THÔNG TIN TÀI LIỆU
1 MỞ ĐẦU y x 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học có nguồn gốc thực tiễn "chìa khố" hầu hết hoạt động người Toán học kết trừu tượng hoá vật tượng thực tiễn bình diện khác có vai trị quan trọng việc thực mục tiêu chung giáo dục phổ thông Mặc dù ngành khoa học có tính trừu tượng cao Tốn học có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác nhau: công cụ để học tập môn học nhà trường, nghiên cứu nhiều ngành khoa học công cụ để hoạt động sản xuất đời sống thực tế Trong thư gửi bạn trẻ yêu toán, thủ tướng Phạm Văn Đồng nhấn mạnh: "Dù bạn phục vụ nghành nào, công tác nào, kiến thức phương pháp tốn cần cho bạn" Tốn học có liên hệ mật thiết với thực tiễn có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học, công nghệ sản xuất đời sống Với vai trị đặc biệt, Tốn học trở nên thiết yếu ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày đại văn minh Bởi vậy, việc rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn điều cần thiết phát triển xã hội phù hợp với mục tiêu giáo dục Toán học Những ứng dụng Toán học vào thực tiễn Chương trình sách giáo khoa, thực tế dạy học Toán chưa quan tâm cách mức thường xuyên Trong sách giáo khoa mơn Tốn tài liệu tham khảo Toán thường tập trung ý vấn đề, toán nội Tốn học; số lượng ví dụ, tập Tốn có nội dung liên môn thực tế sách giáo khoa Đại số THPT Giải tích để học sinh học rèn luyện cịn Một vấn đề quan trọng thực tế dạy Toán trường phổ thông, giáo viên không thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực ứng dụng Toán học vào thực tiễn mà theo Nguyễn Cảnh Tồn kiểu dạy Tốn ''xa rời sống đời thường'' cần phải thay đổi Việc tăng cường rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Tốn học để giải tốn có nội dung thực tiễn thiết thực có vai trị quan trọng hồn cảnh giáo dục nước ta Trong thời gian gần đây, với hình thức thi trắc nghiệm dạng tập vận dụng giải toán thực tế khai thác nhiều Chủ đề ứng dụng tích phân dạng tốn hay ứng dụng hiệu nhiều toán thực tế khó học sinh bước đầu làm quen học sinh lúng túng với khái niệm với áp lực cơng thức có tính máy móc Việc xây dựng hệ thống tập có tính gần gũi, gắn liền với tình thực tế ngày phần giúp em tự tin việc tiếp cận dạng tốn Vì lí tơi chọn đề tài là: “Nâng cao hiệu dạy học chủ đề ứng dụng tích phân thơng qua hệ thống tập liên hệ thực tiễn trường THPT Tĩnh Gia 1” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài tìm hiểu mối liên hệ số kiến thức chủ đề Ứng dụng tích phân chương trình Giải tích 12 xây dựng hệ thống tập liên hệ thực tiễn trường THPT Tĩnh Gia việc xây dựng, củng cố ơn tập nhằm góp phần nâng cao hứng thú học tập học sinh hiệu dạy học tiết học Các nội dung đề tài giúp học sinh có nhìn tồn diện tốn ứng dụng tích phân rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán để giải số toán có nội dung thực tiễn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài đựơc nghiên cứu thực trường THPT Tĩnh Gia trình dạy học chủ đề Ứng dụng tích phân chương trình Giải tích 12 Trên sở lý thuyết bản, việc khai thác từ tình thực tiễn xây dựng hệ thống tập để học sinh giải củng cố kiến thức học Đề tài thử nghiệm lớp 12A2, 12A6 trường THPT Tĩnh Gia năm học 2020-2021 1.5 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận: Phép tính tích phân phần quan trọng giải tích tốn học Những người bắt đầu làm quen với tích phân thường gặp số khó khăn chưa hiểu cách cặn kẽ, đặc biệt chưa vận dụng linh hoạt vào thực tế Trong thực tế có nhiều tốn cần đến can thiệp phép tốn tích phân Kiến thức trọng tâm ứng dụng tích phân bao gồm: 2.1.1 Ứng dụng tính diện tích hình phẳng � a; b� Định lý 1: Cho hàm số y f (x) liên tục, khơng âm � � Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y f (x) , trục hoành đường thẳng b x a, x b là: S � f (x)dx a Bài toán liên quan: Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f (x) liên tục b � a;b� đoạn � �, trục hoành hai đường thẳng x a , x b xác định: y y f (x) O a c1 c2 �y f (x) � �y (H ) � �x a � �x b c3 b x S S f (x) dx � a b f (x) dx � a Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f (x) , y g(x) liên tục � a;b� đoạn � �và hai đường thẳng x a , x b xác định: b S �f (x) g(x) dx a y � (C1): y f1(x) � (C ) : y f2 (x) � (H ) � �x a �x b � (C1) (C2 ) a c1 O c2 b S x b f (x) f (x) dx � a Bài toán 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đường x g(y) , x h(y) hai d đường thẳng y c , y d xác định: S g(y) h(y) dy � c Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C1) : f1(x) , (C2 ) : f2(x) là: S xn �f (x) g(x)dx x1 Trong đó: x1 , xn tương ứng nghiệm nhỏ phương trình f (x) g(x) 2.1.2 Ứng dụng tính thể tích Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a �x �b) Giả sử S(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] (V) b x O a b x V �S(xdx ) a S(x) Thể tích khối trịn xoay: Bài tốn 1: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y f (x) , trục hoành hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: y y f (x) O a b � (C ): y f (x) � b (Ox): y � Vx � f ( x ) dx � x � x a a � x b � Bài tốn 2: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x g(y) , trục hoành hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy: y d �(C ): x g(y) � �(Oy): x � �y c � �y d c d Vy � g( y ) dy c x O Bài tốn 3: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y f (x) , y g(x) hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: b V � f 2(x) g2(x) dx a 2.2 Thực trạng vấn đề Thực tế giáo viên thường trọng rèn luyện kĩ giải tập tích phân mà xem nhẹ dạng tập ứng dụng tích phân thực tiễn Bên cạnh đó, nhìn chung học tích phân nhiều học sinh vận dụng công thức cách máy móc, chưa có phân tích, thiếu tư thực tế trực quan nên em hay nhầm lẫn dẫn đến làm sai kết quả, đặc biệt tốn cần có hình vẽ để chia nhỏ tính Sách giáo khoa lại có ví dụ minh họa chi tiết để học sinh tránh “ sai lầm “ Đa số học sinh cịn bế tắc gặp tốn ứng dụng tích phân mà u cầu phải vẽ hình vận dụng vào thực tế Đặc biệt, cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT hầu hết có mặt tập vận dụng thực tế, khơng rèn luyện em khó hình thành kỉ năng, kỉ xảo việc giải tập giải vấn đề thực tế Vì đề tài cần thiết, phù hợp giáo viên trực tiếp giảng dạy, tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh góp phần chuẩn bị cho em kiến thức vững vàng đạt kết cao kì thi tốt nghiệp THPTQG 2.3 Một số biện pháp 2.3.1 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn Bài 1: Trong chương trình văn nghệ chào mừng “Thành lập Thị xã Nghi Sơn” tổ chức trường THPT Tĩnh Gia 1, Đồn trường có thực dự án ảnh trưng bày pano có dạng parabol hình vẽ Biết Đồn trường yêu cầu lớp gửi hình dự thi dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD , phần cịn lại trang trí hoa văn cho phù hợp Chi phí dán hoa văn 200.000 đồng cho m bảng Hỏi chi phí thấp cho việc hoàn tất hoa văn pano (làm trịn đến hàng nghìn)? A B D C 4m 4m A 900.000 đồng C 902.000 đồng y B 1.232.000 đồng D 1.230.000 đồng Hướng dẫn giải Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, Khi phương trình đường parabol có dạng: A y ax b B 0; Parabol cắt trục tung điểm 4m 2 D O 4m C cắt trục hoành 2;0 nên: x b4 � a 1 � �� � a.2 b b4 � � Do đó, phương trình parabol y x Diện tích hình phẳng giới hạn đường parabol trục hoành là: 2 � x3 � x � 32 S1 � x d x � � �2 2 2 Gọi C t;0 � B t ; t với t Ta có CD 2t BC t 2t t 2t 8t Diện tích hình chữ nhật ABCD S2 CD.BC Diện tích phần trang trí hoa văn S S1 S2 32 32 2t 8t 2t 8t 3 32 với t Xét hàm số � t � 0; � �� � t � 0; � f� t 6t � Ta có f t 2t 8t Bảng biến thiên: 96 32 m Như vậy, diện tích phần trang trí nhỏ , chi phí thấp 96 32 200000 �902000 cho việc hoàn tất hoa văn pano là: đồng Bài tập tương tự: 12 m I Một công ty quảng cáo X muốn làm F E tranh trang trí hình MNEIF tường hình chữ nhật ABCD có m chiều cao BC m , chiều dài CD 12 m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ M N nhật có MN m ; cung EIF có hình dạng D C 4m phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C , D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/ m Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh ? A 20.400.000 đồng B 20.600.000 đồng C 20.800.000 đồng D 21.200.000 đồng A B Bài 2: Một khu vực khuôn viên sân trường THPT Tĩnh Gia có chiều dài 100 chiều rộng 60m nhà trường làm đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền ngồi viền đường hai đường elip, Elip đường viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí cho m làm đường 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) 100m A 293904000 2m B 283904000 C 293804000 D 283604000 60m Hướng dẫn giải Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ O vào tâm hình Elip Phương trình Elip đường viền x2 y2 E1 : 50 30 đường E Phần đồ thị nằm phía trục hồnh có phương trình Phương trình Elip đường viền đường E2 : Phần đồ thị E2 nằm phía trục hồnh có phương trình y 30 x2 f1 x 502 x2 y2 1 482 282 y 28 x2 f2 x 482 E Gọi S1 diện tích hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hoành đồ thị hàm số y f1 x Gọi S2 diện tích E2 hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hoành đồ thị hàm số Gọi S diện tích đường 50 Khi 48 x2 x2 S S1 S � 30 dx � 28 dx 50 48 50 48 a Tính tích phân I 2� b 1 a x dx, a, b �� a y f2 x � � x a sin t , � �t � �� dx a cos tdt 2� �2 Đặt x a � t ; x a � t 2 Đổi cận I 2� b sin t a cos t dt 2ab � cos2 t dt ab � cos 2t dt Khi � sin 2t �2 ab � t � ab � � Do S S1 S2 50.30 48.28 156 Vậy tổng số tiền làm đường 600000.S 600000.156 �294053000 (đồng) Bài tập tương tự: Sân trường THPT Tĩnh Gia có bồn hoa hình trịn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm định chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường parabol có đỉnh O đối xứng qua O Hai đường parabol cắt đường tròn bốn điểm A , B , C , D tạo thành hình vng có cạnh (như hình vẽ) Phần diện tích Sl , S2 dùng để trồng hoa, phần diện tích S3 , S4 dùng để trồng cỏ (Diện tích làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ 100.000 đồng/1m2 Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn) A 6.060.000 đồng B 5.790.000 đồng C 3.270.000 đồng D 3.000.000 đồng Hướng dẫn giải 4m y Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Parabol có hàm số dạng y ax bx c có đỉnh gốc y B 2; x độ qua điểm nên có phương trình Đường trịn bồn hoa có tâm gốc tọa độ bán kính tọa O 2 OB 2 nên có phương trình x y Do ta nhánh đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh y x 2� � S1 � dx �8 x x � � � 2 Vậy diện tích phần 2� � S1 S2 � dx �15, 233 �8 x x � � � 2 Do đó, diện tích trồng hoa x xét Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là: 15, 233 �150.000 2 15, 233 �100.000 �3.274.924 đồng Làm trịn đến hàng chục nghìn nên ta có kết 3.270.000 đồng Bài 3: Trường THPT Tĩnh Gia xây dựng sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30m chiều dài 50 m Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, trường chia sân bóng làm hai phần (tơ màu khơng tơ màu) hình vẽ - Phần tô màu gồm hai miền diện tích đường cong AIB parabol có đỉnh I - Phần tơ màu trồng cỏ nhân tạo với giá 130 nghìn đồng/ m phần lại trồng cỏ nhân tạo với giá 90 nghìn đồng/ m Hỏi trường phải trả tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng? A 165 triệu đồng B 151 triệu đồng C 195 triệu đồng D 135 triệu đồng Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ, O �I Khi đó, đường cong AIB hình phẳng giới hạn đường parabol y 10 y 2 x 45 đường thẳng 2 x 10 � x �15 Phương trình hoành độ giao điểm 45 15 S1 � x 10 dx 400 m 45 15 Diện tích phần tơ màu là: Mặt khác diện tích sân bóng đá mini hình chữ nhật S 30.50 1500 m S S S1 1100 m Phần khơng tơ màu có diện tích là: Số tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng: S1.130000 S 90000 400.130000 1100.90000 151000000 Bài tập tương tự: Sân bóng hình chữ nhật với diện tích 200m Người ta muốn trồng cỏ sân bóng theo hình parabol bậc hai cho đỉnh parabol trùng với trung điểm cạnh sân bóng hình vẽ bên Biết chi phí trồng cỏ 300 ngàn đồng cho mét vng Xác định chi phí trồng cỏ cần có cho sân bóng trên? A 30 triệu đồng B 60 triệu đồng C 50 triệu đồng D 40 triệu đồng Lời giải Ta có: Giả sử sân bóng có chiều dài a chiều rộng b 4a b.300 ab.300 40 Chi phí trồng cỏ triệu Bài 4: Một khu vực khuôn viên sân trường THPT Tĩnh Gia lát viên gạch hoa hình vng cạnh 40 cm thiết kế hình bên Diện tích cánh hoa (phần tô đậm) 800 A cm C 250 cm 400 B cm D 800 cm Lời giải Diện tích cánh hoa diện tích hình phẳng tính theo cơng thức sau: 20 2� � S� dx � 20 x x � 20 � � 20 � �2 � 20 x x � 400 60 �0 �3 cm Bài tập tương tự: Một hoa văn trang trí tạo từ miếng bìa mỏng hình vng cạnh 10 cm cách kht bốn phần có hình dạng parabol hình bên Biết AB cm, OH cm Tính diện tích bề mặt hoa văn 160 cm A 14 cm Lời giải 140 cm B D 50 cm C Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm P : y phương trình là: Diện tích hình P : y 16 16 x x 25 phẳng giới hạn 16 16 x x 25 , trục hoành đường � 16 16 � 40 S � x x� dx � 25 � � x x thẳng , là: 160 S1 S cm Tổng diện tích phần bị khoét đi: Diện tích hình vng là: S hv 100 cm S Shv S1 100 Vậy diện tích bề mặt hoa văn là: Bài 5: Cổng trường THPT Tĩnh Gia thiết kế hình vẽ, vịm cổng có hình 160 140 cm 3 dạng parabol Giá 1m cửa Inox 1.660.000 đồng Cửa Inox có giá (nghìn đồng) là: A 6500 55 10 B C 5600 D 6050 Lời giải Từ hình vẽ ta chia cửa thành phần sau: Khi S S1 S2 S1 5.1,5 S1 7,5 Để tính S1 ta vận dụng kiến thức diện tích hình phẳng tích phân Gắn hệ trục Oxy O trùng với trung điểm AB , OB �Ox, OC �Oy , P : y ax bx c Theo đề ta có đường cong có dạng hình Parabol Giả sử Khi đó: ��5 � �25 ;0 � � P a bc �A � � � a � �� � � 25 � �5 � � �25 � P � � a b c � � b0 � P : y x2 �B � ;0 � 25 � �2 � �4 � � � 1� � � c c C� 0, � � P � � � � � � 2� 2,5 � 2 � 10 S2 � x � dx m � S 55 m � 25 � � Diện tích 55 x 1.660.000 �15.217.000 Vậy giá tiền cửa sắt là: (đồng) Bài tốn 2: Úng dụng tính thể tích vật thể Bài 1: Trong chương trình nơng thơn mới, phường Hải Hịa, Thị xã Nghi Sơn có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ đường Parabol) 3 B 21m A 19m Hướng dẫn giải C 18m D 40m Chọn hệ trục Oxy hình vẽ 0,5m 2m 5m 0,5m 19m 0, 5m Ta có 19 � � A� ;0� , B 0; P1 : y ax c � � Gọi Parabol qua hai điểm � 19 � � � a a � � � � x 2 361 � P1 : y � �2 � � � 361 � � b2 2b � � Nên ta có hệ phương trình sau: � 5� C 10;0 , D � 0; � P : y ax c � 2� Gọi Parabol qua hai điểm � � a a 10 � � � 40 2�� � P2 : y x � � 40 �5 b � b � Nên ta có hệ phương trình sau: �2 19 �10 � � �� � V 5.2 � x dx x 2� dx � 40m3 � � � � � 0 2� � 361 �� � � 40 Ta tích bê tông là: Bài tập tương tự: Một bồn nước thiết kế với chiều cao dm , ngang dm , dài m, bề mặt cong với mặt cắt ngang hình parabol hình vẽ bên Bồn chứa tối đa lít nước 1280 A (lít) 2560 C (lít) B 1280 (lít) D 1280 (lít) Hướng dẫn giải Xét mặt cắt parabol, chọn hệ trục hình vẽ Ta thấy Parabol qua điểm A 4; , B 4; C 0; , nên có phương trình y x Diện tích phần mặt cắt tính sau: 64 128 S S hv �x dx 64 dm2 3 4 20 20 128 2560 V� S dx � dx dm3 3 0 Do thể tích bồn Bài 3: Trống trường THPT Tĩnh Gia có bán kính đáy 30 cm, thiết diện vuông , chiều dài trống 1m góc với trục cách hai đáy có diện tích Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh trống đường Parabol Hỏi thể tích trống bao nhiêu? 1600 cm A 425, (lít) B 425162 (lít) C 212, (lít) D 212581 (lít) Lời giải Ta có chọn hệ trục Oxy hình vẽ ... liên hệ thực tiễn trường THPT Tĩnh Gia 1? ?? 1. 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài tìm hiểu mối liên hệ số kiến thức chủ đề Ứng dụng tích phân chương trình Giải tích 12 xây dựng hệ thống tập liên. .. hệ thực tiễn trường THPT Tĩnh Gia việc xây dựng, củng cố ôn tập nhằm góp phần nâng cao hứng thú học tập học sinh hiệu dạy học tiết học Các nội dung đề tài giúp học sinh có nhìn tồn diện tốn ứng. .. tập tích phân mà xem nhẹ dạng tập ứng dụng tích phân thực tiễn Bên cạnh đó, nhìn chung học tích phân nhiều học sinh vận dụng cơng thức cách máy móc, chưa có phân tích, thiếu tư thực tế trực quan
Ngày đăng: 09/06/2021, 13:09
Xem thêm: