Đang tải... (xem toàn văn)
Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm: f x có đạo hàm tại xo thì f x liên tục tại xo.Chiều ngược lại không đúng 3.. Các công thức tính đạo hàm: Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản.[r]
(1)GIỚI HẠN I GIỚI HẠN DÃY 1/Định nghĩa : dãy số (un) có giới hạn là n dần tới dương vô cực |un| có thể nhỏ số lim un 0 dương bé tuỳ ý kể từ số dương nào đó trở ký hiệu : x hay un n lim(vn a) 0 2/Định nghĩa : dãy số (vn) có giới hạn là a ( hay dần tới a n dần tới x lim a Ký hiệu : x hay a n 3/Một vài giới hạn đắc biệt : 1 a lim 0 b lim k 0 c lim q n 0(| q | 1) x n x n x d un c lim un lim c c x x 4/Một số tính chất lim un a , lim b x a)Nếu x thì lim (un ) a b , lim (un ) a b x x lim (un ) a.b , lim ( x x un a ) b lim un a a 0, lim un a x b)Nếu un 0 với n và x thì lim un a Chú ý : x thì ta có thể viết limun=a 5/Giới hạn vô cực a/Định nghĩa ; Ta nói dãy số un có giới hạn n un có thể lớn số dương kể từ số lim un hạng nào đó trở ký hiệu : x lim ( un ) Ta nói dãy số un có giới hạn n x b/Các tính chất : u Lim n 0 a Nếu limu =a và limv = thì n n lim b Nếu limun=a>0 và limvn=0 và vn>0 với n thì c Nếu limun= và limvn=a >0 thì limun.vn= un II>GIỚI HẠN HÀM SỐ : 1>Định nghĩa : Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K trên K\{x0} Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L x dần tới x0 vớidãy số (xn) ,xn K\{x0} và f ( x ) L xn x0 ta có : f ( xn ) L Ta ký hiệu : xlim x0 2>Các tính chât ( giới hạn hữu hạn ) lim f ( x ) L lim g ( x) M a/Giả sử x x0 và x x0 đó ta có : lim f ( x) g ( x) L M lim f ( x) g ( x ) L M x x0 lim f ( x).g ( x) L.M x x0 x x0 lim x x0 f ( x) L ( M 0) g ( x) M (2) L 0, lim f ( x ) L lim f ( x) L x x0 b/Nếu f ( x) 0 và x x0 thì (Chú ý dấu F(x) xét trên khoảng tìm giới hạn với x khác x0 ) lim x x0 lim x k x0k lim c c NHẬN XÉT : x x0 từ đó ta có x x0 , x x0 với c là số 3>Giới hạn bên Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b) Số L gọi là giới hạn bên phải hàm số y=f(x) x dần tới x0 với dãy số xn với lim f ( x) L x0<xn<b và xn x0 thì f ( xn ) L đó ta ký hiệu : x x0 Cho hàm số y=f(x) xác định trrn khoảng (a;x0) Số L gọi là giới hạn bên trái hàm số y=f(x) x dần tới x0 với dãy số xn với a<xn<x0 lim f ( x ) L và xn x0 thì f ( xn ) L đó ta ký hiệu : x x0 lim f ( x) L lim f ( x) lim f ( x) L x x0 x x0 x x0 Chú ý : 4>Giới hạn hữu hạn hàm số vô cực Định nghĩa : a; a/Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là L x với dãy (xn) , xn >a và xn ta có f ( x) L f ( xn ) L đó ta ký hiệu : xlim ;b b/ Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là L x với dãy (xn) , xn <b và xn ta có f ( x) L f ( xn ) L đó ta ký hiệu : xlim Chú ý : a/Với c và k là số và k là nguyên dương ta luôn có : lim c c ; lim x x c c xk b/Định lý giới hạn hữu hạn hàm số x x0 còn đúng với x ( x ) 5>Giới hạn vô cực hàm số a/Định nghĩa : a; Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng Ta nói hàm số y=f(x) có gới hạn là x với dãy số (xn) xn>a và xn ta có lim f ( x) f xn đó ta ký hiệu là : x lim f ( x) lim ( f ( x )) x NHẬN XÉT : x b/Một vài giới hạn đặc biệt lim x k x (1) với k là nguyên dương k lim x (2) x k là lẻ k lim x (3) x k là chẵn c/ vài qui tắc giới hạn vô cực *Giới hạn tích f(x).g(x) lim f ( x ) L 0 , lim g ( x) ( ) lim f ( x ).g ( x ) x x0 Nếu x x0 thì x x0 theo các qui tắc sau : lim f ( x ) lim g ( x) lim f ( x ).g ( x ) x x0 x x0 x x0 (3) L>0 L<0 lim g ( x) Dấu g(x) Tuỳ ý f ( x) x x0 g ( x ) + - + - lim *Giới hạn thương x x0 f ( x) g ( x) lim f ( x ) x x0 L x x0 L>0 L<0 lim HÀM SỐ LIÊN TỤC A- KIẾN THỨC CẦN NHỞ: Hàm số liên tục điểm: x a; b Giả sử hàm số f(x) xác định trên (a;b), o lim f x f xo f x x xo * ĐN1: liên tục xo lim f x lim f x f xo f x x x0 * ĐN2: liên tục xo x x0 * Hàm số không liên tục xo gọi là gián đoạn xo Hàm số liên tục trên khoảng, đoạn: f x f x x a; b a, liên tục trên (a;b) liên tục o lim f x f a lim f x f b f x f x b, liên tục trên [a;b] liên tục trên (a;b) và x a , x b Các định lí: a, Định lí 1: - Hàm số đa thức liên tục trên - Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên tuèng khoảng xác định nó b, Định lí 2: Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số khác 0) các hàm số liên tục xo là hàm số liên tục xo f x liên tục trên a; b c a; b : f c 0 f a f b c, Định lí 3: ĐẠO HÀM A- KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Quy tắc tính đạo hàm định nghĩa: Bước 1: Với ∆x là số gia đối số xo, tính ∆y = f (xo + ∆x) - f (xo) Vy Bước 2: Lập tỉ số V x (4) Vy Bước 3: Tính V x®0 V x lim Chú ý: Khi thay xo x ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm hàm số y = f (x) điểm x Î ( a; b ) Quan hệ tính liên tục và có đạo hàm: f (x) có đạo hàm xo thì f (x) liên tục xo.Chiều ngược lại không đúng Ý nghĩa hình học đạo hàm: k = f /(xo) là hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) Mo(xo;yo) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) Mo(xo;yo) là y - yo = f / ( xo ) ( x - xo ) * Cho hai đường thẳng d1: y k1 x a1 , d2: y k2 x a2 + d1 // d k1 k2 + d1 d k1.k2 Các công thức tính đạo hàm: Đạo hàm hàm số sơ cấp ( C )′ =0 Đạo hàm hàm số hợp (C là số) ( x )′ =1 (kx)’=k (k lµ h»ng sè ) ′ ′ ( x n ) =n.xn-1 1 x x √ x ¿′ = ¿ (n N, n (x 0) 2) (x>0) 2√x ❑ U 1 (U 0) U U U U U (U 0) ❑ ( sinU ) =cos U U ❑ ( cos U )❑=− sinU U ❑ ❑ ( tan U ) = U ❑ cos U ( cot U )❑=− U ❑ sin U ( sin x ) =cos x ( cos x )❑=−sin x ❑ ( tan x ) = =1+ tan x cos x ( cot x )❑ =− =− ( 1+cot x ) sin x - Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)) U V U V UV UV UV 1 V V - Đạo hàm hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g ' x = f ' u U 'x - Đạo hàm cấp cao hàm số U U.V U.V V2 V ( U n ) =n.Un-1 U ' (k.U) k.U (k là số) (5) / Đạo hàm cấp : f "(x) = f(x)' Đạo hàm cấp n : f n (x) = f (x) n-1 / (6)