De thi hoc sinh gioi

TÝnh b Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km để đi đến C ba địa điểm A, B, C ở cùng trên một đờng thẳng.. Tính quãng đờng mỗi ngời đã đi.[r]

3 ()( ) ()( ) C©u ( ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh :a- 2 ( )2003 − −1 2 − 12 1 − − − +1 :(− −1) b3 3 [( ) ( ) ] Câu ( điểm) b; Tìm số nguyên a để a +a+3 là số nguyên a+1 a- T×m sè nguyªn x,y cho x - 2xy + y = C©u ( ®iÓm)a) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: a+ b+c +d = a+2 b+ c+ d = a+ b+2 c+ d = a+b+ c+2 d a b c d a+b b+c c +d d +a M= + + + c+ d d +a a+b b+c TÝnh b) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C cùng trên đờng thẳng) Vận tốc ngời từ A là 20 km/h Vận tốc ngời từ B là 24 km/h Tính quãng đờng ngời đã Biết họ đến C cùng lúc Câu ( điểm) b) Cho tam giác ABC có góc B 45 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lÊy ®iÓm D cho CD = 2CB TÝnh gãc ADE A; Cho tam giác ABC có góc A 900 Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC) Tia phân giác góc HAC cắt cạnh BC điểm D và tia phân giác góc HAB cắt cạnh BC điểm E Chứng minh AB + AC = BC + DE Câu ( điểm ) Chứng minh rằng: 1 1      3 2004 40 163.310  120.69 12 11 vµ 520 b) TÝnh : A =  C©u 1(3®iÓm): a) So s¸nh hai sè : 330 C©u 2(2®iÓm): Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c vµ x2 = yz , y2 = xz , z = xy Chøng minh r»ng: x = y = z C©u 3(4®iÓm):: x x x x    a) T×m x biÕt : 2009 2008 2007 2006 b) Cho hai đại lợng tỉ lệ nghịch x và y ; x1, x là hai giá trị bất kì x; y1, y2 là hai gi¸ trÞ t¬ng øng cña y.TÝnh y1, y2 biÕt y12+ y22 = 52 vµ x1=2 , x 2= C©u 4(2®iÓm):: Cho hµm sè : f(x) = a.x2 + b.x + c víi a, b, c, d Z Biết f (1)3; f (0)3; f ( 1)3 Chứng minh a, b, c chia hết cho C©u 5(3®iÓm):: Cho ®a thøc A(x) = x + x2 + x3 + + x99 + x100 a) Chøng minh r»ng x=-1 lµ nghiÖm cñ A(x) b)TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc A(x) t¹i x = Câu 6(6điểm):: Cho tam giác ABC cân đỉnh A , trên cạnh BC lần lợt lấy hai điểm M và N cho BM = MN = NC Gäi H lµ trung ®iÓm cña BC a) Chøng minh AM = AN vµ AH  BC b) Tính độ dài đoạn thẳng AM AB = 5cm , BC = 6cm c) Chøng minh MAN > BAM = CAN §¸p ¸n 2.a v× a lµ sè nguyªn nªn a2 +a+3 lµ sè 0,25 a2 +a+3 = a(a+ 1)+3 =a+ 0,25 a+1 a+1 a+1 a+1 nguyên là số nguyên hay a+1 là ớc đó ta có bảng sau : a+1 0,25 Ta cã : a+1 a -3 -4 -1 -2 a2 +a+3 a+1 VËy víi a { − 4,− 2,0,2 } th× lµ sè nguyªn Từ d·y tØ sè b»ng nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d  1  1  1 1 a b c d suy : a b c d a b c d a b c d a b c d    a b c d Nếu a + b + c+ d ≠ thì a = b = c= d  Q = + 1+ 1+ = Nếu a + b + c + d = thì a + b = - ( c + d) b + c = - ( a + d) c + d = - ( a + b ); a + d = - ( b + c ) Lúc đó Q = ( -1) + (- 1) + ( -1) + ( -1) = -4 Gọi quãng đường hai người là a và b + TH : C nằm hai điểm A và B Lập luận 3.b a b a b 11     20 24 20  24 44 => a = 5; b = + TH2: C không nằm hai điểm A và B - Lập luận B không nằm a b b a 11 11     A và C 20 24 24  20 4 => a = 55; b = 66 Tõ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên đó ta có các trờng hợp sau : ¿ −2 y=1 x −1=− ⇒ ¿ x=0 y=0 ¿{ ¿ HoÆc ¿ 1− y =−1 x −1=1 ⇒ ¿ x=1 y=1 ¿{ ¿ VËy cã cÆp sè x, y nh trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi A H B C D Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 đó CDH = 300 Nªn CH = CD ⇒ CH = BC Tam gi¸c BCH c©n t¹i C ⇒ CBH = 300 ⇒ ABH = 150 Mµ BAH = 150 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H Do đó tam giác AHD vuông cân H Vậy ADB = 450+300=750 4b A 025 AB + AC = BC + DE T¬ng tù AB =BD 1 1 1 1         3 2004 Ta cã A< 4.5.6 5.6.7 6.7.8 2003.2004.2005 A= 1 1 1        2003.2004 2004.2005 A< ( 4.5 5.6 6.5 A 1 1 1     4.5 2004.2005 4.5 40 10   a )330   3 10   2710 ;520      2   3.2.5.2  2.3 b) P    2    2.3 10 12 11 < 2510  2710  330  520 12 10 212.310  310.212.5    6.212.310 4.211.311  12 12 11 11  11 11     3  2.3  1 7.211.311 7.211.311 x z y x z y x y z  ;  ;     y z x ¸p dông V× x, y, z lµ c¸c sè kh¸c vµ x2 = yz , y2 = xz , z = xy  y x z y x z x y z xyz    1  x  y  z y z x y  z  x tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng  x x x x x x x x      1  1  1 1 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006  x  2010 x  2010 x  2010 x  2010 x  2010 x  2010 x  2010 x  2010        0 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006 1     x  2010       0  2009 2008 2007 2006   x  2010 0  x 2010 Vì x, y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch nên: 2 x1 y y2 y2 y y2 y y  y2 52  y   y                4 x2 y1 y1 3 94 13     ) y12 36  y1 6 Víi y1= - th× y2 = - ; Víi y1 = th× y2= Ta cã: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c ) f (0) 3  c 3 ) f (1) 3  a  b  c 3  a  b 3  1 ) f (  1) 3  a  b  c 3  a  b3   Từ (1) và (2) Suy (a + b) +(a - b) 3  2a 3  a 3 vì ( 2; 3) =  b3 Vậy a ,b ,c chia hết cho A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+ + (-1)99 + (-1)100 = - + + (-1) +1 +(-1) + (-1) + = ( v× cã 50 sè -1 vµ 50 sè 1) Suy x = -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc A(x) 1 1 1     98  99  100 2 Víi x= th× gi¸ trÞ cña ®a thøc A = 2 1 1 1 1 1     98  99  100      98  99  A 2 ( 2 2 2 )= 2 2 1 1 1 1     98  99  100  A  A   100  A 1  100 100  A =( 2 2 2 ) +1 - 2 A B M H N C Chứng minh ABM = ACN (Kc- g- c) từ đó suy AM =AM Chứng minh ABH = ACH ( c- g- c) từ đó suy AHB =AHC= 900  AH  BC TÝnh AH: AH2 = AB2 - BH2 = 52- 32 = 16  AH = 4cm TÝnh AM : AM2 = AH2 + MH2 = 42 + 12 = 17  AM = 17 cm Trªn tia AM lÊy ®iÓm K cho AM = MK ,suy AMN= KMB ( c- g- c)  MAN = BKM vµ AN = AM =BK Do BA > AM  BA > BK  BKA > BAK  MAN >BAM=CAN