Khai triển thập phân của số hữu tỷ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BÙI THỊ PHƯƠNG THẢO KHAI TRIỂN THẬP PHÂN CỦA SỐ HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BÙI THỊ PHƯƠNG THẢO KHAI TRIỂN THẬP PHÂN CỦA SỐ HỮU TỶ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN DUY TÂN THÁI NGUYÊN - 2020 i Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đồng dư Định lý Euler 1.2 Cấp số nguyên modulo n 1.3 Thặng dư toàn phương Chương Phân số tuần hoàn 11 2.1 Phân số tuần hoàn 11 2.2 Chu kỳ phân số tuần hoàn 17 Chương Định lý Midy 22 3.1 Định lý Midy 22 3.2 Tính chất 2-khối 24 3.3 Tính chất m-khối 30 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Xét khai triển thập phân 1/7: = 0.142857 Ta nhận thấy khai triển thập 1/7 túy tuần hoàn, với chu kỳ 6, với khối lặp lại 142857 Nếu ta chia đôi khối lặp lại thành phần cộng chúng lại ta nhận số gồm toàn số 9: 142 + 857 = 999 Đây ví dụ minh họa cho kết thú vị Midy nói giả sử khai triển thập phân 1/p, p số nguyên tố, có chu kỳ chẵn, ta chia khối lặp lại thành phần A B A + B số toàn số Mục tiêu luận văn tìm hiểu số tính chất bản, thú vị khai triển thập phân số hữu tỷ Tìm hiểu định lý Midy đề cập số mở rộng Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, bố cục luận văn chia làm ba chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày đồng dư, định lý Euler, cấp số nguyên modulo n Chương Phân số tuần hồn Chương trình bày số tính chất chu kỳ phần số tuần hoàn Chương Định lý Midy Chương trình bày Định lý Midy số hướng mở rộng Luận văn thực hoàn thành vào tháng năm 2020 trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Duy Tân, người tận tình hướng dẫn suốt trình làm việc để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện để giúp tác giả học tập hồn thành luận văn chương trình thạc sĩ Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học K12A7, khóa 2018 - 2020 động viên giúp đỡ tác giả trình học tập hồn thành luận văn Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Lê Ích Mộc, Thủy Nguyên, Hải Phòng tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Bùi Thị Phương Thảo Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức đồng dư, Định lý Euler, cấp số nguyên modulo n thặng dư toàn phương Tài liệu tham khảo cho chương [3], [4] [7] Một số tính tốn luận văn sử dụng cơng cụ trang worlframalpha 1.1 Đồng dư Định lý Euler Cho n số nguyên dương Định nghĩa 1.1.1 Cho hai số nguyên a b, ta nói a đồng dư với b modulo n, viết a ≡ b (mod n) a − b chia hết cho n Quan hệ đồng dư có nhiều tính chất quan hệ Với số nguyên a, a ≡ a (mod n) Nếu a ≡ b (mod n) b ≡ a (mod n) Nếu a ≡ b (mod n) b ≡ c (mod n) a ≡ c (mod n) Nếu a ≡ b (mod n) c ≡ d (mod n) a ± c ≡ b ± d (mod n) ac ≡ bd (mod n) Định nghĩa 1.1.2 (Phi-hàm Euler) Với số nguyên dương n, φ(n) số số nguyên dương a mà ≤ a ≤ n gcd( a, n) = 1, tức φ(n) = #{1 ≤ a ≤ n | gcd(n) = 1} Ví dụ 1.1.3 Dưới số giá trị φ(n) - φ(1) = φ(2) = #{1} = - φ(3) = #{1, 2} = - φ(4) = #{1, 3} = - φ(5) = #{1, 2, 3, 4} = - φ(6) = #{1, 5} = - φ(7) = #{1, 2, 3, 4, 5, 6} = - φ(8) = #{1, 3, 5, 7} = - φ(9) = #{1, 2, 4, 5, 7, 8} = - φ(10) = #{1, 3, 7, 9} = Định lý 1.1.4 (Định lý Euler) Cho n số nguyên dương a số nguyên nguyên tố với n Khi aφ(n) ≡ (mod n) Khi n = p số nguyên tố φ( p) = p − ta thu Định lý Fermat nhỏ Định lý 1.1.5 (Định lý Fermat nhỏ) Cho p số nguyên dương a số nguyên nguyên tố với p Khi a p−1 ≡ (mod p) Một số tính chất phi-hàm Euler Nếu m n hai số nguyên dương nguyên tố φ(mn) = φ(m)φ(n) Nếu p số nguyên tố r nguyên dương φ( pr ) = pr − pr−1 r Từ hai tính chất trên, ta suy công thức φ(n) sau: Nếu n = p1r1 · · · pkk phân tích lũy thừa nguyên tố n φ(n) = n − Ví dụ: φ(100) = φ(22 52 ) = 100 − p1 ··· 1− 1− pk = 100 · · = 40 1.2 Cấp số nguyên modulo n Cho n số nguyên dương > Theo Định lý Euler, với số nguyên a nguyên tố với n, ta có aφ(n) ≡ (mod n) Như vậy, tồn số nguyên dương k cho ak ≡ (mod n) Định nghĩa 1.2.1 Cho a số nguyên nguyên tố với n Ta gọi cấp a modulo n, viết ordn ( a) số nguyên dương k nhỏ cho ak ≡ (mod n) Trong chương sau ta thấy chu kỳ khai triển thập phân phân số 1/n (với n nguyên tố với 10) ordn (10) Do vậy, ví dụ chương này, ta trình bày tính tốn với ordn (10) Ví dụ 1.2.2 Ta tìm ord7 (10) Ta có 101 ≡ (mod 7), 102 ≡ (mod 7), 103 ≡ (mod 7), 104 ≡ (mod 7), 105 ≡ (mod 7), 106 ≡ (mod 7) Vậy ord7 (10) = Ví dụ 1.2.3 (i) Ta tìm tất số số nguyên dương n cho ordn (10) = Ta có 101 ≡ (mod n) Do n | 9, n = Thử lại ta thấy ord3 (10) = ord9 (10) = (ii) Ta tìm tất số số nguyên dương n cho ordn (10) = Ta có 102 ≡ (mod n) Do n | 99 Kết hợp phần (i), ta suy n = 11, 33 99 Thử lại ta thấy ord11 (10) = ord33 (10) = ord99 (10) = Mệnh đề 1.2.4 Cho a n hai số nguyên nguyên tố với n > Khi số nguyên x thõa mãn a x ≡ (mod n) ordn ( a) | x Chứng minh Đặt k = ordn ( a) Giả sử k | x Khi x = mk với m nguyên dương Ta có a x = ( a k ) m ≡ 1m = (mod n) Đối với chiều ngược lại, ta giả sử a x ≡ (mod n) Ta chia x cho k, ta x = q · k + r, ≤ r < k Ta có ≡ a x = a q · k +r = ( a k ) q ar ≡ ar (mod n) Do ar ≡ (mod n) Vì ≤ r < k nên r = theo định nghĩa k = ordn ( a) số nguyên dương y nhỏ cho ay ≡ (mod n) Như x = q · k k | x Kết hợp với Định lý Euler ta có hệ sau Hệ 1.2.5 Cho a n hai số nguyên nguyên tố với n > Khi ordn ( a) | φ(n) Nói riêng, n = p nguyên tố ord p ( a) | p − Sử dụng hệ ta tính cấp số nguyên modulo n nhanh chóng Ví dụ 1.2.6 (1) Ta tính lại k = ord7 (10) Ta có φ(7) = 6, nên k phải ước Do k = 1, 2, Ta có 101 ≡ (mod 7), 102 ≡ (mod 7), 103 ≡ (mod 7) Do k = (2) Ta tính k = ord13 (10) Ta có φ(13) = 12, nên k phải ước 12 Do k = 1, 2, 3, 4, 12 Ta có 101 ≡ −3 104 ≡ (mod 13), 102 ≡ −4 (mod 13), 103 ≡ −1 (mod 13), (mod 13), 106 ≡ (mod 13) Do k = (3) Ta tính k = ord21 (10) Ta có φ(21) = φ(3)φ(7) = · = 12, nên k phải ước 12 Do k = 1, 2, 3, 4, 12 Ta có 101 ≡ 10 104 ≡ (mod 21), 102 ≡ 16 (mod 21), 103 ≡ 13 (mod 21), (mod 21), 106 ≡ (mod 21) Do k = Hệ 1.2.7 Cho n > số nguyên dương với gcd(n, 10) = Nếu tồn số nguyên dương v cho n | 10v + ordn (10) chẵn Chứng minh Ta có 10v ≡ −1 (mod n) 102v ≡ (mod n) Theo Mệnh đề 1.2.4, ordn (10) | 2v Giả sử ordn (10) lẻ Khi ordn (10) | v Do 10v ≡ (mod n) (lại theo Mệnh đề 1.2.4 ) Ta suy −1 ≡ 10v ≡ (mod n) ≡ (mod n) Điều vơ lý n = Chú ý 1.2.8 (1) Nói chung hệ ta khơng có khẳng định theo chiều ngược lại Ví dụ, với n = 21 ord21 (10) = chẵn, 21 ∤ 10v + với số nguyên dương v Thật vậy, giả sử tồn v nguyên dương 21 | 10v + Nói riêng 10v + ≡ (mod 3) Nhưng rõ ràng 10v + ≡ + = (mod 3), ta có điều mâu thuẫn (2) Tuy nhiên, n nguyên tố hệ ta có khẳng định theo chiều ngược lại Cụ thể hơn, n = p số nguyên tố khác 5, ord p (10) = 2r chẵn, p | 10r + Thật vậy, ta có 102r ≡ (mod p) Do p | 102r − = (10r − 1)(10r + 1) Vì p nguyên tố, nên p ước 10r − 10r + Vì 2r cấp 10 modulo p 2r > r nên 10r ≡ (mod p), tức p ∤ 10r − Ta suy p | 10r + 1.3 Thặng dư toàn phương Định nghĩa 1.3.1 Cho p số nguyên tố a số nguyên cho p ∤ a Số a gọi thặng dư toàn phương modulo p tồn số nguyên x cho a ≡ x2 (mod p) Nếu không tồn số nguyên x cho a ≡ x2 (mod p) ta nói a phi thặng dư tồn phương modulo p Ví dụ Các số 1, 2, thặng dư toàn phương modulo 7, 3,5 khơng thặng dư toàn phương modulo Định nghĩa 1.3.2 (Ký hiệu Legendre) Cho p số nguyên tố lẻ không chia hết số nguyên a Ta định nghĩa: a p =  1  −1 a thặng dư tồn phương modulo p a khơng thặng dư toàn phương modulo p Ký hiệu gọi ký hiệu Legendre Một số tính chất Cho p số nguyên tố lẻ không chia hết số ngun a b Khi ta có tính chất sau a2 = p a b ab = p p p p −1 a ≡ a ( mod p) (Tiêu chuẩn Euler) p b a = Nếu a ≡ b ( mod p) p p  1 p ≡ (mod 4) −1 = −1 p ≡ (mod 4) p  p ≡ ±1 (mod 8) 1 p −1 p ≡ ±3 (mod 8) Định lý 1.3.3 (Luật thuận nghịch toàn phương Gauss) Giả sử p q số nguyên q p = ; tố lẻ phân biệt Khi p ≡ (mod 4) q ≡ (mod 4) q p p q p ≡ q ≡ ( mod4) =− q p Hệ 1.3.4 Cho p số nguyên tố khác Khi p =  1  −1 p ≡ ±1 (mod 5) p ≡ ±2 (mod 5) 24 Ví dụ 3.1.3 (1) Giả sử ta muốn tìm biểu diễn thập phân phân số 1/19 Ta biết chu kỳ ℓ(19) 1/19 chẵn ước φ(19) = 18 Do ℓ(19) = 18 Trước tiên, ta tìm chữ số sau dấu chấm 1/19 Ta có = 0.0526 · · · 19 Vì + = 9, nên ta suy ℓ(19) (theo Định lý Midy) Như ℓ(19) = 18 ta cần tìm chữ số sau dấu chấm 1/19 Ta có = 0.052631578 · · · 19 Theo Định lý Midy, số phải 947368421, ta có = 0.052631578947368421 19 (2) Ta tìm biểu diễn thập phân phân số 1/47 Ta biết chu kỳ 1/47, ℓ(47) chẵn ước φ(47) = 46 Do ℓ(47) = 46 Ta cần tìm 23 chữ số sau dấu chấm 1/47: = 0.02127659574468085106382 · · · 47 Theo Định lý Midy, 23 số phải 97872340425531914893617, ta có = 0.0212765957446808510638297872340425531914893617 47 3.2 Tính chất 2-khối Mục ta xét mở rộng Định lý Midy cho trường hợp phân số có mẫu số khơng thiết ngun tố Định nghĩa 3.2.1 (a) Phân số tối giản < a/b < gọi có tính chất 2-Midy (cịn thường gọi tính chất số 9) a/b = 0.a1 a2 · · · ak ak+1 · · · a2k có chu kỳ chẵn a1 a2 · · · ak + ak+1 · · · a2k = 10k − (b) Phân số tối giản < a/b < gọi có tính chất 2-khối a/b = 0.a1 a2 · · · ak ak+1 · · · a2k có chu kỳ chẵn a1 a2 · · · ak + ak+1 · · · a2k chia hết cho 10k − 25 Mệnh đề 3.2.2 Cho trước phân số tối giản < a/b < Khi a/b có tính 2-Midy a/b có tính chất 2-khối Chứng minh Giả sử a/b có tính chất 2-khối Viết a/b = 0.a1 a2 · · · ak ak+1 · · · a2k , đặt A = a1 a2 · · · ak B = ak+1 · · · a2k Ta có 10k − | A + B Vì A B có (khơng q) k chữ số nên A, B ≤ 10k − Do A + B ≤ 10k − Giả sử A + B = 10k − Khi A = B = 10k − = 99 · · · (k chữ số 9) a = 0.99 · · · · · · b có chu kỳ 1, trái giả thiết Như A + B < 10k − A + B = 10k − 1, tức a/b có tính chất 2-Midy Hiển nhiên tính chất 2-Midy suy tính chất 2-khối Mệnh đề 3.2.3 Cho trước số nguyên dương b với gcd(b, 10) = Giả sử ordb (10) = 2k Cho số nguyên dương a với < a < b gcd( a, b = 1) Khi phân số tối giản a/b có tính chất 2-khối b | 10k + Chứng minh Vì ordb (10) = 2k nên phân số hồn tồn tuần hồn a/b có chu kỳ 2k Ta viết a/b = 0.a1 a2 · · · ak ak+1 · · · a2k , đặt A = a1 a2 · · · ak B = ak+1 · · · a2k Khi 10k A + B a 10k A + B = = b 102k − (10k − 1)(10k + 1) Do 10k A + B A+B a(10k + 1) = = A+ k k b 10 − 10 − Từ ta suy a/b có tính chất 2-khối ⇔ 10k − | A + B ⇔ A+ A+B số nguyên 10k − ⇔ b | a(10k + 1) ⇔ b | 10k + (vì gcd( a, b) = 1) Ta có hệ sau nói tính chất 2-khối (hay 2-Midy) không phụ thuộc vào tử số a phân số tối giản a/b 26 Hệ 3.2.4 Cho trước số nguyên dương b với gcd(b, 10) = Các khẳng định sau tương đương (i) Phân số 1/b có tính chất 2-khối (ii) Phân số a/b có tính chất 2-khối với a mà < a < b gcd( a, b) = (iii) Phân số a/b có tính chất 2-khối với < a < b gcd( a, b) = Ta có kết sau đây, mở rộng Định lý Midy Hệ 3.2.5 Cho trước số nguyên dương b với gcd(b, 10) = ordb (10) chẵn Khi đó, gcd(b, 10k − 1) = 1, phân số tối giản a/b có tính chất 2-Midy, với < a < b Nói riêng, b lũy thừa nguyên tố, phân số tối giản a/b có tính chất 2-Midy, với < a < b Chứng minh Giả sử gcd(b, 10k − 1) = Ta viết a/b = 0.a1 a2 · · · ak ak+1 · · · a2k , đặt A = a1 a2 · · · ak B = ak+1 · · · a2k Ta có 10k A + B a 10k A + B = = b 102k − (10k − 1)(10k + 1) Do b(10k A + B) = a(10k − 1)(10k + 1) Do b chia hết a(10k − 1)(10k + 1) Vì gcd(b, a) = = gcd(b, 10k − 1) = 1, nên b chia hết 10k + Do a/b có tính chất 2-Midy theo Mệnh đề 3.2.3 Bây ta chứng minh b = pr lũy thừa nguyên tố gcd(b, 10k − 1) = Giả sử ngược lại p chia hết 10k − Gọi s = ord p (10) Khi s ước k Theo Hệ 2.2.5, ta có ord pr (10) = pu s, với u ≤ r − Từ ta suy 2k = ord pr (10) = pu s Nói riêng u ≥ s < 2k Ta có ước s khơng ước p lẻ Viết s = 2s′ với s′ nguyên Khi k = pu s′ ′ ′ Ta có p | 10s − = (10s − 1)(10s + 1) Vì cấp 10 modulo p s, s > s′ ′ ′ nên 10s − không chia hết cho p Như p | 10s + Ta suy ′ u u ≡ 10k = 10s p ≡ (−1) p = −1 (mod p) Do ≡ (mod p), vơ lý p lẻ Như gcd( pr , 10k − 1) = ta có điều phải chứng minh 27 Hệ 3.2.6 Cho b số nguyên dương với gcd(b, 10) = Giả sử ordb (10) = 2k, k nguyên dương Giả sử thêm với ước nguyên tố p b, ord p (10) khơng chia hết k Khi 1/b có tính chất 2-khối Chứng minh Xét p ước nguyên tố b Ta có p khơng ước 10k − Thật vậy, giả ngược lại p | 10k − Khi ord p (10) | k, trái giả thiết Do gcd(b, 10k − 1) = Theo hệ trên, ta suy 1/b có tính 2-khối Ví dụ 3.2.7 Xét b = 253 = 11 · 23 Ta có ℓ(11) = ℓ(23) = 22 ℓ(11 · 23) = lcm(ℓ(11), ℓ(22)) = lcm(2, 22) = 22 Ta thấy = ℓ(11) ∤ 11 22 = ℓ(23) ∤ 11 Do 1/253 có tính chất 2-khối Thực tế, = 0.0039525691699604743083 253 00395256916 + 99604743083=99999999999 Ta có kết sau ca Scholmilch (1880) ă nh lý 3.2.8 Cho b số nguyên dương với gcd(b, 10) = Phân số 1/b có tính chất 2-khối b chia hết 10 j + với số dương j Chứng minh Giả sử 1/b có tính chất 2-khối Khi phân số 1/b có chu kỳ ordb (10) = 2k với k nguyên dương Ta có b | 10k + Giả sử b | 10 j + với j nguyên dương Gọi k số nguyên dương nhỏ cho b | 10k + Khi 102k ≡ (−1)2 = (mod b) Do r := ordb (10) | 2k Theo Hệ 1.2.7, r chẵn Ta viết r = 2s, với s nguyên dương Khi s | k Ta chứng minh gcd(b, 10s − 1) = Thật vậy, giả sử ngược lại gcd(b, 10s − 1) > Khi có số nguyên tố p cho p | b p | 10s − Vì s | k nên 10s − | 10k − Như p | b | 10k + p | 10k − Từ ta suy p | p = 2, mâu thuẫn với giả thiết gcd(b, 10) = Như gcd(b, 10s − 1) = Vì b | 10r − = (10s − 1)(10s + 1), nên ta suy b | 10s + Do k ≤ s Do s = k 1/b có chu kỳ ordb (10) = 2k Theo Mệnh đề 3.2.3, 1/b có tính chất 2-khối Ví dụ 3.2.9 Ta có 109 + = · 11 · 13 · 19 · 52579 Theo định lý trên, ước 28 109 + có tính chất 2-Midy (2-khối) Chẳng hạn = 0.012987, 012 + 987 = 999, · 11 = 0.010989, 010 + 989 = 999, · 13 = 0.007518796992481203, · 19 007518796 + 992481203 = 999999999 Ví dụ 3.2.10 Xét b = 11 · 73 = 803 Ta có = 0.00124533 803 Phân số 1/803 khơng có tính chất 2-khối Như vậy, theo định lý 803 không chia hết 10 j + với j ≥ Ta trực tiếp điều sau Giả sử tồn j cho 803 | 10 j + Khi (−1) j ≡ 10 j ≡ −1 (mod 11), j phải số lẻ Ta viết j = 4r + s, với s = Chú ý 73 | 104 + 1, nên Điều vô lý −1 ≡ 10 j ≡ (104 )r · 10s ≡ (−1)r 10s (mod 73)  ±10 (mod 73) s = ≡ ±51 (mod 73) s = Bổ đề 3.2.11 Cho p số nguyên tố khác Giả sử ord p (10) = 2k chẵn Khi p | 10 j + j = kv, với v nguyên không dương lẻ Chứng minh Ta có p | 102k−1 = (10k − 1)(10k + 1) Vì 2k cấp 10 modulo p nên p ∤ 10k − Do p | 10k + (vì p nguyên tố) Rõ ràng 10k + | 10k·v + với v số nguyên dương lẻ Do p | 10k·v + 1, với v nguyên dương lẻ Bây ta giả sử p | 10 j + Khi p | 102j − = (10 j − 1)(10 j + 1) Ta suy 2k | 2j k | j Ta viết j = kv Nếu v chẵn v = 2s với s ngun dương Khi j = 2ks chia hết cho 2k Ta suy −1 ≡ 10 j ≡ (mod p), vơ lý Như v phải lẻ ta có điều phải chứng minh Bổ đề 3.2.12 Nếu 1/b có tính chất 2-khối 1/bi có tính chất 2-khối với số nguyên dương i 29 Chứng minh Gọi ordb (10) = 2k, với k nguyên dương Khi b chia hết 10k + Với số nguyên dương lẻ n ta có 10kn + = 10k(n−1) − 10k(n−2) + · · · − 10k + 10k + ≡ (−1)n−1 − (−1)n−2 + · · · − (−1) + (mod 10k + 1) ≡ n (mod 10k + 1) Nói riêng, với n = 10k + 1, đặt t1 = k(10k + 1), ta suy 10t+1 ≡0 10k + (mod 10k + 1) Do b2 | (10k + 1)2 | 10t + Lập luận tương tự ta suy b4 | 10t2 + với t2 nguyên s dương Bằng quy nạp với s ≥ 1, ta có b2 | 10ts + với ts nguyên Ta chọn s cho 2s ≥ i Khi đó, hiển nhiên ta có bi | 10ts + Theo Định lý 3.2.8, bi có tính chất 2-khối Định lý sau cho ta tiêu chuẩn số ngun dương b mà 1/b có tính chất 2-khối Định lý 3.2.13 Cho b số nguyên dương nguyên tố với 10 Gọi p1 , , pr ước nguyên tố phân biệt b Khi 1/b có tính chất 2-khối điều kiện sau thỏa mãn: (*) Tồn số nguyên dương s cho với i mà ≤ i < r, ta có ℓ( pi ) = 2s · vi , vi số nguyên lẻ (Trong điều kiện (*) trên, vi khác với i khác nhau, nhân tử 2s chung cho tất i.) Chứng minh Giả sử 1/b có tính chất 2-khối Khi theo Định lý 3.2.8, ta có b | 10 j + với j nguyên dương Xét p ước nguyên tố b Khi p | 10 j + Theo Hệ 1.2.7, ord p (10) chẵn Viết ord p (10) = 2s · u, với s nguyên dương u lẻ Vì p | 10 j + nên j = 2s−1 u(2x + 1), với x ngun khơng âm Như 2s−1 lũy thừa cao mà ước j Bây xét q ước nguyên tố tùy ý, khác với p, b (Nếu b có ước ngun tố p điều kiện (*) hiển nhiên thỏa mãn.) Tương tự trên, ta có ordq (10) = 2t · v, với t nguyên dương v lẻ, 2t−1 lũy thừa cao mà ước j Như t = s (*) thỏa mãn 30 Ngược lại giả sử tính chất (*) thỏa mãn Với i = 1, , r, đặt di = ℓ( pi )/2 Khi pi | 10di + Với ước nguyên tố pi , gọi pimi lũy thừa cao m pi mà ước b Theo chứng minh Bổ đề 3.2.12, pi i chia hết 10ti + với ti bội di mà ti /di = ni lẻ Theo điều kiện (*), di = 2s−1 vi Đặt t = ∏ri=1 ti , v = ∏ri=1 vi , e = 2s−1 tv Khi ti | e e d tv tv e = · i = · = ti di ti vi ni vi ni mi số lẻ t, v, vi ni số lẻ Do pi | 10ti + | 10e + 1, với m m i = 1, , r Vì pi i nguyên tố cặp, nên b = ∏ri=1 pi i chia hết 10e + Theo Định lý 3.2.8, 1/b có tính chất 2-khối Ví dụ 3.2.14 (1) Xét b = · 11 · 19 = 1463 Ta có ℓ(7) = = · 3, ℓ(11) = = · 1, ℓ(19) = 18 = · Điều kiện (*) Định lý 3.2.13 thỏa mãn Do 1/1463 có tính chất 2-khối Thực tế, ta có = 0.000683526999316473 1463 có chu kỳ 18 000683526 + 999316473 = 999999999 Ta dễ dàng tìm số nguyên dương e cho b = 1463 | 10e + Ta đặt e = · · = 27 Khi 1463 | 1027 + (2) Xét b = 803 = 11 · 73 Ta có ℓ(11) = = · 1, ℓ(73) = = 23 · Điều kiện (*) Định lý 3.2.13 không thỏa mãn 1/803 tính chất 2-khối 3.3 Tính chất m-khối Cho m số nguyên dương lớn Định nghĩa 3.3.1 (a) Phân số tối giản < a/b < gọi có tính chất m-Midy a/b = 0.A1 · · · Am có chu kỳ m · k, Ai có k chữ số A1 + · · · + Am = 10k − (b) Phân số tối giản < a/b < gọi có tính chất m-khối nếu a/b = 0.A1 · · · Am có chu kỳ m · k, Ai có k chữ số A1 + · · · + Am chia hết cho 10k − 31 Chú ý 3.3.2 (i) Hiển nhiên tính chất m-Midy suy tính chất m-khối (ii) Theo mục trước ta thấy tính chất 2-khối tương đương với tính chất 2-Midy Nói chung, m ≥ tính chất m-khối khơng suy tính chất m-Midy Ví dụ = 0.428571 có tính chất 3-khối: 42+85+71=198 chia hết cho 99, khơng có tính chất 3-Midy (iii) Phân số tối giản hoàn toàn tuần hoàn < a/b < 1, với ∤ b, ln có tính chất m-khối, với m = ℓ(b), tức a/b = 0.a1 · · · ak | a1 + · · · + ak Thật vậy, ta có a a ···a = 0.a1 · · · ak = k k b 10 − Suy b · ( a1 · · · ak ) = a(10k − 1) Ta suy | 10k − | b · ( a1 · · · ak ) Vì ∤ b, nên ta suy ước số a1 · · · ak Từ tiêu chuẩn chia hết cho 9, ta suy a1 + · · · + ak chia hết cho Một số kết mục trước cho 2-khối mở rộng lên cho m-khối Mệnh đề 3.3.3 Cho trước số nguyên dương m số nguyên dương b với gcd(b, 10) = Giả sử ordb (10) = m · k Cho số nguyên dương a với < a < b gcd( a, b) Khi phân 10mk − số tối giản a/b có tính chất m-khối b | 10k − Chứng minh Vì ordb (10) = mk nên phân số hồn tồn tuần hồn a/b có chu kỳ mk Ta viết a/b = 0.A1 A2 · · · Am , Ai số có k chữ số Khi A A2 · · · A m a 10k(m−1) A1 + 10k(m−2) A2 + · · · + Am = mk = b 10 − 10mk − Do a 10mk − 10k(m−1) A1 + 10k(m−2) A2 + · · · + Am · = b 10k − 10k − 10k(m−1) − 10k(m−2) − 10k − = A + A + · · · + A m −1 10k − 10k − 10k − A + A2 + · · · + A m + 10k − Vì 10k(m−i) − chia hết cho 10k − với ≤ i < m, nên ta suy a/b có tính chất m-khối ⇔ 10k − | A1 + · · · + Am a 10mk − · số nguyên b 10k − 10mk − ⇔ b | a· 10k − mk 10 − (vì gcd( a, b) = 1) ⇔b| 10k − ⇔ 32 Ta có hệ sau nói tính chất m-khối khơng phụ thuộc vào tử số a phân số tối giản a/b Hệ 3.3.4 Cho trước số nguyên dương b với gcd(b, 10) = Các khẳng định sau tương đương (i) Phân số 1/b có tính chất m-khối (ii) Phân số a/b có tính chất m-khối với a mà < a < b gcd( a, b) = (iii) Phân số a/b có tính chất m-khối với < a < b gcd( a, b) = Hệ 3.3.5 Cho trước số nguyên dương m > số nguyên dương b với gcd(b, 10) = Giả sử ordb (10) = m · k Nếu gcd(b, 10k − 1) = 1/b có tính chất m-khối Nói riêng, b số ngun tố lớn 1/b có tính chất m-khối Chứng minh Vì ordb (10) = mk nên phân số hồn tồn tuần hồn a/b có chu kỳ mk Ta viết a/b = 0.A1 A2 · · · Am , Ai số có k chữ số Khi A A2 · · · A m a = mk b 10 − Ta suy b · A1 A2 · · · Am = a · (10mk − 1) Vì gcd( a, b) = nên b | 10mk − Lại 10mk − gcd(b, 10k − 1) = nên b chia hết Theo Mệnh đề 3.3.3, 1/b có tính chất 10k − m-khối Bây ta giả sử b = p nguyên tố lớn Ta chứng minh gcd( p, 10k − 1) = Giả sử ngược lại, p | 10k − Ta suy m · k = ord p (10) | k, vô lý Như gcd( p, 10k − 1) = 1/p có tính chất m-khối Ví dụ 3.3.6 Trong ví dụ tập trung vào tính chất m-khối với m > 2, tính chất 2-khối nghiên cứu kỹ mục trước Với p = 13, phân số = 0.076923 có tính chất 3-khối, 6-khối 13 07 + 69 + 23 = 99; + + + + + = 27 Với p = 17, phân số 3-khối, 6-khối: = 0.0588235294117647 với chu kỳ ℓ(17) = có tính chất 17 07 + 69 + 23 = 99; + + + + + = 27 33 = 0.052631578947368421 với chu kỳ ℓ(19) = 18, có tính 19 chất m-khối với m = 3, 6, 9, 18: Với p = 19, phân số 052631 + 578947 + 368421 = 999999; 052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 421 = 2997 = · 999; 05 + 26 + 31 + 57 + 89 + 47 + 36 + 84 + 21 = 396 = · 99; + + + + + + + + + + + + + + + + + = 81 Hệ 3.3.7 Cho trước số nguyên dương m > số nguyên dương b với gcd(b, 10) = Giả sử ordb (10) = m · k, với k nguyên dương Khi đó, với ước nguyên tố p b, ord p (10) khơng ước k, 1/b có tính chất m-khối Chứng minh Theo Mệnh đề 3.3.3, ta cần chứng minh b chia hết N m−1 + N m−2 + · · · + N + 1, N = 10k Ta có N m = 10mk ≡ (mod b) Do b | N m − = ( N − 1)( N m−1 + N m−2 + · · · + N + 1) Ta xét p ước nguyên tố b gọi pi lũy thừa cao p mà ước b Vì k khơng chia hết cho ord p (10), nên N = 10k ≡ (mod p) Như gcd( p, N − 1) = Kết hợp với pi | b | ( N − 1)( N m−1 + N m−2 + · · · + N + 1), ta suy pi | ( N m−1 + N m−2 + · · · + N + 1) Điều với ước nguyên tố p b, nên ta suy b | N m−1 + N m−2 + · · · + N + 1, 1/b có tính chất m-khối Ví dụ 3.3.8 (1) Xét b = 91 = · 13 Ta có ℓ(7) = 6, ℓ(13) = ℓ(91) = = · Ta có ℓ(7) ∤ ℓ(13) ∤ Do theo hệ 1/91 có tính chất 3-khối Thực tế, = 0.010989, 01 + 09 + 89 = 99 91 (2) Xét b = 77 = · 11 Ta có ℓ(7) = 6, ℓ(11) = ℓ(77) = = · Ta có ℓ(11) | phân số = 0.012987 77 khơng có tính chất 3-khối: 01+29+87=117 khơng chia hết cho 99 Định lý sau xem tượng tự Định lý Midy cho trường hợp chu kỳ phân số dạng 1/p (p nguyên tố) chia hết cho Định lý 3.3.9 (3k-tương tự định lý Midy) Cho p số nguyên tố giả sử khai triển thập phân 1/p có chu kỳ 3k, viết = 0.ABC, p 34 khối A, B, C có k-chữ số Khi A + B + C = 10k − A+B+C số nguyên dương Vì A, B, C ≤ 10k − 10k − (và 10k − 1), nên ta có Chứng minh Theo Hệ 3.3.5, A+B+C = 1, 10k − (3.3) A+B+C = 10k − (3.4) A+B+C = 10k − Trường hợp 1: A = Trong trường hợp ta có B + C = 2(10k − 1) Ta suy Ta giả sử B = C = 10k − (vì B, C ≤ 10k − chúng khơng thể vượt độ dài k-chữ số) Ta có ABC 10k B + C 10k (10k − 1) + 10k − 1 = 0.ABC = 3k = = p 10 − 103k − 103k − (10k + 1)(10k − 1) = (10k − 1)(102k + 10k + 1) = 10k + 102k + 10k + Do 102k + 10k + = 10k + k k 10 + 10 + 1 không số nguyên Điều mâu thuẫn p số nguyên k 10 + Trường hợp 2: A = Điều nghĩa A ≥ p= Ta có 102k A + 10k B + C ABC = 0.ABC = 3k = p 10 − 103k − Suy 103k > 103k − = 102k pA + 10k pB + pC > 102k pA Do pA < 10k Như 10k A < Kết hợp với B ≤ 10k − 1, ta có p C = 2(10k − 1) − ( A + B) > 2(10k − 1) − 10k − = 10 − p k 10k + 10k − p 35 Do (3.5) 10k p − 10k − p < Cp ≤ (10k − 1) p Mặt khác Cp + = 103k − 102k pA − 10k pB = 10k m, m = 102k − 10k pA − pB Thay vào (3.5), ta 10k p − 10k − p < 10k m − ≤ (10k − 1) p Do p−1− p−1 10 k < m ≤ p− p−1 10k Nhận xét pA < 10k A ≥ nên p < 10k Do ta suy p−1 < 1, từ bất đẳng 10k p − < m < p Như m = p − Điều có nghĩa Cp + = 10k ( p − 1), hay tương đương, Cp = 10k p − 10k + Từ đẳng thức này, ta suy 10k + = 10k p − Cp chia hết cho p Mặt khác m = 102k − 10k pA − pB = p − Ta suy 102k + = 10k pA + pA − p chia hết cho p Như = 102k + − (10k − 1)(10k + 1) chia hết cho p, vơ lý p số nguyên tố khác Như ta có A + B + C = 2(10k − 1) Do A + B + C = 10k − Ví dụ 3.3.10 (1) Với p = 31, phân số 1/31 = 0.0.032258064516129, có chu kỳ ℓ(31) = 15 03225 + 80645 + 16129 = 99999 (2) Với p = 43, phân số = 0.023255813953488372093, 43 có chu kỳ ℓ(43) = 21 0232558 + 1395348 + 8372093 = 9999999 36 Ta kết thúc chương ví dụ sau Ví dụ 3.3.11 Giả sử bạn học sinh chép (từ trang wolframalpha.com) khai triển thập phân phân số 1/211 sau 1/211 = 0.004739336492790995260663507109 Biết bạn học sinh chép sai chữ số Hãy tìm vị trí chữ số bị sai giá trị Ta trả lời câu hỏi sau Số 211 nguyên tố theo khai triển thập phân 1/211 trên, ta thấy ℓ(211) = 30 Phân số 1/211 có tính chất 2-Midy 3-Midy Ta có 004739336492790 + 995260663507109 = 999999999999899 Giá trị sai lệch với giá trị xác (theo tính chất 2-Midy) 999999999999999 − 999999999999899 = 100 Như chữ số bị sai nằm vị trí thứ hàng trăm hai số hạng tổng (và giá trị bị sai bé đơn vị so với giá trị đúng) Tức số bị sai vị trí thứ 13 thứ 28 dãy tuần hồn phân số Mặt khác, ta có 0047393364 + 9279099526 + 0663507109 = 9989999999 Giá trị sai lệch với giá trị xác (theo tính chất 3-Midy) 9999999999 − 9989999999 = 10000000 Như chữ số bị sai nằm vị trí thứ hàng mười triệu ba số hạng tổng (và giá trị bị sai bé đơn vị so với giá trị đúng) Tức số bị sai vị trí thứ 3, thứ 13, thứ 23 dãy tuần hoàn phân số Kết hợp với phần ta thấy số bị sai ví trí thứ mười ba, số số số phải 8, khai triển thập phân 1/211 1/211 = 0.004739336492890995260663507109 37 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau • Trình bày đồng dư, định lý Euler, cấp số ngun modulo n • Trình bày số tính chất chu kỳ phần số tuần hồn • Trình bày Định lý Midy số hướng mở rộng 38 Tài liệu tham khảo [1] Ginsberg B D (2004), "Midy’s (nearly) secret theorem - an extension after 165 years", College Math J., 35, pp.26-30 [2] Hardy G H and Wright E M (2008), An introduction to the theory of numbers, 6th ed., Oxford University Press, Oxford [3] Leavitt W G (1967), "A theorem on repeating decimals", Amer Math Monthly, 74, pp 669-673 [4] Leavitt W G (1984), "Repeating decimals", College Math J., 15, pp 299-308 [5] Lyons C (2016), "The secret life of 1/n: A journey far beyond the decimal point", The Mathematics Enthusiast, Vol 1, pp 189-216 [6] Martin H W (2007), "Generalization of Midy’s theorem on repeating decimals", Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 7, # A03, pp 1-7 [7] Rosen K H (2005), Elementary number theory and its applications, Pearson/Addison Wesley [8] Ross K A (2010), "Repeating decimals: a period piece", Math Mag , 83, pp 33-45 ... max{r, s} khai triển thập a/b tuần hồn từ chữ số thứ u + sau dấu chấm với chu kỳ v = ordb′ (10) 17 2.2 Chu kỳ phân số tuần hoàn Trong mục ta trình bày số kết chu kỳ khai triển thập phân phân số tối... Tóm lại, số số sau dấu chấm biểu diễn thập x a1 , a2 , , an Ví dụ 2.1.5 Khai triển thập phân max{3, 2} chữ số sau dấu chấm 7 = = 0.035 hữu hạn với = 200 Mệnh đề 2.1.6 Cho số hữu tỷ dương x... Midy giúp ta tìm khai triển thập phân số phân số 1/p với p nguyên tố cách "tiết kiệm" cách thơng thường thể ví dụ sau 24 Ví dụ 3.1.3 (1) Giả sử ta muốn tìm biểu diễn thập phân phân số 1/19 Ta biết