Ví Dụ 5: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm vật M có khối lượng 400g và lò xo có hệ số cứng 40N/m đang dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng với biên độ 5cm.. Biết tốc độ chuyển [r]
(1)TAØI LIEÄU OÂN THI TN & ÑH 2010-2011 PHẦN : DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA Dạng 1: Viết PTDĐ: PTDĐ có dạng : x = A cos ( t ) Tìm các đại lượng cần thiết: A, , k 2 t + Tìm tần số góc : = 2 f = T = m Hoặc T = N ( t : Thời gian dao động , N : số lần dđ ) d l max l v2 a2 v2 2 + Tìm biên độ : A2 = x2 + = (lấy A dương) A = = ( d : chiều dài quỹ đạo ) v kA m A v max A A max 2 E = + Dựa vào gốc thời gian (t = 0) và vị trí vật thời điểm đó ( VTCB: x = ; nơi thả vật x = A tuỳ theo chiều dương) giải nghiệm : và loại nghiệm theo v ( v> thì và ngược lại ) g l với l : độ biến dạng lò xo Lưu ý : CLLX có thể dùng CT : Khi kéo vật đoạn x thả nhẹ ( không vt đầu ) đó A = x CLLX treo thẳng đứng kéo vật từ vị trí lò xo không biến dạng : x d k l l m.g k ) ( với Lực tổng hợp tác dụng lên vật dđđh (gọi là lực hồi phục, lực kéo ): F = -k.x = - m x ; Fmax = m2A Dđđh đổi chiều lực hồi phục đạt giá trị cực đại Khi x = A chuCLLX kỳ vật gồm dđđhmột đườngkhông 4A Vật dđđh chiều 2A đầu treo VíTrong Dụ 1một : Một lò xoquãng khối lượng đáng kể có k =khoảng 40N/mcó đầu dài cố định, vật có khối lượng m = 400g Kéo vật 6cm từ VTCB và thả nhẹ cho vật dao động Viết PTDĐ vật chọn chiều dương từ trên hướng xuống, gốc tọa độ VTCB: - Gốc thời gian lúc thả vật - Gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân theo chiều âm - Gốc thời gian lúc vật qua li độ x = cm theo chiều dương Hướng dẫn giải : k 40 v2 10 m 0.4 Tốc độ góc : rad/s Biên độ : x = 6cm, v = A2 = x2 + A = 6cm gốc thời gian lúc thả vật : t= 0, x = 6cm thay vao pt : = cos cos 1 PTDĐ : x 6 cos10t cm gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân theo chiều âm : t = 0, x = => thay vao pt : = cos => cos 0 ; v 0( ) x 6 cos(10t ) cm 2 =>PTDĐ : gốc thời gian lúc vật qua li độ x = cm theo chiều dương : t = 0, x = cm => thay vao pt : = cos cos ; v 0( ) x 6 cos(10t ) cm 4 =>PTDĐ : => Ví Dụ : Một lắc lò xo có khối lượng m = 400g và độ cứng k = 40N/m Vật có lượng là W = 0.032 J a) Viết phương trình dao động vật nặng Chọn gốc thời gian lúc vật qua biên âm b) Viết phương trình dao động vật nặng Chọn gốc thời gian lúc vật có li độ cm và tăng Hướng dẫn giải : k 40 2.W 2.0,032 10 kA A m 0.4 k 40 Tốc độ góc : rad/s Biên độ : E = 0,04 m = cm cos cos => - Chọn gốc thời gian lúc vật qua biên âm : t= 0, x = - A thay vao pt : -A = A ptdđ : x 4 cos(10t ) cm x 4 cos(10t ) cm Chọn gốc thời gian lúc vật có li độ cm và tăng : t = 0, x = 2, v > ( ): Ví Dụ 3: Một vật dao động điều hoà, li độ x và x2 vật có tốc độ là v và Chứng minh biên độ dao v12 x 22 v22 x12 v12 v 22 động vật bằng: (2) Hướng dẫn giải : 2 2 v (A x12 ) v12 A x12 v12 x 22 v 22 x12 2 2 2 2 2 2 2 A v v x A v v x A (v v ) v x v x A 1 2 1 2 v12 v 22 v 2 (A x 22 ) v 22 A x 22 Ví Dụ 4: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = 3,14s Xác định pha dao động vật nó qua vị trí x = 2cm với vận tốc v = 0,04m/s Hướng dẫn giải : 2 2.3,14 3,14 =2rad/s ; A = 2 ; t = 0, x = 2cm , v = 0,04m/s >0 (t ) = ω= T Ví Dụ 5: Vật có khối lượng M= 160g gắn vào lò xo có độ cứng k =64N/m M đặt thẳng đứng Người ta đặt thêm lên vật m gia trọng m = 90g Gia trọng m tiếp k xúc với vật theo mặt phẳng ngang Kích thích cho hệ dao động điều hòa theo phương thẳng đứng Để gia trọng m không rời khỏi vật quá trình dao động thì biên độ dao động A hệ phải là bao nhiêu ? Hướng dẫn giải : g mM A g 0, 0390625 m a g A g = k Để m không rời M suốt quá trình dao động thì : max Dạng 2: Tìm vận tốc , gia tốc vật dđđh : Phương trình vt : v = - A sin ( t ) + v đạt cực đại sin( t ) = 1 vmax = A x = ( vật vị trí cân ) + v = x = A ( vật vị trí biên ) 2 2 + v A x ( biểu thức độc lập thời gian ) Phương trình gia tốc: a = v’ = x” = - A cos ( t ) a a đạt cực đại cos ( t ) = 1 max = A Lưu ý : - Khi a.v > vật chuyển động nhanh dần - Khi a.v < vật chuyển động chậm dần - Vật m chuyển động với vận tốc v0 đến va chạm vào vật M đứng yên : Va chạm đàn hồi: Áp dụng ĐLBT động lượng và lượng ( dạng động vì mp ngang Wt = ) 2.m m M V v0 v v0 2 mM mM Từ m.v0 m.v M V và m.v0 m.v M V và m m.v0 ( m M ).v ' v ' v0 m M Va chạm mềm ( sau va chạm hai vật dính vào cđ cùng vận tốc ) : Ví Dụ 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 6cos(4 t)cm, Tìm : - vận tốc vật thời điểm t = 7,5s - gia tốc vật thời điểm t = 5s Hướng dẫn giải : Từ x = 6cos(4 t)cm ta có : v = x’ = - 24 sin(4 t)cm/s Thay t = 7,5s vào ta v = Từ x = 6cos(4 t)cm ta có : a = x” = - 96 2cos(4 t)cm/s2 Thay t = 5s vào ta a = - 947,5cm/s2 Ví Dụ 2: Phương trình dao động vật là x = 8cos(4t - ), với x tính cm, t tính s a) Viết phương trình vận tốc và gia tốc dao động b) Xác định tốc độ cực đại và gia tốc cực đại vật c) Xác định li độ, vận tốc và gia tốc vật t = 0,25s d) Xác định vận tốc và gia tốc vật ly độ x= cm Hướng dẫn giải : a ) phương trình vận tốc : v A sin(t ) = - 32 sin(4t - ) cm/s 2 a A cos( t ) - phương trình gia tốc : = - 128 cos(4t - ) cm/s2 2 - gia tốc cực đại : amax A = - 128 cm/s2 c) Thay t = 0,25s vào pt vận tốc : v = - 32 sin(4.0,25 - ) =16 3 cm/s Thay t = 0,25s vào pt gia tốc 2 : a = - 128 cos(4.0,25 - ) cm/s2 = - 64 m/s2 d ) Áp dụng công thức độc lập thời gian : b - tốc độ cực đại : vmax = A = -32 cm/s (3) 2 2 2 vận tốc : v A x = 16 ( 82 – 62 ) = 448 cm/s => v = 8 cm/s 2 Gia tốc : a x = -16 = -96 cm/s2 Ví Dụ 3: Một lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 20 N/m và viên bi có khối lượng 0,2 kg dao động điều hòa Tại thời điểm t, vận tốc và gia tốc viên bi là 20 cm/s và m/s2 Biên độ dao động viên bi là Hướng dẫn giải : v2 a2 v2 m2 a2 mv2 0, 0412 0, 2.0, 04 A x 0 , 04m k k 400 20 Ví Dụ 4: Một lò xo có độ cứng k = 16N/m có đầu giữ cố định còn đầu gắn vào cầu khối lượng M =240 g đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang Một viên bi khối lượng m = 10 g bay với vận tốc vo = 10m/s theo phương ngang đến gắn vào cầu và sau đó cầu cùng viên bi dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang Bỏ qua ma sát và sức cản không khí Biên độ dao động hệ là Hướng dẫn giải : Va cham mềm nên động lượng hệ vật ( M và m) bảo toàn: mv0 = (m+M) V mv0 0, 01.10 0,1 0, 4m / s 40cm / s ( m M ) 0, 01 0, 240 0, 25 Suy vận tốc hệ vật lúc va chạm: v = k 16 8rad / s ( m M ) (0, 01 0, 24) Hệ vật dao động với tần số góc = v2 v 40 A2 x 02 100 16 Vì hệ nằm ngang nên biên độ dao động tính theo công thức: Vậy biên độ dao động: A = 10cm Ví Dụ 5: Một lắc lò xo đặt nằm ngang gồm vật M có khối lượng 400g và lò xo có hệ số cứng 40N/m dao động điều hòa xung quanh vị trí cân với biên độ 5cm Khi M qua vị trí cân người ta thả nhẹ vật m có khối lượng 100g lên M (m dính chặt vào M), sau đó hệ m và M dao động với biên độ Hướng dẫn giải : k Vận tốc M qua VTCB: v = ωA = m A = 10.5 = 50cm/s Mv 0, 4.50 0,5 = 40cm/s Vận tốc hai vật sau m dính vào M: v’ = M m Mm 0,5 1 kA '2 (M m)v '2 k =40 40 = 5cm Cơ hệ m dính vào M: W = = ==> A’ = v’ Ví Dụ 6: Một lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang với chu kỳ T = 2π (s), cầu nhỏ có khối lượng m1 Khi lò xo có độ dài cực đại và vật m1 có gia tốc là – 2(cm/s2) thì vật có khối lượng m2 (m1 = 2m2 ) chuyển động dọc theo trục lò xo đến va chạm đàn hồi xuyên tâm với vật m 1, có hướng làm lò xo nén lại Biết tốc độ chuyển động vật m2 trước lúc va chạm là 3 (cm/s) Quãng đường mà vật m1 từ lúc va chạm đến vật m1 đổi chiều chuyển động là Hướng dẫn giải : amax 2cm Lúc đầu biên độ dao động vật m1 : A1 = Vì va chạm là xuyên tâm nên ĐL BT Động lượng và lượng: m2 v02 m1v1 v2 m2 => v02 2v1 v2 (1) 1 m2 v02 m1v12 m2 v22 2 2 2 => v02 2v1 v2 (2) Từ (1) và (2) ta tính : A2 x v2 (2 3) 2 4cm 2 12 Sau va chạm biên độ dao động vật m1 lúc sau A2 : Vậy Quãng đường mà vật m1 từ lúc va chạm đến vật m1 đổi chiều chuyển động là: S= A1 + A2 = + = cm v1 2 3m / s (4) Dạng 3: Tìm lượng, động và : 1 + Động : Wđ = mv2 = m2A2sin2(t+) 1 + Thế năng: Wt = kx = k A2cos2(t + ) 2 kx mv kA m A 2 2 2 Áp dụng: W = Wt + Wđ = = ( k m ) Lưu ý : v = x = A ( vật vị trí biên ) Khi đó Eđ = => Et = E ( Etmax ) Vmax x = ( vật vị trí CB ) Khi đó Et = => Eđ = E ( Eđmax ) T Động và dao động điều hòa với tần số góc ’ = 2, tần số f’ = 2f và chu kì T’ = Trong công thức tính lực và lượng đơn vị chiều dài là m, đơn vị khối lượng là kg T Đông và sau khoảng thời gian t = Ví Dụ :Một lắc lò xo gồm nặng khối lượng 100g, lò xo có độ cứng 100N/m, khối lượng không đáng kể treo thẳng đứng Cho lắc dao động với biên độ 5cm Lấy g = 10m/s2; 2 = 10 a) Tìm lượng dao động vật và động vật có ly độ x = cm b) Tìm ly độ vật vật có động và vận tốc, gia tốc vật đó c) Tìm vận tốc vật vật có động lần Hướng dẫn giải : k A2 a ) Cơ vật : W = = 0,5.100.0,052 = 0,125 J áp dụng : W = Wt + Wđ => Wđ = W – Wt = 0,5.100.(0,052 – 0,032 ) = 0,08 J A x k A2 = 2,5 cm 2x2 = A2 b ) x = ? ( Wđ = Wt ) : W = Wt + Wđ = Wt + Wt = 2.Wt = v A2 x 2 = 111 cm/s gia tốc vật : a x = 2500 cm/s2 m. A2 v = 137 cm/s 3 c ) W = Wt + Wđ = Wđ + Wđ = Wđ = Ví Dụ :Một lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là 50 g Con lắc dao động điều hòa theo phương trình: x = Acost Cứ sau khoảng thời gian 0,05 s thì động và vật lại Lấy 2 = 10 Tính k Hướng dẫn giải : Trong chu kỳ có lần động và đó khoảng thời gian liên tiếp hai lần động T 2 và là T = 4.0,05 = 0,2 (s); = T = 10 rad/s; k = 2m = 50 N/m Ví Dụ :Con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng m = 400 g và lò xo có độ cứng k Kích thích cho vật dao động điều hòa với W = 25 mJ Khi vật qua li độ - cm thì vật có vận tốc - 25 cm/s Xác định độ cứng lò xo và biên độ dao động Hướng dẫn giải : 1 1 v2 W − mv mv 2 2 Ta có: W = kA = k(x + k(x + )= (kx + mv ) k= = 250 ) = 2 2 k ω x N/m Ví Dụ : Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình x = 2cos10 t(cm) Khi động ba lần thì chất điểm vị trí Hướng dẫn giải : Từ phương trình x = 2cos10 t(cm) ta suy biên độ A = 2cm Cơ dao động điều hoà E = E đ + Et, theo 1 E t kx E kA 2 bài Eđ = 3Et suy E = 4Et, áp dụng công thức tính và công thức tính →x = ± A/2 = ± 1cm vận tốc vật : (5) Dạng 4: Tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số : Một vật thực đồng thời hai dao động: x1 = A1 cos ( t ) v x2 = A2 cos ( t ) => Biên độ A: A = A12 A22 A1 A2 cos( ) tg Pha ban đầu: A1 sin 1 A2 sin A1 cos 1 A2 cos x = x1 + x2 = A sin ( t ) có: ( Nếu A1 = A2 thì 1 2 ) 1 2 hai dđ vuông pha => A = A1 A2 Lưu ý : + Khi A A2 + Khi 1 (2k 1). hai dđ ngược pha => A = A A2 + Khi 1 2k hai dđ cùng pha => A = A A A A A 2 + trường hợp : Ngoài có thể sử dụng máy tính bỏ túi : xem chuyên đề phần sau Ví Dụ :Một vật tham gia đồng thời hai dao động cùng phương , có các phương trình dao động thành phần : p p x1 = 8cos(10t - )(cm) x2 = 8cos(10t + )(cm) 3 và a ) Viết phương trình dao động tổng hợp b ) Tìm tốc độ cực đại vật Hướng dẫn giải : a ) ptdđ có dạng : x A cos(t ) 2 1 2 = => x 8cos10t cm A A A1 A2 cos( ) A= = cm Vì A1 = A2 nên b ) tốc độ cực đại : vmax = A = 80 cm/s Ví Dụ :Một vật thực đồng thời dao động điều hòa cùng phương và cùng tần số có các phương trình:x1 = 3sin(t + ) cm; x2 = 3cost (cm);x3 = 2sin(t + ) cm; x4 = 2cost (cm) a ) Hãy xác định phương trình dao động tổng hợp vật b ) Xác định dao động biết vật có khối lượng m = 100 g ( 10 ) Hướng dẫn giải : x 5 cos( t ) cm a ) dùng máy tính ta viết : m. A2 b )cơ dao động : W = = 0,5.0,1.10.( ( 0, 05 2) = 2,5 mJ Ví Dụ :Một vật thực đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, theo các phương trình: x1 = cos( t + ) (cm) và x2 = √ sin( t) (cm) tìm góc để biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải : cos(t ) 2 √3 và A = A1 A2 A1 A2 cos( ) để Amin hai dao động ngược Ta có : x2 = sin( t) = 3 và pha : giải hai nghiệm : (6)