Gọi O;R là đường tròn ngoại tiếp, I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác đó.. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI ……………… NĂM HỌC 2011 – 2012 BÁ THƯỚC Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: … tháng … năm 2011 Đề thi có 01 trang Câu 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình: ¿ x − x +4 y =0 x +4 xy +4=0 ¿{ ¿ Giải phương trình: (2x2 – 3x +1)(2x2 + 5x +1) = 9x2 Câu 2: (4 điểm) Cho biểu thức: A= x ( x +2) x +2 − : 1− √ x x −1 x+ √ x +1 √ x −1 ( √ √√ )( ) Tìm x để biểu thức A có nghĩa Rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị x để A < Câu 3: (4 điểm) Chứng minh rằng: x − x5 − x + x − x+ 1≥ với x Cho phương trình: x −2 ( a −1 ) x +a − 4=0 (1) (a là tham số) Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị a Tìm giá trị nhỏ tổng bình phương các nghiệm phương trình (1) Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có góc C 600 Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp, I là giao điểm ba đường phân giác tam giác đó Chứng minh rằng: AOB = AIB = 120 0, suy bốn điểm A, I, O, B nằm trên đường tròn Xác định tâm và tính bán kính đường tròn đó Tia BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E (E ≠ B) Chứng minh AIE là tam giác đều, từ đó suy IA + IB ≤ 2R Dấu xảy nào? Câu 5: (2 điểm) Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện: x 2+ y + z ≤ Tìm GTLN x2 y2 z2 M x y z4 Hết PHÒNG GD VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI…………………… (2) Câu Câu 4đ Câu 4đ Câu BÁ THƯỚC NĂM HỌC 2011 – 2012 Đáp án Đề thi … Môn thi: Toán Nội dung (2 đ) Cộng vế với vế hai phương trình ta được: x x y x xy 0 ( x 2)2 ( x y )2 0 ¿ x − 2=0 Từ đó ta có: x+2 xy=0 ¿{ ¿ ¿ x=2 y=− Dẫn đến: ¿{ ¿ ……………………………………………………………………………………… 2.( 2điểm) + Dễ thấy x = không phải là nghiệm + Với x khác 0, chia vế phương trình cho x2 ta được: 1 (2 x −3+ )(2 x+5+ )=9 x x Đặt y=2 x+ ta có: ( y −3)( y +5)=9 (2) x Giải (2) ta y1 = - và y2 = Với y1 = - ⇔2 x+ =−6 Giải ta : x 1± x 1,2= √ Với y1 = ⇔ x+ =4 Giải ta : x ±√2 x 3,4= Kết luận phương trình đã cho có nghiệm trên 1) (1đ) Điều kiện để A có nghĩa là: x 0;x x −2 √ x −( x+ √ x +1) x + √ x+1 −( √ x+2) : 2) (3đ) A = ( √ x −1)( x+ √ x +1) x+ √ x +1 ( √ x −1)(x+ √ x +1) = = x −1 ( √ x −1)(x + √ x+1)(x − 1) 1 x−3 A= <22= > x < ; x > 3/2 x −1 x −1 x −1 Kết hợp với điều kiện ta có: x < ; x > 3/2 1/ (2đ0 Đặt T = x8 – x5 – x4 + x2 – x + 1, ta có 2T = 2x8 – 2x5 – 2x4 + 2x2 – 2x + = Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 1 0,5 0,5 (3) = (x8 – 2x4 +1) + (x8 – 2x5 + x2) + ( x2 - 2x + 1)= = (x4 – 1)2 + x2(x3 – 1)2 + (x – 1)2 với x T 4đ với x Dấu xảy x = ……………………………………………………………………………………… 2) (2đ) Biệt thức Δ’ = (a – 1)2 – (a – 4) = (a - 3/2)2 + 11/4 > với a nên phương trình luôn có nghiệm phân biệt x1, x2 Câu 2đ 0,5 Theo định lý Viet ta có: x1 + x2 = 2(a – 1) và x1x2 = a – 2 x + x2 = (x1+ x2) – 2x1x2 = 4a – 10a + 12 = (2a – 5/2)2 + 23/4 23/4 Dấu xảy và a = 5/4 Vậy min(x12 + x22) = 23/4 a = 5/4 0,5 0,5 0,5 1) (4đ):- Vẽ hình đúng - Ta có ∠ AOB = ∠ ACB = 600 = 1200 Vì ∠ C = 600 nên ∠ A/2 + ∠ B/2 = 600 C 0 ∠ Do đó AIB = 180 – 60 = 120 - Hai điểm I và O cùng nằm nửa mặt phẳng bờ AB, E cùng nhìn AB góc 120 O nên chúng nằm trên cung chứa góc 1200 ii I vẽ trên đoạn AB II - Vậy điểm A, I, O, B A cùng nằm trên đường tròn B - Giả sử CI cắt (O) D Vì ∠ ACD = ∠ DCB = 300 nên cung AD = cung DB và ∠ AOD = ∠ DOB = 600 D Mà OA = OD = OB = R nên ΔOAD và ΔODB là các tam giác Do đó: DA = DB = DO = R Suy đường tròn qua A, I, O, B có tâm là D và bán kính R ……………………………………………………………………………………… 2) (2đ) Tia BI cắt (O) E Ta có ∠ AEB = ∠ ACB = 600 ∠ AIE = 600 Tam giác AIE là tam giác Vậy IA = IE Do đó: IA + IB = IE + IB = EB 2R (độ dài dây cung không lớn độ dài đường kính) Dấu xảy EB là đường kính (O), đó I trùng O và ΔACB Đặt a = x2, b= y2, c = z2 Khi đó a, b, c không âm và a + b + c 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 6,0đ 0,5 0,5 0,5 Ta được: Thật : Tương tự a b c 2 a b c2 M 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 a a ≤ = Dấu ‘=’ xẩy a = 1+ a a b b ≤ = Dấu ‘=’ xẩy b = 1+b b c c ≤ = Dấu ‘=’ xẩy c = 1+ c c Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có 0,5 M , 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) Vậy GTLN M x = y = x = (5)