3 Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động... HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC..[r]
(1)P GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC Đề chính thức KỲ THI ………… Năm học 2011- 2012 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Số báo danh Câu I (4,0 điểm) A x x x 6 x x 1 x 3 x Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A Câu III (4,0 điểm) a, Cho phương trình bậc hai : x 2+ mx + n + = (x là ẩn; m, n là tham số) có hai nghiệm nguyên dương Chứng minh rằng: m2+n2 là hợp số b, Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = và xy > 1 M x y Tìm giá trị lớn biểu thức : Câu II (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x x 10 x x 1 1 1 x x 4 y y x x x 4 y y y3 2) Giải hệ phương trình: Câu IV (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( O AB ) P là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( P A, B và P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) A Đường tròn tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) B Hai đường tròn (C) và (D) cắt N ( N P ) 1) Chứng minh ANP BNP 2, Chứng minh bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên đường tròn 3) Chứng minh đường trung trực đoạn ON luôn qua điểm cố định P di động Câu V (2,0 điểm) 2 2 2 Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a b b c c a 2k (với k là số thực dương) a2 b2 c2 k Chứng minh rằng: b c c a a b HẾT (2) GD & ĐT BT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN THI: TOÁN (3) Câu Ý Câu I 4đ a) 1đ Hướng dẫn chấm Điều kiện : x 0; x 4; x 9 A b,3đ Điểm = = = = x x x 6 x x x 9 x 0,5 x x 1 x 3 x x 3 0,5 x x 1 x x x x 1 x x x x x x 3 x x x 0,5 x 3 x 1 0,5 x x 2x x x x 2 x x 1 x (4) Câu II 4đ a) 2đ 0,5 Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình, vì phương trình luôn có hai nghiệm nguyên dương nên theo định lí vi-ét ta có: x1+x2=-m; x1x2=n+1 Ta có: m2+n2=[-(x1+x2)]2+(x1x2-1)2 =(x12+x22+2x1x2)+(x12x22-2x1x2+1) =x12+x22+x12x22+1 =(x12+1)(x22+1) m2+n2 là hợp số b) 2đ 1 M x y Tìm giá trị lớn biểu thức : Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + + x + y + = (x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = (x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = (*) Vì x 2 1 – x 1 y 1 y 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 = x 1 y 1 y 1 Nên (*) x + y + = x + y = - 1 x y 2 Ta có : M x y xy xy vì x y 4 xy 4 xy 1) 2đ 0,25 Đk: x 1 Phương trình tương đương với 0,25 0,25 2 1 xy xy Vậy MaxM = -2 x = y = -1 Câu III 4đ 025 0,5 x2 x x2 10 x 10 x 0 x2 x x x 1 x 2x 10 2 t , t2 t 0 t t x ta phương trình Đặt 2x2 t , ta x (vô nghiệm) Với 2x2 t , x ta x suy Với 0,5 0,5 0,5 (5) 2) 2đ x y x y 4 x3 x x 4 y3 y y y Đk: Hệ tương đương với u x y u u 2v 4 u 4u 0 u 2 x v , y u u 2v v 1 Đặt ta hệ u 2uv 4 u 2 Với v 1, ta x y 2 x 1 y 0,5 0,75 0,5 x 1 y 1 (thoả mãn điều kiện) 1,0 Câu IV 4,0đ Gọi Q là giao điểm các tiếp tuyến 1) chung (O) với (C), (D) A, B 2,0đ tương ứng … … … 2) 2đ Suy ANP QAP QBP BNP Ta có ANB ANP BNP QAP QBP 0,5 1800 AQB , suy NAQB nội tiếp (1) Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) Từ (1) và (2) suy điểm O, N, A, Q, B cùng nằm trên đường tròn Suy các điểm O, N, A, B cùng nằm trên đường tròn Ta có OCN 2OAN 2OBN ODN , suy bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên đường tròn 3) Gọi E là trung điểm OQ, 2,0đ suy E cố định và E là tâm đường tròn qua các điểm N, O, D, C Suy đường trung trực ON luôn qua điểm E cố định Câu V 1,0 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 (6) 2đ 2 2) Ta có 2(a b ) (a b) 2,0đ a2 b2 c2 a2 b2 c2 b c c a a b b2 c2 c2 a2 c2 a2 Suy 0,5 2 2 2 Đặt x b c , y c a , z a b , suy x y z k y z x2 z x2 y x2 y z VT 2 x 2 y 2z suy 1,0 ( z x) ( x y)2 ( y z)2 x y z 2 2x 2y 2z ( z x) ( x y)2 ( y z)2 x x y y z z 2 2x 2y 2z 2( y z ) x 2( z x) y 2( x y z 2 1 k VT ( x y z) 2k 2 2 Suy = 0,5 Hình vẽ bài N H O C A P E D B (7)