(Luận văn thạc sĩ) về các bất đẳng thức dạng hermite hadamard cho hàm lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ QUỲNH LIÊN VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE-HADAMARD CHO HÀM LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ QUỲNH LIÊN VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE-HADAMARD CHO HÀM LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Mở đầu Chương Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard 1.1 Một số đặc trưng hàm lồi khả vi 1.2 Bất đẳng thức Hermite - Hadamard 1.3 Một số mở rộng bất đẳng thức Hermite - Hadamard 12 1.4 Ứng dụng bất đẳng thức Hermite - Hadamard toán sơ cấp 25 Chương Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi 2.1 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi bậc ứng dụng 2.1.1 2.1.2 2.2 30 30 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi bậc 30 Ứng dụng vào đánh giá đại lượng trung bình 37 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi cấp hai ứng dụng 2.2.1 2.2.2 41 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi cấp hai 41 Ứng dụng vào đánh giá đại lượng trung bình 46 Tài liệu tham khảo 52 Mở đầu Giải tích lồi đóng vị trí quan trọng tốn học Giải tích lồi liên quan đến nhiều ngành tốn học giải tích, giải tích hàm, giải tích số, hình học, tốn kinh tế, tối ưu phi tuyến, Một kết kinh điển giải tích lồi Bất đẳng thức Hermite - Hadamard (H-H Inequality) cho hàm lồi, phát biểu Định lý Định lý 0.0.1 (Hermite, 1881, [7], Hadamard, 1893, [6]) Nếu f : R → R hàm lồi đoạn [a; b] ta có f a+b ≤ b−a b a f (t)dt ≤ f (a) + f (b) (1) Năm 1906, Fejér [8] mở rộng bất đẳng thức (1) thành bất đẳng thức (2), sau gọi bất đẳng thức Fejér Định lý 0.0.2 Nếu f : R → R hàm lồi đoạn [a; b] g : [a; b] → R a+b hàm không âm, khả tích đối xứng qua điểm x = f a+b b a b g(t)dt ≤ a f (a) + f (b) f (t)g(t)dt ≤ b g(t)dt (2) a Khi g(x) ≡ bất đẳng thức Fejér trở thành bất đẳng thức Hermite - Hadamard Sau đó, nhiều tác giả mở rộng bất đẳng thức Hermite - Hadamard bất đẳng thức Fejér Xem, thí dụ, sách chuyên khảo bất đẳng thức [1], [2] tài liệu tham khảo khác Các bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard có nhiều ứng dụng thực tế, thí dụ, toán: đặc trưng hàm lồi, quan hệ đại lượng trung bình, lí thuyết xấp xỉ, Mục đích Luận văn trình bày tổng quan bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi Luận văn bố cục theo hai chương: Chương 1: Trình bày số đặc trưng hàm lồi khả vi, chứng minh bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi biến, số mở rộng ứng dụng bất đẳng thức Hermite - Hadamard Chương 2: Trình bày chứng minh bất đẳng thức dạng Hermite Hadamard cho hàm lồi biến khả vi (cấp một, cấp hai) đoạn [a; b], đồng thời nêu ứng dụng đánh giá giá trị trung bình Sau thời gian cố gắng, nỗ lực học tập nghiên cứu, đến tơi hồn thành luận văn thạc sĩ Để có kết này, trước tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc lời cảm ơn chân thành đến thầy tôi, PGS TS Tạ Duy Phượng, người định hướng nghiên cứu khoa học ln tận tình dạy cho suốt thời gian thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun thầy Viện Tốn học ln tận tình giúp đỡ, theo dõi động viên cho tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè thân yêu, đồng nghiệp công tác trường THPT Trần Nhật Duật ln thơng cảm, chia sẻ khó khăn tạo điều kiện tốt để tơi học tập, nghiên cứu hồn thành cơng việc Tơi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới người thân yêu gia đình ln chia sẻ với tơi khó khăn thực luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Hoàng Thị Quỳnh Liên Chương Bất đẳng thức dạng Hermite Hadamard Trong chương này, chúng tơi trình bày số đặc trưng hàm lồi khả vi, chứng minh bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi biến, số mở rộng ứng dụng bất đẳng thức Hermite - Hadamard Nội dung Chương chủ yếu theo Tài liệu [1] (trang 42-44), [2] (trang 55-70), [5] (trang 9-19) tham khảo thêm số tài liệu khác 1.1 Một số đặc trưng hàm lồi khả vi Định nghĩa 1.1.1 Tập X ⊆ Rn gọi lồi với λ ∈ [0; 1] x1 ∈ X, x2 ∈ X ta có xλ := λx1 + (1 − λ)x2 ∈ X Nghĩa là, tập lồi X chứa đoạn thẳng nối hai điểm Định nghĩa 1.1.2 Hàm f : X ⊆ Rn → R gọi hàm lồi X tập lồi với λ ∈ [0; 1], x1 ∈ X, x2 ∈ X ta có f (xλ ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) (1.1) Định lý 1.1.3 (Theorem 2.1, [5], p 42-43) Hàm thực f (x) xác định tập mở (a, b) lồi liên tục (a, b) có đạo hàm trái phải f (x + t) − f (x) , t↑0 t f (x + t) − f (x) f+′ (x) := lim t↓0 t f−′ (x) := lim điểm x ∈ (a, b) cho f+′ (x) không tăng f−′ (x) ≤ f+′ (x), f+′ (x1 ) ≤ f−′ (x2 ) (1.2) với a < x1 < x2 < b Chứng minh (i) Cho f (x) hàm lồi Nếu < s < t x + t < b điểm (x + s, f (x + s)) nằm đoạn thẳng nối (x, f (x)) (x + t, f (x + t)), f (x + s) − f (x) f (x + t) − f (x) ≤ s t (1.3) f (x + t) − f (x) không tăng t ↓ t Suy có giới hạn f+′ (t) (hữu hạn −∞) Tương tự, Điều hàm số t → f−′ (x) tồn (hữu hạn +∞) Hơn nữa, đặt y = x + s, t = s + r, ta có f (x + s) − f (x) f (y + r) − f (y) ≤ s r (1.4) Điều f+′ (x) ≤ f+′ (y) với x < y f+′ (x) không giảm Cuối cùng, ta viết lại (1.4) sau f (y + r) − f (y) f (y − s) − f (y) ≤ −s r (1.5) Cho −s ↑ 0, r ↓ ta thu f−′ (y) ≤ f+′ (y), điều chứng minh cho bất đẳng thức thứ (1.2) tính hữu hạn đạo hàm Vì tồnx g(x)dx a a b  g (x)dx −  a 2   g(x)dx  a 2   g(x)dx  Định lý 2.2.5 (Theorem 34, [2], p 44-46) Giả sử f : [a; b] ⊂ R → R hàm khả vi [a; b] k ≤ f ′′ (x) ≤ K với x ∈ [a; b] Khi ta có bất đẳng thức kép (b − a)2 k ≤ f 48 a+b f (a) + f (b) + − b−a b f (t)dt a ≤K (b − a) 48 (2.25) Chứng minh Từ Bổ đề 2.1.9, ta có f − b−a a+b = b−a a+b a b f (x)dx a (x − a)f (x)dx + b−a b ′ Áp dụng cho Bổ đề 2.2.4 ta thu được:  a+b a + b (x − a)2 dx − k −a a a+b a+b a (x − b)f ′ (x)dx (x − a)dx   (2.26) 44 a+b −a ≤ a  a+b −a ≤K a+b a+b ′ (x − a)f (x)dx − a+b a a (x − a) dx − a Tính tích phân phần với x đoạn a, được: a+b a a+b a+b , b , ta a  (b − a)3 (x − a) dx = , 24 a+b a (x − a)dx f ′ (x)dx  (x − a)dx a+b 2 a+b 2 (b − a)2 (x − a)dx = , I1 := b − a (b − a)3 (b − a)2 f − 24 a+b − f (a) Suy ta thu được: (b − a)2 k 192 a+b b−a (b − a)2 ′ ≤ (x − a)f (x)dx − f a (b − a)4 ≤ K 192 a+b − f (a) Từ ta có: (b − a)2 k 96 a+b b−a (x − a)f ′ (x)dx − f ≤ a (b − a)2 ≤ K 96 Tương tự, Bổ đề 2.2.4 cho ta:  b a+b  (x − b)2 dx − k b− a+b 2 a+b − f (a) (2.27) b a+b (x − b)dx   ... dụng bất đẳng thức Hermite - Hadamard toán sơ cấp 25 Chương Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi 2.1 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi. .. bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi Luận văn bố cục theo hai chương: Chương 1: Trình bày số đặc trưng hàm lồi khả vi, chứng minh bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi. .. g(x) ≡ bất đẳng thức Fejér trở thành bất đẳng thức Hermite - Hadamard Sau đó, nhiều tác giả mở rộng bất đẳng thức Hermite - Hadamard bất đẳng thức Fejér Xem, thí dụ, sách chuyên khảo bất đẳng thức