Một số kết quả về hình lồi, đường kính của hình và vận dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ VĂN NINH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI, ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ VĂN NINH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI, ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2017 Mục lục Lời mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm hình lồi [3] 1.2 Giao hình lồi [7] 2 Về hình lồi đường kính hình 2.1 Định nghĩa đường kính hình [3] 2.2 Đặt vấn đề [3] 2.3 Chia hình phẳng 2.4 Chia hình cầu 18 18 28 29 33 Một số dạng toán vận dụng 38 3.1 Về hình lồi [2], [3] 38 3.2 Một thi học sinh giỏi nước [2], [7] 49 Kết luận Tài liệu tham khảo 66 67 Lời mở đầu Toán học rời rạc hình học tổ hợp chủ đề thú vị, phát triển mạnh mẽ giới năm gần Các kết liên quan khơng hấp dẫn nhà tốn học ứng dụng mà hấp dẫn em học sinh phổ thông, kết lập luận tư hấp dẫn Đây chủ đề khai thác cho toán thử tài phải triển tư cho học sinh trung học Đó lý do, tơi lựa chọn chủ đề đề thực đề tài luận văn Thạc sĩ Toán học, chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, với đề tài: "Một số kết hình lồi, đường kính hình vận dụng" Luận văn trình bày số kết hình lồi, đường kính hình: giao khác rỗng hình lồi, tốn chia hình, số dạng tốn vận dụng Ngồi phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm ba chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương đề cập đến khái niệm hình lồi kết giao khác rỗng hình lồi Chương Về hình lồi đường kính hình Trong chương đề cập đến khái niệm đường kính hình, tốn chia hình phẳng thành nhỏ hình có đường kính nhỏ hơn, tốn chia hình cầu thành bốn phần có đường kính nhỏ mà chia thành số phần nhỏ Chương Một số dạng toán vận dụng Trong chương trình bày tốn vận dụng kết trình bày chương 1, số toán lấy từ kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình bảo thầy giáo TS Trần Xn Q Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo Khoa Toán Trường Đại học Khoa học, thầy cô trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho thời gian học tập trường Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Vũ Văn Ninh Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm hình lồi [3] Khi học hình học phẳng làm quen với hình lồi, chẳng hạn hình tam giác, hình bình hành, hình thang đa giác hình lồi Hình Trong sách giáo khoa đa giác lồi đề cập tới định nghĩa sau: đa giác đa giác lồi nằm phía đường thẳng qua cạnh Nhưng định nghĩa hạn chế khơng thể áp dụng cho hình có cạnh khơng phải đoạn thẳng (chẳng hạn hình trịn, hình e-lip), hình khơng có giới hạn mặt phẳng (một góc chẳng hạn) Để mở rộng khái niệm hình lồi người ta đưa định nghĩa sau mở rộng cho hình khơng phải đa giác Định nghĩa 1.1 Một hình F gọi lồi điểm A, B thuộc F đoạn AB thuộc F Hình Dễ thấy đa giác lồi lồi theo khái niệm Và đa giác lồi hình trịn, hình elip, hình viên phân hình khơng có giới hạn mặt phẳng hình lồi Hình Trong hình ta tìm thấy ví dụ hình khơng phải hình lồi Các hình lồi đóng (hiểu theo nghĩa giải tích chứa tất điểm giới hạn nó) bị chặn (có thể phủ hình trịn đủ lớn) gọi oval Ngồi cịn có hình lồi khơng bị chặn: nửa mặt phẳng, góc nhỏ 180 độ, dải, phần mặt phẳng giới hạn đường thẳng parabol Các điểm hình lồi chia thành hai loại điểm điểm biên Định nghĩa 1.2 Một điểm gọi điểm hình lồi F tồn hình trịn nhận làm tâm nằm hồn tồn F Hình Định nghĩa 1.3 Một điểm gọi điểm biên hình lồi F hình trịn nhận làm tâm chứa điểm khơng thuộc hình lồi F Hình Định nghĩa 1.4 Nếu F hình lồi đóng tập hợp điểm biên đường liên tục gọi biên F Các oval có biên đường khép kín Các hình luận văn hiểu hình đóng có tính biên, trừ trường hợp ngoại lệ mà ta nói rõ Định lý 1.1 Một đường thẳng qua điểm hình lồi F cắt biên điểm Khi đoạn nối hai điểm nằm F Bây xét B điểm biên tùy ý hình lồi F Từ B ta kẻ nửa đường thẳng xuất phát từ B chạy qua điểm bên F Hình Các tia tạo nên nửa mặt phẳng tạo nên góc lồi Định nghĩa 1.5 Đường thẳng d qua điểm biên không qua điểm hình lồi F gọi đường thẳng tựa F Trong trường hợp thứ đường thẳng tạo nên nửa mặt phẳng đường thẳng tựa F Hình Cịn trường hợp thứ hai, hình F nằm miền góc ABC nhỏ 180 độ qua B có vơ hạn đường thẳng tựa hình lồi F: đường thẳng khơng qua điểm góc ABC đường thẳng tựa F Các tia tạo nên BA+ BC + gọi nửa tiếp tuyến F B Tóm lại qua điểm biên tùy ý F có đường thẳng tựa Định lý 1.2 Qua điểm biên B hình lồi F có đường thẳng tựa Trong trường hợp có đường thẳng tựa B gọi điểm quy F Định nghĩa 1.6 Nếu qua điểm biên B hình F có vơ hạn đường thẳng tựa điểm B gọi khơng quy đỉnh F 1.2 Giao hình lồi [7] Trong phần làm quen với định lý quan trọng hình học tổ hợp Nếu cho trước họ hình lồi, quan tâm đến câu hỏi họ hình lồi có giao khác rỗng Những câu hỏi đặt xem xét hệ điểm phủ hình trịn có bán kính cho trước hay khơng (ta thấy điều tương đương với câu hỏi: liệu họ hình trịn có tâm điểm cho bán kính cho trước có giao với khác rỗng hay khơng?) Những câu hỏi tương tự đặt khó nhận biết Chẳng hạn ta hỏi đa giác cho trước tồn điểm, từ quan sát hết tất cạnh đa giác Nhưng hình lồi khơng gian chiều (đường thẳng) nhận biết chia lớp đơn giản Chúng đoạn, khoảng, tia đường thẳng mà Trong không gian 2chiều, tức mặt phẳng hình lồi đa dạng đặc biệt khó vấn đề nhận biết giao chúng khác rỗng Chẳng hạn cho trước hình (hoặc hệ điểm) khó trả lời phủ hình trịn bán kính R Ta dễ dàng nhận thấy câu hỏi tương đương với câu hỏi liệu hệ hình trịn bán kính R có tâm điểm thuộc hình (hoặc hệ điểm cho trước) có giao khác rỗng hay khơng? Trước hết ta dễ dàng chứng minh mệnh đề sau cho không gian chiều: Định lý 1.3 Một họ I đoạn thẳng [ai , bi ] đường thẳng cho trước có giao khác rỗng giao hai đoạn chúng khác rỗng Chứng minh: 53 tứ giác ABCD Do A + B + C + D = 360o nên có góc khơng nhọn Tam giác có đỉnh khơng nhọn E khơng nằm đường chéo AC khơng có ba điểm nàm thẳng hàng Giả sử E nằm △ABC Chứng minh trường hợp 1, ta có hai ba tam giác △ABE, △AEC, △BEC không nhọn Vậy trường hợp có ba tam giác không nhọn Trường hơp Nếu bao lồi tứ giác ABCDE Tổng góc 540o Như vậy, có hai góc ngũ giác khơng nhọn Do có hai tam giác khơng nhọn • Nếu góc khơng nhọn kề nhau, ví dụ A, B Xét tứ giác ACDE có tam giác không nhọn (Chứng minh trường hợp 2) • Nếu góc khơng nhọn khơng kề nhau, ví dụ A, C 54 Xét tứ giác ACDE có tam giác khơng nhọn Vậy có ba tam giác khơng nhọn Theo bổ đề, từ 100 điểm ta chọn 3.C100 tam giác không nhọn Nhưng tam giác tạo cặp năm điểm khác nhau, nghĩa tam giác nằm C97 cặp năm điểm 3.C100 Như vậy, chọn tam giác không nhọn Số tam C97 giác C100 Nghĩa số tam giác nhọn có nhiều là: C100 3.C100 − C97 Tỷ số số lượng toàn số tam giác là: − C100 3.C100 C97 =1− : C100 = 0, 10 Bài toán 3.18 (Olympic Toán học Quốc tế 1972) Chứng minh tứ giác nội tiếp chia n tứ giác (n ≥ 4) mà tứ giác nội tiếp đường tròn Lời giải: Ta chứng minh cho n = Cho tứ giác ABCD nội tiếp Gọi A góc nhỏ góc tứ giác ABCD Lấy điểm A1 nằm tứ giác ABCD đủ gần điểm A cho đường thẳng kẻ qua A1 song song với cạnh AB AD cắt cạnh BC CD B1 D1 55 Do D + B = 180o Ta giả thiết D ≥ 90o , B ≤ 90o Trên AD ta lấy điểm K cho A1 KD = ADC Điểm K thuộc đoạn AD A1 đủ gần A Trên đoạn AB lấy điểm L cho A1 LB = ABC Điểm L dựng L nằm ngồi đoạn AB ABC = A1 LB < A vơ lý góc A nhỏ • Hai hình thang cân A1 KDD1 , A1 LBB1 nội tiếp • Tứ giác A1 B1 CD1 đồng dạng với ABCD nên tứ giác nội tiếp •AKA1 + ALA1 = 360o − A1 KD + A1 LB = 360o − (D + B) = 180o Nên tứ giác ALA1 K nội tiếp Vậy khẳng định với n = Với hình thang cân ta chia thành tùy ý hình thang cân đường song song với đáy Vậy tứ giác ABCD nội tiếp chia thành n tứ giác (n ≥ 4) mà tứ giác nội tiếp đường tròn Bài toán 3.19 (Ba Lan 1989) Giả sử tam giác đặt trước vào hình vng có diện tích cho tâm hình vng khơng nằm hình tam giác Hãy cạnh hình tam giác có độ dài nhỏ Lời giải: 56 Qua tâm O hình vng kẻ l1 song song với cạnh gần tam giác, l2 đường thẳng vng góc với l1 O l1 , l2 chia hình vng thành tứ giác đồng dạng Do O không nằm tam giác nên tam giác nằm nhiều hai tứ giác kề Theo nguyên lý Dirichlet, hai số ba đỉnh tam giác phải nằm tứ giác Giả sử tứ giác AM ON Bốn cạnh tứ giác nhỏ √hơn < AO = M N = AM + AN < (AM + AN )2 = ⇒ M N < Vậy tứ giác AM ON có đường kính nhỏ Vậy cạnh tam giác nằm tứ giác AM ON có cạnh nhỏ Bài tốn 3.20 (Australia 1991) Có n điểm mặt phẳng cho diện tích tạo ba điểm chúng lớn Chứng minh n điểm nằm nằm tam giác có diện tích lớn Lời giải: Cho n điểm A1 , A2 , , An thỏa mãn điều kiện đề Gọi Ai , Aj , Ak ba điểm cho △Ai Aj Ak có diện tích lớn tam giác có đỉnh điểm n điểm A1 , A2 , , An Kẻ đường thẳng l1 qua Ai song song với Aj Ak , với điểm Am ta có diện tích △Am Aj Ak nhỏ diện tích △Ai Aj Ak nên Am nằm nửa mặt phẳng chia l1 chứa đoạn Aj Ak 57 Vậy n điểm A1 , A2 , , An nằm nửa mặt phẳng Chứng minh tương tự n điểm A1 , A2 , , An nằm nửa mặt phẳng chia l2 chứa đoạn Ai Aj nửa mặt phẳng chia l3 chứa đoạn Ai Ak Do đó, n điểm A1 , A2 , , An nằm △ABC với A, B, C giao điểm l1 , l2 , l3 Diện tích △ABC gấp lần diện tích △Ai Aj Ak Vậy diện tích △ABC có diện tích lớn Do tốn chứng minh Bài toán 3.21 (Putman 1969) Chứng minh đường cong liên tục với độ dài phủ hình chữ nhật đóng có diện tích Lời giải: Ta đặt đường cong cho điểm cuối nằm đường 58 thẳng d Ta phủ đường cong hình chữ nhật có diện tích nhỏ có cạnh song song vng góc với d Gọi a, b chiều rộng chiều cao hình chữ nhật Gọi P0 , P5 điểm cuối đường cong P1 , P2 , P3 , P4 bốn điểm đường cong nằm bốn cạnh hình chữ nhật Đường zíc zắc P0 P1 P2 P3 P4 P5 có độ dài lớn độ dài đường zíc zắc Tổng hình chiếu đường zíc zắc bên cạnh nằm ngang hình chữ nhật khơng nhỏ a đường zíc zắc có P1 , P3 nằm cạnh bên trái bên phải hình chữ nhật Tổng hình chiếu cúa đường zíc zắc bên cạnh thẳng đứng hình chữ nhật khơng nhỏ 2b P0 , P5 nằm d P2 , P4 nằm cạnh bên bên hình chữ nhật √ Vậy đường zíc zắc có độ dài a2 + 4b2 √ Do đó, a2 + 4b2 ≤ Theo bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân ta có 4ab ≤ a2 + 4b2 ≤ ⇒ ab ≤ Do hình chữ nhật có diện tích lớn Bài toán 3.22 (Balan 1981-1982) Cho ngũ giác lồi mà tất cạnh có độ dài a Chứng minh đặt tam giác có độ dài cạnh a Lời giải: Cho ABCDE ngũ giác lồi mà cạnh có độ dài a Giả sử AC đường chéo có độ dài lớn • Do AC đường chéo có độ dài lớn nên ABC ≥ 540o = 108o AC cạnh đáy lớn △ABC cân B ABC > 60o nên AC > AB = a Mà AC > AD, AC cạnh lớn △ADC nên ADC > 60o Chứng minh tương tự ta có AEC > 60o 59 • Giả sử EAC < 60o ACD < 60o , P = AE ∩ CD Xét △AP C có AC > AP AC > P C Từ ta có AP C > 60o Vì AC < AB + BC = 2a, nên AP < 2a CP < 2a Gọi F G đường trung bình △AP C Khi F G = AC < a AF = AP < a CG = CP < a Mà AE = CD = a, suy E F P D P G Khi đó, a = ED ≤ F G < a vơ lý Từ suy EAC ≥ 60o ACD ≥ 60o • Từ giả sử EAC ≥ 60o Khi đó, △ACE có góc đỉnh A E không nhỏ 60o , AE = a suy tam giác đặt tam giác cạnh a bên 60 Bài toán 3.23 (Hà Lan 1978) Trong mặt phẳng cho 1978 điểm Mỗi điểm tâm đường tròn qua điểm cố định O Chứng minh từ hình trịn tạo ra, chọn năm hình trịn mà chúng phủ tất 1978 điểm Lời giải: Gọi P điểm xa điểm O 1978 điểm cho Đường thẳng OP hai đường thẳng qua O tạo với OP góc 60o chia mặt phẳng làm sáu phần Đường tròn tâm P phủ tất điểm nằm hai phần chứa P Trong phần lại, đường tròn tâm điểm cách xa O phủ tất điểm phần Bốn hình trịn với hình trịn phủ 1978 điểm cho Bài tốn 3.24 (Thụy Điển 1983) Một hình vng có cạnh phải phủ ba hình trịn Chứng minh √ ta làm với hình trịn bán kính nhỏ 2 Hãy tìm khả bán kính nhỏ cho hình trịn Lời giải: Cho hình vng ABCD cạnh △DEF tam giác có đỉnh E, F tương ứng cạnh BC AB DF C = 180o − DF E − EF B = 75o 61 √ DC = = DF = 6− = o o cos 45o + cos 30o sin 45o sin 75 sin 30 sin DF C √ Gọi I đỉnh thứ tư hình chữ nhật EBF I DIF = 180o − F IB = 135o > 90o Tương tự DIE > 90o Do đó: Đường trịn đường kính DF phủ tứ giác DCF I Đường trịn đường kính DE phủ tứ giác DIEA Đường trịn đường kính EF phủ tứ giác BEIF √ √ √ Mà BF = − < nên ta có√thể phủ hình vng ABCD ba hình trịn bán kính nhỏ √ √ Nếu ta phủ hình vng đường trịn bán kính nhỏ − độ dài đường gấp khúc mà đường trịn chắn cạnh hình chữ nhật nhỏ AD + DE Do hình trịn có đường kính nhỏ √ 6− √ khơng thể √ kín cạnh hình vng Vậy bán kính nhỏ √ phủ 6− Bài tốn 3.25 (Liên Xơ 1970) Cho hai hình chữ nhật giống cho cạnh chúng cắt tám điểm Chứng minh diện tích phần chung hai hình chữ nhật lớn nửa diện tích hình chữ nhật Lời giải: 62 Gọi a, b độ dài cạnh hình chữ nhật Gọi điểm nằm bốn cặp cạnh theo thứ tự A, B, C, D Ta có khoảng cách từ C đến cạnh đối diện hai hình chữ nhật Nên AC phân giác góc tạo cạnh giao A Tương tự BD phân giác cạnh giao B Ta có: A1 = D1 = D2 = C1 = C2 = B1 = B2 đồng dạng tam giác vuông tương ứng ⇒ A2 = B ⇒ A2 + B3 + B2 = 2A2 + B2 = 2A2 + A1 = 180o ⇒ Tứ giác có cạnh cạnh hình chữ nhật cịn cạnh cịn lại nằm hai đường chéo AC BD nội tiếp ⇒ AC⊥BD AC.BD Vì AC ≥ b BD ≥ a nên ab diện tích tứ giác ABCD khơng nhỏ Nửa diện tích hình chữ ab nhật Từ ta có điều phải chứng minh Diện tích tứ giác ABCD Bài toán 3.26 (Balan 1978-1979) Trong mặt phẳng cho n điểm (n > 4), khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh có Cn−3 tứ giác lồi mà đỉnh chúng điểm cho Lời giải: 63 Gọi M bao lồi n điểm cho Gọi A, B, C ba đỉnh đa giác lồi Gọi D, E hai điểm điểm khác A, B, C Khi đường thẳng DE khơng qua ba cạnh △ABC giả sử BC (1) Giả sử đường thẳng BC cắt đoạn DE I Khi I nằm M , D, E nằm M Do BC đỉnh M nên I nằm đoạn BC vơ lý Do đó, đường thẳng BC không cắt đoạn DE (2) Từ (1) (2) suy hai tứ giác BDEC, BEDC lồi Như vậy, cặp hai điểm cho khác A, B, C với hai ba điểm A, B, C tạo tứ giác lồi Những cặp hai điểm khác tạo tứ giác khác Khi đó, số tứ giác lồi mà đỉnh thuộc điểm cho không nhỏ số lượng cặp đôi khác A, B, C, số lượng Cn−3 Bài tốn 3.27 Chứng minh tồn số c < √ thỏa mãn tính chất sau: Từ bốn điểm nằm hình vng có cạnh 1, chọn hai điểm mà khoảng cách chúng không lớn c Lời giải: Ta chứng minh c = Cho A1 , A2 , A3 , A4 bốn điểm nằm hình vng Q cho Trường hợp Nếu có ba bốn điểm A1 , A2 , A3 , A4 thẳng hàng 64 Giả sử A1 , A2 , A3 thẳng hàng, A2 nằm A1 , A3 √ Nếu A1 A2 > 1, A2 A3 > A1 A3 = A1 A2 + A2 A3 > > Điều √ khơng thể đường kính Q Suy đoạn A1 A2 , A2 A3 không lớn Trường hợp Bao lồi bốn điểm tứ giác A1 A2 A3 A4 Vì A1 A2 A3 A4 ⊂ Q, nên A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + A4 A1 ≤ Từ suy đoạn A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , A4 A1 không lớn Trường hợp Bao lồi bốn điểm tam giác Giả sử △A1 A2 A3 Giả sử A1 A4 , A2 A4 , A3 A4 lớn Ta có, A1 A4 A2 + A2 A4 A3 + A3 A4 A1 = 360o Suy có chúng tù Giả sử A1 A4 A2 Khi đó: A1 A22 = A1 A24 + A2 A24 − 2A1 A4 A2 A4 cos A1 A4 A2 > A1 A24 + A2 A24 > 65 ⇒ A1 A2 > √ 2, điều khơng thể đường kính Q √ Suy đoạn A1 A4 , A2 A4 , A3 A4 không lớn 66 Kết luận Sau thời gian nghiên cứu luận văn thạc sĩ với nội dung "Một số kết hình lồi, đường kính hình vận dụng" chúng tơi thu kết sau: Trên đường thẳng giao hai đoạn khác rỗng giao tất đoạn khác rỗng Trong mặt phẳng giao ba hình lồi khác rỗng giao họ hình lồi khác rỗng Chứng minh mặt phẳng hình ln chia thành ba hình có đường kính nhỏ khơng gian hình cầu chia thành bốn hình có đường kính nhỏ Áp dụng kiến thức giao khác rỗng hình lồi, đường kính hình kết chia hình vào toán cụ thể, thi học sinh giỏi nước số tốn hình học tổ hợp IMO 67 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Vũ Hữu Bình (2005), Một số tốn hình học tổ hợp, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Hữu Điển (2005), Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo dục [3] Vũ Đình Hịa (2001), Một số kiến thức sở hình học tổ hợp, NXB Giáo dục Tiếng Anh [4] P R Scott (1978), "Two inequalities for convex sets in the plane", Bull Austral Math Soc, 19, pp: 131–133 [5] J H van Lint, R M Wilson (2001), A course in Combinatorics, Cambridge [6] I E Leonard, J E Lewis (2016), Geometry of Convex sets, Wiley [7] J Pach, P K Agarwal (1995), Combinatorinal Geometry, Wiley [8] P Erdăos (1986), "On some metric and combinatorial geometric problems", Discrete Mathematics, 60, pp: 147–153 [9] Gil Kalai (2015), "Some old and new problems in combinatorial geometry I: Around Borsuk’s problem", Conell University Library: arXiv:1505.04952, submitted on 19 May 2015, pp: 129 [10] P Erdăos, G Purdy, E G Straus (1982), "On a problem in combinatorial geometry", Discrete Mathematics, 40(1), pp: 45–52 ... cấp, với đề tài: "Một số kết hình lồi, đường kính hình vận dụng" Luận văn trình bày số kết hình lồi, đường kính hình: giao khác rỗng hình lồi, tốn chia hình, số dạng tốn vận dụng Ngồi phần mở... HỌC  - VŨ VĂN NINH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI, ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN... theo đường kính nhỏ đường kính hình cho Nếu F hình trịn hình tam giác a(F)= 3, F hình bình hành hình elip a(F)= Vấn đề chia hình hình có đường kính nhỏ khơng đặt với hình phẳng mà cịn đặt với hình