O ' AC CAB BAO 180 ba điểm O,A,O’ thẳng hàng và OO’ = OA + O’A.Vậy (O) tiếp xúc với (O’) A b) AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC ABC vuông A nên MA = MC MO’A = MO’C (c.c.c) nên MAO ' MCO ' 90 AM OO' A nên AM là tiếp tuyến chung (O) và (O’) (4) Bài toán 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A.Kẻ tiếp tuyến chung BC.B (O),C (O’) Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC I.Gọi D là giao điểm CA với đường tròn tâm O (D A) Chứng minh rằng: a) Ba điểm B,O,D thẳng hàng b) BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính OO’ c) OO’ là tiếp tuyến đường tròn đường kính BC Lời giải a) Các tam giác cân O’AC và OAD có hai góc đáy nên hai góc đỉnh OD // O’C Ta lại có: OB // O’C (vì cùng vuông góc với BC) Vậy theo tiên đề Ơclit thì B,O,D thẳng hàng b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau,ta có: OI là tia phân giác BIA , O’I là tia phân giác AIC Mà BIA kề bù với AIC OIO ' 90 OIO ' nội tiếp đường tròn đường kính OO’ Ta có:IB = IC =IA Gọi J là trung điểm OO’ thì IJ là đường trung bình hình thang O’CBO Mà OB BC IJ BC BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính OO’ AI BC ABC nội tiếp đường tròn c) ABC vuông A có AI là trung tuyến đường kính BC vì AI OO ' nên OO’ là tiếp tuyến đường tròn tâm I bán kính IA Bài toán 6: Cho hai đương tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A.Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC B (O),C (O’).Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC I Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn (O) và (O’) D và E(D và E khác A) Đường thẳng BA cắt (O’) K CMR: a) I là trung điểm BC và BAC vuông A b) Tứ giác DBCE nội tiếp đường tròn c) Đường thẳng qua K và vuông góc với đường thẳng OB là tiếp tuyến (O’) Lời giải a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: IA = IB;IA = IC BC ABC vuông A BC AI ) (vì có trung tuyến 1 BDA BOA b) Ta có: (t/c góc nội tiếp) (1) IA IB IC (5) 1 ECx CO 'E (t/c góc tiếp tuyến và dây cung) (2) ' E BOA CO Mặt khác, ta có:OB BC,O’C BC OB // O’C (3) Từ (1),(2),(3) ta có: BDA ECx BDA BCE 180 Vậy tứ giác DBCE nội tiếp đường tròn c) Ta có: CAK 90 (kề bù với BAC ) CAK là góc nội tiếp chắn đường tròn CK là đường kính CK // OB Gọi d là đường thẳng qua K và d OB d CK Do đó d là tiếp tuyến đường tròn (O’) Bài toán 7: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC B (O),C (O’) Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC I a) Tính độ dài BC,biết OA = R,O’A = r b) Tính độ dài OI và O’I theo R,r c) Tính các cạnh ABC theo R,r Lời giải a) Ta có: BAC 90 và OIO ' 90 (theo bài 1) Theo hệ thức lượng tam giác vuông, Ta có: IA OA.OA ' R.r IA R.r Mà BC 2.IA 2 R.r 2 2 b)Ta có: OI IA OA R.r R R( R r ) OI R ( R r ) O ' I IA2 O ' A2 R.r r r ( R r ) O ' I r(R r) c) Gọi D là giao điểm CA với (O);(D A).Theo bài 5a) ta có: B,O,D thẳng hàng Xét CBD vuông B,ta có: BC 2 R.r ; BD = 2R Theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có: 1 1 R r 2R r 2r R 2 2 AB AC 2 AB BD BC R Rr R r R r Tương tự ta có: Rr Vậy các cạnh ABC là: AB 2R r 2r R ; AC ; BC 2 Rr Rr Rr Bài toán 8:Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r),(R >r) tiếp xúc ngoài A Đường thẳng OO’ cắt (O) D,cắt(O’) E Tiếp tuyến chung ngoài BC.B (O), C (O’)cắt đường thẳng OO’ H, tiếp tuyến chung A cắt BC I a) Chứng minh: OIO' & BAC là các tam giác vuông b) Chứng minh: BC 2 R.r c) Tia BA cắt (O’) B’,tia CA cắt (O) C’.Chứng minh điểm B,O,C’ và B’,O’,C thẳng hàng d) Tính độ dài AI, BC, OI, O’I ,OH, O’H theo R và r Lời giải a) Theo kết bài1 ta có: ABC vuông A và OIO ' vuông I (6) b) Ta có: BC 2 R.r (theo bài 7) c) BAC ' & B ' AC là các góc vuông nên BC’ và B’C là các đường kính (O) và (O’),do đó ta có: B,O,C’ và B’,O,C thẳng hàng Các tam giác C’BC và BCB’ vuông B và C nên ta có: C’C2 = BC2+C’B2 = 4R.r +4R2 B’B2 = BC2 +B’C2 =4R.r +4r2 C’C2 +B’B2 = 4R2 +8R.r +4r2 = (2R +2r)2 = DE2 Vậy DE2 =C’C2 +B’B2 d) Ta có: BC 2 R.r ; IA R.r ; OI OA.OO' R.( R r ) và OH OB O ' I O ' A.O ' O r ( R r ) HO ' C HOB (g.g) nên O ' H O ' C hay OH OB R( R r ) r(R r) OH ;O ' H OH O ' H OB O ' C R r R r Bài toán 9: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A (R > r) Tiếp tuyến chung ngoài BC B (O), C (O’), tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung ngoài I.Gọi S là tâm đường tròn tiếp xúc với (O),(O’) và BC Tính bán kính (S) theo R và r Lời giải Gọi M là tiếp điểm đường tròn (S;x) với BC.Xét hai trường hợp: + TH1: Điểm M thuộc đoạn thẳng BC Theo bài 7,ta có: BC 2 R.r ; BM 2 R.x ; CM 2 r.x Mà BC = BM +MC R.r 2 R.x r.x R.r R.x r.x x ( R r ) R.r x R.r ( R r )2 + TH 2: Điểm M thuộc tia đối tia CB.( Điểm M vị trí M’ trên hình vẽ ) R.r 2 x ( R r) x R.r ( R r )2 Khi đó ta có: BC = M’B – M’C ( với R > r) III KẾT LUẬN Từ việc “ Khai thác và phát triển bài toán hình học SGK toán 9” là ví dụ nhỏ nhằm rèn luyện cho học sinh tư sáng tạo và tư tưởng công học tập môn Toán Ý tưởng “ dạy học phát huy tính tích cực sáng tạo học sinh” đã có từ lâu.Cái đây là : “Từ bài toán không (đối với giáo viên),nếu người dạy biết xếp chúng theo hệ (7) thống định có thể giúp học sinh tiếp thu bài nhanh hơn,vững vàng Người dạy cần tạo cho học sinh thói quen không dừng lại kết vừa tìm mà phải phân tích,khai thác nó để có kết Thông qua việc hướng dẫn học sinh tìm tòi, sáng tạo các bài toán từ bài toán đã học, đã gặp giúp học sinh tự tin giải toán, nhờ đó mà học sinh phát huy tư và nâng cao lực sáng tạo, bước đầu hình thành cho học sinh niềm say mê nghiên cứu khoa học Để gây hứng thú và niềm say mê nghiên cứu khoa học cho học sinh,trước hết người thầy giáo phải nêu cao gương tự học, tự nghiên cứu nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ mình Trên đây là vài kinh nghiệm nhỏ mà tôi tích luỹ quá trình hướng dẫn học sinh giải toán, xin trao đổi và mong góp ý các bạn Xin cảm ơn Ngày 18/4/2012 (8)