CD on thi dai hoc Phan Nhi thuc Niuton

Lấy đạo hàm đến cấp hai và thay.. HD: Tính đạo hàm 2 vế của khia triển:.[r]

đại số tổ hợp NhÞ thøc niut¬n Bµi T×m hÖ sè cña x khai triÓn: n    3 x  x  n 1 n C  Cn 3 7  n  3 BiÕt r»ng: n 4 Bµi Gi¶ sö n lµ sè nguyªn d¬ng vµ ( 1+ x )n=a 0+ a1 x +a x 2+ .+ak x k + +a n x n BiÕt r»ng tån t¹i sè nguyªn k ( 1≤ k ≤ n −1 ) cho: ak −1 ak a k+1 (*), h·y tÝnh n vµ k = = 24 HD: a k =Cnk Tõ hÖ (*) suy k=2, n=10 Bµi Trong khai triÓn: n x    x2      Cho biÕt: Cn 5Cn vµ sè h¹ng thø t b»ng 20n T×m n vµ x * 3n  Bµi Víi n  N , gäi a3n  lµ hÖ sè cña x khai triÓn thµnh x ®a thøc cña  1 n  x  2 n x HD Khi thùc hiÖn phÐp nh©n x 2n  x x n hoÆc x a3n  Cn0 23.Cn3   Cn1  20   3x  20  C20k 3k x k k 0 8 16 HÖ sè cña x , øng víi k = vµ b»ng C20 Bµi Chøng minh r»ng: 2007 2008 C 2008 −2007 C2008 + 2006 C 2008 − −1 C 2008=0  x  1 HD: Khai triÓn nhÞ thøc: Tìm n để a3n  26n 3n 3 2007 C02007 +C22007 + +C2006 2007 =C 2007 +C 2007 + +C 2007 Thay x=1 ta cã: 2006 2007 2007 C2007 +C2007 +C2007 + .+C2007 +C2007 =2 2006 Từ đó suy ra: S= −1 2007 ! Bµi T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x 16 khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña n+15 11−n biÕt: Cnn +4 (n lµ sè nguyªn d¬ng) ( 1+3 x 2) +10 =C n+10 HD: Ta cã  n  11  n Cnn104 Cn1110n    n   n  10    11  n   n    n 5   n 5  1 3n n  x  2 víi n n ta cã: n x x  n  n  1  n    2n Suy ra: KÕt qu¶: n = Bµi TÝnh tæng: 1 1 S= + + .+ + ! 2005 ! ! 2003 ! 2004 ! 3! 2006 ! ! HD: Ta cã: 2007 ! 2007! 2007 ! 2007 ! S= + + + 2! 2005 ! ! 2003 ! 2006 ! 1! Tøc lµ: 2004 2006 2007 ! S+1=C2007 +C2007 +C2007 + .+C2007 +C 2007 Khai triÓn ( x+ )n thay x=-1 ta cã: 2008 Lấy đạo hàm vế, sau đó thay x = Bµi TÝnh tæng: T =C1000 + C 21000 +32 C 41000 + +3500 C 1000 1000 HD: Ta cã: 1  T 1000   1  1000 Bµi Gi¶ sö ( 1+2 x )n=a0 +a x +a2 x2 + + an x n BiÕt r»ng a0 + a1+ a2 + +a n=729 T×m n vµ sè lín nhÊt c¸c sè: a0 ; a1 ; ; an n HD: Thay x = vào đẳng thức ( 1+2 x ) =a0 +a x +a2 x2 + + an x n , suy ra: 3n 729  n 6 ak 1 11 ak 1  ak  k  XÐt tû sè: ak , ta cã:  a ; a  240 VËy: max ak = max Bµi 10 Gi¶i c¸c pt, bpt sau: Ax  Ax 21x C 1x  Cx2  Cx3  x 2 Bµi 11 T×m hÖ sè cña x khai triÓn ®a thøc ( 2− x )2 n Trong đó n là số nguyên dơng thoả mãn: n+1 C2 n +1+C n+1 + +C n+1=1024 HD: 1 x n 1 C20n 1  xC21n1  x 2C22n1   x2 n 1C22nn11 n 1   x  C20n1  xC21n1  x 2C22n1   x n1C22nn11 n 1 n 1 1 x  1 x 2  xC21n 1   x n 1C22nn11   Suy ra: 2n Thay x = suy ra: 1024  n 5 C 23   x  KÕt qu¶: 10 Bµi 12 TÝnh tæng 1 S= C 0n + C 1n+ .+ C nn n+ HD: Ta cã: ( 1+x )n=C 0n+C 1n x+ .+ Cnn x n LÊy tÝch ph©n víi cËn lµ vµ suy kÕt qu¶ Bµi 13 Cho n lµ sè nguyªn d¬ng TÝnh tæng: 2  23  n 1  n T Cn  Cn  Cn   Cn n 1   x  n dx n  7  x  16  , biÕt r»ng: Bµi 19 T×m hÖ sè cña x khai triÓn  x C21n 1  C22n 1   C2nn1 220  HD: Dïng c¸c khai triÓn: n 1 n 1   1    1 2  C20n1  C21n1  C22n 1   C2nn1  n1 2.220 Suy ra: Suy kÕt qu¶ lµ: C10 210 Bµi 20 TÝnh tæng: 25 S=1 C25 +2 C25 + +24 25 C 25 x=1 , n=25 n k=0 15 n 1 n 1 2 n 1   x   x   Bµi 15 T×m hÖ sè cña x khai triÓn  Bµi 16 T×m c¸c sè h¹ng kh«ng chøa x khai triÓn nhÞ thøc:  3  x   ,x 0 x  Bµi 17 T×m sè nguyªn n cho: C21n 1  2.2C22n 1  3.2 C23n 1    2n  1 22 n C22nn11 2005 1 x , biÕt r»ng: HD: Ta có: ( x+ ) =∑ C kn x k Lấy đạo hàm đến cấp hai và thay HD: Tính đạo hàm vế khia triển: An41  An3  n  1 ! Bµi 18 TÝnh gi¸ trÞ Cn21  2Cn2  2Cn23  Cn2 149 n T suy ra: 50 a  b  Bµi 14 T×m h¹ng tö cña khai triÓn cã GTT§ lín nhÊt, cho a b biÕt: HD: TÝnh tÝch ph©n M n 1 , råi thay x = -2 Bµi 21 T×m hÖ sè cña x ®a thøc: 20 P( x)   x   2.  x     x    20   x  Bµi 22 CMR 99 100 198 100 C 0100 −101 C 1100 + −199 C 99 +200 C 100 100 100 2 2 100 100 100 101 100 200 HD: x ( 1+ x ) =C 100 x + C100 x + +C 100 x Lấy đạo hàm hai vế và thay x=− suy ®pcm Bµi 23 Chøng minh r»ng: 12 C12008 − 22 C22008 + 32 C32008 − .− 20082 C 2008 2008=0 () () 1 x HD: Khai triÓn nhÞ thøc () 199 () = 2008 , lấy đạo hàm hai vế, nhân vào vế biểu thức thu đợc với x, tiếp tục lấy đạo hàm vế, thay x = -1 suy ®pcm