Về tính thụ động của mạng nơ ron phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ THỊ QUỲNH NGỌC VỀ TÍNH THỤ ĐỘNG CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Hữu Sáu THÁI NGUYÊN - 2020 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ 12 1.3 Bài tốn nghiên cứu tính thụ động cho hệ phương trình mạng nơ ron thần kinh với bậc nguyên 15 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 20 Chương Tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ 21 2.1 Tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ 21 2.2 Một ví dụ minh họa 26 Chương Tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ 28 3.1 Phát biểu toán 28 3.2 Tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ 30 LỜI NĨI ĐẦU Mơ hình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên nghiên cứu L.O Chua L Yang vào năm 1988 [7, 8] Mơ hình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần ứng dụng rộng lớn xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa lĩnh vực khác [8, 17] Năm 2008, nghiên cứu mình, A Boroomand M.B Menhaj [3] lần mơ hình hóa mạng nơ ron hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) mơ tả đặc tính tính chất mạng nơ ron cách xác [3, 17] Do hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Nhiều kết hay thú vị hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ công bố năm gần Như biết, tính thụ động tính chất quan trọng hệ động lực hệ phương trình vi phân phân thứ khơng ngoại lệ Bài tốn nghiên cứu tính thụ động số lớp hệ nơ ron thần kinh với bậc nguyên nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học có số kết thú vị sâu sắc cơng bố tạp chí quốc tế có uy tín năm gần [13, 18, 20] Gần đây, Z Ding cộng [9] nghiên cứu tính thụ động lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Bằng cách tiếp cận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phân thứ bất đẳng thức ma trận tuyến tính, tác giả [9] đưa vài tiêu chuẩn cho tính thụ động cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Luận văn tập trung trình bày tính thụ động cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ dựa sở đọc hiểu tổng hợp báo công bố năm gần (xem [6, 9]) Ngồi ra, chúng tơi đưa số tiêu chuẩn cho tính thụ động lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Caputo có trễ biến thiên Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Bài tốn nghiên cứu tính thụ động cho số lớp hệ phương trình mạng nơ ron có trễ với bậc nguyên giới thiệu chương Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [10, 11, 12, 14, 19] Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [9] Ngồi ra, chúng tơi đưa ví dụ minh họa cho kết lý thuyết Chương kết luận văn Trong chương này, đưa số tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận tính thụ động cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Caputo có trễ biến thiên Điều kiện đưa chương mở rộng kết có mà cịn bảo thủ kết có Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Hữu Sáu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học Những người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A⊤ ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} A chuẩn phổ ma trận A, A = λmax (A⊤ A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) x chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )⊤ ∈ Rn Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t0 I t tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số số nguyên nhỏ lớn α   l1 0    L = diag{l1 , l2 , l3 } L =  l2    0 l3 ⌈α⌉ Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [10, 11, 12] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([12]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho α t0 It x(t) := Γ(α) t (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 I t := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lý sau Định lý 1.1 ([12]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([12]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có +∞ α t0 It x(t) =λ −α j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([12]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) dn := n dt n−α x(t) t0 I t dn = Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thơng thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ f (t) =   0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: t ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f ′ (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] D= d } dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([12]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: n−1 f (t) = α t0 It ϕ(t) ck (t − t0 )k , + k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý α t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) ck = k! Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lý 1.2 ([12]) Cho α ≥ 0, n = ⌈α⌉ Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau n−1 RL α t0 Dt f (t) = k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 1.2 t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 27 Ta thấy hàm kích hoạt thỏa mãn Giả thiết 2.2 với K = diag{1, 1, 1} Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI Tool box MATLAB ta thấy điều kiện Định lý 2.1 thỏa mãn với ǫ1 = 1.5705, ǫ2 = 0.8492, γ = 2.5722   0.1297 −0.0956  0.4598   P =  0.1297 0.3562 −0.0768   −0.0956 −0.0768 0.2639 Theo Định lý 2.1 hệ (2.18) thụ động 28 Chương Tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ Chương trình bày kết nghiên cứu luận văn Bằng cách sử dụng định lý Razumikhin cho hệ phân thứ kết hợp với bất đẳng thức ma trận tuyến tính, chúng tơi đưa số điều kiện đủ cho tính ổn định tính thụ động cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ Trong tồn chương để thuận lợi cho việc biểu diễn, đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm f (.) ký hiệu Dtα f (t) tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α hàm g(.) ký hiệu Itα g(t) 3.1 Phát biểu toán Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ sau     Dtα x(t) = −[A + ∆A(t)]x(t) + [W + ∆W (t)]g(x(t))       +[D + ∆D(t)]g(x(t − τ (t))) + u(t), t ≥ 0,   y(t) = g(x(t)), t ≥ 0,        x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], (3.1) T α ∈ (0, 1], x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xn (t)) ∈ Rn véc tơ trạng thái mạng nơ ron phân thứ, A = diag{a1 , a2 , , an } ∈ Rn×n ma trận đường chéo chính, xác định dương, tức > 0, (i = 1, , n), W, D ∈ Rn×n ma trận số, u(t) ∈ Rn véc tơ đầu vào (input vector), y(t) ∈ Rn véc T tơ đầu (output vector); g(x(t)) = (g1 (x1 (.)), , gn (xn (.))) ∈ Rn hàm 29 kích hoạt mạng nơ ron, φ(t) ∈ C([a, b]Rn ) điều kiện ban đầu Để nghiên cứu tính thụ động hệ (3.1) ta cần giả thiết sau đây: Giả thiết 3.1 ∆A(t) = E1 F1 (t)H1 , ∆W (t) = E2 F2 (t)H2 , ∆D(t) = E3 F3 (t)H3 , E1 , E2 , E3 , H1 , H2 , H3 ma trận số cho trước có số chiều thích hợp, F1 (t), F2 (t), F3 (t) ma trận hàm số thỏa mãn điều kiện F1T (t)F1 (t) ≤ I, F2T (t)F2 (t) ≤ I, F3T (t)F3 (t) ≤ I Giả thiết 3.2 Các hàm kích hoạt gj (.), j = 1, 2, , n hàm bị chặn tồn số kj > cho với x1 , x2 ∈ R, x1 = x2 , điều kiện sau thỏa mãn 0≤ gj (x1 ) − gj (x2 ) ≤ kj , gj (0) = 0, ∀j = 1, 2, , n x1 − x2 (3.2) Giả thiết 3.3 Độ trễ τ (t) hàm liên tục thỏa mãn điều kiện ≤ τ (t) ≤ τ, (3.3) τ số dương cho trước Định nghĩa 3.1 Hệ (3.1) gọi thụ động (passive) nếu: (i) Hệ (3.1) khơng có véc tơ đầu vào u(t) véc tơ đầu y(t), tức hệ    Dtα x(t) = −[A + ∆A(t)]x(t) + [W + ∆W (t)]g(x(t))    +[D + ∆D(t)]g(x(t − τ (t))), t ≥ 0,      x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], (3.4) ổn định tiệm cận (ii) Với điều kiện ban đầu 0, tức φ(t) ≡ 0, ∀t ∈ [−τ, 0], tồn số γ > cho bất đẳng thức thỏa mãn t t T uT (s)u(s)ds, ∀t > y (s)u(s)ds ≥ −γ 0 Trong mục tiếp theo, chúng tơi trình bày điều kiện đủ cho tính thụ động hệ (3.1) 30 3.2 Tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ Trước hết, chúng tơi đưa điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận hệ (3.1) khơng có véc tơ đầu vào u(t) véc tơ đầu y(t) Định lý 3.1 Giả sử Giả thiết 3.1, 3.2 3.3 thỏa mãn Hệ (3.4) ổn định tiệm cận tồn hai ma trận đối xứng, xác định dương P, Q ∈ Rn×n , ma trận có số chiều thích hợp X, Y, Z số ǫi > 0, (i = 1, , 6), ρ > cho bất đẳng thức ma trận thỏa mãn   X Y  ≥ 0, Ξ= YT Z ˆ Ω11 P W P D −AT Q+τ α α−1 Y P E1 P E2 P E3 0 ∗ −P +K 0 0 0 0  ˆ 33 ∗ Ω WTQ 0 0 0  ∗ T  ∗ ˆ ∗ ∗ Ω D Q 0 0 0 44  ∗ ∗ ∗ τ α α−1 Z−2Q 0 QE1 QE2 QE3  ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −ǫ1 I 0 0  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −ǫ2 I 0 0  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −ǫ3 I 0  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −ǫ4 I 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −ǫ5 I ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −ǫ6 I (3.5)       < 0,     (3.6) ˆ 11 = −P A − AP + (ǫ1 + ǫ4 )H T H1 + K + ρP + τ α α−1 X, Ω ˆ 33 = (ǫ2 + ǫ5 )H2T H2 − I, Ω ˆ 44 = (ǫ3 + ǫ6 )H T H3 − I, Ω K = diag{k1 , k2 , , kn } Chứng minh Xét hàm Lyapunov sau cho hệ (3.4): V (t, x(t)) = xT (t)P x(t) Vì P ma trận đối xứng, xác định dương nên ta có λmin (P ) x(t) ≤ V (t) ≤ λmax (P ) x(t) Áp dụng Bổ đề 1.3, ta tính đạo hàm Caputo cấp α cho hàm V (t) dọc 31 theo quỹ đạo nghiệm hệ (3.4) sau Dtα V (t, x(t)) ≤ 2xT (t)P Dtα x(t) = xT (t) [−P A − AP ] x(t) − 2xT (t)P E1 F1 (t)H1 x(t) + 2xT (t)P W g(x(t)) + 2xT (t)P E2 F2 (t)H2 g(x(t)) (3.7) + 2xT (t)P Dg(x(t − τ (t))) + 2xT (t)P E3 F3 (t)H3 g(x(t − τ (t))) Áp dụng Bổ đề 1.1, ta thu đánh giá sau − 2xT (t)P E1 F1 (t)H1 x(t) T T ǫ−1 x (t)P E1 E1 P x(t) ≤ + ǫ1 x T (t)H1T H1 x(t), 2xT (t)P E2 F2 (t)H2 g(x(t)) ≤ T T ǫ−1 x (t)P E2 E2 P x(t) + ǫ2 g T (x(t))H2T H2 g(x(t)), 2xT (t)P E3 F3 (t)H3 g(x(t − τ (t))) ≤ T T ǫ−1 x (t)P E3 E3 P x(t)  Với ma trận Ξ =  X Y T Z Y T + ǫ3 g (x(t − τ (t)))H3T H3 g(x(t (3.8) (3.9) (3.10) − τ (t)))   ≥ 0, ta có ước lượng sau t (t − s)α−1 η T (t)Ξη(t)ds τ α α−1 η T (t)Ξη(t) − t−τ (t) (t − s)α = τ α η (t)Ξη(t) + η (t)Ξη(t) α α −1 T s=t T s=t−τ (t) (3.11) = τ α α−1 η T (t)Ξη(t) − τ α (t)α−1 η T (t)Ξη(t) ≥ 0, η T (t) = xT (t) (Dtα x(t))T Từ Giả thiết 3.2, ta có ≤ gj (θ) θ ≤ kj , j = 1, 2, , n Do với K = diag{k1 , k2 , , kn }, ta có đánh giá xT (t)K x(t) − g T (x(t))g(x(t)) ≥ 0, xT (t − τ (t))K x(t − τ (t)) − g T (x(t − τ (t)))g(x(t − τ (t))) ≥ (3.12) (3.13) 32 Mặt khác, ta lại có T (Dtα x(t)) Q [−Dtα x(t) − Ax(t) + W g(x(t)) + Dg(x(t − τ (t)))] T T − (Dtα x(t)) QE1 F1 (t)H1 x(t) + (Dtα x(t)) QE2 F2 (t)H2 g(x(t)) (3.14) T + (Dtα x(t)) QE3 F3 (t)H3 g(x(t − τ (t))) = Áp dụng Bổ đề 1.1, ta thu đánh giá sau T − (Dtα x(t)) QE1 F1 (t)H1 x(t) (3.15) T T T α T α ≤ ǫ−1 (Dt x(t)) QE1 E1 QDt x(t) + ǫ4 x (t)H1 H1 x(t), T (Dtα x(t)) QE2 F2 (t)H2 g(x(t)) (3.16) T T T α T α ≤ ǫ−1 (Dt x(t)) QE2 E2 QDt x(t) + ǫ5 g (x(t))H2 H2 g(x(t)), T (Dtα x(t)) QE3 F3 (t)H3 g(x(t − τ (t))) T α T α T T ≤ ǫ−1 (Dt x(t)) QE3 E3 QDt x(t) + ǫ6 g (x(t − τ (t)))H3 H3 g(x(t − τ (t))) (3.17) Vì V (t, x(t)) = xT (t)P x(t) nên theo Định lý Razumikhin cho hệ phân thứ có trễ (Định lý 1.9), với số ρ > thỏa mãn V (t + s, x(t + s)) < ρV (t, x(t)), ∀s ∈ [−τ, 0] Suy (3.18) ρxT (t)P x(t) − xT (t − τ (t))P x(t − τ (t)) > Từ điều kiện (3.7) tới điều kiện (3.18), ta thu đánh giá sau t Dtα V T (3.19) (t − s)α−1 η T (t)Ξη(t)ds, (t, x(t)) ≤ ξ (t)Ωξ(t) − t−τ (t) ξ T (t) = xT (t)  Ω11   ∗ −P   Ω=  ∗   ∗  ∗ xT (t − τ (t)) g T (x(t)) g T (x(t − τ (t))) (Dtα x(t))  P W P D −AT Q + τ α α−1 Y   +K 0   , ∗ Ω33 WTQ    ∗ ∗ Ω44 DT Q  ∗ ∗ ∗ Ω55 T , 33 T T −1 T Ω11 = −P A − AP + ǫ−1 P E1 E1 P + (ǫ1 + ǫ4 )H1 H1 + ǫ2 P E2 E2 P T α −1 + ǫ−1 P E3 E3 P + K + ρP + τ α X, Ω33 = (ǫ2 + ǫ5 )H2T H2 − I, Ω44 = (ǫ3 + ǫ6 )H3T H3 − I, α −1 −1 T T −1 T Ω55 = ǫ−1 QE1 E1 Q + ǫ5 QE2 E2 Q + ǫ6 QE3 E3 Q + τ α Z − 2Q Vì t t−τ (t) (t − s)α−1 η T (t)Ξη(t)ds ≥ nên ta có Dtα V (t, x(t)) ≤ ξ T (t)Ωξ(t) (3.20) Sử dụng Bổ đề Schur (Bổ đề 1.2), ta thấy điều kiện Ω < tương đương với điều kiện (3.6) Từ suy Dtα V (t, x(t)) < Vậy hệ (3.4) ổn định tiệm cận Nhận xét 3.1 Bằng cách sử dụng Định lý Razumikhin cho hệ phân thứ kết hợp với bất đẳng thức ma trận tuyến tính, Định lý 3.1 đưa tiêu chuẩn cho tính ổn định mũ lớp hệ mạng nơ ron phân thứ Caputo có trễ biến thiên Tiêu chuẩn đưa Định lý 3.1 phụ thuộc vào cận τ độ trễ bậc phân thứ α Trong [5, 21], tác giả đưa điều kiện đủ cho tính ổn định số lớp hệ mạng nơ ron phân thứ Tuy nhiên, điều kiện đưa không phụ thuộc vào độ trễ không phụ thuộc vào bậc phân thứ α Vì điều kiện đưa Định lý 3.1 bảo thủ kết có Tiếp theo, chúng tơi trình bày tiêu chuẩn cho tính thụ động hệ (3.1) cách sử dụng Định lý 3.1 số tính chất đạo hàm phân thứ Caputo tích phân phân thứ Riemann-Liouville Định lý 3.2 Giả sử Giả thiết 3.1, 3.2 3.3 thỏa mãn Hệ (3.1) thụ động tồn hai ma trận đối xứng, xác định dương P, Q ∈ Rn×n , ma trận có số chiều thích hợp X, Y, Z, số ǫi > 0, (i = 1, , 6), ρ > γ > cho bất đẳng thức ma trận thỏa mãn   X Y  ≥ 0, Ξ= T Y Z (3.21) 34 Ψ           11 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ P W P D −AT Q+τ α α−1 Y P E1 P E2 P E3 0 P −P +K 0 0 0 0 0 ∗ Ψ33 WTQ 0 0 0 −I ∗ ∗ Ψ44 DT Q 0 0 0 α −1 ∗ ∗ ∗ τ α Z−2Q 0 QE1 QE2 QE3 Q ∗ ∗ ∗ ∗ −ǫ1 I 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −ǫ2 I 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −ǫ3 I 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −ǫ4 I 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −ǫ5 I 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −ǫ6 I ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −γI        < 0, (3.22)     Ψ11 = −P A − AP + (ǫ1 + ǫ4 )H1T H1 + K + ρP + τ α α−1 X, Ψ33 = (ǫ2 + ǫ5 )H2T H2 − I, Ψ44 = (ǫ3 + ǫ6 )H3T H3 − I, K = diag{k1 , k2 , , kn } Chứng minh Khi u(t) ≡ y(t) ≡ điều kiện (3.22) suy điều kiện (3.6) Do theo Định lý 3.1 hệ (3.1) với u(t) ≡ y(t) ≡ ổn định tiệm cận Để nghiên cứu tính thụ động cho hệ (3.1) ta chọn hàm Lyapunov giống chứng minh Định lý 3.1 Sử dụng kỹ thuật tương tự chứng minh Định lý 3.1, ta thu đánh giá t Dtα x(t) T T (t − s)α−1 η T (t)Ξη(t)ds, T − 2y (t)u(t) − γu (t)u(t) ≤ ζ (t)Ψζ(t) − t−τ (t) (3.23) η(t) Ξ cho chứng minh Định lý 3.1 ζ T (t) = xT (t)  Ψ11   ∗ −P    ∗  Ψ=  ∗    ∗  ∗ xT (t − τ (t)) g T (x(t)) g T (x(t − τ (t))) (Dtα x(t))  T α −1 P W P D −A Q + τ α Y P  + K2 0 0    ∗ Ψ33 WTQ −I    < 0, T ∗ ∗ Ψ44 D Q    α −1 ∗ ∗ ∗ τ α Z − 2Q Q   ∗ ∗ ∗ ∗ −γI T uT (t) , −1 T T T Ψ11 = −P A − AP + ǫ−1 P E1 E1 P + (ǫ1 + ǫ4 )H1 H1 + ǫ2 P E2 E2 P 35 α −1 T + ǫ−1 P E3 E3 P + K + ρP + τ α X, Ψ33 = (ǫ2 + ǫ5 )H2T H2 − I, Ψ44 = (ǫ3 + ǫ6 )H3T H3 − I, T −1 T −1 T α −1 Ψ55 = ǫ−1 QE1 E1 Q + ǫ5 QE2 E2 Q + ǫ6 QE3 E3 Q + τ α Z − 2Q Vì t t−τ (t) (t − s)α−1 η T (t)Ξη(t)ds ≥ nên từ (3.23) ta thu ước lượng sau Dtα x(t) − 2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t) ≤ ζ T (t)Ψζ(t), ∀t ≥ (3.24) Sử dụng Bổ đề Schur, ta thấy điều kiện Ψ < tương đương với điều kiện (3.22) Từ suy Dtα x(t) − 2y T (t)u(t) − γuT (t)u(t) ≤ 0, ∀t ≥ (3.25) Lấy tích phân hai vế (3.25) từ tới t, ta thu t t Itα Dtα V γuT (s)u(s)ds < T y (s)u(s)ds − (t) − (3.26) 0 Theo Định lý 1.7, ta có It1 Dtα V (t) = It1−α Itα Dtα V (t) (3.27) = It1−α (Itα Dtα V (t)) = It1−α (V (t) − V (0)) = It1−α V (t) − It1−α V (0) Ta lại có It1−α V t (t) = Γ(1 − α) (t − s)−α xT (s)P x(s)ds ≥ (3.28) Từ điều kiện ban đầu 0, tức φ(t) = 0, t ∈ [−τ, 0], ta có It1−α V (0) Γ(1 − α) = Γ(1 − α) t (t − s)−α xT (0)P x(0)ds = t (t − s)−α xT0 P x0 ds = Từ (3.26)–(3.29), ta có It1 Dtα V (t) ≥ 0, ∀t ≥ Từ suy t t uT (s)u(s)ds, ∀t ≥ T y (s)u(s)ds < γ −2 Vậy hệ (3.1) thụ động (3.29) 36 Nhận xét 3.2 Trong [9] tác giả nghiên cứu tính thụ động cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Tuy nhiên, tác giả xét cho lớp hệ trễ điều kiện đưa khơng phụ thuộc vào bậc phân thứ α Định lý 3.2 đưa điều kiện đủ cho tính thụ động cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ biến thiên Do nói tiêu chuẩn đưa Định lý 3.2 tổng quát thụ động kết có Chúng tơi đưa ví dụ sau để minh họa cho kết lý thuyết chương Ví dụ 3.1 Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ sau     Dt0,9 x(t) = −[A + E1 F1 (t)H1 ]x(t) + [W + E2 F2 (t)H2 ]g(x(t))       +[D + E3 F3 (t)H3 ]g(x(t − τ (t))) + u(t), t ≥ 0, (3.30)   y(t) = g(x(t)), t ≥ 0,        x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], x(t) ∈ R2 , u(t) ∈ R2 , y(t) ∈ R2      , E1 =   , H1 = 0, 0, , F1 (t) = sin t, A=     0, 0,  , E2 =   , H2 = 0, 0, , F2 (t) = cos t, W = 0, 0,     0, 0, 0,  , E3 =   , H3 = , F3 (t) = sin t D= 0, 0, 0, Độ trễ τ (t) = sin |t| Hàm kích hoạt cho gi (xi ) = 0.5 (|xi + 1| + |xi − 1|) , i = 1, Ta thấy độ trễ τ (t) hàm liên tục thỏa mãn Giả thiết 3.3 với cận τ = Hàm kích hoạt thỏa mãn Giả thiết 3.2 với K = diag{1, 1} Cho ρ = 1, 01 Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI Tool box MATLAB ta thấy điều kiện Định lý 3.2 thỏa mãn với ǫ1 = 3.9935, ǫ2 = 3.3895, ǫ3 = 37 0.4791, ǫ4 = 3.3222, ǫ5 = 2.8105, ǫ6 = 0.2114, γ = 75.5170     6.8004 −4.4518 0.9829 −0.5318 , Q =  , P = −4.4518 5.6577 −0.5318 0.4195     14.0133 −12.3691 1.2405 −0.6517 , Y =  , X= −12.3691 12.9230 −1.2244 0.8309   0.4797 −0.2668  Z= −0.2668 0.2266 Theo Định lý 3.2 hệ (3.30) thụ động 38 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Trình bày lại số tiêu chuẩn cho tính thụ động cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Caputo; • Đưa tiêu chuẩn cho tính thụ động cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Caputo có trễ biến thiên Kết mở rộng bảo thủ kết có; • Đưa 02 ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Thế Tuấn, Về số vấn đề định tính hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ Tốn học, Viện Toán học, 2017 [2] Bùi Thị Thúy, Dao động phi tuyến yếu hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số, Luận án tiến sĩ Cơ học, Học viện Khoa học Công nghệ, 2017 Tiếng Anh [3] A Boroomand and M.B Menhaj (2008), “Fractional-order Hopfield neural networks”, In: International Conference on Neural Information Processing (pp 883-890), Springer [4] S Boyd, L El Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [5] L.P Chen, Y Chai, R.C Wu, T.D Ma, H.Z Zhai (2013), “Dynamic analysis of a class of fractional-order neural networks with delay”, Neurocomputing, 111, pp 190–194 [6] L Chen, T Li, Y.Q Chen, R Wu, S Ge (2019), “Robust passivity and feedback passification of a class of uncertain fractional-order linear systems”, International Journal of Systems Science, 50(6), pp 1149–1162 [7] L.O Chua and L Yang (1998), “Cellular neural networks: Theory”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp 1257–1272 40 [8] L.O Chua and L Yang (1998), “Cellular neural networks: Applications”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp 1273–1290 [9] Z Ding, Z Zeng, H Zhang, L Wang, L Wang (2019) “New results on passivity of fractional-order uncertain neural networks”, Neurocomputing, 351, pp 51–59 [10] M.A Duarte-Mermoud, N Aguila-Camacho, J.A Gallegos and R CastroLinares (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional order systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), pp 650–659 [11] T Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer [12] A.A Kilbas, H.M Srivastava and J.J Trujillo (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [13] M.J Park, O.M Kwon, J.H Ryu (2018), “Passivity and stability analysis of neural networks with time-varying delays via extended free-weighting matrices integral inequality”, Neural Networks, 106, pp 67–78 [14] C Li, X Liao (2005), “Passivity analysis of neural networks with time delay”, IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, 52(8), pp 471–475 [15] Y Li, Y.Q Chen, L Podlubny (2010), “Stability of fractional- order nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized Mittag– Leffler stability”, Computers and Mathematics with Applications, 59(5), pp 1810–1821 [16] S Liu, R Yang, X.F Zhou, W Jiang, X Li, X.W Zhao (2019), “Stability analysis of fractional delayed equations and its applications on consensus of multi-agent systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 73, pp 351–362 41 [17] Z Shuo, Y.Q Chen and Y Yu (2017), “A Survey of Fractional-Order Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, American Society of Mechanical Engineers [18] M.V Thuan, H Trinh, L.V Hien (2016), “New inequality-based approach to passivity analysis of neural networks with interval time-varying delay”, Neurocomputing, 194, pp 301–307 [19] S Xu, W.X Zheng, Y Zou, “Passivity analysis of neural networks with time-varying delays”, IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, 56(4), pp 325–329 [20] B Yang, J Wang, M Hao, H.B Zeng (2017), “Further results on passivity analysis for uncertain neural networks with discrete and distributed delays”, Information Sciences, 430-431, pp 77–86 [21] Y Yang, Y He, Y Wang, M Wu (2018), “Stability analysis of fractionalorder neural networks: An LMI approach”, Neurocomputing, 285, pp 82– 93 [22] S Zhang, Y Yu, J Yu (2017), “LMI conditions for global stability of fractional-order neural networks”, IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 28(10), 2423–2433 ... Chương Tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ 21 2.1 Tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ 21 2.2 Một ví dụ minh họa 26 Chương Tính thụ động. .. phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ 28 3.1 Phát biểu toán 28 3.2 Tính thụ động hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ 30 LỜI NĨI ĐẦU Mơ hình mạng nơ ron mơ tả... mạng nơ ron hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mô tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc ngun, mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân phân thứ