Một số vấn đề xung quang điểm feuerbach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM VĂN TUYẾN MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH ĐIỂM FEUERBACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM VĂN TUYẾN MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH ĐIỂM FEUERBACH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Danh mục hình ii Một số ký hiệu iii Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 Điểm Feuerbach số tính chất 1.1 Sự xác định điểm Feuerbach 1.2 Điểm Feuerbach điểm chân phân giác 1.3 Các công thức khoảng cách 1.3.1 Khoảng cách từ điểm Feuerbach đến đỉnh tam giác 1.3.2 Khoảng cách điểm Feuerbach Các đường thẳng đường tròn đồng quy 2.1 Điểm Feuerbach đường thẳng Euler 2.1.1 Điểm Feuerbach Fe 2.1.2 Các điểm Feuerbach Fa , Fb , Fc 2.2 Bốn đường tròn qua điểm Feuerbach 2.3 Bốn đường thẳng đồng quy Tam giác Feuerbach tọa 3.1 Tọa độ điểm Feuerbach 3.2 Quan hệ khoảng cách 3.3 Các cặp tam giác phối cảnh 3.4 Đường cô nic Feuerbach 3.5 Một số ứng dụng khác độ barycentric 3 10 14 14 17 21 21 22 24 28 31 36 36 43 50 54 57 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 ii Danh mục hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp Đường trịn Euler tiếp xúc ngồi với đường tròn bàng tiếp N x tiếp tuyến Dựng điểm Feuerbach compa thước kẻ Bổ đề 1.2.1 Bổ đề 1.2.2 ∆XY Z ∆Fa Fb Fc đồng dạng Khoảng cách từ Fe đến đỉnh tam giác Khoảng cách từ Fa , Fb , Fc đến đỉnh 10 11 13 14 17 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 điểm A, E ′ , F ′ , I, E1 , F1 nằm đường tròn Đường thẳng Euler ∆D′ Y1 Z1 qua Fe Đường thẳng Euler T′a qua điểm Sc′ = X442 Hyperbol Jerabek qua D′ , E ′ , F ′ I, Ge Mệnh đề 2.6 Mệnh đề 2.7 Mệnh đề 2.8 Ni ≡ X942 ; P ≡ X113 22 23 25 27 29 30 32 34 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Các điểm Feuerbach chân đường phân giác Fe E = Fe D + Fe F Điểm Feuerbach Tam giác Fa Fb Fc tam giác XY Z phối cảnh, tâm Fe Sáu điểm Xb , Xc , Yc , Ya , Za , Zb thuộc níc Điểm X2160 42 47 49 52 55 59 iii MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt 10 11 12 13 Ký hiệu D, E, F D′, E ′, F ′ ∆D′ E ′ F ′ I, O O9 I a , Ib , Ic X, Xa Y, Yb Z, Zc Fe F a , Fb , Fc ∆Fa Fb Fc σ, σθ 14 σ A , σB , σC Nội dung ký hiệu Trang Trung điểm BC, CA, AB 17 Tiếp điểm đường tròn nội tiếp cạnh TG 24 Tam giác tiếp xúc 28 Tâm nội tiếp tâm ngoại tiếp ∆ABC Tâm đường trịn chín điểm (Euler) Tâm đường tròn A, B, C –bàng tiếp Chân phân giác A 13 Chân phân giác B 13 Chân phân giác C 13 Điểm Feuerbach 10 Điểm Feuerbach 10 Tam giác Feuerbach 15 2SABC ; σ cot θ 40 2 2 2 2 b +c −a c +a −b a +b −c 17 , , 2 iv Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phòng Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học K11 (2017 - 2019) Trường đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 20 Người viết Luận văn Phạm Văn Tuyến Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Một định lý đẹp hình học Euclid phẳng định lý Feuerbach: Trong tam giác, đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp ba đường tròn bàng tiếp Liên quan đến định lý loạt vấn đề khám phá: Dựng điểm Feuerbach nào? Các tính chất điểm Feuerbach có liên quan đến điểm đường thẳng biết? Các đường thẳng đường tròn qua điểm Feuerbach? Các tính chất tam giác Feuerbach Trình bày cách giải vấn đề lý để chọn đề tài “Một số vấn đề xung quanh điểm Feuerbach” Mục đích đề tài là: - Trình bày tính chất điểm Feuerbach để từ đưa cách dựng điểm Feuerbach tối ưu - Bằng phương pháp sơ cấp, tìm hiểu đường thẳng đường trịn có tính chất qua điểm Feuerbach - Phát cặp tam giác vị tự liên quan đến điểm Feuerbach Kết hợp với tọa độ barycentric tìm mối quan hệ khoảng cách Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Nội dung chia làm chương: Chương Điểm Feuerbach số tính chất Chương giới thiệu định lý Feuerbach tính chất điểm Feuerbach điểm Feuerbach ngoài, xác định khoảng cách từ điểm Feuerbach đến đỉnh khoảng cách điểm Feuerbach Nội dung bao gồm mục (tổng hợp, bổ sung từ sách tham khảo [1] báo [3], [6]): 1.1 Sự xác định điểm Feuerbach 1.2 Điểm Feuerbach điểm chân phân giác 1.3 Các công thức khoảng cách Chương Các đường thẳng đường tròn đồng quy Nội dung chương chủ yếu tìm đường trịn qua điểm Feuerbach, đường thẳng chứa điểm Feuerbach đồng quy tâm Euler Ngoài mối quan hệ điểm Feuerbach với đường thẳng Euler Chương bao gồm mục sau (tổng hợp, bổ sung từ [2], [5]): 2.1 Điểm Feuerbach đường thẳng Euler 2.2 Bốn đường tròn qua điểm Feuerbach 2.3 Bốn đường thẳng qua tâm Euler Chương Tam giác Feuerbach tọa độ barycentric Chương xét tính chất tam giác Feuerbach, đặc biệt khảo sát cặp tam giác vị tự liên quan đến điểm Feuerbach Dùng tọa độ barycentric để xác định tọa độ điểm Feuerbach, lập phương trình đường thẳng, chứng minh mối quan hệ khoảng cách từ điểm Feuerbach kết thúc việc xét đường cô níc Feuerbach Chương tham khảo tổng hợp theo báo [3] Nội dung chương chia thành phần: 3.1 Tọa độ điểm Feuerbach 3.2 Quan hệ khoảng cách 3.3 Các cặp tam giác vị tự 3.4 Đường cô nic Feuerbach 3.5 Một số ứng dụng khác Chương Điểm Feuerbach số tính chất Trong tam giác ABC , điểm sau nằm đường tròn: trung điểm cạnh, chân đường cao, trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm đến đỉnh tam giác Đường trịn đường trịn Euler, tên nhà tốn học vĩ đại tìm (hay cịn gọi đường trịn chín điểm) Nếu (O, R) R đường trịn ngoại tiếp tam giác bán kính đường trịn Euler , tâm đường tròn Euler ký hiệu O9 , thẳng hàng với tâm O trực tâm H Ngoài điểm O, H, O9 trọng tâm G tạo thành hàng điểm điều hịa Chính đường thẳng chứa điểm gọi đường thẳng Euler Ta có kết đặc sắc sau: Với tam giác ABC cho trước, đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp (I, r) tiếp xúc ngồi với đường trịn bàng tiếp (Ia , ), (Ib , rb ), (Ic , rc ) Bốn tiếp điểm điểm đặc biệt tam giác Kết tiếng thuộc Feuerbach Nội dung chương trình bày cách xác định điểm Feuerbach tính chất đặc biệt chúng Một số kết điểm tham khảo [3] với chọn lọc xếp cần thiết 1.1 Sự xác định điểm Feuerbach Ta tách định lý Feuerbach thành mệnh đề Định lý có nhiều cách chứng minh, ta trình bày phép chứng minh hình học túy tham khảo [1] Mệnh đề 1.1 (Feuerbach,[1]) Trong tam giác ABC đường tròn Euler (O9 ) tiếp xúc với đường tròn nội tiếp (I, r) Chứng minh Hình 1.1: Đường trịn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp Gọi EOF đường kính vng góc với BC, AE tia phân giác qua I Hạ AK ⊥ EF, O9 L ⊥ BC , ta có OK = AA1 − OA′ = AH + HA1 − OA′ = 2OA′ + HA1 − OA′ = OA′ + HA1 = 2O9 L ∆AKF đồng dạng ∆IDX (các cạnh tương ứng vng góc) Vậy FK DX = AK IX hay FK DX Từ đó, = A′ A1 IX IX.F K = A′ A1 DX Ta chứng minh A′ A1 DX = XA′ XA1 (1.1) 48 Như vậy, u2 (v − w)2 4u2 vw(v − w)2 · 4vw(v + w)σ = e (v + w)2 σe2 (v + w)σe 2 4Rr(b − c) 4ur s(b − c) = = 4rs (v + w)OI (v + w) · R · OI Fe D ′ = Bây giờ, AI = r2 = u(w + u)(u + v) uvw (w + u)(u + v) · = s vw s A Fe D′2 uRr(b − c)2 s Rrs(b − c)2 (b − c)2 nên = · = = AI (v + w) · OI u(w + u)(u + v) 4abc · OI 4.OI |b − c| Fe D ′ = Từ đó, ∆Fe DD′ đồng dạng với △AOI Suy ra, AI 2.OI Bổ đề 3.2.2 Với ký hiệu ta có sin2 (a) v(v + w)(w − u)2 − wσe = u(v − w)[(v + w)(w + u) − 4vw] (b) Đa thức P xác định (3.9) 4vw(v + w)σe Chứng minh (a) Sử dụng (3.6) σe , ta có v(v + w)(w − u)2 − wσe = = v(v + w)(w − u)2 − w[(v + w)(w + u)(u + v) − 8uvw] = (v + w) v(w − u)2 − w(w + u)(u + v) + 8uvw2 = (v + w) u2 v − uw2 − u2 w − 3uvw + 8uvw2 = u (v + w) uv − uw − w2 − 3vw + 8vw2 = u(v − w)[u(v + w) + w(w − 3v)] = u(v − w)[(v + w)(w + u) − 4vw] (b) Đa thức P xác định (3.9) P = (us − vw)(v + w)2 (v − w)2 + (vs − wu)[(v + w)(w + u) − 4vw]2 + (ws − uv)[(u + v)(v + w) − 4vw]2 • Chú ý hệ số s biến đổi thành = (v + w)2 u(v − w)2 + v(w + u)2 + w(u + v)2 − 8uvw) = (v + w)2 ((v + w)(w + u)(u + v) − 8uvw)) = (v + w)2 σe 49 • Tổng số hạng P khơng chứa s −vw(v + w)2 (v − w)2 − wu((v + w)(w + u) − 4vw)2 − uv((u + v)(v + w) − 4vw)2 Sau biến đổi tổng = −(v + w) u(v + w) + (v − w)2 ((v + w)(w + u)(u + v) − 8uvw) = −(v + w) u(v + w) + (v − w)2 σe Do đó, P = (v + w)2 σe s − (v + w) u(v + w) + (v − w)2 σe = (v + w)σe (v + w)(u + v + w) − u(v + w) + (v − w)2 = 4vw(v + w)σe Xét tốn với điểm Feuerbach ngồi Hình 3.3: Điểm Feuerbach ngồi Nếu đường trịn (Ia , ) tiếp xúc với BC Xa tiếp với phần kéo dài AC, AB tương ứng Ya , Za điểm Feuerbach ngồi Fa giao đường trịn chín điểm với đoạn thẳng nối Ia với tâm O9 , hình 3.3 50 Trong tọa độ barycentric, Fa = −s(b − c)2 : (s − c)(c + a)2 : (s − b)(a + b)2 Chú ý tọa độ nhận từ tọa độ −Fe cách thay (a : b : c) (−a : b : c) Với cách biến đổi đó, (u : v : w : s) trở thành (s : −w : −v : u) Biểu diễn qua u, v, w Fa = (−s(v − w)2 : w(s + v)2 : v(s + w)2 với tổng tọa độ σa nhận từ −σe = −(v + w)(w + u)(u + v) + 8uvw cách biến đổi (u, v, w, s) thành (s, −w, −v, u) Như vậy, σa = (v + w)(w + u)(u + v) + 8vws 4S 4S = 4S (R + 2ra ) = R (R + 2ra ) = · OIa2 R R Phép biến đổi (a, b, c) −→ (−a, b, c) (u, v, w, s) −→ (s, −w, −v, u) xảy D′ Xa , E ′ Ya , F ′ Za Do đó, ta dễ dàng biến đổi kết điểm Fe sang kết cho điểm Fa , Fb , Fc Trước hết biến đổi công thức khoảng cách: R |b − c| −→ Fa D = 2OI R |c − a| −→ Fa E = Fe E = 2OI R |a − b| −→ Fa F = Fe F = 2OI Fe D = R |b − c| 2OIa R (c + a) 2OIa R (a + b) 2OIa Vì a + max(b, c) = (a + min(b, c)) + |b − c|, ta dễ dàng nhận kết tương tự mệnh đề 3.6: Mệnh đề 3.8 Nếu đường trịn chín điểm tiếp xúc với đường tròn A− bàng tiếp ∆ABC Fa đoạn Fa D, Fa E, Fa F tổng hai đoạn lại 3.3 Các cặp tam giác phối cảnh Trước hết ta nhắc lại khái niệm tam giác phối cảnh số kết có hình học để tiện sử dụng 51 a) Trên mặt phẳng cho tam giác ABC A′ B ′ C ′ Nếu đường thẳng AA′ , BB ′ , CC ′ đồng quy điểm O hai tam giác gọi hai tam giác phối cảnh (hay thấu xạ) Điểm O gọi tâm phối cảnh hai tam giác b) Định lý Desargue: “Cho tam giác ABC A′ B ′ C ′ Nếu đường thẳng AA′ , BB ′ , CC ′ đồng quy điểm α = BC ∩ B ′ C ′ , β = CA ∩ C ′ A′ , γ = AB ∩ A′ B ′ thẳng hàng ngược lại” Lúc đường thẳng chứa α, β, γ gọi trục phối cảnh hai tam giác Các kết sau tham khảo [4], [6] với giải thích chi tiết xếp theo chủ ý tác giả luận văn Từ tọa độ barycentric điểm X, Y, Z, Xa , Yb , Zc , Fe , Fa , Fb , Fc ta viết phương trình đường thẳng: (Y Z) : (ZX) : (XY ) : x y z − + + = 0, a b c x y z − + = 0, a b c x y z + − = a b c (Fe Fa ) : b2 − bc + c2 x + c(b − c)y − b(b − c)z (Fe Fb ) : −c(c − a)x + c2 − ca + a2 − b2 y + a(c − a)z (Fe Fc ) : b(a − b)x − a(a − b)y + a2 − ab + b2 − c2 z (Fb Fc ) : − b2 + bc + c2 − a2 x + c(b + c)y + b(b + c)z (Fc Fa ) : c(c + a)x − c2 + ca + a2 − b2 y + a(c + a)z (Fa Fb ) : b(a + b)x + a(a + b)y − a2 + ab + b2 − c2 z =0 =0 =0 =0 =0 =0 Từ phương trình đường thẳng tọa độ điểm ta suy quan hệ: Xa ∈ (Y Z); Yb ∈ (ZX); Zc ∈ (XY ); X ∈ (Fe Fa ) ; Y ∈ (Fe Fb ) ; Z ∈ (Fe Fc ) ; Xa ∈ (Fb Fc ) ; Yb ∈ (Fc Fa ) ; Zc ∈ (Fa Fb ) Ngoài Xa , Yb , Zc thuộc đường thẳng x y z + + = a b c Mệnh đề 3.9 ∆Fa Fb Fc ∆XY Z phối cảnh, tâm phối cảnh Fe 52 Hình 3.4: Tam giác Fa Fb Fc tam giác XY Z phối cảnh, tâm Fe Chứng minh Từ kết ta thấy đường thẳng Fa X , Fb Y , Fc Z đồng quy điểm Feuerbach Fe Điều nghĩa ∆Fa Fb Fc phối cảnh với ∆XY Z qua tâm phối cảnh Fe , hình 3.4 Theo định lý Desargue hai tam giác ∆Fa Fb Fc , ∆XY Z có trục phối cảnh Điều nghĩa ba điểm Fb Fc ∩ Y Z = Xa , Fa Fc ∩ XZ = Yb , Fa Fb ∩ XY = Zc thẳng hàng, tức nằm trục phối cảnh hai tam giác Mệnh đề 3.10 Các cặp tam giác sau phối cảnh với tâm trục phối cảnh tương ứng: • ∆Fe Fb Fc & ∆XYb Zc − tâm phối cảnh Fa , trục phối cảnh Y Z , • ∆Fc Fe Fa & ∆Xa Y Zc − tâm phối cảnh Fb , trục phối cảnh ZX , • ∆Fb Fa Fe & ∆Xa Yb Z− tâm phối cảnh Fc , trục phối cảnh XY Chứng minh Ta chứng minh trường hợp đầu Từ kết ta thấy đường thẳng Fe X , Fc Yb , Fb Zc đồng quy Fa Cũng vậy, Fc Fb ∩ Yb Zc = Xa , Fb Fe ∩ Zc X = Y, Fe Fc ∩ XYb = Z Từ suy ra: Y Z trục phối cảnh tam giác Fe Fc Fb XYb Zc Mệnh đề 3.11 Các tam giác Fa Fb Fc XY Z đồng dạng Chứng minh Ta chứng minh Fb Fc F c Fa Fa Fb = = YZ ZX XY (3.10) 53 Với chân đường phân giác góc B, C , áp dụng định lý sin vào tam giác AY Z ta có Y Z = AY + AZ − 2.AY.AZ cos A = bc c+a + cb b+a bc cb b2 + c2 − a2 −2 · c+a b+a 2bc bc bc (a + b)2 + (c + a)2 − (c + a)(a + b) b2 + c2 − a2 2 (c + a) (a + b) bc 2abc(a + b + c) − a(a + b + c) b2 + c2 = (c + a)2 (a + b)2 + a3 (a + b + c) + a2 bc) abc = (a + b + c) 2bc − b2 + c2 + a2 + abc (c + a)2 (a + b)2 abc = ((a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) + abc) (c + a)2 (a + b)2 4SR = (8Sra + 4SR) (c + a)2 (a + b)2 16S · OIa2 = (c + a)2 (a + b)2 2SOIa abc.OIa Do đó, Y Z = = Từ cơng thức (1.18) (c + a)2 (a + b)R (c + a)(a + b)R (b + c)R2 ta có chương 1, Fb Fc = OIb OIc Fb Fc (b + c)R2 (c + a)(a + b)R (b + c)(c + a)(a + b)R3 · = = YZ OIb · OIc abc.OIa abc.OIa OIb OIc Fc Fa Fa Fb Vì tỷ số đối xứng a, b, c nên cho , ZX XY Điều chứng minh (3.10) ta có điều phải chứng minh = Chú ý Thực tế chứng minh trực tiếp tam giác đồng dạng Điều có nghĩa có tâm đồng dạng P cho ∆P Fb Fc : ∆P Fc Fa : ∆P Fa Fb = ∆P Y Z : ∆P ZX : ∆P XY Trong trường hợp tâm đồng dạng tâm Kiepert Ki = b2 − c 2 : c − a2 : a2 − b2 54 Thật vậy, ta đặt Σ := a4 + b4 + c4 − b2 c2 − c2 a2 − a2 b2 F (u, v, w) := uvw + (u + v + w)(w + u − v)(u + v − w) (3.11) (3.12) Chú ý tổng tọa độ Ki 2Σ F (u, v, w) đối xứng theo v w Lúc (a − b)(a − c)(b + c)F (a, b, c) SK i Y Z = 2(c + a)(a + b)Σ S K i F b Fc = abc(a − b)(a − c)(b + c)3 (c + a)(a + b) 2F (b, c, a)F (c, a, b)Σ S K i Fb Fc abc(b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 Từ đó, = đối xứng theo a, b, c Điều SKi Y Z F (a, b, c)F (b, c, a)F (c, a, b) nghĩa SKi Fb Fc : SKi Fc Fa : SKi Fa Fb = SKi ZX : SKi ZX : SKi XY tam giác Fa Fb Fc XY Z đồng dạng với Ki tâm đồng dạng 3.4 Đường cô nic Feuerbach Ta xét giao điểm cạnh tam giác ABC với cạnh tam giác Feuerbach Fa Fb Fc tương ứng: Xb = BC ∩ Fc Fa ; Xc = BC ∩ Fa Fb ; Ya = CA ∩ Fb Fc Yc = CA ∩ Fa Fb ; Za = AB ∩ Fb Fc ; Zb = AB ∩ Fc Fa Kết thu mệnh đề: Mệnh đề 3.12 Sáu điểm Xb , Xc , Yc , Ya , Za , Zb nằm cô nic Chứng minh Vì điểm Fb , Ya , Za , Fc thẳng hàng đường thẳng Fb Fc qua Xa nên ta có đường thẳng Ya Za qua Xa Tương tự, đường thẳng Zb Xb qua Yb , Xc Yc qua Zc Ngoài điểm Xa , Yb , Zc thẳng hàng Từ theo định lý Pascal điểm Xb , Xc , Yc , Ya , Za , Zb nằm cô nic 55 Định nghĩa 3.2 Cô nic qua điểm Xb , Xc , Yc , Ya , Za , Zb gọi cô nic Feuerbach Mệnh đề 3.12 thay tam giác Feuerbach tam giác phối cảnh với tam giác ABC Từ phương trình đường thẳng nói kết 3.1 ta suy tọa độ điểm mệnh đề 3.12 Xb = : a(c + a) : c2 + a2 − b2 + ca Xc = : a2 + b2 − c2 + ab : a(a + b) Yc = a2 + b2 − c2 + ab : : b(a + b) Ya = b(b + c) : : b2 + c2 − a2 + ab Za = c(b + c) : b2 + c2 − a2 + bc : Zb = c2 + a2 − b2 + ca : c(c + a) : Mệnh đề 3.13 Phương trình barycentric nic Feuerbach b2 + bc + c2 − a2 (a + b + c)(b − c)2 − 2a2 (c + a)(a + b) x + yz = b+c a(c + a)(a + b) (3.13) Hình 3.5: Sáu điểm Xb , Xc , Yc , Ya , Za , Zb thuộc cô níc Chứng minh Cho x = phương trình (3.13) trở thành c2 + ca + a2 − b2 a2 + ab + b2 − c2 y + z + c+a a+b (a + b + c)(b − c)2 (b + c) − 2a2 (c + a)(a + b) + yz = a(c + a)(a + b) 56 Bằng biến đổi đại số ta tìm hai giao điểm níc đường thẳng BC : a(c + a) : c2 + ca + a2 − b2 : a2 + ab + b2 − c2 : a(a + b) Đó điểm Xb Xc Tương tự, níc cắt CA Yc , Ya ; cắt AB Za , Zb Do tính níc ta suy (3.13) níc Feuerbach Đường hyperbol Feuerbach hyperbol chữ nhật đặc biệt, liên hợp đẳng giác đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp tam giác Hyperbol quỹ tích điểm đồng quy nói định lý Kariya, phát biểu sau Người ta chứng minh đường hyperbol Feuerbach qua điểm mang tên sau Bách khoa toàn thư tâm tam giác: X4 −trực tâm, X7 −điểm Gergonne, X8 −điểm Nagel, X9 − điểm mittenpunkt, X21 − điểm Schiffler, X79 , X80 , X84 , X90 , X104 , X177 , X256 , X294 , X314 , X885 , X941 , X943 , X981 , X983 , X987 , X989 , X1000 , X1039 , X1041 , X1061 , X1063 , X1156 , X1172 , X1251 , X1320 , X1389 , X1392 , X1476 , X1896 , X1973 , X2298 , X2320 , X2335 , X2344 , X2346 , X2481 , X2648 , X2997 Khi biết phương trình níc tọa độ tâm níc tính theo cơng thức 10.7.2 [6] Đối với níc Feuerbach tọa độ tâm bc(b + c)2 g(a, b, c) : ca(c + a)2 g(b, c, a) : ab(a + b)2 g(c, a, b) đa thức g(u, v, w) đa thức đối xứng v, w, xem [4] Định lý 3.1 (Định lý Kariya) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Nếu đường thẳng qua I vng góc với ba cạnh tam giác, cắt ba cạnh A0 , B0 , C0 cho AA0 = BB0 = CC0 (chú ý tia IA0 , IB0 , IC0 hướng vào tam giác) đường thẳng AA0 , BB0 , CC0 đồng quy quỹ tích điểm đồng quy đường hyperbol Feuerbach Bài toán 3.2 ([6]) Chứng minh ∆Fa Fb Fc ∆ABC phối cảnh với tâm phối cảnh F ′ F ′ (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 : : s−a s−b s−c 57 Bài toán 3.3 Chứng minh điểm Fe , F ′ chia điều hòa cặp điểm I, O9 , tức (Fe , F ′ , I, O9 ) = −1 Bài tốn 3.4 Tìm phương trình tiếp tuyến chung (O9 ) đường tròn bàng tiếp Ý tưởng giải: Tiếp tuyến chung (O9 ) A−bàng tiếp x y z + + = b−c c+a a+b 3.5 Một số ứng dụng khác Mệnh đề 3.14 Các điểm Va = BYc ∩ CZb , Vb = CZa ∩ AXc , Vc = AXb ∩ BYa thẳng hàng ∆ABC phối cảnh với ∆Va Vb Vc Chứng minh Các đường thẳng BYc CZb có phương trình: BYc : −b(a + b)x + a2 + ab + b2 − c2 z = CZb : −c(c + a)x + c2 + ca + a2 − b2 y = c(c + a) b(a + b) : 2 + ca + a − b a + ab + b2 − c2 c+a a+b : : 2 2 bc b (c + ca + a − b ) c (a + ab + b2 − c2 ) Va = BYc ∩ CZb có tọa độ Va = 1: c2 Tương tự, Vb = Vc = b+c a (b2 + bc + c2 − a2 ) b+c a (b2 + bc + c2 − a2 ) a+b : ca c (a2 + ab + b2 − c2 ) c+a : : b (c2 + ca + a2 − b2 ) ab : Từ tọa độ suy ∆Va Vb Vc phối cảnh với ∆ABC điểm b+c c+a a+b V = : : a (b2 + bc + c2 − a2 ) b (c2 + ca + a2 − b2 ) c (a2 + ab + b2 − c2 ) Ba điểm Va , Vb , Vc thẳng hàng, đường thẳng chứa chúng có phương trình (trục phối cảnh ∆ABC ∆Va Vb Vc ): (b − c) b2 + bc + c2 − a2 x = Mệnh đề chứng minh (3.14) 58 Tâm phối cảnh V điểm tâm tam giác mang ký hiệu X6757 , [5] Mệnh đề 3.15 Tâm phối cảnh V nằm đường thẳng vng góc với đường thẳng Euler điểm O9 có phương trình a2 b2 + bc + c2 − a2 (3.15) b2 − bc + c2 − a2 x = Chứng minh Viết tường minh 3.15 thành a2 b2 + bc + c2 − a2 b2 − bc + c2 − a2 x + b2 c2 + ca + a2 − b2 × c2 − ca + a2 − b2 y + c2 a2 + ab + b2 − c2 a2 − ab + b2 − c2 z = sau thay tọa độ V ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 3.16 Trục phối cảnh (3.14) chứa tâm tam giác sau : : , tâm phối cảnh tam giác b2 + bc + c2 − a2 ABC tam giác A′ B ′ C ′ , đó, A′ , B ′ , C ′ tương ứng đối xứng với A, B, C qua tâm I • X79 = a : : , tâm phối cảnh tam b2 + bc + c2 − a2 giác ABC tam giác bị chặn trục đẳng phương (ABC) đường tròn tiếp xúc cạnh tam giác ABC , tâm cạnh thứ ba, hình 3.6 • X2160 = Chứng minh Với điểm X79 ta kiểm tra trực tiếp cách thay tọa độ Với điểm X2160 cách thay trực tiếp biến đổi sau: Các đường trịn có phương trình 4(b + c)2 a2 yz + b2 zx + c2 xy − (x + y + z)× (a + b + c)2 (b + c − a)2 x + c2 + a2 − b2 y + a2 + b2 − c2 z = 4(c + a)2 a2 yz + b2 zx + c2 xy − (x + y + z)× b + c − a2 x + (a + b + c)2 (c + a − b)2 y + a2 + b2 − c2 z =0 4(a + b)2 a2 yz + b2 zx + c2 xy − (x + y + z)× b + c − a2 x + c2 + a2 − b2 y + (a + b + c)2 (a + b − c)2 z = 59 Hình 3.6: Điểm X2160 Các trục đẳng phương chúng với đường tròn ngoại tiếp (a + b + c)2 (b + c − a)2 x + c2 + a2 − b2 y + a2 + b2 − c2 z =0 (b + c)2 b2 + c2 − a2 b2 + c2 − a2 x + (a + b + c)2 (c + a − b)2 y + a2 + b2 − c2 (c + a)2 z =0 x + c2 + a2 − b2 y + (a + b + c)2 (a + b − c)2 z =0 (a + b)2 Các đường thẳng tạo thành tam giác có đỉnh b c : c2 + ca + a2 − b2 a2 + ab + b2 − c2 a c : f (b, c, a) : b2 + bc + c2 − a2 a2 + ab + b2 − c2 a b : : f (c, a, b) b2 + bc + c2 − a2 c2 + ca + a2 − b2 A′ = f (a, b, c) : B′ = C′ = f (u, v, w) := F (u, v, w) (u + v + w) u3 − (v + w)(v − w)2 + 2u2 vw (v + w2 − u2 )2 (w2 + wu + u2 − v ) (u2 + uv + v − w2 ) 60 F xác định 3.12 Từ tọa độ A′ , B ′ , C ′ suy hai tam giác ABC A′ B ′ C ′ phối cảnh với tâm phối cảnh điểm a b c : : b2 + bc + c2 − a2 c2 + ca + a2 − b2 a2 + ab + b2 − a2 Mệnh đề 3.17 Các điểm BYa ∩ CZa , CZb ∩ AXb AXc ∩ BYc nằm phân giác góc A, B, C Chứng minh Kiểm tra trực tiếp 61 Kết luận Luận văn trình bày kết sau Giới thiệu điểm Feuerbach, cách dựng số tính chất điểm Feuerbach Trình bày mối quan hệ điểm Feuerbach đường thẳng Euler, số toán đồng quy Từ đưa cách dựng điểm Feuerbach đơn giản Trình bày tam giác Feuerbach tọa độ barycentric Luận văn có dịp giới thiệu điểm đặc biệt gọi tâm tam giác, mối liên hệ tam giác Feuerbach với tâm Phát cặp tam giác phối cảnh đồng dạng liên quan đến điểm Feuerbach nhờ công cụ tọa độ Em nhận thấy có hướng nghiên cứu tiếp theo: - Bài tốn Apollonius, đường trịn Apollonius kiểu kiểu vấn đề liên quan - Đường tròn Tucker, điểm đường thẳng Tucker Mối liên hệ với đường tròn đặc biệt Mặc dù cố gắng luận văn không tránh khỏi hạn chế, khiếm khuyết Em mong góp ý, bổ sung thầy cô giáo đồng nghiệp nhằm làm cho kết nghiên cứu hoàn chỉnh có ích Xin chân thành cảm ơn 62 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Dechen, X J., (1963), Hình học tam giác, Bản dịch tiếng Việt Đoàn Như Kim, NXB Giáo dục, Chương Tiếng Anh [2] Emelyanov L Emelyanova, T.,(2001), A Note on the Feuerbach Point, Forum Geom., Volum 1, 121–124 [3] Kiss, S N., (2016), A Distance Property of the Feuerbach Point and Its Extension, Forum Geom., Volum 16, 283-290 [4] Kimberling, C., (2014), Encyclopedia of Triangle Centers, available at http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html [5] Suceava, B., Yiu, P., (2006), The Feuerbach Point and Euler lines, Forum Geom., Volum 6, 191-197 [6] Yiu, P (2013), Introduction to the Geometry of the Triangle, Florida Atlantic University Lecture Notes, 2001; with corrections, 2013, available at http://math.fau.edu/Yiu/Geometry.html ... Trình bày cách giải vấn đề lý để chọn đề tài ? ?Một số vấn đề xung quanh điểm Feuerbach? ?? Mục đích đề tài là: - Trình bày tính chất điểm Feuerbach để từ đưa cách dựng điểm Feuerbach tối ưu - Bằng... Chương Điểm Feuerbach số tính chất Chương giới thiệu định lý Feuerbach tính chất điểm Feuerbach điểm Feuerbach ngoài, xác định khoảng cách từ điểm Feuerbach đến đỉnh khoảng cách điểm Feuerbach. .. 2019 i Mục lục Danh mục hình ii Một số ký hiệu iii Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 Điểm Feuerbach số tính chất 1.1 Sự xác định điểm Feuerbach 1.2 Điểm Feuerbach điểm chân phân giác 1.3