Tìm vị trí của M trên C để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó.. Tìm tọa độ đỉnh C..[r]
(1)WWW.VNMATH.COM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 199 ) PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 ®iÓm) y x 1 x 1 C©u I (2 ®iÓm) Cho hµm sè Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm trên (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ C©u II (2 ®iÓm) x1 y 4 x6 y 4 6 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2(cos x sin x) cot x Gi¶i ph¬ng tr×nh: tan x cot x C©u III (1 ®iÓm) Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (C) tâm O đờng kính AB = 2R.Trên đờng thẳng vuông 2R gãc víi (P) t¹i O lÊy ®iÓm S cho OS = R I lµ ®iÓm thuéc ®o¹n OS víi SI = M lµ mét điểm thuộc (C) H là hình chiếu I trên SM Tìm vị trí M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn đó C©u IV (1 ®iÓm) dx 1 x 1 x TÝnh tÝch ph©n: I = 1 C©u V (1 ®iÓm) Cho x, y, z lµ sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng 1 1 x y 1 y z 1 z x 1 Phần riêng (3,0 điểm).Thí sinh đợc làm hai phần (phần A B) A.Theo ch¬ng tr×nh ChuÈn C©u VI.a (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch và trọng tâm thuộc đờng thẳng : 3x – y – = Tìm tọa độ đỉnh C Câu VII.a (1 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đôi khác ( chữ số đầu tiên phải khác 0) đó phải có chữ số log Câu VIII.a (1 điểm) Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm: B.Theo ch¬ng tr×nh N©ng cao x log (ax a ) 3 x2 y 1 C©u VI.b (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho elip (E): và đờng thẳng :3x + 4y =12 Từ điểm M bất kì trên kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB Chứng minh đờng thẳng AB luôn qua điểm cố định y x2 4x x2 có đồ thị (C).Giả sử đờng thẳng y = kx + cắt (C) C©u VII.b (1 ®iÓm) Cho hµm sè điểm phân biệt A, B Tìm tập hợp trung điểm I AB k thay đổi C©u VIII.b (1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 log2 x h x 31 - log2 x 1 x (2) WWW.VNMATH.COM đáp án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 199 ) C©u §¸p ¸n §iÓ m (1,0 ®iÓm) T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm Gäi M(x0;y0) lµ mét ®iÓm thuéc (C), (x0 - 1) th× y0 x0 1 x0 0,25 Gäi A, B lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña M trªn TC§ vµ TCN th× 0,25 x0 1 MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | x0 - 2| = | x0 | 0,25 0,25 x 1 Theo Cauchy th× MA + MB x0 =2 MA + MB nhá nhÊt b»ng x0 = hoÆc x0 = -2.Nh vËy ta cã hai ®iÓm cÇn t×m lµ (0;1) vµ (-2;3) II 1.(1,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ §iÒu kiÖn: x -1, y 1 (2,0 ®iÓm) Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ x1 x 6 y y 4 10 x6 x1 y4 y 2 y 1 y x 1 x §Æt u= ,v= u v 10 5 u 5 2 v 5 u v sin x cos x cos x sin x cosx = 0,25 0,25 yx53 lµ nghiÖm cña hÖ 2(cos x sin x ) cos x 1 sin x k 2 x= T×m vÞ trÝ 0,25 0,25 k 2 §èi chiÕu ®iÒu kiÖn pt cã hä nghiÖm x = III 0,25 Ta cã hÖ (1,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh §iÒu kiÖn:sinx.cosx 0 vµ cotx 1 Phơng trình tơng đơng 0,25 0,25 0,25 (3) WWW.VNMATH.COM (1,0 ®iÓm) S H 0,25 I O B A M 2R Tø gi¸c IHMO néi tiÕp nªn SH.SM = SI.SO mµ OS = R , SI = , 2 SM = SO OM 2 R SH = R hay H lµ trung ®iÓm cña SM Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H lªn mp(MAB) th× HK = SO= R , (kh«ng 0,25 0,5 đổi) VBAHM lín nhÊt dt( MAB) lín nhÊt M lµ ®iÓm gi÷a cña cung AB 3 R Khi đó VBAHM= (®vtt) IV TÝnh tÝch ph©n (1,0 ®iÓm) 2 2 §Æt u = x+ x th× u - x= x x 2ux u 1 x u2 1 x dx du 2u 2 u §æi cËn x= - th× u = -1 x = th× u = 1 1 du 1 du 1 du u2 I u u 2 (1 u )u 2 21 C©u V (1,0 ®iÓm) 1 du 1 u 21 1 u +1 0,25 0,25 0,25 0,25 1 du u u 1 2 = =1 3 §Æt x=a y=b z=c3 th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã 0,25 a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, a+b>0 vµ a2+b2-ab ab a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0 1 1 3 3 a b 1 ab a b c T¬ng tù ta cã b c bc a b c , 1 3 c a ca a b c 0,5 Céng theo vÕ ta cã 1 1 1 3 3 x y 1 y z 1 z x 1 = a b 1 + b c + c a 0,25 (4) WWW.VNMATH.COM 1 1 c a b 1 a b c ab bc ca = a b c DÊu b»ng x¶y x=y=z=1 VI a Tìm tọa độ (1,0 ®iÓm) 5 ; Ta cã: AB = , M = ( 2 ), pt AB: x – y – = 3 S ABC = d(C, AB).AB = d(C, AB)= 0,25 Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)= t (3t 8) d(G, AB)= = t = hoÆc t = G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2) CM 3GM C = (-2; 10) hoÆc C = (1; -4) Mµ 0,5 0,25 VII a Tõ c¸c ch÷ sè (1,0 ®iÓm) Gäi sè cã ch÷ sè lµ abcdef NÕu a = th× cã c¸ch chän b, c¸ch chän c, c¸ch chän d, c¸ch chän e, c¸ch chän f ë ®©y cã 7.6.5.4.3 = 2520sè NÕu b = th× cã c¸ch chän a, c¸ch chän c, c¸ch chän d, c¸ch chän e, c¸ch chän f ë ®©y cã 6.6.5.4.3 = 2160sè T¬ng tù víi c, d, e, f VËy tÊt c¶ cã 2520+5.2160 = 13320 sè VIII a Tìm a để (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn: ax + a > Bpt tơng đơng x a ( x 1) NÕu a>0 th× x +1 >0.Ta cã NÕu a<0 th× x +1 <0.Ta cã x2 1 a x 1 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 x2 1 x2 1 a x 1 XÐt hµm sè y = x víi x - 0,25 0,25 x y’ = ( x 1) 2 x =0 x=1 a> hoÆc a < - VI b Chøng minh (1,0 ®iÓm) Gäi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2) xx1 yy1 1 TiÕp tuyÕn ®i qua M nªn x0 x1 y0 y1 1 TiÕp tuyÕn t¹i A cã d¹ng (1)Ta thấy tọa độ A và B thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt xx0 yy0 1 M thuéc nªn 3x0 + 4y0 =12 4y0 =12-3x0 xx0 yy0 xx0 y (12 x0 ) 4 4 3 Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB x y 0 y 1 y 40 x1 qua víi mäi M th×(x- y)x0 + 4y – = Vậy AB luôn qua điểm cố định F(1;1) 0,25 0,5 (5) WWW.VNMATH.COM VII b T×m tËp hîp (1,0 ®iÓm) x2 4x x2 x y x Ta cã pt x = kx + cã nghiÖm ph©n biÖt y = kx + c¾t (C): k 1 ;Trung điểm I AB có tọa độ thỏa mãn x2k 3 2k y kx 1 x2 5x y x ;Vậy quĩ tích cần tìm là đờng cong Gi¶i ph¬ng tr×nh VIII b (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn : x>0 §Æt 1 log2 x =u, 3 log2 x v 2 0,25 2x2 5x 2x 0,25 ta cã pt u +uv = + u v (uv2-1)(u – 1) = u 21 uv 1 x =1 y 0,25 0,5 0,5 0,25 (6)