Bằng kiến thức cơ bản về định lý Pi ta go và … một chút tò mò ta có thể hướng các em đến với những kết quả đẹp sau: Bài toán 1: Chứng minh rằng: Trong tam giác vuông, bình phương trung t[r]
(1)TRƯỜNG THCS NGÔ MÂY TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN Chuyên đề TỪ MỘT BAØI TOÁN (a - b)2 ≥ a b + ≥2 b a (a + b)2 ≥ Người Viết: HUỲNH QUANG LÂU Naêm Hoïc: 2004 – 2005 (2) khai thác từ bài toán Xin bài tập 29 trang 44 sách bài tập toán tập a b + ≥2 " "Cho a; b là các số dương , chứng tỏ b a 2 Giaûi: Ta coù : ( a −b ) ≥ ⇔ a − 2ab+ b ≥0 ⇔ a2+ b2 ≥ ab Vì a;b là các số dương nên chia hai vế cho ab ta được: a b + ≥2 b a đẳng thức xảy a = b Lại xét thêm bài tập 80 trang 49 sách bài tập toán tập 1 "Cho a> 0; b> 0, chứng tỏ rằng: ( a+b ) + ≥ " a b 1 a b a b Giaûi: Ta coù: ( a+b ) + =1+ + +1=2+ + ≥ Ñpcm a b b a b a đẳng thức xảy a = b Ta có thể đề xuất bài toán quen thuộc: ( ) ( ) Bài toán 1: "Cho a > ; b > ; c > 0, chứng tỏ rằng: ( a+b +c ) ( 1a + b1 + 1c ) ≥ Đẳng thức xảy a = b = c ( Học sinh chứng minh dễ dàng) Và …Ta có bài toán tổng quát sau : Bài toán tổng quát: 1 "Cho a1 ; a2 ; ; an là các số dương Chứng minh: ( a1 + a2+ .+an ) a + a + + a ≥ n " n Đẳng thức xảy a1=a2= =an ( ) ( Áp dụng bất đẳng thức CAUCHY ta dễ dàng chứng minh bài toán này) Bây ,từ kết bài toán đặt a = x+y ; b = y+z ; c = z+x ta có: (x + y + z ) ( x+1 y + y1+ z + z+1 x ) ≥ z x y +1+ +1+ ≥ x+ y y+ z z+x x y z ⇔ + + ≥ y+z x+z x+ y ⇔ 1+ Từ đó cho ta : Bài toán 2: "Cho a; b; c > Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b+c c +a a+b " Đẳng thức xảy a = b = c Cũng từ bài toán 1, xem a = c ta có: vaø xem b = c ta coù: cộng (1) và (2) vế theo vế ta : 1 1 + + ≥ a a b a+b 1 1 + + ≥ b b a 2b +a (1) (2) " (3) Bài toán 3:" Cho a; b > Chứng minh rằng: 1 1 + ≥ + " a b a+b b+ a Đẳng thức xảy a = b Tương tự ta có: 1 1 1 Bài toán 4: "Cho a; b; c > Chứng minh rằng: a + b + c ≥ a+b +c + b+c +a + c+ b+a " Đẳng thức xảy a = b = c Cũng từ bài toán 1, đặt a = 2x+y+z ; b = 2y+z+x ; c = 2z+x+y ta có: Bài toán 5: "Cho x ; y ; z > Chứng minh rằng: 1 (x + y + z ) + + ≥9 " x + y + z y + z+ x z + x+ y Đẳng thức xảy x = y = z Maët khaùc, neáu xem x=2 x+ y + z − ( x + y + z ) y=2 y + z+ x − ( x + y + z ) z=2 z+ x + y − ( x + y + z ) thì: ¿ x y z x+ y + z x+ y+ z x+ y+z + + =1 − +1 − +1− x + y + z y + z + x z+ x + y 2x+ y+z y+ z+ x z + x+ y ¿ 1 + + = −( x + y + z ) x + y + z y + z + x z+ x + y Đến đây, áp dụng kết bài toán ta có: x y z Bài toán 6: "Cho x ; y ; z > Chứng minh rằng: x + y + z + y + z + x + z+ x + y ≤ " Đẳng thức xảy x= y=z Lại nghĩ đến tính chất đường phân giác tam giác ABC (hình vẽ) ta có: ( ) ( ) DB AB DB DC BC a = ⇒ = = = DC AC AB AC AB+ AC b +c A E Tương tự ta có: F B AF FB AB c = = = AC BC AC+BC a+ b CE EA AC b = = = CB AB BC+AB a+ c D C Áp dụng kết bài toán ta có: Bài toán 7: "Gọi AD; BE; CF là các phân giác tam giác ABC Chứng minh : AF BD CE + + ≥ " AC BA CB Đẳng thức xảy tam giác ABC Ngoài , vẽ AH ⊥ BC và DK ⊥ AB ta có: BD DK a AH BD=DK AB=2 S ABD ⇒ = = BA AH b+c A K (4) B H D C Từ đó, ta có: Bài toán 8: " Cho tam giác ABC.Vẽ ba phân giác AD; BE; CF Gọi a1 ; b1 ; c là các khoảng cách từ D đến AB ,từ E đến BC, từ F đến AC Gọi ; hb ; hc là độ dài ba đường cao tam a1 b c + + ≥ giác ABC vẽ từ A, B, C Chứng minh : " hb hc Tiếp tục khám phá ta còn có thêm số bài toán cực trị hình học thú vị khác sau: Bài toán 9: Cho tam giác ABC M là điểm nằm tam giác Gọi khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB là x, y, z Xác định vị trí điểm M để: 1 + + a) đạt giá trị nhỏ x y z 1 + + b) đạt giá trị nhỏ x +2004 y +2004 z+2004 Giaûi: a) Gọi a, h là độ dài cạnh và đường cao tam giác ABC Ta có: SABC = SMBC + SMAC + SMAB ⇔ ah = ax + ay + az ⇔ h = x + y +z A 1 + + ≥9 Aùp dụng bài toán ta có: (x + y +z) x y z 1 + + ≥ ⇒ M x y z h Đẳng thức xảy khi: x = y = z B C 1 + + Vaäy GTNN cuûa laø M là tâm tam giác ABC x y z h ( ( ) ) b) Tương tự ta có: (x +2004 + y +2004 + z + 2004) ⇒ 1 + + ≥9 ( x+2004 y +2004 z+ 2004 ) 1 + + ≥ ( x+2004 ) y +2004 z+ 2004 h+ 6012 Đẳng thức xảy x = y = z Vaäy GTNN cuûa 1 + + x +2004 y +2004 z+2004 laø h+6012 M là tâm tam giác ABC Bài toán 10: Gọi a, b, c là độ dài các cạnh tam giác Xác định hình dạng tam a+1002 b+1002 c +1002 + + giaùc cho đạt giá trị nhỏ b+c +2004 c+ a+2004 a+b +2004 Giaûi: Ñaët x = a + 1002; y = b + 1002; z = c + 1002 Aùp duïng keát quaû baøi taäp ta coù: a+1002 b+1002 c +1002 x y z + + + + ≥ = b+c +2004 c+ a+2004 a+b +2004 y + z z +x x + y Đẳng thức xảy x = y = z hay: a = b = c (5) Vaäy GTNN cuûa a+1002 b+1002 c +1002 + + laø b+c +2004 c+ a+2004 a+b +2004 tam giác là tam giác Mong chúng ta còn tìm nhiều điều lý thú nữa…… khai thác từ định lý PI TA GO (6) Học sinh lớp đã biết: " Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền " Bằng kiến thức định lý Pi ta go và … chút tò mò ta có thể hướng các em đến với kết đẹp sau: Bài toán 1: Chứng minh rằng: Trong tam giác vuông, bình phương trung tuyến ứng với cạnh góc vuông bình phương cạnh huyền trừ bình phương cạnh góc vuông đó Giaûi: B A AÙp duïng ñònh lyù Pi ta go ta coù : BM2=AB2 + AM2 2 = BC − AC + AC 2 = BC − AC C M Keát quaû treân cho ta: Bài toán 2: Chứng minh tam giác vuông, tổng các bình phương các trung tuyến bình phöông caïnh huyeàn Giaûi: Ta coù: B AM2 + BN2 + CP2 = = N A AC2 + BC2 – AB2 M P BC2 + BC2 – C = Nếu thay giả thiết tam giác vuông tam giác thường, ta có : BC2 – BC2 – (AB2 + AC2 ) 3 BC2 = BC2 2 2 Bài toán 3: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Chứng minh AM =AC + AB − BC Giaûi: A B H M C 2 2 AB + AC =2 AH +HB + HC ¿ ( AM2 −HM2 ) + HB2 +HC2 = AM2 −2 HM2 +HB2 +HC 2 2 = AM −2 HM + ( BM − HM ) + ( MC+HM ) =2 AM −2 HM2 +BM −2 BM HM+HM2 +¿ MC2 +2 MC HM+HM2 2 =2 AM + BC 2 2 ⇒ AM =AB + AC − BC ñpcm (7) Đây chính là định lý trung tuyến - hệ thức lượng tam giác mà các em học các lớp trên Keát quaû naøy cho ta: Bài toán 4: Gọi a ; b ; c ; ma ; mb ; m c là độ dài các cạnh và các trung tuyến tương ứng 2 2 2 tam giác ABC Chứng minh ma +mb +mc = ( a +b + c ) Giaûi: Áp dụng kết bài toán ta có : 2 2 ma=b + c − a A 2 2 mb=a + c − b 2 2 2 mc =a +b − c N 2 P ⇒ ( m a +mb +mc )= ( a2 +b2 + c2 ) 2 2 2 ⇒ma +mb +mc = ( a + b + c ) B M C Bây ta xét vấn đề ngược lại: Biễu diễn các cạnh tam giác theo các trung tuyến Ta có Bài toán 5: Cho tam giác ABC có các trung tuyến ma ; mb ; mc Hãy biễu diễn độ dài a; b; c các caïnh theo ma ; mb ; mc 2 2 2 ma +mb +mc = ( a +b + c ) Giải: Theo bài toán ta có: 2 2 2 2 2 thay b +c =2 ma + a Ta được: ma +mb +mc = a + ma + a a + ma = ⇒ m2a +m2b +m 2c − m2a= a2 ( ) 2 ( m + m +m ) − m a b c a b2= ( m2a +m2b +m2c ) − m 2b 2 2 c = ( m a+ m b+ m c ) − m c ⇒ a 2= Tương tự Tiếp tục, ta xét xem ba trung tuyến tam giác liên hệ với nào thì tam giác là tam giaùc vuoâng Ta coù: Bài toán 6: Cho tam giác ABC có các trung tuyến ma ; mb ; m c Chứng minh : (8) AÂ = 900 2 ⇔ m a=mb + mc Giải: Áp dụng kết bài toán và bài toán ta có : 2 2 ma=b + c − a 2 2 2 a = ( m a+ m b+ m c ) − m a 2 AÂ = 90 ⇔ a =b + c ⇔ b2+ c − a2=0 1 ⇔b2 +c − a2 − a2 =0 2 ⇔ m2a − ( m2a +m2b +m2c ) + m2a=0 20 4 ⇔ m2a − m 2b − m2c =0 9 2 ⇔ ( ma −mb −m2c )=0 2 ⇔5 ma −mb −mc =0 ⇔ m2a=m 2b +m 2c Ñpcm Chắc còn nhiều điều thú vị khác liên quan các cạnh và trung tuyến tam giác, mong các baïn cuøng khaùm phaù tieáp… Người viết: HUỲNH QUANG LÂU Trường THCS Ngô Mây - Phù Cát - Bình Định TRƯỜNG THCS NGÔ MÂY TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN (9) Ñònh Lyù B A M C Người Viết: Huỳnh Quang Lâu Naêm Hoïc: 2005 - 2006 (10)