Nửa nhóm số và đa thức chia đường tròn

  j j ∈S(p,q) /  k zk , ta k≥0 k! (jz)k k! zk k! zk σk (p, q) k! Nhân hai vế đẳng thức với z sử dụng khai triển Taylor, ta ∞ ∞ zm zm mσm−1 (p, q) = = σm−1 (p, q) m! (m − 1)! m=1 m=1 pqz ∞ k=0 z k+1 σk (p, q) k! qz e −1 z pz · · − epz − eqz − pqz ez − ∞ ∞ i ∞ j ∞ (pqz)k zm iz jz = Bi p − Bj q Bm i! j! (k + 1)! m! m=0 i=0 j=0 = k=0 Đồng hệ số z m ta nhận kết sau Định lý 3.3.10 Với m ≥ ta có mσm−1 (p, q) = m+1 m m−i i=0 j=0 m+1 Bi Bj pm−j q m−i − Bm i, j, m + − i − j 37 Sử dụng công thức ta tìm σ1 (p, q) = (p − 1)(q − 1)(2pq − p − q − 1), 12 (p − 1)(q − 1)pq(pq − p − q) 12 Từ định lý ta suy đẳng thức σ2 (p, q) = m mσm−1 (p, q) = r=0 m m−r−1 p Bm−r q r Sr (p) − Bm r Đẳng thức cho ta công thức truy hồi sau cho Bm : m qm Bm = m σm−1 (p, q) + p −1 p(1 − pm ) m−1 r=0 m r p q r Br Sm−r (p) Chẳng hạn, cách lấy p = p = 7, ta nhận công thức truy hồi sau Bm : Bm = m + 2m−1 + 3m−1 + 5m−1 + 6m−1 + 9m−1 + 10m−1 + 13m−1 + 17m−1 m −1   m−1 r m 7m   + 2m−r + 3m−r Br + m (1 − ) r=0 r Những số tự nhiên 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 13 17 số khơng nằm nửa nhóm số S(4, 7) 38 Kết luận Trong luận văn này, trình bày nội dung sau nửa nhóm số đa thức chia đường trịn • Trình bày định nghĩa nửa nhóm số số bất biến liên kết với nửa nhóm số • Trình bày mối liên hệ nửa nhóm số chiều nhúng đa thức bù trừ nhị phân (một tổng qt hóa đa thức chia đường trịn nhị phân) • Trình bày số ứng dụng mối liên hệ việc chứng minh tính đối xứng nửa nhóm số với chiều nhúng nghiên cứu khoảng trống lớn đa thức chia đường tròn nhị phân 39 Tài liệu tham khảo [1] G Bachman (2010), "On ternary inclusion-exclusion polynomials", Integers, 10, pp 623–638 [2] E.-A Ciolan, P A García-Sánchez and P Moree (2016), "Cyclotomic Numerical Semigroups", SIAM J Discrete Math, 30(2), pp 650-668 [3] H Hong, E Lee, H.-S Lee, and C.-M Park (2012), "Maximum gap in (inverse) cyclotomic polynomial", J Number Theory, 132 (10), pp 2297-2315 [4] P Moree (2004), "Numerical semigroups, cyclotomic polynomials, and Bernoulli numbers", Amer Math Monthly, 121(10), pp 890902 [5] J L Ramírez Alfonsín (2005), The Diophatine Frobenius Problem, Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, 30, Oxford Univ Press, Oxford [6] J C Rosales and P A García-Sánchez (2009), Numerical semigroups, Development in Mathematies, 20, Springer New York ... nghĩa nửa nhóm số số bất biến liên kết với nửa nhóm số • Trình bày mối liên hệ nửa nhóm số chiều nhúng đa thức bù trừ nhị phân (một tổng quát hóa đa thức chia đường trịn nhị phân) • Trình bày số. .. ) r=0 r Những số tự nhiên 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 13 17 số không nằm nửa nhóm số S(4, 7) 38 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày nội dung sau nửa nhóm số đa thức chia đường trịn • Trình... bày số ứng dụng mối liên hệ việc chứng minh tính đối xứng nửa nhóm số với chiều nhúng nghiên cứu khoảng trống lớn đa thức chia đường tròn nhị phân 39 Tài liệu tham khảo [1] G Bachman (2010),