(Luận văn thạc sĩ) hệ tiên đề pogorelov và mô hình carte của hình học euclid

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HƯƠNG HỆ TIÊN ĐỀ POGORELOV VÀ MƠ HÌNH CARTE CỦA HÌNH HỌC EUCLID LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HƯƠNG HỆ TIÊN ĐỀ POGORELOV VÀ MƠ HÌNH CARTE CỦA HÌNH HỌC EUCLID Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu Chương 1: Hệ tiên đề Hilbert Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid 1.1 1.2 1.3 1.4 Tổng quan lịch sử Hình học 1.1.1 Tác phẩm "Elements" Euclid 1.1.2 Nỗ lực chứng minh Định đề 1.1.3 Phát Hình học khác Hình học Euclid 1.1.4 Nền tảng hình học nửa sau kỉ 19 Hệ tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid 1.2.1 Yêu cầu phương pháp tiên đề 1.2.2 Các nhóm tiên đề Hilbert Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid 1.3.1 Nhóm tiên đề phép cộng véc tơ 1.3.2 Nhóm tiên đề phép nhân véc tơ với số thực 1.3.3 Nhóm tiên đề số chiều 1.3.4 Nhóm tiên đề tích vơ hướng hai véc tơ 1.3.5 Nhóm tiên đề đặt véc tơ từ hai điểm Mối quan hệ hệ tiên đề Hilbert hệ tiên đề Wayne 1.4.1 Ưu - khuyết điểm Hệ tiên đề Hilbert 1.4.2 Ưu - khuyết điểm Hệ tiên đề Wayne Chương 2: Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid 2.1 2.2 Hệ tiên đề Pogorelov hệ trực tiếp Mơ hình Carte Hình học Euclid 2.2.1 Lý xây dựng Mơ hình Carte 2.2.2 Kiểm tra tiên đề qua Mô hình Carte 5 11 13 13 14 16 17 17 18 18 19 19 19 20 21 21 30 30 31 ii Chương 3: Hệ tiên đề xây dựng Hình học Việt Nam vài áp dụng 3.1 3.2 Hệ tiên đề sách giáo khoa phổ thông Một vài áp dụng 3.2.1 Tam giác vuông 3.2.2 Hệ tọa độ Carte vng góc 3.2.3 Định lý Stewart Kết luận Tài liệu tham khảo 38 38 40 40 41 42 46 47 iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Đàm Văn Nhỉ, Trường ĐHSP Hà Nội Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên tận tình bảo, hướng dẫn thầy Tác giả xin gửi tới Ban giám hiệu, phòng đào tạo, thầy Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục, đào tạo nhà trường Tác giả xin chân thành cảm ơn tới lãnh đạo UBND thành phố Tuyên Quang, phòng Giáo dục Đào tạo thành phố Ban giám hiệu trường THCS Ỷ La, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả thời gian học tập hoàn thành luận văn Mặc dù thân có nhiều cố gắng thời gian nghiên cứu có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy bạn để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015 Tác giả Đỗ Thị Hương Mở đầu A Một vài điểm quan trọng Hình học phẳng Như biết, đối tượng để xây dựng Hình học Euclid điểm, đường thẳng, mặt phẳng tương quan liên thuộc, nằm giữa, Với Hệ tiên đề Hilbert Hệ tiên đề Pogorelov, ta xét vị trí tương đối xảy như: (1.1) Với hai điểm, ta xét điểm trùng nhau, điểm khác (1.2) Với đường thẳng, xét đường thẳng trùng nhau, đường thẳng cắt nhau, đường thẳng song song với nhau, đường thẳng chéo (1.3) Với điểm đường thẳng (đoạn thẳng), ta xét điểm thuộc đường thẳng (đoạn thẳng), điểm không thuộc đường thẳng (đoạn thẳng) Với tiên đề độ dài: Mỗi đoạn thẳng AB có độ dài ℓ(AB) > C thuộc đoạn AB, C = A, C = B, ℓ(AB) = ℓ(AC) + ℓ(CB) Để giải trường hợp hai điểm trùng ta cịn có khái niệm khoảng cách hai điểm tùy ý A, B: d(A, B) = ℓ(AB) A = B A ≡ B khái niệm góc với số đo Tiếp theo, ta xét tập điểm hay hình sau: (2.1) Xét đa giác Đặc biệt việc xét tam giác cân, tam giác đều, tam giác vng hình vng (2.2) Xét tập điểm cách điểm O với khoảng cách khơng đổi R Đó đường trịn (ℓ) tâm O bán kính R Xét tiếp tập điểm khơng thuộc (ℓ) Đó tập điểm bên bên ngồi đường trịn (ℓ) (2.3) Xét tập điểm cách hai điểm phân biệt A B Đó đường trung trực đoạn thẳng AB (2.4) Xét tập điểm cách cạnh góc xOy Đó đường phân giác góc Tùy theo toán, ta xét đường phân giác hay đường phân giác ngồi góc (2.5) Xét tập điểm cho khoảng cách từ đến điểm cố định khơng đổi Đó đường trịn Xét tập điểm cho tổng khoảng cách từ đến điểm cho trước A, B số khơng đổi Đó đường elíp với hai tiêu điểm A B Xét tiếp, tập điểm cho giá trị tuyệt đối hiệu khảng cách từ đến hai điểm cho trước A B số khơng đổi Đó đường hypebol với hai tiêu điểm A B (2.6) Với điểm A đường thẳng d không chứa A, xét tập điểm cho khoảng cách từ đến A khoảng cách từ điểm đến d Đó đường parabol với tiêu điểm A đường chuẩn d B Phương pháp tọa độ Hình học Xuất phát từ điểm đặc biệt sau đây: (3.1) Khi dựng hình ta sử dụng thước kẻ compa Việc dựng đường thẳng đường trịn dễ dàng Nhìn vào hình vẽ tương đối xác ta sử dụng vài kết biết (Mệnh đề, Định lý, Hệ quả,v.v ) để giải toán Với thước kẻ compa, ta khơng vẽ xác parabol, hypebol,v.v Do vậy, số kết khơng cịn trực giác để ta cảm nhận cách giải không áp dụng (3.2) Phải thay đổi định nghĩa vài khái niệm Chẳng hạn, xét parabol (P ) với tiêu điểm A đường chuẩn d, ta hạ AH⊥d với H ∈ d Khơng khó để chứng minh đường thẳng AH đường trung trực d′ đoạn AH có chung với (P ) điểm, d′ tiếp tuyến (P ), AH lại khơng (3.3) Với thước kẻ compa, ta khó xây dựng hệ thức liên hệ lớp tập bị thu hẹp (3.4) Xét phép biến đổi F mặt phẳng Giả sử hình (H) có tính chất P Nếu ảnh (H ′ ) = F (H) có tính chất P P gọi tính chất bất biến (H) qua F ; cịn ảnh (H ′ ) = F (H) khơng có tính chất P P gọi tính chất không bất biến (H) qua F Vấn đề đặt ra: Xét tính chất P khơng bất biến biến đổi qua F thành tính chất gì? (3.5) Khi xét toán tập điểm hệ thức liên hệ ta thường phải xử lý đối tượng tiến vô tận Để biểu thị đối tượng tiến vô tận, ta đưa phần tử ∞ vào tập R (3.6) Phương pháp tọa độ để ta phụ thuộc vào hình vẽ, biểu thị mối quan hệ qua phương trình Khi ta khơng phải vẽ hình, khơng phải kẻ thêm đường phụ phức tạp Ta dễ dàng biện luận trường hợp mở rộng toán làm biến dạng thành tốn khác Do Hệ tiên đề Pogorelov tác giả dùng mơ hình thử để kiểm tra Hệ tiên đề dựa hình học giải tích, nhiều tài liệu tham khảo Hình học sơ cấp người ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán C Nội dung luận văn Luận văn tập trung trình bày lại số mục Giáo trình Hình học viện sĩ A Pogorelov viết cho sinh viên tốn trường đại học Liên xơ Ngồi phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm chương: Chương Hệ tiên đề Hilbert hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid Chương tập trung trình bày nét hai hệ tiên đề nêu Mục 1.1 trình bày đơi nét tổng quan phát triển Hình học Euclid Mục 1.2 trình bày Hệ tiên đề Hilbert Luận văn trình bày yêu cầu phương pháp tiên đề nhóm tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid Mục 1.3 dành để trình bày Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid Trong mục làm bật việc sử dụng Đại số tuyến tính xây dựng hệ tiên đề Ở Mục 1.4 đưa vài ý kiến riêng mối quan hệ hai hệ tiên đề việc sử dụng Hệ tiên đề Wayne để xây dựng hình học Euclid vài nước Chương Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid Trong chương tập trung trình bày lại hệ tiên đề cho Hình học Euclid mơ hình Carte Pogorelov đưa Chương chia làm hai mục Mục 2.1 trình bày Hệ tiên đề Pogorelov vài hệ suy trực tiếp từ hệ tiên đề Mục 2.2 trình bày nội dung Mơ hình Carte Hình học Euclid Trong Mơ hình Carte, Pogorelov sử dụng phương pháp tọa độ để kiểm tra hệ tiên đề Do phần nêu lý để có phương pháp tọa độ hình học Chương Hệ tiên đề xây dựng Hình học Việt Nam vài áp dụng Chương trình bày nội dung hệ tiên đề xây dựng hình học Việt Nam vài áp dụng Nó chia làm hai mục Mục 3.1 trình bày hệ tiên đề cho hình học sách giáo khoa bậc phổ thơng Mục 3.2 vài áp dụng Chương Hệ tiên đề Hilbert Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid 1.1 1.1.1 Tổng quan lịch sử Hình học Tác phẩm "Elements" Euclid Hình học xuất phát phần khoa học thực nghiệm phát triển đặc biệt người Ai Cập Những người áp dụng hình học vào đo đạc thổ nhưỡng cơng trình tưới tiêu Trong thiên niên kỷ trước cơng ngun, kiến thức hình học người Ai Cập bắt nguồn từ người Hy Lạp nhờ tạo kỷ nguyên Các nhà hình học Hy Lạp từ kỷ thứ bảy đến kỷ thứ ba trước công nguyên không làm khoa học phong phú kiến thức mới, mà họ tiến bước quan trọng việc thiết lập dãy suy luận logic chặt chẽ Các thành vun đắp qua nhiều kỷ tổng kết hệ thống hóa Euclid (từ năm 330 275 trước công nguyên) tác phẩm "Elements" tiếng Lần lịch sử, Euclid giới thiệu tường thuật logic chặt chẽ hình học Xét thời đại đó, cách giải mơ tả hình học hồn tồn khơng có khuyết điểm, đến mức 2000 năm sau tác phẩm "Elements" xuất hiện, sách sổ tay hình học độc vô nhị Quyển I - IV VI tổng số 13 sách trình bày chương mặt phẳng đóng góp cho hồn thiện hình học, Quyển XI - XIII bao gồm hình học khơng gian Các chương khác nêu ứng dụng số học việc xử lý hình học Mỗi sách bắt đầu khái niệm mới, (ví dụ: Quyển bao gồm 23 định nghĩa) Đặc biệt ba định nghĩa đây: 33 ax1 + c ax2 + c ax3 + c , y2 = − y3 = − Ta Nếu b = y1 = − b b b a a có y1 − y3 = − (x1 − x3 ) y3 − y2 = − (x3 − x2 ) Ta thấy rằng, b b x1 − x3 x3 − x2 dấu y1 − y3 y3 − y2 dấu ngược lại Do đó, ta chứng minh tương đương hai định nghĩa nêu Bây ta chứng minh tiên đề thứ tự mơ hình Tiên đề II1 nói rằng, ba điểm thuộc đường thẳng có điểm nằm hai điểm cịn lại Giả sử đường thẳng với phương trình ax+by +c = ba điểm phân biệt (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) thuộc đường thẳng Giả sử b = Ta thấy ba số x1 , x2 , x3 đôi khác ax2 + c ax1 + c =− = y2 Như Quả vậy, x1 = x2 y1 = − b b vậy, điểm (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) trùng (mâu thuẫn) Do số x1 , x2 x3 đơi khác Sắp xếp ba số theo thứ tự từ bé đến lớn Khơng tính tổng qt, giả sử x1 < x2 < x3 Khi hiệu x2 − x1 x3 − x2 dấu Vậy, (x2 , y2 ) nằm (x1 , y1 ) (x3 , y3 ) Các hiệu x1 − x3 x3 − x2 trái dấu nên (x3 , y3 ) không nằm hai điểm (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) Các hiệu x1 − x3 x2 − x1 trái dấu nên (x1 , y1 ) không nằm hai điểm (x3 , y3 ) (x2 , y2 ) Do đó, ba điểm nằm đường thẳng có điểm nằm hai điểm lại Tiếp theo chứng tỏ tiên đề phân chia mặt phẳng, Tiên đề II2 mơ hình Cho đường thẳng có phương trình ax + by + c = Chúng ta nói rằng, điểm (x, y) mặt phẳng khơng thuộc đường thẳng ax + by + c = 0, nằm nửa mặt phẳng thứ ax + by + c > nằm nửa mặt phẳng thứ hai ax + by + c < Tiên đề nói rằng, hai điểm A1 (x1 , y1 ) A2 (x2 , y2 ) nằm nửa mặt phẳng, đoạn thẳng A1 A2 không cắt đường thẳng cho Nếu chúng nằm hai nửa mặt phẳng khác nhau, đoạn thẳng nối A1 với A2 cắt đường thẳng cho Ta chứng minh, mặt phẳng chia làm hai nửa mặt phẳng thỏa mãn tính chất Thật vậy, Giả sử đường thẳng qua hai điểm A1 , A2 có phương trình αx + βy + γ = Giả sử β = Hiển nhiên x1 < x < x2 hay x2 < x < x1 với điểm (x, y) thuộc đoạn thẳng αx + γ vào phương trình A1 A2 Thay tọa độ điểm x y = − β ax + by + c = Chúng ta nhận phương trình tuyến tính f (x) = c1 x + c2 Nếu A1 A2 nằm nửa mặt phẳng f (x1 ) 34 f (x2 ) dấu Do f (x) khơng đổi dấu khoảng (x1 , x2 ), có nghĩa A1 A2 không cắt đường thẳng ax + by + c = Tuy nhiên, A1 A2 khơng nằm nửa mặt phẳng f (x1 ) f (x2 ) trái dấu Do f (x) triệt tiêu khoảng (x1 , x2 ), có nghĩa A1 A2 cắt đường thẳng ax + by + c = Trường hợp β = (α = 0) xem xét tương tự Do đó, tiên đề thứ tự với Mơ hình Carte Độ dài đoạn thẳng, Tiên đề độ đo Với hai điểm A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ), khoảng cách A, B Mô hình Carte d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 Độ dài đoạn thẳng khoảng cách hai điểm đầu mút đoạn thẳng Để chứng tỏ rằng, tiên đề phép đo đoạn thẳng, Tiên đề III1 , Mơ hình Carte, trước hết phải ý rằng, đoạn thẳng có độ dài lớn Cho A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ) hai điểm nằm đường thẳng C(x3 , y3 ) điểm nằm hai điểm Chúng ta chứng tỏ độ dài đoạn thẳng AB tổng độ dài đoạn thẳng AC BC Thật vậy, giả sử y = px + q phương trình đường thẳng Vì C nằm A B nên x1 < x3 < x2 x1 > x3 > x2 , chẳng hạn x1 < x3 < x2 Ta có y1 = px1 + q, y2 = px2 + q, y3 = px3 + q Độ dài đoạn AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = (x2 − x1 ) (1 + p2 ), độ dài đoạn AC = (x3 −x1 ) + p2 độ dài đoạn BC = (x2 −x3 ) + p2 Ta dễ dàng kiểm tra tính AB = AC + BC Do vậy, tiên đề Mơ hình Carte Với khoảng cách điểm Mơ hình Carte, bất đẳng thức tam giác đúng, có nghĩa: Khoảng cách hai điểm khơng lớn tổng khoảng cách chúng đến điểm thứ ba Khi ba điểm khơng thẳng hàng khoảng cách hai điểm thực nhỏ tổng khoảng cách từ hai điểm đến điểm thứ ba Thật vậy, với bốn số không âm a, b, c, d ta ln ln có bất đẳng thức (a2 + b2 )(d2 + c2 ) ac + bd Nhân hai vế bất đẳng thức với cộng chúng với a2 + b2 + c2 + d2 ta suy bất đẳng thức 35 a2 + b2 + d + c2 (a + c)2 + (b + d)2 Với a = √ x3 − x1 , b = y3√− y1 , c = x2 − x3 , d = y2 − y3 ta nhận CA = a2 + b2 , BC = d2 + c2 AB = (a + c)2 + (b + d)2 bất đẳng thức CA + CB AB Dấu xảy ad = bc hay (x3 − x1 )(y2 − y3 ) = (x2 − x3 )(y3 − y1 ), tức điểm nêu nằm đường thẳng có phương trình (x3 − x)(y2 − y3 ) = (x2 − x3 )(y3 − y) Phép dời hình Mơ hình Carte phép biến đổi cho công thức x′ = ax + by + c a b x c x′ = + với hay ′ −b a y d y y ′ = −bx + ay + d số a b thỏa mãn a2 + b2 = Nếu đặt a = cos t, b = sin t ta có c x cos t sin t x′ Bằng chứng minh trực tiếp, + = d y − sin t cos t y′ phép dời hình lập thành nhóm nhân ánh xạ Cụ thể thấy: (i) Phép biến đổi đồng (x′ = x, y ′ = y) phép dời hình cos t x′ = ′ − sin t y x′ cos t′ sin t′ + y′ − sin t′ cos t′ (ii) Tích hai phép dời hình x” y” = x” y” = + cos(t′ + t) sin(t′ + t) − sin(t′ + t) cos(t′ + t) c cos t′ + d sin t′ + c′ −c sin t′ + d cos t′ + d′ cos t sin t x′ = ′ − sin t cos t y đảo phép dời hình x y (iii) Phép dời hình x y = sin t x c + cos t y d c′ phép dời hình d′ cos(−t) sin(−t) − sin(−t) cos(−t) x′ y′ + x y + c d có nghịch −c cos t + d sin t −c sin t − d cos t Ta chứng minh phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm Từ bất đẳng thức tam giác ta chứng minh rằng, phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng 36 Số đo góc - Tiên đề III2 Ta định nghĩa số đo góc độ Mơ hình Carte Đầu tiên ta giả thiết số đo góc bẹt 1800 Tiếp theo, xét góc với đỉnh hai cạnh nằm nửa mặt phẳng x > phương trình hai cạnh góc y = k1 x, y = k2 x, x > Khi số đo góc k2 180 α= π 180 dt = arctan k2 − arctan k1 + t2 π k1 Xét góc ABC tùy ý Giả sử ABC khác góc bẹt Phương trình cạnh AC: ax + by + c = Khơng làm tính tổng qt, ta giả thiết x′ = ax + by + c 2 biến đường a + b = Sử dụng phép biến đổi y ′ = −bx + ay + d ±x′ = x + h biến y′ = y + k đỉnh B góc gốc tọa độ,v.v Như vậy, với phép biến đổi thích hợp góc ABC có đỉnh B gốc tọa độ hai cạnh góc thuộc nửa mặt phẳng x > Bởi chuyển động lập thành nhóm nên biến đổi góc ABC qua chuyển động khác thành hai góc A1 OC1 A2 OC2 có phép chuyển động biến góc thành góc Chúng ta thấy, định nghĩa số đo góc qua cơng thức Điều có nghĩa, phải số đo hai góc A1 OC1 A2 OC2 luôn Thật vậy, giả sử y = k1 x y = k2 x với x > phương trình hai cạnh góc A1 OC1 , x′ = ax + by, y ′ = −bx + ay với a2 + b2 = phép dời hình biến góc A1 OC1 thành góc A2 OC2 Dễ dàng tính x = ax′ − by ′ , y = bx′ + ay ′ phương trình hai cạnh góc A2 OC2 : Từ k1 a − b bx′ + ay ′ = k1 x = k1 (ax′ − by ′ ) suy y ′ = k1′ x′ với k1′ = từ k1 b + a k2 a − b bx′ + ay ′ = k2 x = k2 (ax′ − by ′ ) suy y ′ = k2′ x′ với k2′ = Tính k2 b + a số đo hai góc: thẳng AC thành trục tung Oy phép biến đổi 180 (*) Số đo góc A1 OC1 α = π 180 (**) Số đo góc A2 OC2 α′ = π k2 dt k1 + t dt′ ′2 + t ′ k1 k2′ 37 dt′ dt ta − b ta có = suy α = α′ Với phép đổi biến t = ′2 tb + a 1+t 1+t Giả sử nửa đường thẳng y = kx, x > 0, nằm hai cạnh góc y = k1 x, y = k2 x Hai điểm A(1, k1 ) B(1, k2 ) thuộc hai cạnh góc nửa đường thẳng y = kx, x > cắt đoạn AB 180 k dt 180 k2 dt 180 k2 dt + = hai tích phân Bởi π k1 + t π k + t2 π k1 + t 180 k2 dt 180 k2 dt 180 k dt + = phía trái dấu nên π k1 + t2 π k + t2 π k1 + t Tóm lại, Tiên đề III2 thỏa mãn Mơ hình Carte ′ 38 Chương Hệ tiên đề xây dựng Hình học Việt Nam vài áp dụng Chúng ta sử dụng Hệ tiên đề Pogorelov làm chủ đạo cho việc biên soạn sách giáo khoa hình học chương trình cải cách giáo dục Việt Nam 3.1 Hệ tiên đề sách giáo khoa phổ thông A Hệ tiên đề hình học phẳng Hai hình bản: Điểm, đường thẳng Hai quan hệ bản: Điểm thuộc đường thẳng, điểm nằm hai điểm khác Hai số đo bản: Độ dài đoạn thẳng, số đo (độ) góc I Nhóm tiên đề liên thuộc I1 Mỗi đường thẳng có điểm thuộc đường thẳng có điểm khơng thuộc đường thẳng I2 Qua hai điểm phân biệt có đường thẳng II Nhóm tiên đề liên quan tới khái niệm nằm II1 Trong ba điểm thẳng hàng có điểm nằm hai điểm lại II2 Bất kì đường thẳng a nằm mặt phẳng bờ chung hai nửa mặt phẳng đối Đường thẳng a cắt đoạn thẳng có hai đầu nằm hai nửa mặt phẳng đối (và không nằm a), đường thẳng a không cắt đoạn thẳng có hai đầu nằm nửa mặt phẳng không nằm a 39 II3 Bất kì điểm O đường thẳng gốc chung hai tia đối Điểm O nằm hai điểm thuộc hai tia đối (và phân biệt với điểm O) III Nhóm tiên đề có liên quan đến khái niệm độ dài đoạn thẳng III1 Mỗi đoạn thẳng có độ dài xác định lớn III2 Nếu điểm M nằm hai điểm A, B M A + M B = AB III3 Với số m lớn nào, tia Ox xác định điểm M cho OM = m IV Nhóm tiên đề có liên quan đến khái niệm số đo góc IV1 Mỗi góc có số đo xác định lớn 0; số đo (độ) góc bẹt 1800 IV2 Nếu tia Oy nằm hai tia Ox, Oz xOy + yOz = xOz IV3 Với số m cho 00 < m < 1800 mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa tia Ox xác định tia Oy cho xOy = m0 V Tiên đề hai tam giác Nếu tam giác ABC, A′ B ′ C ′ có A = A′ , AB = A′ B ′ , AC = A′ C ′ hai tam giác Chú ý: Tiên đề tương đương với định nghĩa hai tam giác Pogorelov VI Tiên đề Euclid Cho điểm A nằm đường thẳng a Đường thẳng qua A song song với a đường thẳng B Hệ tiên đề hình học khơng gian Khái niệm giống hình học phẳng, ngồi cịn thêm khái niệm “mặt phẳng” Hình học không gian xây dựng dựa tiên đề sau • Có bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng • Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước 40 • Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng • Nếu hai mặt phẳng có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác • Trên mặt phẳng kết hình học phẳng • Mỗi đoạn thẳng khơng gian có độ dài xác định 3.2 3.2.1 Một vài áp dụng Tam giác vuông Mệnh đề 3.2.1 Tam giác vng ABC có độ dài cạnh a = BC, b = CA, c = AB BAC = 900 Hạ đường cao AH⊥BC Đặt h = AH diện tích tam giác S Khi ta có đồng thức (1) a2 = b2 + c2 [Pythagoras] (2) b2 = a.CH c2 = a.BH (3) a.h = b.c, h2 = BH.CH 1 = + h2 b2 c2 (4) 2S = a.h = b.c Hệ 3.2.2 Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d d′ Lấy A, B thuộc d C, D thuộc d′ Khi d⊥d′ AC + BD2 = AD2 + BC Chứng minh: Kết suy từ Định lý Pythagoras Hệ 3.2.3 [Steiner] Cho tam giác ABC Lấy A1 , B1 , C1 đường thẳng BC, CA, AB, tương ứng Dựng đường thẳng uA1 ⊥BC, vB1 ⊥CA tC1 ⊥AB Khi ba đường thẳng uA1 , vB1 , tC1 đồng quy điểm A1 C + B1 A2 + C1 B = A1 B + C1 A2 + B1 C Chứng minh: Kết suy từ Định lý Pythagoras Ví dụ 3.2.4 Tam giác ABC có A = 900 đường cao AH = h Giả sử M điểm tùy ý tam giác khoảng cách từ M đến BC, CA, AB x, y, z Xác định giá trị nhỏ tổng sau đây: T = x2 + y + z 41 Bài giải: Hạ M I⊥AH, I ∈ AH Vì y + z = M A2 nên ta có T = M A2 + x2 AI + x2 = (h − x)2 + x2 = 2x2 − 2hx + h2 h h2 + Vậy T = x − 2 điểm đường cao AH h2 h2 h Tmin = x = hay M trung 2 Ví dụ 3.2.5 Coi bốn xã bốn đỉnh hình vng ABCD với độ dài cạnh AB = 10 km Chứng minh rằng, xây mạng đường nối bốn xã với tổng độ dài nhỏ 28 km Bài giải: Gọi O tâm hình vng Lấy I, J trung điểm đoạn AO, BO, tương ứng Mạng đường nối bốn √xã AI, √ IJ, JB, ID, JC Tổng độ dài mạng đường d = + + 10 < 28, (đúng) 3.2.2 Hệ tọa độ Carte vng góc Trong mặt phẳng (P ), ta xét hai đưòng thẳng x′ x, y ′ y với x′ x⊥y ′ y O = x′ x × y ′ y Với điểm gốc O định hướng đường thẳng x′ x y ′ y để biến đường thành trục Khi ta có Hệ tọa độ Carte vng góc Oxy với gốc tọa độ O trục hoành x′ x, trục tung y ′ y Mặt phẳng (P ) với Hệ tọa độ Carte vng góc Oxy gọi đơn giản hệ tọa độ Oxy Mỗi điểm M thuộc trục x′ x gắn với số thực a ∈ R viết OM = a; Mỗi điểm N thuộc trục y ′ y gắn với số thực b ∈ R viết ON = b Đây số đo đại số Giả sử điểm A tùy ý thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy Hạ AM ⊥x′ x, M ∈ x′ x hạ AN ⊥y ′ y, N ∈ y ′ y Dễ dàng thấy rằng, điểm A thuộc mặt phẳng (P ) tương ứng - với cặp số thực (a, b), OM = a, ON = b Cặp số thực (a, b) gọi tọa độ điểm A viết A(a, b) Khoảng cách: Giả sử điểm A(x1 , y1 ) điểm B(x2 , y2 ) Theo Định lý Pythagoras, khoảng cách hai điểm A B hay độ dài đoạn AB AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 Chia đoạn theo tỷ số: Giả sử điểm A(x1 , y1 ) điểm B(x2 , y2 ) Ta IA γ2 xác định điểm I thuộc đoạn AB cho = Ta cần xét trường γ1 BI hợp AB không song song với trục tọa độ Hạ AA1 , IM, BB1 ⊥x′ x 42 Gọi I(x, y) Khi IA M A1 x1 − x γ2 = = = γ1 x − x2 BI B1 M γ x1 + γ x2 γ y1 + γ y2 Giải x = Tương tự, ta có y = γ1 + γ2 γ1 + γ2 γ x + γ x γ y + γ y2 , Vậy, tọa độ điểm chia I γ1 + γ2 γ1 + γ2 3.2.3 Định lý Stewart Tiếp theo, ta chứng minh Định lý Stewart sau Định lý 3.2.6 [Stewart] Với ba điểm tùy ý M, N, P thẳng hàng điểm I có đồng thức T = IM N P + IN P M + IP M N = −M N N P P M Chứng minh: Dựng hệ tọa độ Oxy cho M (0, 0), N (b, 0), P (c, 0) Giả sử I(x, y) Khi T = (x2 + y )(c − b) + [(x − b)2 + y ](−c) + [(x − c)2 + y ]b Dễ dàng suy T = bc(c − b) = −M N N P P M Hệ 3.2.7 Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c Gọi M trung điểm cạnh BC đặt ma = AM Gọi N chân đường phân giác AN góc A đặt ℓ = AN ; Gọi L chân đường phân giác ngồi AL góc A b = c đặt la = AL Khi ta có 2b2 + 2c2 − a2 (1) ma = bc[(b + c)2 − a2 ] (2) ℓa = (b + c)2 (3) la2 bc[a2 − (c − b)2 ] = (c − b)2 Chứng minh: (1) Khi M trung điểm BC AM = ma ta có 2b2 + 2c2 − a2 theo Định lý 3.2.6 ma = ac (2) Khi AN = ℓa phân giác góc Aˆ BN = b+c bc[(b + c)2 − a2 ] ab Theo Định lý 3.2.6 có ℓa = Thay hiệu CN = b+c (b + c)2 A 2bc cos b2 + c2 − a2 = 2bc cos A ℓa = b+c 43 ac (3) Khi b = c AL = la phân giác ngồi góc Aˆ BL = c−b 2 bc[a − (c − b) ] ab Theo Định lý 3.2.6 có la2 = CL = c−b (c − b)2 Hệ 3.2.8 [Steiner-Lehmus] Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c Giả sử ℓa , ℓb , ℓc độ dài đường phân giác ∆ABC Nếu ℓa = ℓb ∆ABC cân ca[(a + c)2 − b2 ] bc[(b + c)2 − a2 ] ℓb = Chứng minh: Ta biết = (b + c)2 (a + c)2 bc[(b + c)2 − a2 ] ca[(a + c)2 − b2 ] Nếu ℓa = ℓb = Ta có a = b hay (b + c)2 (a + c)2 ∆ABC cân ℓ2a Ví dụ 3.2.9 Cho tam giác ABC với độ dài cạnh a, b, c độ dài ba đường trung tuyến ma , mb , mc Chứng minh √ b+c A (1) bc cos > ma 2 A B C (2) ma mb mc abc cos cos cos 2 b2 + c2 + 2bc cos A 2b2 + 2c2 − a2 = ta suy Bài giải: (1) Từ = 4 √ b2 + c2 + 2bc cos A A 2 A hay ma < ma bc cos bc cos Lại có ma = 2 √ A b2 + c2 + 2bc b+c bc cos Vậy > ma 2 √ √ √ A B C (2) Vì ma bc cos , mb ca cos , mc bc cos nên 2 A B C có bất đẳng thức ma mb mc abc cos cos cos 2 m2a Ví dụ 3.2.10 Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c Giả sử , hb , hc , ℓa , ℓb , ℓc ma , mb , mc độ dài đường cao, đường phân giác đường trung tuyến ∆ABC Ta có bất đẳng thức (1) ma Dấu = xảy b = c √ √ √ ℓa bc ca ab ℓb ℓc (2) + + + + Dấu = xảy ma mb mc b+c c+a a+b a = b = c ℓa 44 Bài giải: (1) Hiển nhiên 4bc (b + c)2 − a2 ℓ2a ℓa Vì = ma (b + c)2 2(b2 + c2 ) − a2 4bc theo Chú ý 3.2.7 nên ℓa ma Hiển nhiên, dấu = xảy (b + c)2 b = c √ √ √ bc ℓb ca ℓc ab ℓa ℓb ℓc ℓa , , nên 2 + + (2) Bởi có m b√ + c mb c + a mc a+b ma mb mc √ √a bc ca ab + + Dấu = xảy a = b = c b+c c+a a+b Ví dụ 3.2.11 Cho ∆ABC với BC = a, CA = b, AB = c, bán kính đường trịn bàng tiếp , rb , rc Giả sử ℓa , ℓb , ℓc ma , mb , mc độ dài đường phân giác đường trung tuyến ∆ABC Khi a2 + b2 + c2 , = + + (1) 2 c + a ℓ2b a + b ℓ2c b + c ℓ2a + + = a+b+c bc ca ab m2a m2b m2c (2) ℓ2a + ℓ2b + ℓ2c (3) ra2 + rb2 + rc2 a+b+c m2a + m2b + m2c + (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 (4) ra2 + rb2 + rc2 + ℓ2a + ℓ2b + ℓ2c a+b+c m2a + m2b + m2c + Chú ý bất đẳng thức trở thành đẳng thức a = b = c Bài giải: (1) suy từ Hệ 3.2.7 (2) suy từ (1) a+b+c (3) Đặt x = p − a, y = p − b, z = p − c với p = Biến đổi yz zx xy ra2 + rb2 + rc2 = x + y + z + + x y z z z x x y y + y2 + + z2 + = xy + yz + zx + x2 + z y x z y x 2 xy + yz + zx + 2x + 2y + 2z a2 + b + c + a − b + b − c = + c−a 45 Do có (4) Ta có (a − b) m2a +m2b +m2c + bc[(b + c) − a2 ] bc 2 ℓa = = bc − a (b + c)2 ra2 +rb2 +rc2 2 + (b − c)2 + (c − a)2 a2 bc − b+c a2 + b2 + c2 Kết hợp với bất đẳng Như ℓ2a +ℓ2b +ℓ2c bc+ca+ab− a+b+c 2 2 2 2 thức (2) +rb +rc +ℓa +ℓb +ℓc ma +mb +mc + Ví dụ 3.2.12 Cho ∆ABC với diện tích S BC = a, CA = b, AB = c Giả sử , hb , hc ma , mb , mc độ dài đường cao đường trung tuyến ∆ABC Khi ta có bất đẳng thức (m2a + m2b + m2c )(h2a + h2b + h2c ) 27S Bài giải: Vì m2a + m2b + m2c = (a2 + b2 + c2 ) nên (m2a + m2b + m2c )(h2a + 3 (abc)2 3 (ha hb hc )2 = 27S h2b + h2c ) 46 Kết luận Luận văn Hệ tiên đề Pogorelov mơ hình Carte hình học Euclid trình bày lại số kết sau đây: Trình bày sơ lược nội dung phát triển Hình học Euclid Trình bày Hệ tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid Trình bày Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid Trình bày Hệ tiên đề Pogorelov mơ hình kiểm tra Carte Hình học Euclid Trình bày nội dung Hệ tiên đề xây dựng Hình học Việt Nam vài áp dụng 47 Tài liệu tham khảo [1] Đàm Văn Nhỉ, Văn Đức Chín, Đào Ngọc Dũng, Phạm Minh Phương, Trần Trung Tình, Nguyễn Anh Tuấn (2015), Hình học sơ cấp, NXB Thông tin truyền thông Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu, Đàm Văn Nhỉ (2012), Đồng thức phương pháp tọa độ hình học, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Đào Tam (2007), Giáo trình hình học sơ cấp, NXB ĐHSP Hà Nội [4] A Pogorelov (1987), Geometry, Mir Publishers Moscow ... quan hệ hệ tiên đề Hilbert hệ tiên đề Wayne Vì hệ tiên đề cho Hình học Euclid A Pogorelov đưa hình thành từ Hệ tiên đề Hilbert nên ta quan tâm đến mối liên hệ Hệ tiên đề Hilbert với Hệ tiên đề. .. Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid số kết thu Nhà Toán học nhà Sư phạm A Pogorelov 22 Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học phẳng Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid gồm khái niệm 12 tiên. .. xây dựng hệ tiên đề Ở Mục 1.4 đưa vài ý kiến riêng mối quan hệ hai hệ tiên đề việc sử dụng Hệ tiên đề Wayne để xây dựng hình học Euclid vài nước Chương Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid