Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI cÊp tØnh LỚP thcs NĂM HỌC 2009-2010 Môn Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC C©u (4 điểm) a) Chøng minh r»ng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hÕt cho víi mäi sè tù nhiªn n b) T×m sè c¸c sè nguyªn n cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh ph¬ng ? C©u (5 điểm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh x x 2 x x b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x y 1 xy 2 x y 3 xy 11 C©u (3 điểm) Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n: x y z 2010 1 1 x y z 2010 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: C©u (6 điểm) P x 2007 y 2007 y 2009 z 2009 z 2011 x 2011 Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB = R Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B) Gọi (C; R1) là đờng tròn qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) A, (D; R2) là đờng tròn qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) B Hai đờng tròn (C; R1) vµ (D; R2) c¾t t¹i ®iÓm thø hai M a) Trong trêng hîp P kh«ng trïng víi trung ®iÓm d©y AB, chøng minh OM//CD vµ điểm C, D, O, M cùng thuộc đờng tròn b) Chứng minh P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đờng tròn cố định và đờng thẳng MP luôn qua điểm cố định N c) Tìm vị trí P để tích PM.PN lớn ? diện tích tam giác AMB lớn nhất? C©u (2 điểm) Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: xy + yz + zx = 670 Chøng minh r»ng x y z x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x y z - HÕt -Hä vµ tªn thÝ sinh SBD Chó ý: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ (2) HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có trang) I Một số chú ý chấm bài Hướng dẫn chấm thi đây dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số II §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm C©u (4 điểm) a) Chøng minh r»ng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hÕt cho víi mäi sè tù nhiªn n b) T×m sè c¸c sè nguyªn n cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh ph¬ng ? ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM a) Theo gi¶ thiÕt n lµ sè tù nhiªn nªn: – 1, , + lµ sè tù nhiªn liªn tiÕp 0,5 điểm V× tÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho nªn (2n - 1).2n.(2n + 1) chia hÕt cho 0,5 điểm n 2 n n n 1 2n 1 MÆt kh¸c (2n, 3) = nªn chia hÕt cho VËy A chia hÕt cho víi mäi sè tù nhiªn n b) Ta thÊy B lµ sè chÝnh ph¬ng 4B lµ sè chÝnh ph¬ng §Æt 4B = k2 (k N) th× 4B = 4n2 – 4n + 52 = k2 (2n-1-k)(2n-1+k) =-51 0,5 điểm 1,0 điểm V× 2n-1+k 2n-1-k nªn ta cã c¸c hÖ 2n k 3 2n k 1 2n k 51 2n k 17 (1) (2) (3) (4) 2n k 51 2n k 17 2n k 2n k Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta tìm đợc n = -12, n =-3, n =13, n =4 12; 3; 4;13 VËy c¸c sè nguyªn cÇn t×m lµ n 0,5 điểm 1,0 điểm C©u (5 điểm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh x x 2 x x b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x y 1 xy 2 x y 3 xy 11 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010 (3) a) Ta cã: x x 2 x 1 1 nên tập xác định phơng trình là R 0,5 điểm Phơng trình đã cho tơng đơng với x x x x 0 Đặt y x x 1 thì phơng trình đã cho trở thành y y 0 y 1 y 3 Víi y = ta cã 1,0 điểm (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) 2 x x 1 x x 1 x=1 2 Víi y = ta cã x x 3 x x 9 1,0 điểm x x 3 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 1, x2 = -1, x3 =3 b) Hệ đã cho tơng đơng với x xy y 1 2 2 11 x xy y x xy y x xy y 1 x y x y 0 (*) 11 x xy y 11 2 x 3xy y 11 1,0 điểm Tõ hÖ (*) ta suy x xy y 1 x xy y 1 x y 0 (I) hoÆc x y 0 (II) Giải hệ (I) ta tìm đợc (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1) HÖ (II) v« nghiÖm VÆy hÖ cã nghiÖm (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1) 0,5 điểm 1,0 điểm C©u (3 điểm) Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n: x y z 2010 1 1 x y z 2010 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P x 2007 y 2007 y 2009 z 2009 z 2011 x 2011 §¸p ¸n biÓu ®iÓm Từ gi¶ thiÕt suy x, y, z kh¸c vµ 1 1 x y z xyz Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010 0,5 điểm (4) 1 1 1 0 x y z x y z xy xy 0 xy z x y z 0,5 ®iÓm x y 0 xy xz yz z x y xz yz z xy 0 0,5 điểm 0,5 điểm x y xz z yz xy 0 x y z z x y z x 0 0,5 điểm x y y z z x 0 x 2007 y 2007 x 2007 y 2007 0 x y 0 x y z y 0 y z y 2009 z 2009 y 2009 z 2009 0 2011 2011 z 2011 x2011 0 x z z x z x 0,5 điểm nªn P = C©u (6 điểm) Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB = R Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B) Gọi (C; R1) là đờng tròn qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) A, (D; R2) là đờng tròn qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) B Hai đờng tròn (C; R1) vµ (D; R2) c¾t t¹i ®iÓm thø hai M a) Trong trêng hîp P kh«ng trïng víi trung ®iÓm d©yAB, chøng minh OM//CD vµ điểm C, D, O, M cùng thuộc đờng tròn b) Chứng minh P di động trên dây AB thì điểm M di động trên cung tròn cố định và đờng thẳng MP luôn qua điểm N cố định c) Tìm vị trí P để tích PM.PN lớn ? diện tích tam giác AMB lớn nhất? §¸p ¸n biÓu ®iÓm Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010 (5) O M C A D K H B P N a) Nèi CP, PD ta cã ACP, OAB lÇn lît c©n t¹i C, O nªn CPA = CAP = OBP đó CP//OD (1) T¬ng tù DBP, OAB lÇn lît c©n t¹i D, O nªn DPB = DBP = OAB nªn OD//CP (2) Tõ (1) vµ (2) suy tø gi¸c ODPC lµ h×nh b×nh hµnh Gäi CD c¾t MP t¹i H c¾t OP t¹i K th× K lµ trung ®iÓm cña OP Theo tính chất đờng tròn cắt ta có CD MP H là trung điểm MP Vậy HK//OM, đó CD//OM Ta phải xét trờng hợp AP < BP và AP > BP, đáp án yêu cầu xét trờng hîp gi¶ sö AP < BP V× tø gi¸c CDOM lµ h×nh b×nh hµnh nªn OC = DP, DP = DM = R2 nªn tø gi¸c CDOM là hình thang cân đó điểm C, D, O, M cùng thuộc đờng tròn 2 2 b) XÐt tam gi¸c AOB cã: OA OB 2 R AB nªn tam gi¸c AOB vu«ng c©n t¹i O Vì điểm C, D, O, M cùng thuộc đờng tròn (kể M trùng O) nên COB = CMD (1) Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm (6) XÐt MAB vµ MCD cã MAB = MCD ( cïng b»ng s® MP cña (C)) MBD = MDC ( cïng b»ng s® MP cña D)) nên MAB đồng dạng với MCD (g.g) Vì MAB đồng dạng với MCD suy AMB = COD hay AMB = AOB = 90 0,5 điểm 0,5 điểm Do AB cố định nên điểm M thuộc đờng tròn tâm I đờng kính AB Ta cã ACP BDP AOB 90 nªn AMP = ACP = 45 (gãc néi tiÕp vµ gãc ë t©m cña (C)) BMP = BDP = 45 (gãc néi tiÕp vµ gãc ë t©m cña (D)) Do đó MP là phân giác AMB Mà AMB = AOB =900 nên M đờng tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB Giả sử MP cắt đờng tròn (I) N thì N là trung điểm cung AB không chứa điểm O nên N cố định c) MAP vµ BNP cã MPA = BPN (®®), AMP = PBN (gãc néi tiÕp cùng chắn cung) nên MAP đồng dạng với BNP (g.g) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm PA PM AB R PA PB PM PN PA.PB (không đổi) Do đó PN PB R2 VËy PM.PN lín nhÊt b»ng PA = PB hay P lµ trung ®iÓm d©y AB 0,5 điểm V× tam gi¸c AMB vu«ng t¹i M nªn 1 AB R S AMB AM BM AM BM 4 2 R DiÖn tÝch tam gi¸c AMB lín nhÊt b»ng PA = PB hay P lµ trung ®iÓm 0,5 điểm d©y AB CÂU (2 điểm) Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: xy + yz + zx = 670 Chøng minh r»ng x y z x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x y z §¸p ¸n biÓu ®iÓm Trớc tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c R và x, y, z > ta có a b2 c a b c x y z x yz (*) a b c x y z DÊu “=” x¶y ThËt vËy, víi a, b R vµ x, y > ta cã a b2 a b x y x y (**) Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010 0,5 điểm (7) a bx ay y b x x y xy a b 0 (luôn đúng) a b x y DÊu “=” x¶y áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a2 b2 c a b c2 a b c x y z xy z xyz a b c x y z DÊu “=” x¶y áp dụng bất đẳng thức (*) ta có VT x y z x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x2 y2 z2 x x yz 2010 y y zx 2010 z z xy 2010 x y z x y z 3xyz 2010 x y z x x yz 2010 Chó ý: 0,5 điểm (1) x x xy zx 1340 y y zx 2010 = , vµ z z xy 2010 Chøng minh: x3 y z 3xyz x y z x y z xy yz zx Do đó: x y z x y z xy yz zx (2) 3 x y z 3xyz 2010 x y z 0,5 điểm x y z x y z xy yz zx 2010 = x y z (3) Tõ (1) vµ (3) ta suy x y z VT x y z DÊu “=” x¶y x = y = z = x yz 0,5 điểm 2010 Hết Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010 (8) Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010 (9)