b/ Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1 đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra hai số bất kì và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại.. [r]
(1)§Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) §Ò 1.1 A/ Phần đề chung C©u (1,5®iÓm): a (0,75®) TÝnh tæng B = 1+5+52+53+… +52008+52009 b (0,75®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh 1 1 + +1 ) : ( − − 1) ( √625 25 √25 C©u (2®iÓm): a (1®) T×m x, y biÕt : x +1 = y −2 = x +3 y −1 6x x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 + + = + 10 11 12 13 14 b (1®) T×m x biÕt C©u (1,5®iÓm): Vẽ đồ thị hàm số: y = - |x| C©u (3®iÓm): a (1,5®) HiÖn anh h¬n em tuæi Tuæi cña anh c¸ch ®©y n¨m vµ tuæi cña em sau n¨m n÷a tØ lÖ víi vµ Hái hiÖn anh bao nhiªu tuæi? Em bao nhiªu tuæi? b (1,5đ) Cho Δ ABC (góc A=900) Kẻ AH BC, kẻ HP AB và kéo dài để có PE = PH Kẻ HQ AC và kéo dài để có QF = QH a./ Chøng minh Δ APE = Δ APH vµ Δ AQH = Δ AQF b./ Chøng minh ®iÓm E, A, F th¼ng hµng B/ Phần đề riêng C©u A (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh chuyªn to¸n) a (1,5®) TÝnh tæng n −1 S = + + + 14 + …+ +1 (víi n Z+) b (0,5®) Cho ®a thøc f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + Trong c¸c sè sau: 1, -1, 5, -5 sè nµo lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) C©u B (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn to¸n) a (1,5®) T×m x Z để A có giá trị nguyên A = x −2 x −2 b (0,5®) Chøng minh r»ng: 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 §Ò 1.2 A/ Phần đề chung C©u (1,5®iÓm) §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) a (1®) TÝnh tæng: M = - 4 4 − − −⋯− 5 9 13 ( n+4 ) n b (0,5®) T×m x biÕt: -4x(x – 5) – 2x(8 – 2x) = -3 (2) C©u (1,5®iÓm) a (1®) T×m x, y, z biÕt: 3 x y z = = 64 216 vµ x2 + y2 + z2 = 14 b (0,5®) Cho x1 + x2 + x3 + …+ x50 + x51 = vµ x1 + x2 = x3 + x4 = x5 + x6 = … = x49 + x50 = tÝnh x50 C©u (2®iÓm) a (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ, cho điểm M(-3;2) và N(3;-2) Hãy giải thích vì gốc toạ độ O và hai điểm M, N là điểm thẳng hàng? b (1®) Cho ®a thøc: Q(x) = x ( x 1 − x + x − − x4 + x2 2 2 )( ) a./ T×m bËc cña ®a thøc Q(x) b./ TÝnh Q (− 12 ) c./ Chøng minh r»ng Q(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi sè nguyªn x C©u (3®iÓm) a (1®) Ba tæ c«ng nh©n A, B, C ph¶i s¶n xuÊt cïng mét sè s¶n phÈm nh Thêi gian tæ hoµn thµnh kÕ ho¹ch theo thø tù lµ 14 ngµy, 15 ngµy vµ 21 ngµy Tæ A nhiÒu h¬n tæ C lµ 10 ngời Hỏi tổ có bao nhiêu công nhân? (Năng suất lao động các công nhân là nh nhau) b (2đ) Cho hình vuông ABCD Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đờng thẳng AD vẽ tia AM (M CD) cho gãc MAD = 20 Còng trªn nöa mÆt ph¼ng nµy vÏ tia AN (N BC) cho gãc NAD = 65 Tõ B kÎ BH AN (H AN) và trên tia đối tia HB lấy ®iÓm P cho HB = HP chøng minh: a./ Ba ®iÓm N, P, M th¼ng hµng b./ TÝnh c¸c gãc cña Δ AMN B/ Phần đề riêng C©u A (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a (1®) Chøng minh r»ng: 222333 + 333222 chia hÕt cho 13 b (1®) T×m sè d cña phÐp chia 109345 cho C©u B (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a (1®) T×m sè nguyªn d¬ng n biÕt 45 + 45 + 45 + 45 65 +6 5+ 65 +65 +6 5+ 65 ⋅ 35 +35 +3 25 +25 = 2n b (1®) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×: 3n+3 + 2n+3 – 3n+2 + 2n+2 chia hÕt cho §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) §Ò 1.3 A/ Phần đề chung C©u (2,5®iÓm): 1 761 4 a (1,75®) TÝnh tæng: M = 417 762 139 762 417.762 139 b (0,75®) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau t¹i x = -1 x2 + x4 + x6 + x8 + … + x100 C©u (1®iÓm): a (0,5®) Cho tØ lÖ thøc x − y = tÝnh gi¸ trÞ cña b (0,5®) Cho tØ lÖ thøc C©u (2,5®iÓm): x+ y a c = b d chøng minh r»ng x y a+3 b c+ d = a − b c −3 d (3) a (1,5®) Cho hµm sè y = - x vµ hµm sè y = x -4 * Vẽ đồ thị hàm số y = x * Chứng tỏ M(3;-1) là giao hai đồ thị hàm số trên * Tính độ dài OM (O là gốc toạ độ) b (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« cïng khëi hµnh tõ A B, vËn tèc «t« lµ 40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h Khi ôtô tải đến B thì ôtô đã đến B trớc 45 phút Tính độ dài quãng đờng AB C©u (2®iÓm): Cho Δ ABC cã gãc A = 900, vÏ ph©n gi¸c BD vµ CE (D AC ; E AB) chóng c¾t t¹i O a (0,5®) TÝnh sè ®o gãc BOC b (1®) Trªn BC lÊy ®iÓm M vµ N cho BM = BA; CN = CA chøng minh EN// DM c (0,5®) Gäi I lµ giao cña BD vµ AN chøng minh Δ AIM c©n B/ Phần đề riêng C©u A (2®iÓm): Dµnh cho häc sinh chuyªn a (1®) Chøng minh r»ng ®a thøc sau kh«ng cã nghiÖm: P(x) = 2x2 + 2x + b (1®) Chøng minh r»ng: 2454.5424.210 chia hÕt cho 7263 C©u B (2®iÓm): Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a (1®) T×m nghiÖm cña ®a thøc 5x2 + 10x b (1®) T×m x biÕt: 5(x-2)(x+3) = §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n: To¸n Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) §Ò 1.4 A/ Phần đề chung C©u (1,5®iÓm): a (0,75®) TÝnh tæng M = ⋅27 +4 ⋅(−5 ) 23 47 47 23 b (0,75®) Cho c¸c sè a1, a2, a3 …an mçi sè nhËn gi¸ trÞ lµ hoÆc -1 Biết a1a2 + a2a3 + … + ana1 = Hỏi n có thể 2002 đợc hay không? C©u (2 ®iÓm) a (1®) T×m x biÕt 1+2 y = 1+ y = 1+6 y 18 24 6x b (1®) T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32 C©u (1,5®iÓm) Cho hình vẽ, đờng thẳng OA là đồ thị hàm số y = f(x) = ax (a 0) a TÝnh tØ sè y o− xo − b Gi¶ sö x0 = tÝnh diÖn tÝch Δ OBC y2o C X 1B x0 A 12 (4) C©u (3®iÓm) a (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« cïng khëi hµnh tõ A B, vËn tèc «t« lµ 40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h Khi ôtô tải đến B thì ôtô đã đến B trớc 45 phút Tính độ dài quãng đờng AB b (2®) Cho Δ ABC, gäi M vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AC vµ AB Trªn tia đối tia MB lấy điểm D cho MD = MB, trên tia đối tia NC lấy điểm E cho NE = NC Chøng minh r»ng: Ba ®iÓm E, A, D th¼ng hµng A lµ trung ®iÓm cña ED B/ Phần đề riêng C©u A (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a (1®) So s¸nh √ vµ √ + b (1®) Cho hai ®a thøc P(x) = x2 + 2mx + m2 vµ Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2 T×m m biÕt P(1) = Q(-1) C©u B (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a (1®) So s¸nh 2300 vµ 3200 b (1®) TÝnh tæng A = + + 22 + … + 22010 §Ò thi häc sinh giái huyÖn §Ò 1.5 M«n: To¸n Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) A/ Phần đề chung 1 3 − − 0,6 − − − 11 25 125 625 C©u (1,5 ®iÓm): (1®) TÝnh tæng: A = + 4 4 4 − − − ,16 − − 11 125 625 a (0,5®) T×m c¸c sè a1, a2, a3, … a9 biÕt a1 − a2 − a − a −9 vµ a1 + a2 + a3 + … + a9 = 90 = = = = 9 C©u (2 ®iÓm) 1+3 y 1+5 y 1+7 y a (1®) T×m x, y biÕt = = 12 5x 4x b (1®) ChØ c¸c cÆp (x;y) tho¶ m·n |x 2+ x|+| y −9| = C©u (1,5®iÓm) a (1®) Cho hµm sè y = f(x) = x + víi x ≥ -1 -x – víi x < -1 * Viết biểu thức xác định f * T×m x f(x) = 2 b (0,5®) Cho hµm sè y = x * Vẽ đồ thị hàm số * Tìm trên đồ thị điểm M có tung độ là (-2), xác định hoành độ M (giải tính toán) C©u (3®iÓm) a (1đ) Một ôtô dự định từ A đến B thời gian dự định với vận tốc 40km/h Sau đợc 1/2 quãng đờng AB thì ôtô tăng vận tốc lên 50km/h trên quãng đờng còn lại Do đó ôtô đến B sớm dự định 18 phút Tính quãng đờng AB b (2®) Cho Δ ABC vu«ng c©n ë A, M lµ trung ®iÓm cña BC, ®iÓm E n»m gi÷a M vµ C KÎ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đờng thẳng AE) Chứng minh rằng: * BH = AK * Δ MBH = Δ MAK (5) * Δ MHK lµ tam gi¸c vu«ng c©n B/ Phần đề riêng C©u A (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a (1đ) Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức x − √ ¿2 y + √ 2¿ + + |x + y + z| = ¿ ¿ √¿ √¿ b (1®) T×m x, y, z biÕt: x + y = x : y = 3(x – y) C©u B (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a (1®) T×m x biÕt: 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 120 √7 ¿ ¿ ¿ b (1®) Rót gän biÓu thøc sau mét c¸ch hîp lÝ: A = 1 1− + −¿ √ 49 49 ¿ §¸p ¸n 1.5 I phần đề chung Câu (1,5đ: ý đúng 0,75đ) a A = b áp dụng tính chất dãy TSBN ta tính đợc a1 = a2 = … = a9 = 10 Câu (2điểm: ý đúng 1đ) a - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) đợc tỉ số (4) - Tõ tØ sè (4) vµ tØ sè (2) 12 + 4x = 2.5x x = - Từ đó tính đợc y = - 15 - V× |x 2+ x|≥ vµ | y − 9|≥ ⇒ x2 + 2x = và y2 – = từ đó tìm các cặp (x;y) C©u (1,5®) a (1®) - Biểu thức xác định f(x) = |x +1| - Khi f(x) = ⇒ |x +1| = từ đó tìm x b b (0,5®) - Vẽ đồ thị hàm số y = x x O (0;0) y A (5;2) - Biểu diễn O(0;0); A(5;2) trên mặt phẳng toạ độ x - M đồ thị y = -2 = x ⇒ OA là đồ thị hàm số y = x ⇒ x = -5 C©u (3®iÓm) a (1®) 18 phót = 18 = (h) 60 10 - Gọi vận tốc và thời gian dự định nửa quãng đờng trớc là v1; t1, vận tốc và thời gian đã nửa quãng đờng sau là v2; t2 - Cùng quãng đờng vận tốc và thời gian là đại lợng TLN đó: V1t1 = v2t2 ⇔ ⇒ t 1= (giê) v v v − v 100 = = = t t t −t ⇒ B thời gian dự định M K (6) quãng đờng AB là - Quãng đờng AB dài 40 = 120 (km) b (2®) - HAB = KCA (CH – GN) ⇒ BH = AK - Δ MHB = Δ MKA (c.g.c) ⇒ MHK c©n v× MH = MK (1) Cã Δ MHA = Δ MKC (c.c.c) ⇒ góc AMH = góc CMK từ đó ⇒ gãc HMK = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ Δ MHK vu«ng c©n t¹i M II Phần đề riêng C©u A (2®) x − √ ¿2 ¿ a (1®) – V× víi ∀ x ¿ √¿ y + √ 2¿ víi ∀ y ¿ √¿ víi ∀ x, y, z |x + y + z| x − √ ¿2 ¿ ¿0 ¿ y + √2 ¿2 ¿ ⇔ §¼ng thøc x¶y ¿0 ¿ |x + y + x|=0 ¿ ¿ √¿ ¿ x=√ y=− √ z=0 ¿{{ ¿ b (1®)Tõ x + y = 3(x-y) = x : y nªn 2y – x = ⇒ x = 2y ⇒ 2y(2y – x) = mµ y Từ đó ⇒ x = ;y= 3 C©u B (2®) a (1®) - §Æt 2x lµm TSC rót gän - Biến đổi 120 dới dạng luỹ thừa số tìm x b (1đ) Biến đổi tử vào mẫu rút gọn đợc A = (7) đáp án đề 1.4 I Phần đề chung C©u (1,5®) a (0,75đ) - Biến đổi M dới dạng tổng - §Æt =a ; =b 23 47 - Rút gọn thay giá trị a, b vào đợc A = 119 b (0,75®) XÐt gi¸ trÞ cña mçi tÝch a1a2, a2a3, …ana1 n ⇒ sè tÝch cã gi¸ trÞ b»ng b»ng sè tÝch cã gi¸ trÞ b»ng -1 vµ b»ng v× 2002 ⋮ ⇒ n = 2002 C©u (2®) 1+2 y (1) 1+4 y(2) 1+ y(3) = = 18 24 6x a (1®) T×m x biÕt - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) đợc tỉ số (4) - XÐt mèi quan hÖ gi÷a tØ sè (4) vµ (2) ⇒ 6x = 24 = 48 ⇒ x = b (1®) - §a vÒ d¹ng a = c = e b d f - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN ⇒ tÝnh x, y, z C©u (1,5®) a (0,75đ) - Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy điểm B(x0;y0) đồ thị hàm số y = f(x) = ax y0 =a x0 y0 = ⇒ a= x0 y y0 − = = x0 x0 − ⇒ y0 = ax0 ⇒ Mµ A(2;1) - Δ OBC vu«ng t¹i C b (0,75®) ⇒ S ❑Δ OBC OC BC = OC y = Víi x0 = ⇒ S Δ OBC= ⋅5 ⋅ = 6,25 (®vdt) 2 C©u (3®) a (1®) - §æi 45 phót = 45 h= h 60 - Gäi vËn tèc cña «t« t¶i vµ «t« lµ v1 vµ v2 (km/h) t¬ng øng víi thêi gian lµ t1 vµ t2 (h) Ta cã v1.t1 = v2.t2 - Vì vận tốc và thời gian là hai đại lợng TLN ⇒ v1 t = v2 t ; t – t1 = - Tính đợc t2 = = (h) t1 = ⋅3= (h) 4 (8) ⇒ S = v2 t2 = 30 = 90km b (2®) - Δ MAD = Δ MCB (c.g.c) ⇒ gãc D = gãc B ⇒ AD // BC (1) - Δ NAE = Δ NBC (c.g.c) ⇒ gãc E = gãc C ⇒ AE // BC (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ E, A, D th¼ng hµng - Tõ chøng minh trªn ⇒ A lµ trung ®iÓm cña ED E A D N M B C II Phần đề riêng C©u A (2®) a (1®) So s¸nh √ vµ √ 5+1 ta cã < √ ⇒ + < √5 + = √5 + + ⇒ < ( √ 5+1¿ ⇒ √ 8< √ + b (1®) - Thay gi¸ trÞ cña x vµo ®a thøc - Cho đa thức ta tính đợc m = - C©u B (2®) 100 a (1®) Ta cã 2300¿ ⇒ b (1®) ❑ =¿ 100 3200¿ ❑ =¿ 3200 > 2300 - Nh©n hai vÕ cña tæng víi A víi 2010 - Lấy 2A – A rút gọn đợc A = − I Phần đề chung C©u (2,5®) đáp án 1.3 (9) a (2®) - Biến đổi M dới dạng tổng đặt a = 417 ; b = b (0,5®) - Rút gọn thay giá trị a, b, c vào ta tính đợc M = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 + … + (-1)100 = + +1 + … + = 50 762 ; c = 762 139 C©u (1®) a (0,5®) ¸p dông tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc a c x = ⇒ad=bc ⇒ = b d y a c a b a b a+3 b a −3 b a+3 b c +3 d = ⇒ = ⇒ = = = ⇒ = b d c d c d c +3 d c − d a −3 b c −3 d b (0,5®) Tõ C©u (2,5®) a (1,5®) * Vẽ đồ thị hàm số y = - x * Từ hàm số trên ta đợc phơng trình hoành độ - x = x -4 - Thay điểm M(3; -1) vào phơng trình hoành độ ta đợc - = – = -1 M(3; -1) lµ giao cña đồ thÞ hµm sè trªn ⇒ * Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy Δ OMP vu«ng t¹i P 2 2 ⇒ OM =OP +PM =1 + ⇒ OM= √1+9=√ 10 (®v®d) b (1®) - §æi 45 phót = 45 h= h 60 - Gäi vËn tèc cña «t« t¶i vµ «t« lµ v1 vµ v2 (km/h) t¬ng øng víi thêi gian lµ t1 vµ t2 (h) Ta cã v1.t1 = v2.t2 - Vì vận tốc và thời gian là hai đại lợng TLN ⇒ v1 t = v2 t ; t – t1 = - Tính đợc t2 = = (h) T1 = ⋅3= (h) 4 ⇒ S = v2 t2 = 30 = 90km C©u (2®) a (0,5®) Cã gãc B + gãc C = 900 ⇒ gãc OBC + gãc BCO = 90 =45 (BD, CE lµ ph©n gi¸c) ⇒ gãc BOC = 1800 – 450 = 1350 (10) b (1®) ⇒ Δ ABD = Δ MBD (c.g.c) gãc A = gãc M = 900 ⇒ DM BC (1) B N I Δ ECN = Δ ECA (c.g.c) gãc A = gãc N = 900 ⇒ EN ⇒ (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ EN // DM c (0,5®) O A D C Δ IBA = Δ IBM (c.g.c) ⇒ IA = IM thay Δ IAM c©n t¹i I II Phần đề riêng C©u A (2®) a (1®) P(x) = (x+1)2 + x2 + ≥ 4 vËy P(x) kh«ng cã nghiÖm b (1®) M E BC víi ∀ x 2454 5424 210 = (23.3)54 (2.33)24 210 = 2196 3126 7263 = (23 32)63 = 2189 3126 Từ đó suy 2454 5424 210 ⋮ 7263 C©u B (2®) a (1®) Cho 5x2 + 10x = ⇒ 5x(x + 10) = ⇔ x=0 ¿ x+10=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ x=0 ¿ x=−10 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ NghiÖm cña ®a thøc lµ x = hoÆc x = -10 (11) b (1®) 5(x-2)(x+3) = = 50 ⇒ (x-2)(x+3) = ⇔ x − 2=0 ¿ x +3=0 ¿ x=2 ¿ x=−3 ¿ ¿ ¿ ⇒¿ ¿ ¿ ¿ VËy x = hoÆc x = -3 đáp án 1.2 I Phần đề chung C©u (1,5®) a (1®)- §a dÊu “ – “ ngoµi dÊu ngoÆc - Tách phân số thành hiệu phân số rút gọn đợc A = −1 n Biến đổi rút gọn ta đợc x = - b (0,5®) C©u (1,5®) a (1đ)- Biến đổi các mẫu dới dạng lập phơng đa dạng a = c = e b d f - ¸p dông tÝnh chÊt d·y TSBN råi t×m x, y, z b (0,5®) KÕt qu¶ x50 = 26 C©u (2®) a (1®) Gọi đờng thẳng (d) qua O và M(-3;2) là đồ thị hàm số dạng y = ax (a tính a để xác định hàm số ⇒ OM là đồ thị hàm số - Kiểm tra điểm N(3;-2) có thuộc đồ thị hàm số không? → kÕt luËn: O, M, N th¼ng hµng b (1®) - Thu gän Q(x) = x − x ⇒ bËc Q(x) lµ − ¿2 −1 ¿ − - Q(- ) = = −3 = − ¿ −¿ 16 ¿ ¿ - Q(x) = x (x − 1) lµ mét sè ch½n ⇒ Q(x) 0) từ đó (0,25®) (0,25®) Z (0,5®) C©u 4(3®) a (1®) Gäi sè ngêi tæ A, tæ B, tæ C lÇn lît lµ x, y,z tØ lÖ nghÞch víi 14, 15, 21 1 ; ; Từ đó tính đợc x = 30; y = 28; z = 20 ⇒ x, y, z TLT víi 14 15 21 b (2®) (12) * - BNA = PNA (c.c.c) ⇒ gãc NPA = 900 (1) - Δ DAM = Δ PAM (c.g.c) ⇒ gãc APM = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ gãc NPM = 1800 ⇒ KÕt luËn * Gãc NAM = 45 ; gãc ANP = 65 ; gãc AMN = 700 II phần đề riêng C©u A (2®) a (1®) 222333 + 333222 = 111333.2333 + 111222.3222 = 111222[(111.23)111 + (32)111] = 111222 (888111 + 9111) 111 111 V× 888 + = (888 + 9)(888110 – 888109.9 + … - 888.9109 + 9110) = 13.69 (888110 – 888109.9 + …- 888109 + 9110) ⋮ 13 ⇒ KL b (1®) Ta cã 109345 = (109345 – 4345) + (4345 – 1) + v× 109345 – 4345 ⋮ 4345 – ⋮ ⇒ 109345 chia hÕt cho d C©u B (2®) §¸p ¸n a (1®) VT: - §a tæng c¸c luü thõa b»ng díi d¹ng tÝch và biến đổi đợc 212 ⇒ n = 12 b (1®) - Nhóm số hạng thứ với số hạng thứ đặt TSC Số hạng thứ với số hàng thứ đặt TSC - §a vÒ mét tæng cã c¸c sè h¹ng ⋮ cho vµ mµ UCLN(2;3) = ⇒ tæng ⋮ 0 (13) I Phần đề chung C©u (1,5®) a (0,75®) - Nh©n vÕ tæng B víi đáp án 1.1 2010 - Lấy 5B - B rút gọn và tính đợc B = − b (0,75®) - Khai quy động ngoặc - Thực phép chia đợc kết -1 29 C©u (2®) a (1đ) - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (2) đợc tỉ số (4) - Từ tỉ số (3) và tỉ số (4) ta có 6x + 12 ⇒ x = tù đó tính đợc y = b (1®) - ChuyÓn c¸c sè h¹ng ë vÕ ph¶i sang vÕ tr¸i - §Æt thõa sè chung ®a vÒ tÝch b»ng - Tính đợc x = -1 Câu (1,5đ) (Mỗi đồ thị cho 0,75đ) y = - |x| = - x víi x 3 x víi x < C©u (3®) a (1,5®) - Gäi tuæi anh hiÖn lµ x (x > 0), tuæi em hiÖn lµ y (y>0) → tuæi anh c¸ch ®©y n¨m lµ x – Tuæi cña em sau n¨m n÷a lµ y + Theo bµi cã TLT: x −5 = y +8 vµ x - y = Từ đó tính đợc: x = 20; y = 12 - VËy tuæi anh hiÖn lµ 20 tuæi em lµ 12 b (1,5®) - APE = APH (CH - CG ) - AQH = AQF (CH - CG ) - gãc EAF = 1800 ⇒ E, A, F th¼ng hµng II Phần đề riêng C©u 5A (2®) a (1,5®) n −1 - Biến đổi S = ⋅n + ( + + + + ¿ 2 2 - §a vÒ d¹ng 3S – S = 2S n - Biến đổi ta đợc S = n+3 −1 (n +¿ ) Z¿ b (0,5®) - NghiÖm l¹i c¸c gi¸ trÞ 1, -1, 5, -5 vµo ®a thøc - Giá trị nào làm cho đa thức thì giá trị đó là nghiệm C©u B (2®) a (1,5®) A=5+ x −2 A nguyªn ⇔ nguyªn ⇔ x – x −2 LËp b¶ng x -2 -8 -4 -2 -1 x -6 -2 (8) 10 (14) Z ⇒ x = {-6; -2; 0; 1; 3; 4; 6; 10} th× A V× x b (0,5®) 76 + 75 – 74 Z = 74 (72 + – 1) = 55 ⋮ 55 Bµi (4 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 b) TÝnh A = + + 52 + 53 + + 549 + 55 Bµi (4 ®iÓm) a b c a) T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng : vµ a + 2b – 3c = -20 b) Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ Trị giá loại tiền trên b»ng Hái mçi lo¹i cã mÊy tê? Bµi (4 ®iÓm) a) Cho hai ®a thøc f(x) = x – 3x + 7x – 9x + x - x g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 - TÝnh f(x) + g(x) vµ f(x) – g(x) b) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 t¹i x = -1 Bµi (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E cho BE = BA Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D a)So sánh các độ dài DA và DE b) TÝnh sè ®o gãc BED Bµi (4 ®iÓm) Cho tam giác ABC, đờng trung tuyến AD Kẻ đờng trung tuyến BE cắt AD G Gäi I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña GA, GB Chøng minh r»ng: a) IK// DE, IK = DE b) AG = AD đáp án & biểu điểm môn toán (15) Bµi 4® a) 74( 72 + – 1) = 74 55 55 (®pcm) 2® b) TÝnh A = + + 52 + 53 + + 549 + 55 (1) 5.A = + 52 + 53 + + 549 + 55 + 551 (2) 1® Trõ vÕ theo vÕ (2) cho (1) ta cã : 4A = 551 – => A = 1® Bµi 4® 51 1 a b c a 2b 3c a 2b 3c 20 5 a) 12 12 => a = 10, b = 15, c =20 0,5® 0,5® 0,5® 2® b) Gäi sè tê giÊy b¹c 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ x, y, z ( x, y, z N*) Theo bµi ta cã: x + y + z = 16 vµ 20 000x = 50 000y = 100 000z Biến đổi: 20 000x = 50 000y = 100 000z 20 000 x 50000 y 100 000 z x y z x y z 16 2 100000 100000 100000 5 => Suy x = 10, y = 4, z = VËy sè tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ 10; 4; 0,5® Bµi 4® 1 a) f(x) + g(x) = 12x – 11x +2x - x - 4 1® 1 f(x) - g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2 - x + 1® b) A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 t¹i x = - A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 +…+ (-1)100 = + + +…+ = 50 (cã 50 sè h¹ng) 2® Bµi 4®: VÏ h×nh (0,5®) – phÇn a) 1,5® - phÇn b) 2® b a) ABD = EBD (c.g.c) => DA = DE b) V× ABD = EBD nªn gãc A b»ng gãc BED Do gãc A b»ng 900 nªn gãc BED b»ng 900 e c a d Bµi 5: 4® (16) a) Tam gi¸c ABC vµ tam gi¸c ABG cã: a 1 DE//AB, DE = AB, IK//AB, IK= AB i Do đó DE // IK và DE = IK b) GDE = GIK (g c g) v× cã: DE = IK (c©u a) Gãc GDE = gãc GIK (so le trong, DE//IK) Gãc GED = gãc GKI (so le trong, DE//IK) ⇒ e G k b c d GD = GI Ta cã GD = GI = IA nªn AG = AD - VÏ h×nh: 0,5® - Phần a) đúng: 2đ - Phần b) đúng: 1,5đ §Ò lÇn cho §éi tuyÓn Ra ngµy: 28/10/2010 Thu bµi ngµy: 2/11/2010 Bµi1: Chøng minh r»ng: M = 3n+2 - 2n+2 +3n – 2n cã tËn cïng lµ víi mäi sè tù nhiªn n Bµi : T×m x: a) |2 x −1|+3=15 x-3,2 + 2x- x b) Bµi 3: Chøng minh r»ng: nÕu (ad + bc)2 = 4abcd th× c¸c sè a, b, c, d lËp thµnh mét tØ lÖ thøc Bµi 4: 2 10 x y 20 2010 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A= Bµi 5: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B VÏ tia AD lµ ph©n gi¸c cña BAC (D BC) VÏ tia CE lµ ph©n gi¸c cña BCA (E AB) Hai tia AD vµ CE c¾t t¹i I a) Chøng minh r»ng: CIA 135 b) Vẽ tia Cx là tia đối tia CA Tia phân giác góc BCx cắt tia AD t¹i K TÝnh gãc CKA ? Phßng gd & ®t h¹ hoµ Trêng THCS H¹ Hoµ Hớng dẫn giảI đề ĐT toán lần Líp 7- Thêi gian lµm bµi : 120 phót Bµi 1: (17) Chøng minh r»ng: M = 3n+2 - 2n+2 +3n – 2n cã tËn cïng lµ víi mäi sè tù nhiªn n Gi¶i: Ta cã: M = 3n+2 - 2n+2 +3n -2n = 3n+2 +3n - 2n+2 +2n =3n 32 +1 -2 n 2 +1 =3n 10 2n.5 10 3n n M 10 (n N*) VËy víi n N* Ta cã M lu«n cã tËn cïng lµ Bµi : T×m x: x 12 x 15 x 12 x 12 a) x-3,2 + 2x- x b) (1) Ta cã: 2x- x 13 x 11 x 6,5 x 5,5 x 3, 3, x 3, x víi mäi x dÊu “=” x¶y vµ chØ 3,2-x 0 ; 1 2 x x 0 5 dÊu “=” x¶y vµ chØ x-3,2 + 2x- Suy ra: 1 3, x x x 5 3, x 0 x Do đó (1) x 3, x 0,1 vËy: 0,1 x 3, Bµi 3: Ta cã: (ad + bc)2 = (ad+bc)(ad+bc)=(ad)2+2adbc+(bc)2 Nªn tõ gi¶ thiÕt (ad + bc)2 = 4abcd (ad)2+2adbc+(bc)2=4abcd (ad)2-2adbc+(bc)2=0 (ad)2-adbc-acbd+(bc)2=0 ad(ad-bc)-bc(ad-bc)=0 (ad-bc)2=0 a c ad-bc=0 ad=bc b d ( §iÒu ph¶i chøng minh) Bµi 4: 2 10 x y 20 2010 5 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A= 2 10 x 0; y 20 0 5 Ta cã: víi mäi x,y nªn A 2010 DÊu “=” x¶y x=2/5; y=-20 VËy GTNN cña A lµ Amin=2010 x=2/5; y=-20 (18) Bµi 5: A E BAC (D BC) (E AB) AD c¾t CE t¹i C I CE lµ ph©n gi¸c cña BCA B I GT ABC; B=900; AD lµ ph©n gi¸c cña CK lµ ph©n gi¸c cña gãc BCx KL a) CIA 135 D x b) CKA =? Gi¶i: a) XÐt tam gi¸c AIC Ta cã : K BAC ACB 0 AIC+CIA+ACI=180 AIC=180 -(CIA+ACI)=180 -( + ) 2 o Mµ tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B nªn BAC+ACB=90 CIA 135 b) V× hai gãc ACB vµ BCx lµ hai gãc kÒ bï nªn hai tai ph©n gi¸c cña chóng vu«ng gãc víi ICK =900 Tam gi¸c ICK cã gãc AIC lµ gãc ngoµi nªn AIC=ICK+IKC CKA=AIC - ICK = 1350 - 900 =450 VËy CKA =450 Câu 1: Tìm các số x, y, z biết x 5 x a/ (x – 1)3 = - b/ c/ x - x = d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48 Câu 2: 2011 a/ Tìm số dư chia cho 31 b/ Với a, b là các số nguyên dương cho a + và b + 2007 chia hết cho Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho c/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74 Câu 3: (19) a b a b2 a 2 a/ Cho tỉ lệ thức b c Chứng minh ta có tỉ lệ thức: b c c b/ Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau: lấy hai số bất kì và thay vào hiệu chúng, làm đến còn số trên bảng thì dừng lại Hỏi có thể làm để trên bảng còn lại số không? Giải thích? Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân A Từ E và F kẻ đường vuông góc EK và FN với đường thẳng HA a/ Chứng minh rằng: EK = FN b/ Gọi I là giao điểm EF với đường thẳng HA Tìm điều kiện tam giác ABC để EF = 2AI Câu 5: a/ Cho bốn số không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối hiệu cặp số có từ bốn số a, b, c, d Hỏi S có thể đạt giá trị lớn bao nhiêu b/ Cho tam giác nhọn ABC với BAC = 600 Chứng minh BC2 = AB2 + AC2 – AB AC -Hết (Cán coi thi không giải thích gì thêm) HƯỚNG DẪN CHẤM chän häc sinh n¨ng khiÕu MÔN: TOÁN Câu (2đ) ======================================== Phần Nội dung cần trình bày a 0,5đ (x – 1) = - => x – = - => x = - Vậy x = - Điều kiện: x x 5 x 12 x 12 x 1 x 3 => x 3 x => x 6 Điểm 0,5 x 5 x b 0,5đ (Thỏa mãn điều kiện) 0,5 Vậy x = x = c 0,5đ x - x = Điều kiện x = => x = x = (thỏa mãn điều kiện) => Vậy x = x = x x 0,5 (20) d 0,5đ (2,5đ) a, 1đ x y z x y z x y z 48 4 12 12 12x = 15y = 20z => => => x = 20; y = 16; z = 12 Ta có 25 = 32 1 (mod31) => (25)402 (mod31) => 22011 (mod31) Vậy số dư chia 22011 cho 31 là 0,5 Vì a nguyên dương nên ta có 4a 1 (mod3) => 4a + 0 (mod3) 0,25 Mà 4a + 0 (mod2) => 4a + b a a 0,25 Khi đó ta có + a + b = + + a +1 + b + 2007 – 2010 0,75đ Vậy với a, b là các số nguyên dương cho a + và b + 2007 0,25 chia hết cho thì 4a + a + b chia hết cho 74 Từ 6x2 + 5y2 = 74 => 6x2 74 => x2 0;1; 4;9 c mà x nguyên => x 0,75đ Mặt khác ta có x2 + = 75 – 5x2 – 5y2 => x2 = x2 = Nếu x2 = => y2 = 10 (loại vì y nguyên) (3, 2); (3, 2);( 3, 2);( 3, 2) Nếu x2 = => y2 = => (x, y) 1,75 đ a 1đ 0,25 0,25 0,25 a b a a b a a2 b2 a b2 2 2 Ta có c = b c => c = b c = b = c = b c a b a b2 a 2 Vậy có tỉ lệ thức b c ta có tỉ lệ thức: b c c 0,75 0,25 Gọi S là tổng tất các số ghi trên bảng 2008.2009 Ta có S = + + + … + 2008 = = 1004.2009 là (2,5đ) 0,25 b số chẵn Khi lấy hai số a, b và thay vào hiệu hai 0,75đ 0,25 số thì tổng S bớt (a + b) – (a – b) = 2b là số chẵn Nên tổng phải là số chẵn 0,25 Vậy trên bảng không thể còn lại số Vẽ hình và GT-KL đúng, đẹp 0,25 F N I K E A B a 1,5 H Chứng minh KAF = HBA ( ch – gn) => EK = AH Chứng minh NFI = HCA ( ch – gn) => FN = AH Suy EK = FN C 0,5 0,5 0,5 (21) b 0,75đ (1,25đ) 0,25 EF Chứng minh KEI = NFI ( c.g.c) => EI = FI = EF IAE IFA Mà AI = (gt) => AI = EI = FI => IEA và IAF 0 BAC EAF 0,25 0,25 => = 90 => = 90 Vậy EF = 2AI tam giác ABC vuông A Giả sử a b c d 0 a b b c c d a c a d b d Ta có S = => S = a – b + b – c + c – d + a – c + a – d + b – d => S = 3a + b – (c + 3d) Mà c + 3d => S 3a + b Mặt khác a + b + c + d = => a a 0,75đ Suy S = 3a + b = 2a + a + b 2.1 + = c 3d a b c d 1 a 1 0,25 0,25 a 1 <=> b c d 0 Dấu xảy Vậy S lớn bốn số a, b, c, d có số 0,25 còn ba số Kẻ BH AC AB 0,25 BAC 0 Vì 60 => ABH = 30 => AH = (1) Áp dụng dịnh lí Pytago ta có AB2 = AH2 + BH2 và BC2 = BH2 + HC2 => BC2 = AB2 – AH2 + CH2 => BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2 => BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AH.AC + AH2 => BC2 = AB2 + AC2 – 2AH.AC (2) 0,25 Từ (1) và (2) => ĐPCM A H b 0,5đ B C Ghi chú: Đáp án trên là cách làm đúng, học sinh làm đúng cách khác cho điểm tối đa C©u 1(1,5 ®iÓm ) So s¸nh c¸c sè sau: 2300 vµ 3200 C©u2 (3,5 ®iÓm ) T×m c¸c sè a1, a2, a3,….,a100 , biÕt: a1 − a −2 a −3 = = =….= 100 99 98 Vµ a1+ a2 + a3+ …+ a100 = 10100 a100 −100 C©u 3(3,0 ®iÓm ) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau, biÕt x + y – = M = x3 + x2y – 2x2 – xy - y2 + 3y + x + 2006 (22) C©u (2,0 ®iÓm) Cho hai hai ®a thøc P(x) = x2 + 2mx + m2 vµ Q(x) = x2 + (2m +1 )x + m2 T×m m, biÕt P(1) = Q(- 1) C©u5 (8 ®iÓm ) Cho tam giác giác nhọn ABC ,AH là đờng cao Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF, vuông B và C.Trên tia đối tia AH lấy điểm I cho AI = BC Chøng minh a) Δ ABI = Δ BEC b) BI = CE vµ BI vu«ng gãc víi CE c) Ba đờng thẳng AH, CE, BF cắt điểm C©u (2 ®iÓm ) Chøng minh r»ng tæng c¸c b×nh ph¬ng cña sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng thÓ lµ mét sè chÝnh ph¬ng =====HÕt==== đáp án – biểu điểm C©u đáp án ®iÓm 2300 = (23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100 Vì 8100 < 9100.Do đó 2300 <3200 a1 − a −2 a −3 a100 −100 = = =….= 100 99 98 (a1 + a2+ .+a100 )−(1+2+ +100) (a1 + a2+ .+a100 ) ¸p dông d·y tû sè b»ng ta cã: = 100+99+ +1 100+99+ +1 10100 = -1=2–1=1 5050 ⇒ a1 = a2 =…= a100 = 101 Tõ P(1) = Q(-1) ,suy 1+2m +m2 =1 – (2m +1) +m2 ⇒ m = Biến đổi đa thức theo hớng làm xuất thừa số x + y – M = ( x3 + x2y – 2x) – (xy +y2 - 2y ) + (x+y -2 ) + = x2(x + y – 2) – y(x + y – 2) + (x + y – 2) +2008 =x2.0 – y.0 + + 2008 = 2008 0,5 0,5 0,5 -1 1,5 1 2,0 0,5 1,0 1,0 0,5 (23) I E A F 1,0 M 2,5 3,5 B C H - Vẽ hình,ghi giả thiết kết luận đúng đợc a) Ta cã ∠ IAB = 1800 - ∠ BAH =1800 – (900 - ∠ ABC) =900 + ∠ ABC = ∠ EBC Δ ABI = Δ BEC (c – g – c) b) Δ ABI = Δ BEC( c©u a ) nªn BI = EC (hai c¹nh t¬ng øng ) ∠ ECB = ∠ BIA hay ∠ ECB = ∠ BIH Gäi M lµ giao ®iÓm cña CE víi AB ,ta cã : ∠ MCB + ∠ MBC = ∠ BIH + ∠ IBH = 900, đó CE BI c) Trong tam giác BIC: AH, CF , BE là ba đờng cao.Vậy AH, CF , BE đồng quy điểm Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n - 2, n- 1, n, n + 1,n +2, đó n N vµ N Ta cã A = (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n +1)2 + (n+2)2 = 5(n2 + 2) Vì n2 không thể có chữ số tận cùng 8, đó (n + 2) không chia hết cho 5, vì 5(n + 2) kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng, hay A kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng *) Ghi chú: Cách làm đúng khác cho điểm §Ò sè ( Bµi lµm nép vµo s¸ng thø ba ngµy 23/11/2010 Bµi 1: a, Cho a lµ sè chÝnh ph¬ng Chøng minh r»ng: a(a-2005) chia hÕt cho 12 b, T×m sè h÷u tû a, b biÕt r»ng: a-b = 2(a+b) = ab Bµi 2: Mét c¸ voi: §Çu dµi 3m M×nh dµi b»ng ba ®Çu vµ nöa ®u«i §u«i dµi b»ng mét ®Çu vµ nöa m×nh Tìm chiều dài cá voi đó Bµi 3: Trong hình vuông cạnh mét ngời ta gieo vào đó cách tuỳ ý 51 điểm Chứng minh ít có điểm số 51 điểm đã cho n»m h×nh vu«ng cã c¹nh dµi 0,2 mÐt Bµi 4: T×m sè nguyªn d¬ng x tho¶ m·n: 1 √ − x +4 + + … + = 1.2 2.3 x (x +1) √ − x+5 (24) Bµi 5: AD lµ ph©n gi¸c gãc A Cho ABC cã B>C; a) Chøng minh r»ng:ADC-ADB=B-C b)VÏ ® êng th¼ng AH vu«ng gãc víi BC t¹i H 40 TÝnh ADB vµ HAD biÕt B-C= c) Vẽ đ ờng thẳng chứa tia phân giác góc ngoài đỉnh A, B-C nã c¾t ® êng th¼ng BC t¹i E Chøng minh r»ng AEB= HAD= (chua co loi giai) Bài 1: Tính: 3 1 1 1, 1 2, (63 + 62 + 33) : 13 1 1 1 1 3, 10 90 72 56 42 30 20 12 Bài (3đ): Cho a,b,c R và a,b,c thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: a+2007 b ¿ ¿ a b+ 2007 c ¿2 = c ¿ ¿ ¿ C©u 3: a) Cho f ( x)=ax2 + bx+ c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ Chøng tá r»ng: f (−2) f (3)≤ BiÕt r»ng 13 a+b+ 2c =0 b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A= cã gi¸ trÞ lín nhÊt 6−x C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AC Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 90 F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AB a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB EC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña A=19 +29 (chua co loi giai) Câu 1: (2,5 điểm) a/ Tính cách hợp lý: 2 11 3 0,6 11 0,4 89 96 (1,5 điểm) 1 0,875 0,7 1 0,25 (25) b/ Biết rằng: 14 + 24 + 34 + 104 = 25333 Tính: 24 + 44 + 64 + + 204 (1 điểm) Câu 2: (2,5 điểm): a/ Cho số x; y; z là số khác không thoả mãn điều kiện: (1,5 điểm) yz x zx y x y z x y z Hãy tính giá trị biểu thức: x y z A (1 )(1 )(1 ) y x x b/ Tìm Giá trị nguyên x để giá trị biểu thức: P Có giá trị lớn nhất? Tính giá trị lớn đó? 8 x 7 x Câu 3: (1 điểm): Cho hàm số f(x) xác định với x Và với x ta có f(x) + 3f( x ) = x2 Hãy tính f(2) Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân có góc A = 100 Gọi M là điểm nằm tam giác cho góc MCB = 200 và góc MBC = 100 Vẽ tam giác BME (E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là BM) Chứng minh rằng: a/ điểm C, A, E thẳng hàng b/ Tính số đo góc AMB (chua co loi giai) (26)