Nâng cao chất lượng cán bộ lãnh đạo cấp xã tại thị xã sông công, tỉnh thái nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ HƯƠNG THƠM NGHIỆM XẤP XỈ CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ HƯƠNG THƠM NGHIỆM XẤP XỈ CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành :Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Nguyễn Bường THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 Không gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Khái niệm ví dụ 1.1.2 Một số tính chất không gian Hilbert 1.1.3 Phép chiếu mêtric 10 1.2 Toán tử đơn điệu toán tử đơn điệu cực đại 11 1.3 Một số phương pháp tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu 14 1.3.1 Phương pháp điểm gần kề 16 1.3.2 Phương pháp lặp Mann 17 1.3.3 Phương pháp lặp Halpern 17 Xấp xỉ khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại 2.1 2.2 18 Phương pháp xấp xỉ khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại18 2.1.1 Mô tả phương pháp 18 2.1.2 Định lý hội tụ mạnh 19 2.1.3 Định lý hội tụ yếu 23 Áp dụng cho toán cực tiểu 30 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 ii Bảng ký hiệu N tập số nguyên không âm N∗ tập số nguyên dương R tập số thực H không gian Hilbert thực C tập đóng lồi H ∅ tập rỗng ∀x x ∃x tồn x x, y tích vơ hướng hai vectơ x y x chuẩn vectơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn ⇀ x xn hội tụ yếu x T toán tử đơn điệu khơng gian Hilbert I tốn tử đồng H Jr toán tử giải T PC phép chiếu mêtric từ H lên tập lồi C H lim supn→∞ xn giới hạn dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dãy số {xn } ∂f vi phân hàm lồi f Mở đầu Toán tử đơn điệu công cụ hiệu sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác toán học như: phương trình vi phân, lý thuyết tối ưu, lý thuyết xác suất, kinh tế, Đặc biệt giải tích lồi, tính lồi hàm nửa liên tục đặc trưng tính đơn điệu vi phân Ta xét tốn Tìm phần tử v ∈ H cho ∈ T v, (1) không gian Hilbert thực H, T : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại Một phương pháp phổ biến để giải toán (1) phương pháp điểm gần kề đề xuất nghiên cứu Rockafellar [12] vào năm 1976 Phương pháp xây dựng sau: xuất phát từ điểm x0 = x ∈ H, dãy lặp {xn } H xác định xn+1 = Jrn xn , n = 0, 1, 2, (2) Jrn = (I + rn T )−1 {rn } dãy số thực dương Rockafellar [12] chứng minh tính hội tụ yếu phương pháp (2) nghiệm toán (1) Năm 1991, Guler [7] phương pháp điểm gần kề (2) không hội tụ mạnh không gian Hilbert vô hạn chiều ví dụ Năm 2004, Bauschke, Matousková Reich [11] ví dụ mà phương pháp điểm gần kề hội tụ yếu không hội tụ theo chuẩn Do đó, vấn đề nghiên cứu, cải tiến phương pháp điểm gần kề (2) nhằm thu hội tụ mạnh nhiều nhà toán học giới quan tâm, chẳng hạn Kamimura Takahashi [13], Tan Xu [14], Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày nghiên cứu xây dựng phương pháp tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert thực Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương 1: Trình bày khơng gian Hilbert, số tính chất khơng gian Hilbert, tốn tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại, tốn số phương pháp tìm khơng điểm toán tử đơn điệu cực đại làm sở nghiên cứu cho Chương Chương 2: Trình bày hai phương pháp tìm xấp xỉ khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert thực Phần cuối chương áp dụng cho tốn tìm điểm cực tiểu hàm lồi Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ cho tác giả trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, TS Nguyễn Thị Thu Thủy tồn thể thầy trường giảng dạy giúp đỡ cho tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới trường THPT Chu Văn An – Thái Ngun, tập thể lớp Cao học Tốn K8A (khóa 2014-2016), bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu Chương Không gian Hilbert Chương trình bày khái niệm tính chất khơng gian Hilbert, tốn tử đơn điệu, tốn tử đơn điệu cực đại số phương pháp tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 1.1.1 Không gian Hilbert Khái niệm ví dụ Định nghĩa 1.1.1 Cho H khơng gian vectơ R, tích vơ hướng xác định H ánh xạ , :H × H −→ R (x, y) −→ x, y thỏa mãn điều kiện sau x, y = y, x với x, y ∈ H; x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ H; λx, y = λ x, y với x, y ∈ H, λ ∈ R; x, x ≥ với x ∈ H x, x = ⇔ x = Số x, y gọi tích vô hướng hai vectơ x, y H Nhận xét 1.1.2 Từ định nghĩa suy x, = 0, x = với x ∈ H; x, λy = λ x, y với x, y ∈ H, λ ∈ R; x, y + z = x, y + x, z với x, y, z ∈ H Định nghĩa 1.1.3 Cặp (H, , ), H khơng gian tuyến tính R, , tích vơ hướng H gọi không gian tiền Hilbert thực Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau | x, y |2 ≤ x, x y, y (1.1) Chứng minh Với y = 0, bất đẳng thức hiển nhiên Giả sử y = 0, với số λ ∈ R ta có x + λy, x + λy ≥ 0, tức x, x + λ y, x + λ x, y + |λ|2 y, y ≥ Chọn λ = − x, y ta y, y x, x − | x, y |2 ≥0 y, y ⇔ | x, y |2 ≤ x, x y, y Định lý chứng minh Nhận xét 1.1.5 Dấu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz xảy x y phụ thuộc tuyến tính Mối quan hệ khái niệm chuẩn tích vơ hướng thể qua định lý sau Định lý 1.1.6 Mọi không gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định công thức x = (1.2) ∀x ∈ H x, x Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Nhận xét 1.1.7 Với kí hiệu này, bất đẳng thức Schwarz viết lại thành | x, y | ≤ x y Như không gian tiền Hilbert xem khơng gian định chuẩn đầy đủ không đầy đủ Định nghĩa 1.1.8 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.2) H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.1.9 Trong không gian Rn cho Không gian Rn với: x = (x1 , x2 , , xn ); y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , đặt x, y = n k=1 xk yk dễ dàng chứng minh hàm số thỏa mãn điều kiện tích vơ hướng Ngồi ra, với x = (x1 , , xn ) ∈ Rn , n x = x, x = n |xk |2 , xk xk = k=1 k=1 nên Rn không gian Hilbert Để nghiên cứu không gian l2 (Λ), trước hết ta cần mở rộng khái niệm tổng họ (tùy ý) phần tử không gian định chuẩn Cho Λ = ∅ tập hợp, X không gian định chuẩn f : Λ → X ánh xạ Ký hiệu F(Λ) họ tất tập hữu hạn Λ Với F ∈ F(Λ), đặt f (t) ∈ X S(F ) = t∈F Giả sử tồn S ∈ X thỏa mãn: với ε > 0, tồn F0 ∈ F(Λ) cho với F ∈ F(Λ), F ⊃ F0 S(F ) − S < ε Khi ta nói họ S(F ) hội tụ S kí hiệu lim = S Trong trường hợp ta nói S tổng F ∈F(Λ) họ phần tử {f (t)}t∈Λ không gian định chuẩn X viết: S= f (t) t∈Λ Ví dụ 1.1.10 Cho Λ tập hợp khác rỗng tùy ý Ký hiệu l2 (Λ) tập hợp hàm số f xác định Λ lấy giá trị K cho |f (t)|2 < ∞ t∈Λ Với f, g ∈ l2 (Λ), λ ∈ K, đặt (f + g)(t) = f (t) + g(t) (λf )(t) = λf (t) Dễ chứng minh l2 (Λ), với hai phép tốn khơng gian tuyến tính Ngoài ra, với f, g ∈ l2 (Λ), với t ∈ λ, ta có |f (t)g(t)| ≤ |f (t)|2 + |g(t)|2 Điều kéo theo |f (t)|2 + |f (t)g(t)| ≤ t∈Λ Do t∈Λ |g(t)|2 t∈Λ f (t)g(t) tồn với f, g ∈ l2 (Λ) t∈Λ 22 ε ≤ αn+m + (1 − αn+m )(δn+m + Jrn+m xn+m − P x )2 ε ≤ αn+m + (1 − αn+m )(δn+m + xn+m − P x )2 ε ≤ αn+m + (1 − αn+m )(δn+m M + xn+m − P x ) ε ≤ αn+m + δn+m M + (1 − αn+m )||xn+m − P x||2 , ∀n ∈ N Bằng phương pháp quy nạp ta nhận n+m xn+m+1 − P x ≤ 1− (1 − αj ) j=m ε n+m n+m +M (1 − αj ) δj + xm − P x j=m j=m với n ∈ N Từ suy xn+m+1 − P x ε ≤ +M ε ≤ +M Do đó, từ ∞ n=0 αn n+m n+m (1 − αj ) δj + j=m n+m xm − P x j=m n+m − δj + exp αj xm − P x j=m j=m = ∞ ta có lim sup xn − P x n→∞ = lim sup xn+m+1 − P x n→∞ ∞ ε ≤ +M δj ≤ ε j=m Vì ε bất kì, nên suy dãy {xn } → P x Định lý chứng minh 2 23 2.1.3 Định lý hội tụ yếu Trong mục ta trình bày hội tụ yếu thuật toán điểm gần kề Dãy {xn } tạo     x0 = x ∈ H y n ≈ J rn x n   x n+1 = αn xn + (1 − αn )yn , (2.6) n ∈ N, với {αn } ⊂ [0; 1] {rn } ⊂ (0; ∞) Bổ đề 2.1.2 Cho T : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại P phép chiếu mêtric từ H lên T −1 Cho x ∈ H dãy {xn } xác định (2.6) theo tiêu chuẩn (2.4), với {αn } ⊂ [0; 1] {rn } ⊂ (0; ∞) Nếu T −1 = ∅ dãy {P xn } hội tụ mạnh tới v ∈ T −1 0, phần tử T −1 cho lim xn − v = inf{ lim xn − u : u ∈ T −1 0} n→∞ n→∞ Chứng minh Cho u ∈ T −1 ta có xn+1 − u = αn xn + (1 − αn )yn − u ≤ αn xn − u + (1 − αn ) yn − u ≤ αn xn − u + (1 − αn )(δn + Jrn xn − u ) ≤ αn xn − u + (1 − αn )(δn + xn − u ) ≤ xn − u + δ n với n ∈ N Vì từ ∞ n=0 δn < ∞ tồn g(u) = lim xn − u n→∞ với g hàm lồi liên tục g(u) → ∞ hay u → ∞, g đạt giá trị cực tiểu T −1 24 Cho l = inf{g(u) : u ∈ T −1 0} K = {w ∈ T −1 : g(w) = l} Cố định v ∈ K, P phép chiếu mêtric từ H lên T −1 0, ta có xn − P x n ≤ xn − v với n ∈ N lim sup xn − P xn ≤ l n→∞ Giả thiết lim sup xn − P xn < l n→∞ Tiếp theo ta chọn a > m ∈ N cho xn − P xn ≤ l − a, ∀n ≥ m Khi đó, n+h n+h δi ≤ l − a + xn+h+1 − P xn ≤ xn − P xn + i=n δi , i=n với n ≥ m, h ∈ N Từ suy n+h l ≤ lim xh − P xn = lim xn+h+1 − P xn ≤ l − a + h→∞ h→∞ δi , i=n với n ≥ m ∞ Từ δn < ∞ ta có l ≤ l − a < l điều mâu thuẫn, ta n=0 kết luận lim sup xn − P xn = l n→∞ 25 Tiếp đến ta lim P xn = v n→∞ Nếu không tồn ε > cho với h ∈ N, P xh′ − v ≥ ε với ε2 h′ ≥ h Cho b > cho b < l2 + − l ta có giá trị h′ ∈ N cho ∞ M i=h ε2 δi ≤ ′ x h′ − P x h′ ≤ l + b xh′ − v ≤ l + b, ∞ δn + sup xn − M= n=0 n∈N P xn + v Khi ta có P x h′ − v xn+h′ +1 − 2 ≤ P x h′ + v x h′ − + P x h′ + v ≤ x h′ − x h′ − P x h′ =2 2 P x h′ − v −2 l+b ≤2 2 n+h′ δi2 i=h′ n+h′ +M δi i=h′ x h′ − v +2 2 n+h′ +M δi i=h′ l+b +2 ε2 ≤ (l + b) − + M n+h ′ δi i=h′ ε2 − +M n+h′ δi i=h′ 26 với n ∈ N Từ ruy P x h′ + v l2 ≤ lim xn+h′ +1 − h→∞ ε2 ≤ (l + b) − + M ∞ ≤ (l + b)2 − δi i=h′ ε2 < l2 Điều mâu thuẫn Do dãy {P xn } hội tụ mạnh tới v ∈ T −1 0, dẫn đến v phần tử T −1 cho g(v) = inf{g(u) : u ∈ T −1 0} Điều phải chứng minh Định lý 2.1.3 Cho T : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại P phép chiếu mêtric từ H lên T −1 Cho x ∈ H dãy {xn } dãy tạo (2.6) theo tiêu chuẩn (2.4), {αn } ⊂ [0; 1] {rn } ⊂ (0; +∞) thỏa mãn αn ∈ [0; k] < k < lim rn = ∞ Nếu T −1 = ∅ {xn } hội tụ yếu tới v ∈ T −1 n→∞ 0, v = lim P xn n→∞ Chứng minh Theo chứng minh Bổ đề 2.1.2, tồn lim xn − u n→∞ ∀u ∈ T −1 đặc biệt tồn dãy {xn } giới nơi tồn dãy {xni } ⊂ {xn } cho {xni } hội tụ yếu đến v ∈ H Ta chứng minh v ∈ T −1 Trước tiên ta chứng minh lim xn+1 − yn = n→∞ 27 Thật ta có (1 − k)αn2 xn − yn ≤ (1 − k)αn xn − yn = α n xn − u + (1 − αn ) yn − u − xn+1 − u ≤ α n xn − u 2 + (1 − αn )(δn + Jrn xn − u )2 − xn+1 − u ≤ α n xn − u 2 + (1 − αn )(δn + xn − u )2 − xn+1 − u ≤ αn ||xn − u||2 + (1 − αn )(δn M + xn − u )2 − xn+1 − u ≤ xn − u 2 − xn+1 − u + δn M, M = supn∈N (δn + xn − u ), lim xn+1 − yn = lim αn xn − yn = n→∞ n→∞ Ta giả thiết yni ⇀ v dẫn đến Jrni xni ⇀ v yn − Jrni xni → Vì Arn xn ∈ T Jrn xn T đơn điệu, z − Jrni xni , z ′ − Arni xni ≥ (2.7) thỏa mãn z ′ ∈ T z Từ rn → ∞, ta có lim Arn xn = lim n→∞ n→∞ x n − J rn x n = rn Trong (2.7) cho i → ∞, ta nhận z − v, z ′ ≥ với z, z ′ z ′ ∈ T z Do T cực đại suy v ∈ T −1 Theo Bổ đề 2.1.2 {P xn } hội tụ mạnh tới v ′ ∈ T −1 P phép chiếu mêtric từ H lên T −1 0, ta có x ni − P x ni , w − P x n i ≤ 28 với w ∈ T −1 ta có v − v′, w − v′ ≤ với w ∈ T −1 Đặt w = v ta nhận v − v ′ ≤ v = v ′ Điều chứng tỏ điểm hội tụ yếu {xn } điểm hội tụ mạnh {P xn }, {xn } hội tụ yếu đến v ∈ T −1 0, v = lim P xn n→∞ Định lý chứng minh Tiếp theo ta nghiên cứu tốc độ hội tụ (2.6) Ta biết T −1 goi liên tục Lipschitz ∈ T z với hệ số a ≥ Nếu ∈ T z có nghiệm z0 (tức T −1 = z0 ), với τ > 0, ta có z − z0 ≤ a w (2.8) với z ∈ T −1 w w ≤ τ Rockafellar [12] rằng, T −1 liên tục Lipschitz rn → ∞ tốc độ hội tụ (2.6) siêu tuyến tính, Áp dụng phương pháp Rockafellar [12], ta có kết sau Định lý 2.1.4 Cho T : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại Cho {xn } dãy tạo (2.6) theo tiêu chuẩn yn − Jrn xn ≤ γn yn − xn , {αn } ⊂ [0; 1], {rn } ⊂ (0; ∞) {γn } ⊂ (0; ∞) thỏa mãn (i) αn ∈ [0; k] với < k < 1; (ii) lim rn = ∞ ; n→∞ (iii) lim γn = n→∞ Nếu {xn } giới nội T −1 liên tục Lipschitz ∈ T z với hệ số a ≥ 0, {xn } hội tụ mạnh tới v = T −1 Hơn tồn số nguyên N > cho xn+1 − v ≤ θn xn − v với n ≥ N 29 µn = θn = α n + a a2 + rn2 (1 − αn )(µn − γn ) − γn ≤ θn < với n ≥ N Chứng minh Từ T −1 liên tục Lipschitz ∈ T z với hệ số a ≥ 0, với số τ > 0, ta có z − v ≤ a w với z ∈ T −1 w w ≤ τ Từ Jrn xn − v ≤ xn − v dãy {Jrn xn } giới nội suy Arn xn → Khi tồn số nguyên N > cho Arn xn ≤ τ θn = α n + (1 − αn )(µn − γn )