=> Tứ giác APMQ nội tiếp được trong đường tròn đường kính AM AM * Vì AM là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là trung..[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BÁ THƯỚC KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP HUYỆN BẬC THCS Đề thi lý thuyết môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ THI Bài (4đ) 1 a) Cho ba số hữu tỉ x, y, z thoả mãn x y z 1 Chứng minh ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 là số hữu tỉ b) Giải và biện luận bất phương trình theo tham số m: m2x - 9x + m Bài 2.(4đ) P 15 x 11 x 2 x x x 1 x x 3 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh rằng: Bài 3.(4đ) P x y 1 x y x y Giải hệ phương trình sau: Tìm tất các số nguyên n để n2 +2002 là số chính phương Cho hai số thực dương a, b thoả mãn điều kiện a2 + b2 1 1 1 a b Tim giá trị nhỏ biểu thức sau: Q= a b Bài 4.(6đ) Cho tam giác ABC có đường cao là AH Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng với B, C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB AC a) Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó b) Chứng minh MP + MQ = AH c) Chứng minh OH PQ Bài 5(2 đ) Cho ba số thực dương a, b, c, thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 11b a 11c b 11a c 2 ab 4b cb 4c ac 4a Hết (2) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BÁ THƯỚC KỲ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP HUYỆN BẬC THCS HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI LÝ THUYẾT MÔN: TOÁN Bài Câu a (2đ) (Gồm … trang) Nội dung bài giải Ñaët a = x+1; b = y+1; c = z+ Điểm 0,5 1 2ab 2ac 2bc 0 Ta có: a b c 2 2 2 Mặt khác: (a+b-c) =a +b +c +2ab-2ac-2bc=a +b +c A a b c (a b c ) | a b c | là số hữu tỉ Giải và biện luận bất phương trình: m2x-3 9x+m <=> (m2 - 9)x m + <=> (m - 3)(m + 3)x m + + Với m = bất phương trình trở thành : 0x Vô nghiệm + Với m = -3 bất phương trình trở thành : 0x 0 Đúng với x R m + Với m2 - > <=> (4đ ) > <=> x Bất phương trình có nghiệm là: b (2đ) + Với m - < <=> m m>3 m < - m 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 < <=> -3 < m < x m 0,25 Bất phương trình có nghiệm là Vậy : + Với m = bất phương trình vô nghiệm + Với m = -3 bất phương trình đúng với x R + Với m > m < - BPT có nghiệm là: x m 0,25 + Với -3< m < Bất phương trình có nghiệm là x (4đ) m a Điều kiện: x 0, x 1 (2,5 đ) Ta có: P 15 x 11 x 0,5 x 3 x x 1 x x 3 15 x 11 (3 x 2)( x 3) (2 x 3)( x 1) ( x 3)( x 1) ( x 3)( x 1) ( x 3)( x 1) 0,5 0,25 (3) 15 x 11 (3 x 2)( x 3) (2 x 3)( x 1) ( x 3)( x 1) 15 x 11 3x x x x x x ( x 3)( x 1) 5x x 0,25 ( x 3)( x 1) 0,25 ( x 1)( x 2) ( x 3)( x 1) 0,25 x 2 x 3 x 2 Vậy: P= x P Giả sử: x 2 x 3 0,25 3( x 2) 2( x 3)( x 0(x 0) b (1,5 đ) (luôn đúng x 0, x 1 ) Vậy: (2 đ) 0,5 0,5 15 x 2 x 17 x 0 (4đ) 0,25 Ta có: P (x 0, x 1) 0,25 0,25 x y 1 x y x y x y 1 x y ( x y )( x y ) x y 1 x y x y 0 x y 1 3 x y ( x y ) 0 0,5 0,25 0,25 0,5 (4) x 0 3 x y 1 x y 1 y 0 x 0 x y 1 y 0 x y 0 x y 0 (loai ) 3 x y x 0 y 1 x 1 y 0 0,25 0,25 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: (0;1); (1;0) Giả sử n2+2002=m2 (m nguyên) (m-n)(m+n)=2002 (*) Ta thấy: - Nếu m và n khác tính chẵn lẻ thì vế trái là số lẻ không thoả mãn a - Nếu m và n cùng chẵn cùng lẻ thì (m-n) 2 và (m+n) 2 nên (1đ) vế trái chia hết cho 4, mà 2002 4, tức là không thoả mãn (*) Vậy không tồn số nguyên n để n2+2002 là số chính phương 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1 1 1 a b a2 b2 a b Q= a b = 4a 4b 3(a b ) a b b (1đ) (6đ) 1 4a 2 4a 4 a a Ta có: , dấu “=” xảy a2= 1 4b 2 4b 4 b b , dấu “=” xảy b = 2 2 a +b -3(a +b ) -3, dấu “=” xảy a2+b2=1 Suy ra: Q 9, dấu “=” xảy a2=b2= Vậy giá trị nhỏ Q là a=b= (do a, b>0) a Vẽ hình đúng (2đ) Ta có : MP AB (gt) => APM = 900; MQ MQ AC (gt) => AQM = 900 P và Q cùng nhìn BC góc 900 nên P và Q cùng nằm trên đường tròn đường kính AM => Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn đường kính AM AM * Vì AM là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ nên tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là trung 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 (5) điểc b 2đ điểm AM Tam giác ABC có AH là đường cao => SABC = BC.AH Tam giác ABM có MP là đường cao => SABM = AB.MP Tam giác ACM có MQ là đường cao => SACM = AC.MQ 1 Ta có: SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH Tam giác ABC có AH là đường cao nên là đường phân giác => HAP = HAQ => HP= HQ( tính chất góc nội tiếp ) => HOP = HOQ (t/c góc tâm) => OH là tia phân giác góc POQ Mà tam giác POQ cân O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy OH là đường cao => OH PQ 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 c (2đ) Ta có: (a-b)2 0 a2- 2ab+b2 0 a2+b2- ab ab (a+b)( a2+b2- ab) ab(a+b) (vì a, b >0) a3+b3 ab(a+b) (2đ) 0,5 (6) a 12b 11b ab( a b) 12b ab(a b) 11b a b(12b ab a ) 11b a b(12b 4ab 3ab a ) 11b a 3 b 4b(3b a ) a (3b a) 11b a b(3b a )(a 4b) 11b a (3b a)(ab 4b ) 11b a 11b a 3b a ab 4b 0,25 Tương tự với a, b, c > thì: 11c b 3c b cb 4c ; 11a c 3a c ac 4a Suy ra: 11b a 11c b 11a c 2( a b c ) ab 4b cb 4c ac 4a =2 (vì a+b+c=1) 0,25 (7)