De thi HSG toan 7 de 3

Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309.. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA.[r]

ĐỀ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆNHỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2009 - 2010 Thời gian : 120’ (Không kể thời gian phát đề) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A 212.35  46.92  3   510.73  255.492  125.7   59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n2  2n  3n  2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: x a     3,   5  x  7 b x 1   x  7 x 11 0 Bài 3: (4 điểm) : : a) Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng các bình phương ba số đó 24309 Tìm số A a c a  c2 a   2 b) Cho c b Chứng minh rằng: b  c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng H  BC    c) Từ E kẻ EH  BC  Biết HBE = 50o ; MEB =25o   Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm)  Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD là phân giác góc BAC b) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… HƯỚNG DẪN Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) 212.35  46.9 10 510.73  255.49 212.35  212.34 510.73  A   12 12  9 3   125.7  14      212.34   1 510.73     12    1 59.73   23  10 212.34.2     12  59.73.9  10    b) (2 điểm) 3n2  2n2  3n  2n = 3n2  3n  n2  2n n n = (3  1)  (2  1) n n n n = 10  5 3 10  10 = 10( 3n -2n) n2 n 2 n n Vậy     10 với n là số nguyên dương Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) x 4  16     3,    x     5 5  x 14   5  x  2    x 12   x 1   x217  3  x 21 3  b) (2 điểm)  x  7 x 1   x  7 x 11 0    x   10  0   10  x 1    x    0   x  7     x  7 x 1   x   x 10       1 ( x 7)10 0     x  7010 x7 x 8  ( x  7)  Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số chia từ số A : : Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c   k a  k;b  k; c  Từ (1)  = k  k (   ) 24309 25 16 36 Do đó (2)   k = 180 và k =  180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi đó ta có số A = a + b + c = 237 + Với k =  180 , ta được: a =  72 ; b =  135 ; c =  30 Khi đó ta có só A =  72 +(  135 ) + (  30 ) =  237 b) (1,5 điểm) a c  Từ c b suy c a.b a  c a  a.b  2 đó b  c b  a.b a ( a  b) a  b ( a  b ) b = Bài 4: (4 điểm) A a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) I AMC  = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt )  AMC Nên : = EMB (c.g.c ) M B 0,5 điểm  AC = EB C H K E   Vì AMC = EMB  MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt )   MAI = MEK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c )  Suy AMI = EMK  Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )    EMK + IME = 180o  Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm )   Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o    HBE = 90o - HBE = 90o - 50o =40o     HEM = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o A  BME là góc ngoài đỉnh M HEM    o o BME HEM MHE Nên = + = 15 + 90 = 105o ( định lý góc ngoài tam giác ) 20 M Bài 5: (4 điểm) D C a) Chứng minh  ADB =  ADC (c.c.c)   suy DAB DAC 0  Do đó DAB 20 : 10  0 b)  ABC cân A, mà A 20 (gt) nên ABC (180  20 ) : 80  600  ABC nên DBC 0  Tia BD nằm hai tia BA và BC suy ABD 80  60 20 Tia BM là phân giác góc ABD  nên ABM 10  Xét tam giác ABM và BAD có:     AB cạnh chung ; BAM  ABD 20 ; ABM DAB 10 Vậy:  ABM =  BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC