Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O.. Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh SC.[r]
(1)NguyÔn Manh Cuong §HSP Hµ Néi h×nh gi¶i tÝch kh«ng gian Bài 1(A_02) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường th¼ng: ïìï x = + t ïìï x - y + z - = ï vµ D : í y = + t D1 : í ïï ïïî x + y - z + = ïïî z = + 2t a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D và song song với đường th¼ng D b) Cho M (2, 1, 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng D cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ Bài 2(A_03) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a, 0, 0), D (0, a, 0), A’(0, 0, b) (a, b > 0) Gäi M lµ trung ®iÓm cña CC’ a) TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn BDA’M theo a vµ b b) Xác định tỷ số a để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với b Bài (A_04) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2, 0, 0), B(0, 1, 0), S (0,0,2 2) Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh SC a) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng SA, BM b) Gi¶ sö mÆ ph¼ng (ABM) c¾t ®êng th¼ng SD t¹i N TÝnh thÓ tÝch khèi h×nh chãp S ABMN Bài (A_05) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng d: x- y + z- = = vµ mÆt ph¼ng ( P ) : x + y - z + = - a) Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b»ng b) Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham sè cña ®êng th¼ng D n»m mÆt ph¼ng (P), biÕt D ®i qua A vµ vu«ng gãc víi d Bài (D_02 ) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng ìï (2 m + 1) x + (1 - m) y + m - = ( P) : x - y + = vµ ®êng th¼ng dm : ïí ïïî mx + (2 m + 1)z + m + = Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) Lop12.net (2) NguyÔn Manh Cuong §HSP Hµ Néi Bài (D_03) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng ìï x + 3ky - z + = dk : ïí ïïî kx - y + z + = Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P): x - y - z + = Bài (D_04) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho ba điểm A(2, 0, 1), B(1, 0, 0), C(1, 1, 1) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z - = Viết phương tr×nh mÆt cÇu ®i qua ba ®iÓm A, B, C vµ cã t©m thuéc mÆt ph¼ng (P) Bài (D_05) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường th¼ng: d1 : ìï x + y - z - = x- y+ z+ = = vµ d2 : ïí ïïî x + 3y - 12 = - a) Chứng minh d1 và d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chøa c¶ hai ®êng th¼ng d1 vµ d2 b) mặt phẳng Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 các điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ) Bài (B_03) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai điểm uuur A(2, 0, 0), B(0, 0, 8) vµ ®iÓm C cho AC = (0,6,0) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ trung ®iÓm I BC đến đường thẳng OA Bài 10 (B_04) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac Oxyz cho điểm A(-4, -2, 4) và ïìï x = - + 2t ï ®êng th¼ng d : í y = - t Viết phương trình đường thẳng D qua A, cắt và ïï ïïî z = - + 4t vu«ng gãc víi ®êng th¼ng d Bài 11 (B_05) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA1 B1C1 với A(0, -3, 0), B(4, 0, 0), C(0, 3, 0), B1(4, 0, 4) a) Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc víi mÆt ph¼ng (BCC1B1) b) Gọi M là trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M vµ song song víi BC1 MÆt ph¼ng (P) c¾t ®êng th¼ng A1C1 t¹i ®iÓm N Tính độ dài đoạn MN x az a vµ d2 : y z Bµi 12 Cho ®êng th¼ng d1 : ax 3y x 3z a Tìm a để đường thẳng d1 và d2 cắt b Với a = viết phương trình mp (P) chứa d2 và song song d1, đó tính khoảng cách gi÷a d1 vµ d2? Lop12.net (3) NguyÔn Manh Cuong §HSP Hµ Néi 2x y z vµ mp (P) : x - y + z - = x y z Viết phương trình hình chiếu vuông góc trên (P) Bµi 13 Cho ®êng th¼ng : Bài 14 Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2; 1; 1), 3 x y 11 y 3z B(0; - 1; 3) vµ ®êng th¼ng d : a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm I AB và vuông góc với AB Gäi K lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng d vµ mÆt ph¼ng (P), chøng minh r»ng d vu«ng gãc víi IK b) Viết phương trình tổng quát hình chiếu vuông góc d trên mặt phẳng có phương trình là x + y – z +1 = Bµi 15 Cho d1 : x y 1 z vµ d2 : 3x z 2x y a Cmr d1 vµ d2 chÐo vµ vu«ng gãc víi b Viết phương trình tổng quát đường thẳng d cắt d1, d2 và song song : x 4 y7 z3 2 Bµi 16 Trong kg Oxyz cho tø diÖn OABC víi A(0; 0; a ); B(a; 0; 0); C(0; a ;0) (a> 0) Gäi M lµ trung ®iÓm BC TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a ®êng th¼ng AB vµ OM Cho I(0, 0, 1), K(3, 0, 0) Viết phương trình mp qua I, K và tạo với mp (xOy) góc 300 Bài 17 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), B(2; 2;0), S(0; 0; m) a) Khi m = 2, tìm tọa độ điểm C đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (SAB) b) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña O trªn ®êng th¼ng SA Cmr víi mäi m > diÖn tÝch tam gi¸c OBH nhá h¬n Bài 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 1) và đường thẳng d: xy0 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d Tìm tọa 2x z độ hình chiếu vuông góc H điểm B(1; 1; 2) trên mặt phẳng (P) Bài 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0) và M(1: 1: 1) a Tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với gốc tọa độ O qua đường thẳng AM b Giả sử (P) là mặt phẳng thay đổi luôn qua đường thẳng AM và cắt trục Oy, Oz các điểm: B(0; b; 0), C(0; 0; c) với b > 0, c > Cmr: b+ c= bc vµ t×m b, c cho diÖn tÝch tam gi¸c ABC nhá nhÊt Bài 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 1) và đường thẳng d: xy0 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d Tìm tọa 2x z độ hình chiếu vuông góc H điểm B(1; 1; 2) trên mặt phẳng (P) Lop12.net (4) NguyÔn Manh Cuong §HSP Hµ Néi Bài 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(4; 2; 2), B(0; 0; 7) và ®êng th¼ng d: x y z 1 Cmr hai ®êng th¼ng d vµ AB cïng thuéc mét 2 mÆt ph¼ng T×m ®iÓm C thuéc ®êng th¼ng d cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A Bài 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1,1,0), B(0,2,0), C(0,0,2) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AC với (P) b) Cmr Tam giác ABC là tam giác vuông Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diÖn OABC Bài 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5, 2, -3) và mặt phẳng (P) : 2x + 2y - z + = a Gọi M1 là hình chiếu vuông góc M trên mp (P), xác định tọa độ (M1) và tính độ dài MM1 b ViÕt pt mp (Q) ®i qua M vµ chøa ®êng th¼ng : x 1 y 1 z 6 Bài 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng x 1 2t x y z d1 : vµ d2 : y t (t lµ tham sè) 1 z t a Xét vị trí tương đối d1 và d2 b Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 cho MN song song với mặt ph¼ng (P) : x - y + z = vµ MN = Bài 26 Trong không gian với hệ tọa độ Đề các Oxyz, cho A(1, 2, 1), B(3, 1, 2), và d: x y2 z4 , ( P) : x - y + z + = 1 Tìm tọa độ C đối xứng với A qua (P) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt d và song song với (P) T×m M thuéc (P) cho MA+ MB nhá nhÊt Bài 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (a ) có phương trình : x - y + z - 11 = vµ hai ®iÓm A(1, -1, 2), B(-1, 1, 3) a) Viết phương trình đường thẳng D là hình chiếu vuông góc đường thẳng AB trên mÆt ph¼ng (a ) b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mặt phẳng (a ) cho chu vi tam giác ABC nhỏ Bµi 28 Trong mp Oxyz cho mp (P): x - y + z + = vµ A(-1; -3; -2); B(-5;7;12) a Tìm A’ đối xứng với A qua (P)? b Cho M ch¹y trªn (P), t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña MA + MB Lop12.net (5) NguyÔn Manh Cuong §HSP Hµ Néi Bµi 29 Cho tø diÖn ABCD, A(2, 3, 2), B(6, -1, -2), C(-1, -4, 3), D(1, 6, -5) TÝnh gãc đường thẳng AB, CD Tìm tọa độ M thuộc đường thẳng CD cho tam giác ABM cã chu vi nhá nhÊt Bµi 30 Cho mÆt ph¼ng (a ) : x + y - z = vµ ®êng th¼ng d : x- y z = = 1 a) Viết phương trình đường thẳng D qua điểm M(1, -1, 1), cắt d và song song víi mÆt ph¼ng (a ) b) Xác định tọa độ giao điểm d và D Bài 31.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng chéo : ìï x = - + 3t ìï x = + t ïï ïï d1 : í y = - t vµ d2 : í y = + 3t ïï ïï ïïî z = + t ïïî z = + 2t Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung hai đường thẳng d1 và d2 Tìm tọa độ các giao điểm đường vuông góc chung đó với hai đường thẳng d1 và d2 Bµi 32 Cho A(2, 0, 0); C(0; 4, 0); S(0, 0, 4) a Tìm tọa độ điểm B thuộc mp Oxy cho tứ giác OABC là hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, B, C , S b Tìm tọa độ A1 đối xứng A qua đường thẳng SC Bài 33 Cho hai điểm A(2, -1, 1), B(-2, 3, 7) và đường thẳng d có phương trình x- y- z+ = = - - a) Chøng tá r»ng d vµ ®êng th¼ng AB thuéc cïng mét mÆt ph¼ng b) T×m ®iÓm I Î d cho IA + IB nhá nhÊt uur uur c) T×m ®iÓm I Î d cho IA + IB nhá nhÊt Bµi 34 Trong kh«ng gian Oxyz cho mÆt ph¼ng (a ) : x + y + z - = vµ ba ®iÓm A(3, ,0), B(0, -6, 0), C(0, 0, 6) Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC a) Viết phương trình tham số đường thẳng D là giao tuyến (a ) và mặt ph¼ng (ABC) b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H điểm G trên (a ) uuur uuur uuur c) T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm M thuéc (a ) cho MA + MB + MC nhá nhÊt Bài 35 Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCDA 'B'C'D' Biết A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), D(0, 2, 0), A’(0, 0, 2) Gọi M, N là trung điểm AB và BC Viết phương trình mặt phẳng chứa MN và song song với BA’ Tính góc hai đường th¼ng MN vµ BA’ Lop12.net (6) NguyÔn Manh Cuong §HSP Hµ Néi Bài 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có A trùng với gốc tọa độ O, B(1,0,0),D(0,1,0),A1 (0,0, 2) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A1, B, C và viết phương trình h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®êng th¼ng B1D1 trªn mÆt ph¼ng (P) b) Gäi (Q) lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi A1C TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn cña h×nh chãp A1.ABCD víi mÆt ph¼ng (Q) Bài 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có các đỉnh A’(0, 0, 0), B’(a, 0, 0), D’(0, a, 0), A(0, 0, a) M, N là các điểm nằm trên cạnh BB’, AD cho BM = AN = b, đó < b < a I, J tương ứng là trung điểm các cạnh AB, C’D’ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N, P và chứng minh điểm J thuộc mặt phẳng đó Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (P) với hình lập phương đã cho Bài 38 Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 với A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), D1(0, 2, 2) a Xác định các đỉnh còn lại Gọi M là trung điểm BC Chứng minh mặt ph¼ng (AB1D1) vµ (AMB1) vu«ng gãc víi b Chøng minh r»ng tØ sè kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm N thuéc ®êng th¼ng AC1 ( N A ) tíi hai mÆt ph¼ng (AB1D1) vµ (AMB1) kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm N Bài 39 Trong không gian Oxyz cho lăng trụ đứng OAB O1 A1B1 với A(2, 0, 0), B( 0, 4, 0), O1( 0, 0, 4) a) Tìm A1, B1 Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, A, B, O1 b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB MÆt ph¼ng (P) qua M vu«ng gãc víi O1A vµ c¾t OA, AA1 N và K Tính độ dài KN Bài 40 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A( 2; 1;0) , B( 2; 1;0) , S(0;0;3) a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M cạnh AB, song song với hai ®êng th¼ng AD vµ SC b) Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng qua ®iÓm B vµ vu«ng gãc víi SC TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn cña h×nh chãp S.ABCD víi mÆt ph¼ng (P) Bài 41 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp tứ giác S ABCD, biết các đỉnh S(3, 2, 4), A(1, 2, 3), C(3, 0, 3) Gọi H là tâm hình vuông ABCD a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD b) Tính thể tích khối chóp có đỉnh là điểm S, đáy là thiết diện tạo hình chóp S ABCD víi mÆt ph¼ng ®i qua H vµ vu«ng gãc víi SC Bài 42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S ABCD có A trùng với gốc tọa độ, S(0, 0, b), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0) với a, b > Gọi I và E tương ứng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A trªn SB, SD Lop12.net (7) NguyÔn Manh Cuong §HSP Hµ Néi a) Viết phương trình mặt phẳng (AIE) b) Cho gãc AAIE 30o , h·y tÝnh b theo a Bài 43 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng 2 x y z d : và mặt cầu ( S ) : x y z x y m Tìm m để x y 2z đường thẳng d mặt cầu (S) hai điểm M, N cho khoảng cách hai điểm đó b»ng Bài 44 Cho ba điểm A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 4) Viết phương trình mặt phẳng (a ) song song víi mÆt ph¼ng (b ) : x + y + 3z + = vµ c¾t mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp tø diÖn OABC theo mét ®êng trßn cã chu vi b»ng 2p Bài 45 Trong gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x 2y z m 3m ( m lµ tham sè ) vµ mÆt cÇu ( S ) : ( x 1) ( y 1) ( z 1) Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Với m vừa tìm được, hãy xác định tọa độ tiếp điểm mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) Lop12.net (8)