Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng D , đi qua điểm A và cắt mặt -1 2 2 phẳng ABC theo một đường tròn sao cho đường tròn có bán kính nhỏ nhất 9 Câu VIIa.. Theo chương trìn[r]
(1)www.VNMATH.com TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 2, NĂM 2011 MÔN : TOÁN; Thới gian làm bài :180 phút I.PHẦN CHUNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7 điểm) Câu I (2,0 điểm) -x + x-2 Tìm trên (H) các điểm A,B cho độ dài AB = và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x Câu II(2,0 điểm) sin 2x + cos x - ( cos 2x + sin x ) = Giải phương trình sin 2x - ìïx + 4x + y - 4y = 2 Giải hệ phương trình í ïîx y + 2x + 6y = 23 x ln ( x + ) Câu III.(1,0 điểm).Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = và trục hoành - x2 Câu IV.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chử nhật với AB = a, AD = a , góc hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) 600 Gọi H là trung điểm AB.Biết mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHC Câu V.(1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn x + y + z + 2xy = 3(x + y + z) Tìm giá trị nhỏ 20 20 + biểu thức P = x + y + z + x+z y+2 II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) a Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình chứa đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình x – 2y – 13 = và 13x – 6y – = Tìm toạ độ B,C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(5;1) Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm A(1;0;0), B(2;1;2), C(1;1;3) và đường thẳng x -1 y z - D: = = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng D , qua điểm A và cắt mặt -1 2 phẳng (ABC) theo đường tròn cho đường tròn có bán kính nhỏ Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z thoả mãn z - 3i = - iz và z - là số ảo z b Theo chương trình nâng cao Câu VIb(2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C): x + y - 4x + 2y - 15 = Gọi I là tâm đường tròn (C) Đường thẳng D qua M(1;3) cắt (C) hai điểm A và B Viết phương trình đường thẳng D biết tam giác IAB có diện tích và cạnh AB là cạnh lớn x - y + z -1 Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm M(1;1;0) và đường thẳng D : = = và mặt phẳng -1 (P): x + y + z = Tìm toạ độ điểm A thuộc mặt phẳng (P) biết đường thẳng AM vuông góc với D và 33 khoảng cách từ A đến đường thẳng D Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (H) hàm số y = æz ö æz ö Câu VIIb.(1,0 điểm ) Cho các số phức z1 , z2 thoả mãn z1 - z = z1 = z > Tính A = ç ÷ + ç ÷ è z ø è z1 ø (2) www.VNMATH.com TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 2, NĂM 2011 MÔN: TOÁN; Câu I (2,0 điểm) Thời gian làm bài: 180 phút Đáp án Điểm (1,0 điểm) a Tập xác định: D = R \ {2} b Sự biến thiên: > 0, "x ¹ ( x - 2) Suy hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; 2) và (2; + ¥) - x +1 - x +1 lim y = lim = -1 và lim y = lim = -1 ; * Giới hạn: x ® +¥ x ® +¥ x - x ® -¥ x ® -¥ x - - x +1 - x +1 lim y = lim = +¥ và lim y = lim = -¥ x ®2 x ®2 x ® x ® x-2 x-2 * Tiệm cận: Đồ thị có đường tiệm cận ngang là y = -1 ; đường tiệm cận đứng là x = *Bảng biến thiên: x -¥ +¥ + + y' +¥ * Chiều biến thiên: Ta có y ' = - y - + -1 -1 0,5 + y -¥ c Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục hoành (1; 0), cắt trục tung (0; - ) và nhận giao điểm I (2; - 1) hai tiệm cận làm tâm đối xứng 0,5 O -1 I x (1,0 điểm) Vì đường thẳng AB vuông góc với y = x nên phương trình AB là y = - x + m - x +1 Hoành độ A, B là nghiệm phương trình = - x + m , hay phương trình x-2 x - (m + 3) x + 2m + = 0, x ¹ (1) 2 Do phương trình (1) có D = (m + 3) - 4(2m + 1) = m - 2m + > 0, "m nên có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và hai nghiệm khác Theo định lí Viet ta có x1 + x = m + 3; x1 x = 2m + Theo giả thiết bài toán ta có AB = 16 Û ( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = 16 0,5 Û ( x - x1 ) + ( - x + m + x1 - m ) = 16 Û ( x - x1 ) = Û ( x1 + x ) - x1 x = II (2,0 Û ( m + 3) - 4( 2m + 1) = Û m - 2m - = Û m = Ú m = -1 * Với m = phương trình (1) trở thành x - x + = Û x = ± Suy hai điểm A, B cần tìm là (3 + ; - ), (3 - ; ) * Với m = -1 ta có hai điểm A, B cần tìm là (1 + ; - - ) và (1 - ; - + ) Vậy cặp điểm TM: (3 + ; - ), (3 - ; ) (1 + ; - - ) , (1 - ; - + ) (1,0 điểm) p p Điều kiện: sin x ¹ Û x ¹ + kp và x ¹ + kp , k Î Z 0,5 (3) www.VNMATH.com điểm) Khi đó pt Û sin x + cos x - (cos x + sin x) = sin x - Û sin x + sin x + cos x - cos x - = Û sin x( cos x + ) + ( cos x + )( cos x - 2) = 0,5 Û ( cos x + )(sin x + cos x - 2) = é 5p é x=± + k 2p êcos x = ê Ûê Ûê p ê æ pö ê êsin ç x + ÷ = êë x = + k 2p ø ë è 0,5 Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm phương trình là x = 5p + k 2p , k Î Z (1,0 điểm) 2 ïì( x + 2) + ( y - 2) = 10 Hệ Û í ïî x ( y + 2) + y = 23 Đặt u = x + 2, v = y - Khi đó hệ trở thành ìu + v = 10 ìu + v = 10 Û Û í í î(u - 2)(v + 4) + 6(v + 2) = 23 îuv + 4(u + v) = 19 0,5 éu + v = 4, uv = êu + v = -12, uv = 67 ë TH u + v = -12, uv = 67 , hệ vô nghiệm ìu + v = éu = 3, v = TH í , ta có ê îuv = ëu = 1, v = ì x = é x = ±1 Ûê í y = ëy = î ì x = -1 ìu = * Với í ta có í , hệ vô nghiệm îv = îy = Vậy nghiệm (x, y) hệ là (1; 3), (-1; 3) ìu = * Với í ta có îv = 0,5 Chú ý: HS có thể giải theo phương pháp x theo y từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ éx = x ln( x + 2) Suy hình phẳng cần tính diện tích chính =0Ûê III Ta có phương trình 4-x ë x = -1 (1,0 điểm) là hình phẳng giới hạn các đường x ln( x + 2) y= , y = 0, x = -1, x = - x2 0 x ln( x + 2) - x ln( x + 2) Do đó diện tích hình phẳng là S = ò dx = ò dx - x2 - x2 -1 -1 -x dx Đặt u = ln( x + 2), dv = dx Khi đó du = , v = - x2 x+2 4-x Theo công thức tích phân phần ta có S = - x ln( x + 2) -1 -ò -1 - x2 - x2 dx = ln - ò dx x+2 x+2 -1 0,5 (4) www.VNMATH.com p Đặt x = sin t Khi đó dx = cos tdt Khi x = -1, t = - ; x = 0, t = Suy I = ò -1 - x2 dx = x+2 - Suy S = ln - + IV (1,0 điểm 0 0,5 cos t p òp sin t + dt = òp (1 - sin t )dt = 2(t + cos t ) -p = + - - 6 p +) Từ giả thiết suy SH ^ ( ABCD) Vẽ HF ^ AC ( F Î AC ) Þ SF ^ AC (định lí ba đường vuông góc) Suy ÐSFH = 60 Kẻ BE ^ AC ( E Î AC ) Khi đó S I K a HF = BE = D 2 A F a E H J Ta có SH = HF tan 600 = a3 Suy VS ABCD = SH S ABCD = B C 3 +) Gọi J, r là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC Ta có AH HC AC AH HC AC 3a r= = = S AHC S ABC Kẻ đường thẳng D qua J và D // SH Khi đó tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S AHC là giao điểm đường trung trực đoạn SH và D mặt phẳng (SHJ) Ta có 0,5 0,5 IH = IJ + JH = SH + r2 31 32 Chú ý: HS có thể giải phương pháp tọa độ Từ giả thiết ta có 3( x + y + z ) = ( x + y ) + z ³ ( x + y + z ) V (1,0 Suy x + y + z £ điểm Khi đó, áp dụng BĐT Côsi ta có 8 ö æç 8 ö÷ æç æ P = ç ( x + z) + + + +4 + ÷ + ç ( y + 2) + x+z x+z ø è y+2 y + ÷ø çè x + z è 8 ³ 12 + 12 + - ³ 22 + ³ 26 ( x + z )( y + 2) x+ y+z+2 Dấu đẳng thức xảy và x = 1, y = 2, z = Vậy giá trị nhỏ P là 26, đạt x = 1, y = 2, z = (1,0 điểm) VIa Ta có A(-3; - 8) Gọi M là trung điểm BC A (2,0 Þ IM // AH Ta suy pt IM : x - y + = điểm) Suy tọa độ M thỏa mãn ìx - y + = Þ M (3; 5) í I î13x - y - = Suy bán kính mặt cầu là R = a B H M 0,5 ö÷ -2 y + ÷ø 0,5 0,5 C Pt đường thẳng BC : 2( x - 3) + y - = Û x + y - 11 = B Î BC Þ B(a; 11 - 2a ) Khi đó 0,5 (5) www.VNMATH.com éa = Từ đó suy B(4; 3), C (2; 7) B(2; 7), C (4; 3) IA = IB Û a - 6a + = Û ê ëa = 2 (1,0 điểm) Ta có AB (1; - 1; 2), AC ( -2; 1; - 3) Suy pt ( ABC ) : x - y - z - = Gọi tâm mặt cầu I Î D Þ I (1 - t; 2t ; + 2t ) Khi đó bán kính đường tròn là r = IA2 - d ( I , ( ABC )) = 2t + 4t + 2(t + 1) + = ³ 3 Dấu đẳng thức xảy và t = -1 Khi đó I ( 2; - 2; 0), IA = Suy pt mặt cầu ( x - 2) + ( y + 2) + z = Đặt z = a + bi (a, b Î R ) Ta có | z - 3i | = | - iz | tương đương với VIIa | a + (b - 3)i | = | - i(a - bi ) | Û | a + (b - 3)i | = | - b - | (1,0 Û a + (b - 3) = (1 - b)2 + (- a) Û b = điểm) 9 9(a - 2i ) a - 5a + (2a + 26)i Khi đó z - = a + 2i = a + 2i - = là số ảo và z a + 2i a +4 a2 + a - 5a = hay a = 0, a = ± Vậy các số phức cần tìm là z = 2i, z = + 2i, z = - + 2i (1,0 điểm) VIb Đường tròn (C) có tâm I (2; - 1), bán kính R = Gọi H (2,0 điểm) là trung điểm AB Đặt AH = x (0 < x < ) Khi đó ta có I éx = IH AB = Û x 20 - x = Û ê M ë x = (ktm vì AH < IA) H A B nên AH = Þ IH = 2 Pt đường thẳng qua M: a( x - 1) + b( y + 3) = (a + b ¹ 0) Û ax + by + 3b - a = | a + 2b | Ta có d ( I , AB) = IH = Û = Û a (3a - 4b) = Û a = Ú a = b a2 + b2 * Với a = ta có pt D : y + = * Với a = b Chọn b = ta có a = Suy pt D : x + y + = Vậy có hai đường thẳng D thỏa mãn là y + = và x + y + = (1,0 điểm) Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và vuông góc với D Khi đó pt (Q ) : x - y + z - = Ta có nQ (2; - 1; 1), nP (1; 1; 1) Từ giả thiết suy A thuộc giao tuyến d (P) và (Q) Khi đó ì x = + 2t ï ud = [nP , nQ ] = (2; 1; - 3) và N (1; 0; 1) Î d nên pt d : í y = t ï z = - 3t î Vì A Î d suy A(1 + 2t; t; - 3t ) 1 Gọi H là giao điểm D và mặt phẳng (Q) Suy H (1; - ; ) 2 33 Ta có d ( A, D) = AH = Û 14t - 2t - 16 = Û t = -1 Ú t = 23 17 Suy A(-1; - 1; 4) A( ; ; - ) 7 z1 = w ta | z w - z | = | z w | = | z | > Hay | w - | = | w | = VIIb Đặt z2 (1,0 điểm) Giả sử w = a + bi (a, b Î R) Khi đó ta có 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (6) www.VNMATH.com (a - 1) + b = a + b = hay a = , b = ± 2 4p 4p 4p 4p p p æ1ö * Với w = + + i sin và ç ÷ = cos - i sin i = cos + i sin Ta có w = cos 2 3 3 è wø 4p = -1 3 i , tương tự ta có A = -1 * Với w = 2 Chú ý: HS có thể giải theo cách biến đổi theo dạng đại số số phức Do đó A = cos 3 0,5 (7)