Về tính ổn định và ổn định hóa của hệ phân thứ caputo lồi đa diện

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGƠ THỊ LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA HỆ PHÂN THỨ CAPUTO LỒI ĐA DIỆN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Mai Viết Thuận TS Li Chenglin THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Lời nói đầu Một số ký hiệu viết tắt Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 10 1.3 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ 12 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 15 Chương Tính ổn định ổn định hóa lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ 16 2.1 Tính ổn định lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ 16 2.2 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ 23 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 LỜI NĨI ĐẦU Trong vịng ba kỷ, lý thuyết đạo hàm phân thứ phát triển chủ yếu lĩnh vực lý thuyết tuý toán học hữu ích cho nhà toán học Tuy nhiên, vài thập kỷ gần đây, nhiều nhà khoa học đạo hàm tích phân cấp khơng ngun phù hợp cho mơ tả tính chất vật liệu thực khác nhiều mơ hình kỹ thuật khác Ngồi ra, chúng cịn tìm thấy kỹ thuật vật liệu, hệ thống kinh tế, hệ thống nhớt, hệ thống tài chính, phân cực điện cực [9] Do nhiều lý trình xấp xỉ tuyến tính, mơ hình khơng xác, lỗi đo lường nên yếu tố không chắn thường xuất hệ động lực thực tế Hệ phương trình vi phân điều khiển lồi đa diện lớp hệ động lực thuộc lớp Tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ phương trình vi phân lồi đa diện với bậc nguyên nghiên cứu [17, 18, 19] cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ, có số cơng trình quan trọng cơng bố tạp chí quốc tế có uy tín (xem [3, 5, 8, 10, 11, 12, 15]) Luận văn tập trung trình bày số kết tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo lồi đa diện dựa việc tổng hợp trình bày cách có hệ thống số báo xuất năm gần tạp chí quốc tế có uy tín Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau đây: Trong Chương 1, trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lý tồn nghiệm Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [20, 21, 22] Trong Chương luận văn, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tính ổn định ổn định hóa lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ Nội dung chương dự kiến viết cách tham khảo tài liệu [3, 10] Ngồi ra, chương chúng tơi trình bày 03 ví dụ số để minh họa cho kết lý thuyết Luận văn thực trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn Tiến sĩ Mai Viết Thuận Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Tôi xin bày tỏ cảm ơn tới thầy cô Ban giám hiệu anh, chị, em đồng nghiệp Trường THPT Chuyên Thái Nguyên ủng hộ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân u chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A⊤ ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} A chuẩn phổ ma trận A, A = λmax (A⊤ A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) x Rn×r chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )⊤ ∈ Rn không gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) khơng gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục cấp m trên[a, b] α t0 I t tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [7, 20, 21, 22] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([22]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho α t0 It x(t) := Γ(α) t (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 I t := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lý sau Định lý 1.1 ([22]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([22]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có +∞ α t0 It x(t) =λ −α j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([22]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) dn := n dt n−α x(t) t0 I t dn = Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thơng thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ f (t) =   0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: t ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f ′ (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] D= d } dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([22]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: n−1 f (t) = α t0 It ϕ(t) ck (t − t0 )k , + k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý α t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) ck = k! Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lý 1.2 ([22]) Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau n−1 RL α t0 Dt f (t) = k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 1.2 t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Hệ 1.1 ([22]) Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b] RL α t0 Dt f (t) f (t0 ) = + Γ(1 − α) (t − t0 )α t t0 f ′ (s)ds (t − s)α Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville tốn tử tuyến tính Mệnh đề 1.2 ([21]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α tốn tử tuyến tính, tức RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] dn Γ(n − α) dtn λ dn = Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds = t0 t (t − s)n−α−1 f (s)ds + t0 dn µ Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 g(s)ds t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) Định nghĩa 1.3 ([21]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 I t n := ⌈α⌉ số nguyên nhỏ lớn α Dn = dn dxn đạo hàm thông thường cấp n T Đối với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo x(t) định nghĩa theo thành phần sau: C α t0 Dt x(t) := T C α C α C α t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), , t0 Dt xd (t) Định lý sau cho ta điều kiện đủ cho tồn đạo hàm Caputo phân thứ cấp α Định lý 1.3 ([22]) Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo α hàm phân thứ Caputo C t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] Hơn nữa, ta có α (i) Nếu α ∈ N C t0 Dt x(t) biểu diễn dạng sau: C α t0 Dt f (t) = Γ(n − α) t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Đặc biệt, < α < f (t) ∈ AC[a, b], ta có: C α t0 Dt f (t) = Γ(1 − α) t t0 f ′ (s)ds (t − s)α n (ii) Nếu α = n ∈ N C t0 Dt f (t) biểu diễn dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t) Đặc biệt, C t0 Dt f (t) = f (t) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo tốn tử tuyến tính Mệnh đề 1.3 ([21]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Caputo cấp α toán tử tuyến tính, tức C α t0 Dt [λf (t) C α α + µg(t)] = λ C t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Tương tự chứng minh Mệnh đề 1.2 Ta dễ dàng chứng minh tính chất sau đạo hàm phân thứ Caputo Mệnh đề 1.4 ([21]) Cho trước số thực dương α Nếu ξ số C α t0 Dt ξ = Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo nghịch đảo trái toán tử tích phân phân thứ Định lý 1.4 ([22]) Cho α > f (t) ∈ C[a, b] Khi ta có C α α t0 Dt ( t0 It f (t)) = f (t) 21 tính thỏa mãn:   Γ P D τ P W     ∗ −P  < 0,   ∗ ∗ −τ P Γ = AT P + P A + ǫ(1 + τ )P + S Nhận xét 2.1 So sánh với kết tính ổn định tiệm cận cho hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ có trễ rời rạc (hệ (2.10) với τ ≡ 0) cách sử dụng tính tốn chuẩn ma trận (xem [6, 23]), điều kiện ổn định Hệ 2.2 có ưu điểm điều kiện đưa dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính giải số cách hiệu phương pháp điểm Ngoài ra, kết [6, 23] chưa xét trường hợp hệ có trễ phân phối Vậy, điều kiện ổn định thu Hệ 2.2 tổng quát kết [6, 23] Sau đây, chúng tơi trình bày số ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết Ví dụ 2.1 Xét hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ hỗn hợp (2.1), với p = 3, h = 2, τ =       −2 0.1 0.4 0.0285 0.0253  , D1 =   , W1 =  , A1 =  −5 −0.4 0.3 0.0032 0.0158       0.8 0.5 0.05 0.04 −5  , W2 =  ,  , D2 =  A2 =  0.1 0.3 0.02 0.07 −3       0.0253 0.0063 0.5 0.6 −3   , W3 =   , D3 =  A3 =  0.0095 0.0126 0.2 −0.9 −4 Từ Định lý 2.1 ta thấy điều kiện ổn định không phụ thuộc vào tham số ξi (i = 1, 2, 3) Bằng cách sử dụng phần mềm MATLAB, ta kiểm tra điều kiện (2.2a) (2.2b) Định lý 2.1 thỏa mãn với ǫ = 1.01     0.0907 0.0128 0.1223 0.0124 ,  , P2 =  P1 =  0.0128 0.0998 0.0124 0.0813 22  P3 =  0.1078 0.0195 0.0195 0.0903   , S =  0.0096 −0.0032 −0.0032 0.0329 Từ Định lý 2.1, hệ cho ổn định tiệm cận tồn cục   Ví dụ 2.2 Xét hệ (2.10) với x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 , α ∈ (0, 1), ma trận hệ số sau  A= −3 −2   , D =  0.5 0.5 0.5   , W =  0.5 0.5 0.5   Tiêu chuẩn ổn định [14] đảm bảo hệ ổn định tiệm cận với độ trễ rời rạc h > độ trễ tích phân τmax = 0.5 Bằng cách áp dụng Hệ 2.2, ta thấy hệ ổn định tiệm cận với độ trễ rời rạc h > độ trễ tích phân τmax = 1.46 Vậy, tiêu chuẩn ổn định đưa Hệ 2.2 bảo thủ (less conservative) kết [14] 1.5 0.5 -0.5 10 15 Time(sec) Hình 2.1: Quỹ đạo véc tơ trạng thái hệ Ví dụ 2.2 với α = 0.9 1.5 0.5 -0.5 10 Time(sec) Hình 2.2: Quỹ đạo véc tơ trạng thái hệ Ví dụ 2.2 với α = 0.6 15 23 1.5 0.5 -0.5 10 15 Time(sec) Hình 2.3: Quỹ đạo véc tơ trạng thái hệ Ví dụ 2.2 với α = 0.3 2.2 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ hỗn hợp  t  C α   Dt x(t) = A(ξ)x(t) + D(ξ)x(t − h) + W (ξ) t−τ x(s)ds   (2.11) +B(ξ)u(t), t ≥ 0,      x(t) = φ(t), t ∈ [−κ, 0], κ = max{h, τ }, α ∈ (0, 1], x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển, số h, τ độ trễ, φ(t) ∈ C([−κ, 0], Rn ) hàm điều kiện ban đầu với chuẩn xác định φ = maxt∈[−κ,0] φ(t) Hệ ma trận {A(ξ), D(ξ), W (ξ), B(ξ)} thuộc vào đa diện Ω xác định p Ω = {[A, D, W, B](ξ) := p ξi = 1, ξi ≥ 0}, ξi [Ai , Di , Wi , Bi ], i=1 i=1 với {Ai , Di , Wi , Bi } tập đỉnh, Ai , Di , Wi , Bi (i = 1, , p) ma trận số cho trước Ta thiết kế điều khiển ngược u(t) = K(ξ)x(t) cho hệ đóng       C α Dt x(t) = [A(ξ) + B(ξ)K(ξ)]x(t) + D(ξ)x(t − h) +W (ξ)      x(t) = φ(t), t ∈ [−κ, 0], t t−τ x(s)ds, t ≥ 0, (2.12) 24 ∀α ∈ (0, 1) ổn định tiệm cận Ta ký hiệu p P (ξ) = p ξi Pi , Y (ξ) = i=1 ξ i Pi , i=1 T T T Ni (Ai , Di , Wi , Pj , Yj ) = Ai Pj + Pj AT i + Bi Yj + Yj Bi + Di Pj Di + τ Wi Pj WiT + ǫ(1 + τ )Pj , Λmin (P ) = {λmin (Pi )}, Λmax (P ) = max {λmax (Pi )} i=1, ,p i=1, ,p Định lý 2.2 ([10]) Hệ đóng (2.12) ổn định tiệm cận tồn ma trận đối xứng, xác định dương Pi ∈ Rn×n (i = 1, , p), ma trận đối xứng, nửa xác định dương S ∈ Rn×n , ma trận Yi ∈ Rm×n (i = 1, , p) số dương ǫ > cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính thỏa mãn (2.13a) Ni (Ai , Di , Wi , Pi , Yi ) < −S, i = 1, , p Ni (Ai , Di , Wi , Pj , Yj ) + Nj (Aj , Dj , Wj , Pi , Yi ) < S, p−1 (2.13b) i = 1, , p − 1; j = i + 1, , p Ngồi ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.11) xác định u(t) = Y (ξ)P −1 (ξ)x(t), t ≥ p Chứng minh Vì Pi > 0, ξi ≥ 0(i = 1, , p) ξi = 1, nên ta có P = i=1 p ξi Pi ma trận đối xứng, xác định dương Xét hàm Lyapunov i=1 V (t, x(t)) = xT (t)P −1 (ξ)x(t) Dễ dàng kiểm tra λ1 x(t) ≤ V (t, x(t)) ≤ λ2 x(t) , (2.14) λ1 = Λmax (P ) , λ2 = Λmin (P ) Do đó, điều kiện (i) Định lý 1.10 đảm bảo Sử dụng Bổ đề 1.3, ta tính đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm V (t, x(t)) dọc theo quỹ 25 đạo nghiệm hệ (2.12) sau C α Dt V (t, x(t)) α ≤ 2xT (t)P −1 (ξ) C Dt x(t) = xT (t) P −1 (ξ)A(ξ) + AT (ξ)P −1 (ξ) + P −1 (ξ)B(ξ)K(ξ) (2.15) + K T (ξ)B T (ξ)P −1 (ξ) x(t) + 2xT (t)P −1 (ξ)D(ξ)x(t − h) t + 2xT (t)P −1 (ξ)W (ξ) x(s)ds t−τ Vì V (t, x(t)) = xT (t)P −1 (ξ)x(t), nên theo Định lý 1.10, ta giả thiết có số thực ǫ > cho V (t + s, x(t + s)) < ǫV (t, x(t)), ∀s ∈ [−κ, 0] Sử dụng Bổ đề 1.4 kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ma trận (Bổ đề 1.1), ta thu đánh giá 2xT (t)P −1 (ξ)D(ξ)x(t − h) ≤ xT (t)P −1 (ξ)D(ξ)P (ξ)DT (ξ)P −1 (ξ)x(t) + xT (t − h)P −1 (ξ)x(t − h) ≤ xT (t)P −1 (ξ)D(ξ)P (ξ)DT (ξ)P −1 (ξ)x(t) + V (t − h, x(t − h)) (2.16) ≤ xT (t)P −1 (ξ)D(ξ)P (ξ)DT (ξ)P −1 (ξ)x(t) + ǫxT (t)P −1 (ξ)x(t), t 2xT (t)P −1 (ξ)W (ξ) x(s)ds t−τ ≤ τ xT (t)P −1 (ξ)W (ξ)P (ξ)W T (ξ)P −1 (ξ)x(t) T t + τ x(s)ds t P −1 (ξ) t−τ x(s)ds t−τ t T ≤ τ x (t)P −1 T (ξ)W (ξ)P (ξ)W (ξ)P −1 xT (s)P −1 (ξ)x(s)ds (ξ)x(t) + t−τ = τ xT (t)P −1 (ξ)W (ξ)P (ξ)W T (ξ)P −1 (ξ)x(t) xT (t + s)P −1 (ξ)x(t + s)ds + −τ T = τ x (t)P −1 T (ξ)W (ξ)P (ξ)W (ξ)P −1 V (t + s, x(t + s))ds (ξ)x(t) + −τ 26 T ≤ τ x (t)P −1 T (ξ)W (ξ)P (ξ)W (ξ)P −1 xT (t)P −1 (ξ)x(t)ds (ξ)x(t) + ǫ −τ = τ xT (t)P −1 (ξ)W (ξ)P (ξ)W T (ξ)P −1 (ξ)x(t) + τ ǫxT (t)P −1 (ξ)x(t) (2.17) Kết hợp điều kiện (2.15)–(2.17), ta thu C α Dt V (t, x(t)) ≤ xT (t)Ψ(ξ)x(t), (2.18) Ψ(ξ) = P −1 (ξ)A(ξ) + AT (ξ)P −1 (ξ) + P −1 (ξ)B(ξ)K(ξ) + K T (ξ)B T (ξ)P −1 (ξ) + P −1 (ξ)D(ξ)P (ξ)DT (ξ)P −1 (ξ) + τ P −1 (ξ)W (ξ)P (ξ)W T (ξ)P −1 (ξ) + ǫ(1 + τ )P −1 (ξ) Bây giờ, nhân bên trái bên phải Ψ(ξ) P (ξ) đặt K(ξ) = Y (ξ)P −1 (ξ), ta thu P (ξ)Ψ(ξ)P (ξ) = A(ξ)P (ξ) + P (ξ)AT (ξ) + B(ξ)Y (ξ) + Y T (ξ)B T (ξ) + D(ξ)P (ξ)DT (ξ) + τ W (ξ)P (ξ)W T (ξ) + ǫ(1 + τ )P (ξ) Chú ý Ψ(ξ) < tương đương với P (ξ)Ψ(ξ)P (ξ) < Sử dụng biểu diễn p i=1 i=1 i=1 ξi = 1, ξi ≥ 0(i = 1, , p), ξ i Yi , ξi Bi , Y (ξ) = B(ξ) = ξ i Wi , i=1 i=1 i=1 p i=1 p ξi Di , W (ξ) = ξi Ai , D(ξ) = ξi Pi , A(ξ) = P (ξ) = p p p p ta có p ξi2 Ni (Ai , Di , Wi , Pj , Yj ) P (ξ)Ψ(ξ)P (ξ) = i=1 p−1 p ξi ξj [Ni (Ai , Di , Wi , Pj , Yj ) + Nj (Aj , Dj , Wj , Pi , Yi )] + i=1 j=i+1 Các điều kiện (2.13a) (2.13b) cho ta p ξi2 S P (ξ)Ψ(ξ)P (ξ) ≤ − i=1 + p−1 p−1 p ξi ξj S i=1 j=i+1 27 p ξi2 = − i=1 + p−1 p−1 p ξi ξj S i=1 j=i+1 Sử dụng đẳng thức p p−1 ξi2 (p − 1) p p−1 −2 i=1 p (ξi − ξj ) ≥ 0, ξi ξj = i=1 j=i+1 i=1 j=i+1 ta có p ξi2 − i=1 + p−1 p−1 p ξi ξj S < 0, i=1 j=i+1 điều suy P (ξ)Ψ(ξ)P (ξ) < điều kiện (2.13a) (2.13b) thỏa mãn Từ đó, ta có C α Dt V (t, x(t)) < Vậy điều kiện (ii) Định lý 1.10 thỏa mãn Vậy hệ đóng (2.12) ổn định tiệm cận Tiếp theo, ta xét trường hợp đặc biệt hệ (2.11) Khi W (ξ) ≡ 0, hệ (2.11) thu gọn hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo tổ hợp lồi có trễ rời rạc sau    C Dα x(t) = A(ξ)x(t) + D(ξ)x(t − h) + B(ξ)u(t), t ≥ 0, t (2.19)   x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0] Ta thiết kế điều khiển ngược u(t) = K(ξ)x(t) cho hệ đóng    C Dα x(t) = [A(ξ) + B(ξ)K(ξ)]x(t) + D(ξ)x(t − h), t ≥ 0, t (2.20)   x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], ∀α ∈ (0, 1), ổn định tiệm cận Chứng minh hệ suy trực tiếp từ Định lý 2.2 Hệ 2.3 ([10]) Hệ đóng (2.20) ổn định tiệm cận tồn ma trận đối xứng, xác định dương Pi ∈ Rn×n (i = 1, , p), ma trận đối xứng, nửa xác định dương S ∈ Rn×n , ma trận Yi ∈ Rm×n (i = 1, , p) số 28 dương ǫ > cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính thỏa mãn (2.21a) Vi (Ai , Di , Pi , Yi ) < −S, i = 1, , p Vi (Ai , Di , Pj , Yj ) + Vj (Aj , Dj , Pi , Yi ) < S, p−1 (2.21b) i = 1, , p − 1; j = i + 1, , p, T T T Vj = Ai Pj + Pj AT i + Bi Yj + Yj Bi + Di Pj Di + ǫPj Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ điều khiển (2.19) xác định u(t) = Y (ξ)P −1 (ξ)x(t), t ≥ Sau đây, chúng tơi trình bày ví dụ số để minh họa cho kết lý thuyết Ví dụ 2.3 Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo tổ hợp lồi có trễ rời rạc sau (2.19),  −1  A1 =    0.5  A2 =   p = 2, h = and   1.5   0.1   4.5 −0.8 , D1 = 0.21   0.9 −7   1  0.1 0.65    , D2 = 0.52 0.54   0.13 0.43    0.12 0.2 0.8    0.11 0.3 , B1 =   ,    1.2 0.7 0.5    0.83 1.2    0.2  , B2 = 2.4    0.65 Bằng phần mềm MATLAB, ta kiểm tra điều kiện (2.21a) (2.21b) Hệ   1.1718  P1 = −0.0757  −0.2262   1.7064  P2 =  0.3615  −0.3675 2.3 thỏa mãn với ǫ = 1.02  −0.0757 −0.2262  1.3253 −0.0821 , Y1 = −6.5029 −10.8545 −0.7450 ,  −0.0821 0.4668  0.3615 −0.3675  3.0113 0.056  , Y2 = −7.5884 −13.8933 −3.2320 ,  0.056 0.1858 29   7.4288 12.0960 4.6641   S = 12.096 26.0566 8.8379   4.6641 8.8379 4.04 Do đó, từ Hệ 2.3 ta có hệ đóng tương ứng ổn định tiệm cận Tiếp theo, ta mô quỹ đạo nghiệm hệ Rõ ràng, điều kiện Hệ 2.3 không phụ thuộc vào tham số ξi (i = 1, 2) Với mục đích so sánh quỹ đạo nghiệm hệ số trường hợp, ta chọn ngẫu nhiên ba trường hợp tham số ξi (i = 1, 2) (1) Trường hợp 1: ξ1 = 0.6, ξ2 = 0.4, (2) Trường hợp 2: ξ1 = 0.3, ξ2 = 0.7, (3) Trường hợp 3: ξ1 = 0.8, ξ2 = 0.2 Hình 2.4, 2.5 2.6 biểu thị quỹ đạo nghiệm hệ mở (hệ (2.19) xét bên với u(t) ≡ 0) với bậc phân thứ α = 0.7, α = 0.8 α = 0.9, tương ứng Rõ ràng, từ hình vẽ này, ta thấy hệ mở khơng ổn định tiệm cận Sử dụng Hệ 2.3, điều khiển ngược u(t) = Kx(t) áp dụng để ổn định hóa hệ (2.19) Các hình 2.7, 2.8 2.9 cho ta quỹ đạo nghiệm hệ đóng với bậc phân thứ α = 0.7, α = 0.8 α = 0.9 Hơn nữa, điều khiển ngược ổn định hóa hệ xét ví dụ cho bởi: (1) Trường hợp 1, K = −6.7847 −5.8442 −10.765 ; (2) Trường hợp 2, K = −7.9502 −4.3428 −18.5421 ; (3) Trường hợp 3, K = −6.8211 −7.1152 −8.1966 30 2000 -2000 -4000 -6000 -8000 -10000 -12000 10 15 Time(sec) Hình 2.4: Quỹ đạo nghiệm hệ mở với α = 0.7 20 -20 -40 -60 -80 -100 10 15 Time(sec) Hình 2.5: Quỹ đạo nghiệm hệ mở với α = 0.8 10 -5 -10 -15 10 Time(sec) Hình 2.6: Quỹ đạo nghiệm hệ mở với α = 0.9 15 31 10 -5 -10 10 15 Time(sec) Hình 2.7: Quỹ đạo nghiệm hệ đóng với α = 0.7 10 -5 -10 10 15 Time(sec) Hình 2.8: Quỹ đạo nghiệm hệ đóng với α = 0.8 10 -5 -10 10 Time(sec) Hình 2.9: Quỹ đạo nghiệm hệ đóng với α = 0.9 15 32 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Trình bày tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo tổ hợp lồi có trễ hỗn hợp; • Trình bày tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo tổ hợp lồi có trễ hỗn hợp; • Trình bày 03 ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết Ngoài ra, kỹ thuật dùng để chứng minh Định lý 2.1 Định lý 2.2 dùng để nghiên cứu số toán lý thuyết điều khiển số lớp hệ điều khiển phân thứ tổ hợp lồi có trễ tốn điều khiển H∞ , tốn đảm bảo chi phí điều khiển 33 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Bùi Thị Thúy (2017), Dao động phi tuyến yếu hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số, Luận án tiến sĩ học, Học viện Khoa học Cơng nghệ [2] Hồng Thế Tuấn (2017), Về số vấn đề định tính hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Toán học Tiếng Anh [3] Adelipour, S., Abooee, A and Haeri, M (2015), “LMI-based sufficient conditions for robust stability and stabilization of LTI-fractional-order systems subjected to interval and polytopic uncertainties”, Transactions of the Institute of Measurement and Control, 37(10), 1207–1216 [4] Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E and Balakrishnan, V (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [5] Chen, L., Wu, R., He, Y and Yin, L (2015), “Robust stability and stabilization of fractional-order linear systems with polytopic uncertainties”,Applied Mathematics and Computation, 257(15), 274–284 [6] Deng, W., Li, C and Lă u, J (2007), Stability analysis of linear fractional differential system with multiple time delays”, Nonlinear Dynamics, 48, 409–416 [7] Diethelm, K (2010), The Analysis of Fractional Differential Equations An Application oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type, Lecture Notes in Mathematics, 2004, Springer–Verlag, Berlin 34 [8] Farges, C., Sabatier, J and Moze, M (2011), “Fractional order polytopic systems: robust stability and stabilisation”, Advances in Difference Equations, 2011(35), 1–10 [9] Hilfer, R (2000), Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, Singapore [10] Huong, D.C., Thuan, M.V and Hong, D.T (2019), “New results on stability and stabilization of delayed Caputo fractional order systems with convex polytopic uncertainties”, Journal of Systems Science and Complexity [11] Jiao, Z and Zhong, Y (2012), “Robust stability for fractional-order systems with structured and unstructured uncertainties”, Computers and Mathematics with Applications, 64, 3258–3266 [12] Li, S (2018), “Robust stability and stabilization of LTI fractional-order systems with poly-topic and two-norm bounded uncertainties”, Advances in Difference Equations, 2018, 1–13 [13] Li, Y., Chen, Y.Q and Podlubny, I (2010), “Stability of fractional- order nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized Mittag–Leffler stability”, Computers and Mathematics with Applications, 59(5), 1810–1821 [14] Liu, S., Yang, R., Zhou, X.F., Jiang, W., Li, X and Zhao, X.W (2019), “Stability analysis of fractional delayed equations and its applications on consensus of multi-agent systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 73, 351–362 [15] Lu, J.G and Chen, Y.Q (2013), “Stability and stabilization of fractionalorder linear systems with convex polytopic uncertainties”, Fractional Calculus and Applied Analysis, 16(1), 142–157 [16] Gu, K (2000), “An integral inequality in the stability problem of timedelay systems”, In: Proc IEEE Conf Dec Contr., Sydney, Australia, 2805– 2810 35 [17] Mori, T and Kokame, H (2000), “A parameter-dependent Lyapunov function for a polytope of matrices”, IEEE Transactions on Automatic Control, 45(8), 1516–1519 [18] Nam, P.T., Hien, H.M and Phat, V.N (2000), “Asymptotic stability of linear state-delayed neutral systems with polytope type uncertainties”, Dynamic Systems and Applications, 19(1), 63–73 [19] Phat, V.N and Nam, P.T (2007), “Exponential stability and stabilization of uncertain linear time-varying systems using parameter dependent Lyapunov function”, International Journal of Control, 80(8), 1333–1341 [20] Duarte-Mermoud, M.A., Aguila-Camacho, N., Gallegos, J.A and CastroLinares, R (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional order systems", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), 650–659 [21] Kaczorek, T (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer [22] Kilbas, A.A., Srivastava H.M and Trujillo J.J (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [23] Thanh, N.T., Trinh, H and Phat, V.N (2017), “Stability analysis of fractional differential time-delay equations”, IET Control Theory Appl., 11(7), 1006–1015 [24] Zhang, S., Yu, Y and Yu, J (2017), “LMI conditions for global stability of fractional-order neural networks”, IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 28(10), 2423–2433 ... 15 Chương Tính ổn định ổn định hóa lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ 16 2.1 Tính ổn định lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ ... tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ 2.1 Tính ổn định lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ Xét hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ hỗn hợp    C Dα x(t) = A(ξ)x(t)... tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Trình bày tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo