Chuyên đề hàm số lũy thừa mũ và logarit giải tích 12

Giải tích Họ tên HS: _ Trường: Lớp: M CL C Chủ đề LUỸ THỪA VÀ HÀM SỐ LUỸ THỪA Vấn đề LUỸ THỪA VÍ DỤ MINH HOẠ Vấn đề HÀM SỐ LUỸ THỪA VÍ DỤ MINH HOẠ Dạng Tìm tập xác định hàm số luỹ thừa Dạng Đạo hàm đồ thị hàm số luỹ thừa BÀI TẬP RÈN LUYỆN 12 Bài tập rèn luyện vấn đề 12 Bài tập rèn luyện vấn đề 15 Chủ đề LOGARIT 26 VÍ DỤ MINH HOẠ 26 Dạng Tìm điều kiện xác định biểu thức logarit 26 Dạng Rút gọn tính giá trị biểu thức logarit 28 Dạng Biểu diễn logarit theo logarit biết 29 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 32 Dạng Tìm điều kiện xác định biểu thức logarit 32 Dạng Rút gọn tính giá trị biểu thức logarit 37 Dạng Biểu diễn logarit theo logarit biết 41 Chủ đề HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT 44 VÍ DỤ MINH HOẠ 46 Dạng Tìm tập xác định hàm số logarit 46 Dạng Đạo hàm đồ thị hàm số mũ - logarit 48 Dạng Các toán thực tế hàm số mũ 53 Dạng Cực trị hàm số mũ – logarit max hàm nhiều biến 57 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 61 Dạng Tìm tập xác định hàm số logarit 61 Dạng Đạo hàm đồ thị hàm số mũ - logarit 64 Dạng Các toán thực tế hàm số mũ 83 Dạng Cực trị hàm số mũ – logarit max hàm nhiều biến 88  Cực trị hàm số mũ hàm số logarit 88  Giá trị lớn nhỏ hàm số mũ logarit 90 Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 105 VÍ DỤ MINH HOẠ 107 Dạng Phương trình mũ khơng chứa tham số 107 Dạng Phương trình logarit khơng chứa tham số 113 Dạng Phương trình mũ - logarit chứa tham số 119 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 130 Dạng Phương trình mũ khơng chứa tham số 130 Dạng Phương trình logarit khơng chứa tham số 135 Dạng Phương trình mũ - logarit chứa tham số 139 Chủ đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 143 VÍ DỤ MINH HOẠ 144 Dạng Bất phương trình mũ khơng chứa tham số 144 Dạng Bất phương trình logarit khơng chứa tham số 152 Dạng Bất phương trình mũ - logarit chứa tham số 158 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 163 Dạng Bất phương trình mũ khơng chứa tham số 163 Dạng Bất phương trình logarit khơng chứa tham số 166 Dạng Bất phương trình mũ - logarit chứa tham số 168 CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit H M S LU TH A – H M S M  H M S LOGARIT CHỦ ĐỀ LUỸ THỪA VÀ HÀM SỐ LUỸ THỪA Vấn đề LUỸ THỪA ◈ CÔNG THỨC VỀ LUỸ THỪA ② a  , với a  ① a n  a a a (n thừa số a) ③ a n  n , với a  a m ④ a n  n am ,   a  b  b n  a , với a  n ◈ TÍNH CHẤT CỦA LUỸ THỪA Với a  0, b  ta có: m n ① a a  a am ② n  a m n a m n ③ a m   a n   a mn n m ④ ab   a n b n n n n a  a ⑤    n b b  Với a, b  0; m, n  ℕ*; p, q  ℤ, ta có: ① n ab  n a n b ③ n ap    a n p a   a na  b nb ② n ④ m n Nếu a  a m  a n  m  n Nếu  a  a m  a n  m  n Với  a  b m ℤ ta có: a m  b m  m   m m a  b  m  Nếu b   p q  n a p  m a q a   n m Nếu n số nguyên dương lẻ a  b n a  n b Nếu n số nguyên dương chẵn  a  b n a nb a  mn a VÍ DỤ MINH HOẠ 1 1 9 3 Ví dụ 1: Tính P        4 7 A P  B P  31 48 C P  Lời giải 21 D P   141 112   2 Ví dụ 2: Cho a số dương Biểu thức a  a viết dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ Ta có P  11 A a B a 2 C a Lời giải D a Ta có a  a  a  a  a Ví dụ 3: Cho a , b số thực dương Rút gọn biểu thức P   Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy  a 3b  a 12b CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit A P  ab a b  P a b  4 12 C P  ab Lời giải B P  a 2b 1 D P  a 2b a 3b  ab a 2b  Ví dụ 4: Tìm dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ biểu thức a a (với a  ) A a B a 1 C a Lời giải D a a a  a  a 12  a Ví dụ 5: Cho biểu thức T  a a với a  Viết biểu thức T dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ A a B a C a 15 D a 15 Lời giải 4 Ta có T  a a  a  a 15 Ví dụ 6: Hãy rút gọn biểu thức A  a 1  a 1 1 A A  B A  4 a a A a 1 a 1 a 1 1 Lời giải a     2   2017    2   2018 C P  2  Lời giải B P   D A  a Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức P   A P   C A  a D P   Ta có:     22  ( 3)2   2017 Do đó: P   63 Ví dụ 8: Tính giá trị biểu thức A   2018  2 Ta có A  63  2 5 1 3  23  33 2 5 1 3 Ví dụ 9: Cho x số thực dương P  2017   2  2018   2  2017  2018 2 22  31 B 6 A   C 18 Lời giải D   32  18 x2 x  Biết P biểu diễn dạng P  x m n m phân số tối giản m, n số nguyên dương Tính m  n n A m  n  21 B m  n  25 C m  n  29 D m  n  31 Lời giải với P  x2 x    x2 x  10 25  x x  x  m  n  25   31 Ví dụ 10: Rút gọn biểu thức A  A A  a  a  3a   a 1 B A  2a  a a  a a C A  a  Lời giải D A  a   Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit Ta có A a  3a  a 1  a a  a a    a 1 a  a  a 1  a a a 1  a  a  a   a  a   a  Ví dụ 11: Cho  x x  14 ; A P  10   3x   x   23 x 1 1 x 3 1 x   a , với a 23 3 b B P  10 9x  x  14  3x  3x  3x   x x 1     34   34 b phân số tối giản Tính P  a b C P  45 Lời giải D P  45  16  3x  3x  18 Vậy P  a b  45  10 5  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit Vấn đề HÀM SỐ LUỸ THỪA ◈ ĐỊNH NGHĨA VỀ HÀM SỐ LUỸ THỪA Định nghĩa: Hàm số y  x  , với   ℝ, gọi hàm số lũy thừa Tập xác định: Có trường hợp TXĐ ① D  ℝ  số nguyên dương ② D  ℝ \ 0 với  nguyên âm ③ D   0;   với  không nguyên Đạo hàm: Hàm số y  x  ,   ℝ  có đạo hàm với x  x     x  1   ◈ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA y  x,   y  x,    Tập khảo sát:  0;  Tập khảo sát:  0;   Sự biến thiên: y    x  1  0, x   Sự biến thiên: y    x  1  0, x  Giới hạn đặc biệt: lim x   0, lim x    x 0 x  Tiệm cận: Khơng có  Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến  0;   Đồ thị: Giới hạn đặc biệt: lim x   , lim x   x 0 x  Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang Trục Oy tiệm cận đứng  Bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến  0;  Đồ thị hàm số lũy thừa y  x  qua điểm I 1;1 Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: ◈ Hàm số y  x ta xét ℝ ◈ Hàm số y  x 2 ta xét ℝ \ 0 ◈ Hàm số y  x  ta xét  0;   Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit VÍ DỤ MINH HOẠ  TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA  Dạng  Xét hàm số y   f  x   : ① Khi  nguyên dương: hàm số xác định f  x  xác định ② Khi  nguyên âm: hàm số xác định f  x  xác định f  x   ③ Khi  không nguyên: hàm số xác định f  x  xác định f  x   Ghi nhớ Lưu ý: Theo định nghĩa, đẳng thức n x  x n xảy x  Do hàm số y  x n không đồng với hàm số y  n x n  ℕ *  Như vậy, cần nhớ lại: y  2n f  x , n  ℕ*  : Hàm số xác định f  x  xác định f  x   y  2n 1 f  x , n  ℕ*  : Hàm số xác định f  x  xác định Ví dụ 1: Với x số thực tuỳ ý, xét mệnh đề sau 1) x n  x x ⋯.x n  ℕ, n  1 2)  2x    n so 3)  4x  1  2  4x  1 4)  x  1    x    x    x  2 Số mệnh đề A B C Lời giải Ta thấy x n  x x ⋯.x n  ℕ, n  1 mệnh đề D n so Ta thấy  2x    mệnh đề sai phải có thêm điều kiện 2x    x  Ta thấy  4x  1  2  4x  1 mệnh đề sai phải có thêm điều kiện 4x    x   Ta thấy  x  1    x    x    x  mệnh đề sai phải có thêm điều x   kiện    x  Vậy có mệnh đề 5  x  Ví dụ 2: Tìm tập xác định D hàm số y   x  1 2 B D  (; 1)  (1; ) D D  ℝ \{1} Lời giải A D  ℝ C D  (1;1) Hàm số y   x  1 2 có số mũ số nguyên âm nên xác định x    x  1 Vậy D  ℝ \{1} tập xác định hàm số cho Ví dụ 3: Tập xác định hàm số y   x  x  12  3  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit A D   4;3  B D  ℝ \ 4;3 C D  ℝ \  4;3  D D   ; 4    3;   Lời giải  x  4 Do số mũ số nguyên âm nên ta có điều kiện x  x  12    x  Vậy tập xác định hàm số cho D  ℝ \ 4;3 Ví dụ 4: Hàm số y   4x  1 4 có tập xác định  1  1 B D  ℝ \   ;  C D  ℝ D D    ;   2  2 Lời giải  1 Điều kiện: 4x    x   nên tập xác định hàm số D  ℝ \   ;   2 A D   0;   Ví dụ 5: Tập xác định hàm số y  x  B D   0;   A D  ℝ Ta có y  x sin2020   sin2020  D D   0;   C D  ℝ \ 0 Lời giải  x nên tập xác định D  ℝ \ 0 Ví dụ 6: Tìm tập xác định D hàm số y  x 2 3 B D   0;   A D  ℝ Hàm số y  x 2  D D   0;   C D  ℝ \{0} Lời giải có số mũ khơng ngun nên xác định x  Vậy tập xác định D   0;   Ví dụ 7: Tập xác định hàm số y    x  A D  2;   B D   2;   D D   ;2 C D   ;2  Lời giải Hàm số y    x  có số mũ khơng ngun nên xác định  x   x  Vậy tập xác định D   ;2   Ví dụ 8: Tìm tập xác định D hàm số y  25  x  3 2x  5x   x     2x A D   5;  1  1;5  B D   5;  1  1;5 C D   5;5 D D    ;  1  1;    Lời giải 5  x  1  x  25  x     x   Hàm số xác định   5  x  1 x    x  1  Vậy tập xác định D   5;  1  1;5  Ví dụ 9: Tìm tập xác định D hàm số y  x  6x  17  x  4x   6  1  x  A D    ;1   3;    \ 1 B D    ;1   3;    C D  1;3  D D  1;3 2020  2x   Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit Lời giải x  6x  17   x    Hàm số xác định x  4x     x  x    x  1  Vậy tập xác định D    ;1   3;    \ 1 x 3 Ví dụ 10: Tìm tập xác định D hàm số y  25  x   x 3  A D   5;5  \ 3 B D   5;5  \ 3 C D   5;5   1 18 2020 D D   5;5  \ 3 Lời giải 25  x    5  x  x  Hàm số xác định  Vậy tập xác định D   5;5  \ 3 0  x  3 x  x   ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA  Dạng Ví dụ 1: Tìm tập xác định tính đạo hàm hàm số sau a) y  x b) y  x 4  c) y   x  1 d) y   x   Lời giải a) TXĐ: D  ℝ y   9x b) TXĐ: D  ℝ \ 0 y   4x 5   c) TXĐ: D  1;   y    x5   x  1  x  1   d) TXĐ: D   3; y    x2  x2     x  1   8x  3 3  x  Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số sau: a) y   x  1 3;15 b) y    3x   0;1 Lời giải 3 x   0, x  3;15  hàm số ĐB 3;15 a) y    x  1  2 Vậy y  y    max y  y 15   64 3;15 3;15 15   3x    3x      3x   0, x  0;1  hàm số NB 0;1 2 Vậy y  y 1  max y  y    32 b) y   0;1 0;1 Ví dụ 3: Trong đồ thị đây, đồ thị đồ thị hàm số y  x ?  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit Ví dụ 20: Tập nghiệm S bất phương trình log  x  1  log2  x    A S  2;   B S   1;1   1;   C S  1;   D S   2;1   1;   Lời giải x  2 Điều kiện:  x  1 2 Ta có log  x  1  log2  x     log  x  1  log  2x   x  1 2  log2  x  1  log2  2x    x  2x   4x  16x  16   x  5 Vậy tập nghiệm bất phương trình S   1;1   1;   Ví dụ 21: Tìm tập nghiệm S bất phưong trình log 22 x  log x   A S   ;2  16;   B S  2;16 C S   ;1   4;   D S   0;2  16;   Lời giải Điều kiện: x  Ta xem bpt cho bpt bậc có ẩn log x  log x  x   Khi đó: log 22 x  log2 x     x  16 log x  0  x  So với điều kiện x  ta có:  x  16 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: S   0;2  16;   Ví dụ 22: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log 22 x  log x   A B C D Lời giải Điều kiện: x  log22 x  8log x    log 22 x  log x    log 22 x  log x     log x    x  So với điều kiện ta  x  Ví dụ 23: Tập nghiệm bất phương trình log 21 x  log x     A  0;   5;    125    ;5  C   125      5;   B  ; 125     D  0;    5;    125  Lời giải x   x    log x  1 Ta có: log x  log x      0  x  5  log x  125    x log 2  log x  có nghiệm nguyên dương nhỏ 10 Ví dụ 24: Bất phương trình log x log x  156  Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit B A C Lời giải D x  Điều kiện:  x  1, x  x log 2  log x   log x   log x  Khi log2 x log2 x  log x log x  t  2t t  1  2t   t  1  2t   Đặt t  log2 x Ta có  1  t t   t t   t t 1 2   log x  1 t  1 x     1 2t  t       t     log x   1  x   2 t t      log x  t  x     Kết hợp với điều kiện ta có  x   x  x  Khi bất phương trình có nghiệm ngun dương nhỏ 10 Ví dụ 25: Có cặp số nguyên  x , y  thỏa mãn log 9x y  3x  y    ? A B C Lời giải ℤ , ℤ x  y   x  ℤ, y  ℤ   Điều kiện: 0  9x  y    x , y    0,0  ;  0,1 ;  0, 1  3x  y    3x  y   2 Khi 9x  y  nên ta có: D 10 log9x y  3x  y     3x  y   9x  y  9x  3x  y  y   2 1   19    3x     y    2  2    19   38  38  3x    x   2    6 Suy ra:    38  19    38 y   y     2   x  0; 1 Do x  ℤ, y  ℤ nên  y  2;  1; 0; 1; 2 Kết hợp điều kiện, ta  x , y    0, 2  ;  0,2  ; 1; 2  ; 1, 1 , 1,0  ; 1,1 ; 1,2  Thử lại ta thấy cặp  x , y   1, 2  không thỏa yêu cầu đề Vậy có cặp số nguyên  x , y  thỏa yêu cầu toán  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy 157 CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT CHỨA THAM SỐ  Dạng x  2mx 1 2 e Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình     e 2 x  R với A m   5;0  B m   ; 5    0;   C m   ; 5    0;   x  3m nghiệm D m   5;0  Lời giải x  2mx 1 x  2mx 1 x  3m 2 x  m 2 e 2 2 , x  R    , x  R     e   2 e e  x  2mx   2x  3m , x  R  x  m   x   3m  , x  R  *     m  5m   5  m  Ví dụ 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình 4x  m.2x 1   2m  có nghiệm thực A m  B m    Ta có 4x  m.2x 1   2m   2x C m  Lời giải D m   2m.2x   2m  Đặt 2x  t t   Ta có bất phương trình tương đương với t  2m.t   2m   t2  m 2t  t2   0;   2t  t  2t  4t  f  t   0 t  3  2t   Bảng biến thiên Xét f t   Vậy để bất phương trình có nghiệm thực m  Ví dụ 3: Có giá trị nguyên dương tham số m để tập nghiệm bất phương trình 3 x 2    3x  2m  chứa không số nguyên? A 3280 B 3279 C 3281 D 3283 Lời giải Theo yêu cầu đề ra, ta xét toán trường hợp m nguyên dương       Từ giả thiết 3x 2  3x  2m   9.3x  3x  2m  Vì m nguyên dương nên 2m  158 Từ ta có:  Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit  3 3  3x  2m  log   x  log  2m     x  log  2m        Vậy tập nghiệm bất phương trình T    ;log  2m     Tập nghiệm chứa không số nguyên  log  2m     2m  6561   m  3280,5  9.3 x    3x  2m    Như có 3280 giá trị nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu đề Ví dụ 4: Tìm tập hợp giá trị tham số m để bất phương trình 12x    m  6x  3x  thỏa mãn với x dương A  ;4  B  0;4  C  ;4  D  4;   Lời giải Ta có: 12    m        m  2x   1 x x x x Đặt t  2x Vì x  nên t  Bất phương trình 1  trở thành t    m  t     Bất phương trình 1  nghiệm với x dương  bất phương trình   nghiệm với t  1;    t  2t   mt, t  1;    m  t  2t  , t  1;   t t  2t  khoảng 1;   t t  t2 1 Ta có: g  t       g  t  xác định khoảng 1;   t t  1 Ta có bảng biến thiên sau Xét hàm số g t   Dựa vào bảng biến thiên ta suy bất phương trình   nghiệm với t  1;   m   ;4  Khi bất phương trình nghiệm 1  với x dương Ví dụ 5: Cho hàm số f  x   2020x  2020  x Tìm số nguyên m lớn để f m   f  2m  2020   A 673 B 674 C 673 D 674 Lời giải Ta có: f  x   2020x  2020x   2020x  2020x   f  x   f  x  hàm lẻ ℝ   Mà f   x   2020 ln 2020  2020 ln 2020  0, x  ℝ nên hàm số f  x  đồng biến ℝ x x Do vậy: f m   f  2m  2020    f  2m  2020    f m   f  2m  2020   f  m   2m  2020  m  m   2020 Do giá trị m nguyên lớn thỏa mãn 674 Ví dụ 6: Tìm tập nghiệm S bất phương trình logm 2x  x   logm 3x  x với m tham     số thực dương khác , biết x  nghiệm bất phương trình cho  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy 159 CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit 1  A S   1;0    ;3  3  1  B S   1;0   ;3  3  1  C S   1;0   1;3  D S   2;0    ;3  3  Lời giải Do x  nghiệm nên ta có logm  logm   m  2 2x  x   3x  x x  2x   Bất phương trình tương đương với   3x  x  3x  x  1  x  1  x   1   Vậy S   1;0    ;3    x 3 3  x  0; x  3 Ví dụ 7: Bất phương trình log2 7x   log mx  4x  m nghiệm với x  ℝ     m  a;b  Tính a.b ? A 10 B   D C Lời giải   Ta có: log 7x   log2 mx  4x  m nghiệm x  ℝ mx  4x  m  mx  4x  m  x  ℝ x  ℝ    2 7x   mx  4x  m   m  x  4x   m   m    a  b    m  c  m 2 +) mx  4x  m  x  ℝ     m   a       '   4  m   7  m    m   7  m   +)   m  x  4x    m   x  ℝ     m   m  m        m       m 2   Kết hợp lại ta  m  , m   2;5   Ví dụ 8: Tập nghiệm bất phương trình log x  3x  m  log  x  1 chứa số nguyên A m   2;3  B m   3;4  C m   ;2  D m   4;5  Lời giải   x  x  x  Bất phương trình     2   x  m  x  3x  m   x  1 log x  3x  m  log  x  1 Nếu m    S   Nếu m    S  1; m     Chứa số nguyên 2;3   m     m  Ví dụ 9: Xét bất phương trình log 22 2x  m   log x   Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng 160   2;  Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit   A m    ;0      B m    ;   C m   ;0  D m   0;     Lời giải Ta có bất phương trình: log 2x  m   log x   , đkxđ: x    log 2  log x   m  1 log x     log x  log 22 x  m   log x    log 22 x  2m log x   (*) Đặt: log2 x  t 1  2;   t   ;   2  Khi bất phương trình trở thành t  2mt   (**) Với x    t2 1 1  với t   ;   (**)  m  2t 2  t2 1 1  Xét hàm số: f t   , với t   ;   2t 2  t2 1 1  1   0, t   ;    hàm số y  f t  đồng biến  ;   2t 2  2  Bảng biến thiên: t + Ta có: f  t   8 + f' + f(t) -43 1   f t    , với t   ;     Để bất phương trình có nghiệm x  m    1  2;  m  f t  có nghiệm t   ;      Ví dụ 10: Có số nguyên m để bất phương trình: log 3x  3x  m   x  5x   m có tập 2x  x  nghiệm ℝ A B D C Lời giải Điều kiện: 3x  3x  m    3x  3x  m   3x  3x  m  2      x x m log Ta có: log    x  5x   m 2 2 2x  x   2x  x   3x  3x  m   x  5x   m 4x  2x   log 3x  3x  m   log 4x  2x   4x  2x   3x  3x  m   log  log   4x       2x   4x  2x   log     3x  3x  m  1  3x Xét hàm số: f t   t  log t  0;   , ta có f  t     Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy   3x  m  1 1   , t   0;   t ln 161 CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit Do hàm số f t  đồng biến  0;      Suy ra: 1  f 4x  2x   f 3x  3x  m    4x  2x   3x  3x  m   x  5x  m   Bất phương trình cho có tập nghiệm ℝ 21  x  5x  m   1.1 m    1  4m  21  x  ℝ   vô nghiệm    12m   2  3x  3x  m   1.2  m    Vậy khơng có giá trị m để bất phương trình có tập nghiệm ℝ Ví dụ 11: Tìm tập S tất giá trị thực tham số m để tồn cặp số  x ; y  thỏa mãn   logx y 2 4x  4y   m  x  y  2x  4y   A S  1;1 B S  5;5 C S  7  5; 1;1;5;7 D S  5; 1;1;5 Lời giải y m I -3 J O -1 x Nhận thấy x  y   với x, y  ℝ nên:   log x y 2 4x  4y   m   4x  4y   m  x  y   x  y  4x  4y   m    x    y    m (*) 2 x  Khi m  (*)   Cặp  2;2  khơng nghiệm phương trình y  x  y  2x  4y   Khi m  , tập hợp điểm  x ; y  thỏa mãn (*) hình trịn tâm J  2;2  , bán kính m Trường hợp này, yêu cầu toán trở thành tìm m để đường trịn tâm I  1;2  , bán kính hình trịn tâm J  2;2  , bán kính m có điểm chung (hình vẽ) Điều xảy m   m  1 (thỏa mãn m  ) Vậy S  1;1 162  Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit  BÀI TẬP RÈN LUYỆN  Dạng BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ KHƠNG CHỨA THAM SỐ x Câu 1: 1 Tập nghiệm bất phương trình    32 2 A x   ; 5  B x   ;5  C x   5;   x x 1 Câu 2: 5 Cho bất phương trình   7 5   7 D x   5;   x 1 , tập nghiệm bất phương trình có dạng S  a;b  Giá trị biểu thức A  b  a nhận giá trị sau đây? A C B 1 x Câu 3: Câu 4: Câu 5: Câu 7: B x   2;   Tập nghiệm bất phương trình D  C x   ;2  D x   2;   D x  3x  3x  B x  log C x  1  x 1  1 B x  C x  Tập nghiệm bất phương trình A 1  x  Câu 9:  11x C x  Tập nghiệm bất phương trình 16x  4x   A x  log B x  log C x  x  A  x  log Câu 8: x 6 D 1  x  Tập nghiệm bất phương trình 2x  2x 1  3x  3x 1 A x  2;   Câu 6: 2x 1 Tập nghiệm bất phương trình    x 1 9 x  2 A  B x  2 C 1  x   1  x  Tập nghiệm bất phương trình 11 A 6  x  B x  6 D 2 D log  x  x D  x  Tập nghiệm bất phương trình 4x  3.2x   A x   ;0   1;   B x   ;1   2;   C x   0;1 D x  1;2  Câu 10: Tập nghiệm bất phương trình 3x 2x 1  72 A x  2;   B x   2;   C x   ;2   Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy D x   ;2 163 CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit x Câu 11: Tập nghiệm bất phương trình 3x 1  22x 1  12  A x   0;   B x  1;   Câu 12: Tập nghiệm bất phương trình   A x   0;log 3    C x   ;0  D x   ;1 2.3x  2x 2  3x  2x   D x   0;log 3    C x  1;3 B x  1;3  Câu 13: Tập nghiệm bất phương trình 2x  4.5x   10x x  A  B x  C x  x  Câu 14: Tập nghiệm bất phương trình A 1  x  B  8;0  x Câu 15: Tìm tập nghiệm bất phương trình  21 x  C 1;9  x 1 D  x  1  D  0;1  5x A S   1;0  1;   B S   1;0  1;   C S   ;0 D S   ;0  Câu 16: Bất phương trình 25x   x 1  9x  x 1  34.15x  2x có tập nghiệm A S  ;1     0;2  1  3;    B S   0;   C S   2;   D S   3;0   Câu 17: Cho f  x   52x 1 ; g  x   5x  4x ln Tập nghiệm bất phương trình f   x   g   x  A x  B x  C  x  D x  Câu 18: Tập nghiệm bất phương trình 2.7x 2  7.2x 2  351 14x có dạng đoạn S  a;b  Giá trị b  2a thuộc khoảng đây?   A 3; 10 B  4;2  C   7;4 10  49  D  ;  9  Câu 19: Tập nghiệm bất phương trình 9x   x   3x   2x  1  A  0;1  2;    B  ;1  2;    C 1;2 D  ;0  2;    Câu 20: Số nghiệm nguyên dương bất phương trình 312x   x  10  5x 2021   A 10 B C 11 D 12 Câu 21: Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu f   x  sau: 164  Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit Xét hàm số g  x   e  f 1 x  x  , tập nghiệm bất phương trình g   x   1  A  1;    2;    2  1  C   ;  2   ;2  2    ;  1   B 1  D  ;    2  Câu 22: Có cặp số thực  x ;y  thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: x 5 x  x  log  5y  4 y  y   y   ?   A B C Câu 23: Tập nghiệm bất phương trình 3x A 9  D Vô số   x  5x 1  khoảng a ;b  Tính b  a B C D Câu 24: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 2 x 15 x 100  2x 10 x 50  x  25x  150  A B C D Câu 25: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 5x  12x  16  m  x   x  20182x  x 1  20182 x 1 có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn  2019x  2019  A m  ;3    11  C m   3 ;       B m  2 ;3     11  D m   ;      Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy 165 CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit  Dạng BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT KHƠNG CHỨA THAM SỐ Câu 1: Tập nghiệm bất phương trình log  x  3x    Câu 2:  3  3   3  3  A S  0; B S   0; ;3  ;3          2       3    C S   D S   ;    Bất phương trình log 2x  x   có tập nghiệm    3 A S   0;   2 3  B S   1;  2  Câu 3: 1  3  C S   ;0    ;   D S   ;1   ;   2  2  Bất phương trình log 0,5  4x  11  log 0,5 x  6x  có tập nghiệm a ;b  Tính b  a D Câu 4: A B C Tìm tập nghiệm S bất phương trình ln x  ln  4x   A ℝ \ 2 D S  1;   \ 2   B S   2;   C S   2;    x 1   2x  Câu 5: Nghiệm nguyên lớn bất phương trình log 4.3 Câu 6: A x  B x  C x  Điều kiện xác định bất phương trình log log (2  x )  D x  1 B x   1;0    0;1 C x   1;1   2;   D x   1;1 A x  [  1;1] Câu 7: Câu 8: Câu 9:   Tập nghiệm bất phương trình log 2x  3x   log  2x  1 1  A S   ;1  2   1 B S   0;   2   C S    ;1    Tập nghiệm bất phương trình: log  x  1  log 2 x 1 A 2;   B    D S    ;0    D 1;   C  0;1  Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log  x   log 1  x  1 1 D x  2 Câu 10: Bất phương trình log x  x   log 0,5  x  1  có tập nghiệm A x  B x     C x     A 1  2;  B 1  2;  C ;1   D ;1       Câu 11: Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log  log x   log  log x  A B 10 C D  log x  Nếu đặt t  log3 x bất phương trình trở thành: Câu 12: Cho bất phương trình  log x  2t 1 2t    A 1  2t    t B C  t  1  t  D 2 1t 1t 166  Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit Câu 13: Bất phương trình log 20,2 x  log 0,2 x  6 có tập nghiệm  1  A S   ;   125 25    C S   0;  D S   0;3   25  x Câu 14: Tập nghiệm bất phương trình log 22  2x   log  chứa tập hợp sau đây? 1  3  A  0;3  B 1;5  C  ;2  D  ;6  2  2  Câu 15: Tìm tập nghiệm S bất phương trình: log  x  1  log  x  1   B S   2;3  A S  (1;3]  [9; ) C S  (;3]  [9; ) B S  (;1]  [3; ) D S  [3;9]  x3   32  Câu 16: Nghiệm nguyên lớn bất pt log 24 x  log 21    log    log 221  x   x   A x  B x  C x  D x     Câu 17: Bất phương trình logx log 9x  72  có tập nghiệm   A S  log 73;2  B S  log 72;2  C S  log 73;2  D S   ;2 Câu 18: Có giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình x log2 x   32 ? B C D A Câu 19: Bất phương trình log (2x  1)  log (4x  2)  có tập nghiệm A [0; ) B (;0) C (;0] D  0;  Câu 20: Tập nghiệm bất phương trình ln 1  x   x tương ứng A  1;   B  0;  C x  D x  ℝ Câu 21: Tập nghiệm S bất phương trình log   x   log  x  1 tập tập hợp đây?  15  B  3;   2 A 1;6  Câu 22: Số nghiệm nguyên bất phương trình log A C  4;10  7  D  ;8  2  3x  x   x  x   2x  2x  C D B x  3x  Câu 23: Bất phương trình log  x  4x  có tập nghiệm S  a ;b  Tính T  a  2b x 1 A T  B T  C T  D T  12 3x  Câu 24: Biết bất phương trình log  x    x  12x    log có tập nghiệm x x x S  a;b   c;d  với a,b,c,d số thực Tính S  a  b  c  d A S  6 B S   2 C S  3  2 D S  3  4x  4x   Câu 25: Biết tập nghiệm bất phương trình log7    4x   6x có dạng x   a;b  \   Tính giá trị a  b   A a  b  B a  b  C a  b  16  Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy D a  b  13 167 CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT CHỨA THAM SỐ  Dạng Câu 1:  với x  ℝ ? A m  Câu 2: Có bao log 2 nhiêu giá B m  trị D  m  C m  nguyên dương tham số m để hàm số x  2log2 x  3m   có nghiệm thực? A Câu 3:  Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log x  4x  m  nghiệm B Vô số C D Tập hợp tất số thực m để bất phương trình ln  x    x  x  ln m  nghiệm với số thực x   A 26 ;   Câu 4:  B 36 ;    C 28 ;    D 38 ;   Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m để bất phương trình   log 60x  120x  10m  10  log  x  1  có miền nghiệm chứa giá trị nguyên biến x Số phần tử S B 10 A 12 Câu 5: C D 11   Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log mx  x  log vô 5 nghiệm? A 4  m  Câu 6: m  B  m  4 C m  D 4  m  Cho bất phương trình 9x  m  1 3x  m  1 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình 1 nghiệm x  A m   Câu 7: B m   C m   2 D m   2 Cho bất phương trình 8x  3.22x 1  9.2x  m   1 Có tất giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình 1 nghiệm với x  1;2 ? A Câu 8: Câu 9: B C D Vơ số Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình 4x  m 2x 1   2m  có nghiệm thự A m  B m  C m  D m  Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5x  1).log (2.5x  2)  m có nghiệm x  ? A m  B m  C m  D m  Câu 10: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5x  1)  m có nghiệm x  ? A m  168 B m  C m  D m   Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit Câu 11: Tìm tất giá trị thực tham số m cho khoảng  2;3  thuộc tập nghiệm     bất phương trình log x   log x  4x  m  (1) A m   12;13 Câu 12: Tìm tất  B m  12;13 giá   trị thực C m   13;12 tham số D m   13; 12 để m bất phương trình   log x   log mx  4x  m có nghiệm x A m   2;3 C m  2;3  B m   2;3 D m   2;3  x x x m Câu 13: Có số nguyên m để tập nghiệm bất phương trình   chứa hai số nguyên ? A Vô số B C D Câu 14: Có giá trị nguyên dương tham số m m 2 0 để bất phương trình  4.6  m  1  có nghiệm? x x x B A Câu 15: Có D C vô số giá trị nguyên dương m để bất phương   x 1x  nghiệm với x thuộc  0; 1 ? m  1  4x  2m  1 x     A trình  B C D Câu 16: Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m   2022;2022 để bất phương trình 2e x  2mx    x  4mx  4m  x  4mx  nghiệm với x   4;7  ? A 2021 B 2025 C 2022 D 2023 Câu 17: Tìm tất giá trị thực tham số m m  m  1 x x 2 cho bất phương trình  m   nghiệm x  ℝ A m  B m  C m  D 1  m  x  2019 , m tham số Có số m 2x  2mx  2020 nguyên m   2020;2020 để tập nghiệm bất phương trình cho ℝ Câu 18: Cho bất phương trình 2019 A Câu 19: Có  B 2020 tất  mx x 1   C giá trị D 2021 tham số m để bất phương trình  log x  mx  m   log x  nghiệm x  R ? A C B D   Câu 20: Cho bất phương trình: x x  x  16  m log  16  x Tìm m để bất phương trình cho có nghiệm A m  B m  C m   Th.s Lê Hồ Quang Minh biên soạn & giảng dạy D m  169 CHUY N Đ H m s lu th a - m - logarit Câu 21: Cho bất phương trình m  1 log21  x    m   log 2  4m   ( m tham số x 2 thực) Tập hợp tất giá trị m để bất phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn 5   ,4    7  A  ;  3  7  B  ;   3   7 C  3;   3 D  3;   Câu 22: Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m để bất phương trình     log 7x   log mx  4x  m có tập nghiệm ℝ Tổng phần tử S A 13 B 10 C 11 D 12 Câu 23: Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  10;10 để bất phương trình log A 15 2x  x  m   2x  4x   2m có nghiệm Số phần tử tập hợp S x x 1 B C 20 D 10 Câu 24: Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m   40;40 để bất phương trình e x 4x m   m  4x  x  có nghiệm thực x ? A 46 B 37 C 45 D 44 Câu 25: Có giá trị nguyên thuộc khoảng  9;9  tham số m để bất phương trình  log x  log m x  x  1  x   x A 170 B  có nghiệm thực? C 10 D 11  Th.s Lê Hồ Quang Minh - Biên soạn & giảng dạy ... hàm số logarit 61 Dạng Đạo hàm đồ thị hàm số mũ - logarit 64 Dạng Các toán thực tế hàm số mũ 83 Dạng Cực trị hàm số mũ – logarit max hàm nhiều biến 88  Cực trị hàm số mũ. ..  Đồ thị hàm số lũy thừa y  x  qua điểm I 1;1 Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: ◈ Hàm số y  x ta xét ℝ ◈ Hàm số y  x... Chủ đề LUỸ THỪA VÀ HÀM SỐ LUỸ THỪA Vấn đề LUỸ THỪA VÍ DỤ MINH HOẠ Vấn đề HÀM SỐ LUỸ THỪA VÍ DỤ MINH HOẠ Dạng Tìm tập xác định hàm số luỹ thừa