Tuy nhiên, với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho tr ớc qua một điểm, qua một đờng thẳng” thì không đợc trình bày trong sách giáo khoa, ở rải rác các sách tha[r]
(1)I Đặt vấn đề Trong ch¬ng tr×nh To¸n THPT nh÷ng bµi to¸n vÒ hµm sè rÊt ®a d¹ng vµ phong phú, đã có nhiều sách viết các chuyên đề xung quanh hàm số Tuy nhiên, với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho tr ớc qua điểm, qua đờng thẳng” thì không đợc trình bày sách giáo khoa, rải rác các sách tham khảo, số tác giả đã viết số bài tập với lời giải dựa trên công thức đổi trục toạ độ, với phơng pháp này học sinh phải nhớ công thức đổi trục toạ độ, nhớ đợc tính chất hai hàm số đối xứng qua gốc toạ độ, qua trôc hoµnh, qua trôc tung Với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trớc qua điểm, qua đờng thẳng” Nếu dừng lại cách giải thông thờng nhờ phơng pháp đổi trục toạ độ thì đó là điều bình thờng đây ta hãy nhìn vấn đề dới góc độ khác, cách giải khác để giải bài toán hiệu và có thể mở réng sang c¸c bµi to¸n phøc t¹p h¬n Trong bài viết này, tôi muốn trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp “Sử dụng tính chất trung điểm để tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số đã cho qua điểm, đờng thẳng” T«i hy väng ph¬ng ph¸p nµy sÏ gióp c¸c em häc sinh gi¶i quyÕt tèt c¸c bµi tập cùng dạng các kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng và khích lệ tinh thần say mê s¸ng t¹o häc tËp cña c¸c em, gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng cho häc sinh TØnh nhµ II Néi dung 1/ Lý thuyết: Xét hệ trục toạ độ Oxy + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng qua I(x0; y0) ⇔ I lµ trung ®iÓm cña AB ⇔ ¿ x1 + x 2=2 x y 1+ y 2=2 y ¿{ ¿ + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng qua đờng thẳng x = a ⇔ ⇔ I lµ trung ®iÓm cña AB; víi I(a; y1) ¿ x 1+ x 2=2 a y 1= y ¿{ ¿ + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng qua đờng thẳng y = b ⇔ ⇔ I lµ trung ®iÓm cña AB; I(x1; b) ¿ x1 =x2 y 1+ y 2=2 b ¿{ ¿ + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng qua đờng thẳng (d): (2) y = ax + b (a ≠ 0) (d) ⇔ I là trung điểm AB; I(x0; y0) là hình chiếu A trên đờng thẳng ¿ x1 + x 2=2 x y 1+ y 2=2 y ¿{ ¿ ⇔ 2/ C¸c bµi to¸n Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xøng víi (C) qua ®iÓm I(x1; y1) Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I ⇔ I lµ trung ®iÓm cña AB ¿ x 0+ x =2 x y + y=2 y ¿{ ¿ ⇔ Mµ A ¿ x 0=2 x1 − x y 0=2 y − y ¿{ ¿ ⇔ ⇒ A(2 x − x ; y − y ) (C) ⇔ 2y1 – y = f(2x1 – x) ⇔ y = g(x) KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m VÝ dô 1: Cho y = x3 – 3x + (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1) Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I ⇔ ⇔ Do A I lµ trung ®iÓm cña AB ¿ x 0+ x =2 x I =2 y + y=2 y I =2 ¿{ ¿ ⇔ ¿ x 0=2 − x y 0=2 − y ¿{ ¿ ⇒ A(2 − x ; 2− y) (C) ⇔ – y = (2 – x)3 – 3(2 – x) + ⇔ y = x3 – 6x2 + 9x - KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = x3 – 6x2 + 9x – VÝ dô 2: Cho y = x +1 x −1 (C) (3) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1) Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I ⇔ ⇔ Do A I lµ trung ®iÓm cña AB ¿ x + x=2 x I =4 y + y=2 y I =2 ¿{ ¿ ⇔ ¿ x0 =4 − x y 0=2 − y ¿{ ¿ (C) ⇔ – y = 2(4 − x ) − x −1 KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = ⇒ A( − x ; 2− y) ⇔ y= x −3 x −3 * Ngay với đờng cong không là đồ thị hàm số, ta giải bµi to¸n dÔ dµng nhê c«ng thøc trung ®iÓm; Ta xÐt vÝ dô sau: 2 VÝ dô 3: Cho (E): x + y = Tìm phơng trình đờng cong (C) mà (C) đối xứng với (E) qua điểm I(3;2) Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (E) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I ⇔ ⇔ Do A I lµ trung ®iÓm cña AB ¿ x + x=6 y + y=4 ¿{ ¿ (E) ⇔ ⇔ ¿ x =6 − x y 0=4 − y ¿{ ¿ ⇒ A( 6− x ; − y ) − x ¿2 ¿ − y ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ KÕt luËn: §êng cong cÇn t×m cã ph¬ng tr×nh x − ¿2 ¿ y − ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ Bµi to¸n 2: Cho hµm sè y = f(x), (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng y = b (4) Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) I(x0; b) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = b ⇔ I lµ trung ®iÓm cña AB ¿ x0 =x y + y=2 b ¿{ ¿ ⇔ Mµ A ¿ x 0=x y 0=2 b − y ¿{ ¿ ⇔ ⇒ A(x ; b− y ) (C) ⇔ 2b – y = f(x) ⇔ y = g(x) KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m VÝ dô 1: Cho hµm sè y = x3 – 3x2 + (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng y = Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) I(x0; 1) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = ⇔ I lµ trung ®iÓm cña AB ¿ x0 =x y + y=2 ¿{ ¿ ⇔ Mµ A ⇔ ¿ x 0=x y 0=2 − y ¿{ ¿ ⇒ A( x ; 2− y) (C) ⇔ – y = x3 – 3x2 + ⇔ y = -x3 + 3x2 KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = -x3 + 3x2 VÝ dô 2: (Häc viÖn kü thuËt qu©n sù – 1999) Cho hµm sè y = x + x − x −2 (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) I(x0; 2) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = ⇔ I lµ trung ®iÓm cña AB (5) ¿ x 0=x y + y=4 ¿{ ¿ ⇔ Mµ A ⇔ ¿ x0 =x y 0=4 − y ¿{ ¿ ⇒ A( x ; − y) (C) ⇔ – y = x + x − x −2 ⇔ y = x −3 x+ 2− x KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = x −3 x+ 2− x Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x); (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng x = a Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) I(a; y0) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng x = a ⇔ I lµ trung ®iÓm cña AB ¿ x 0+ x=2 a y 0= y ¿{ ¿ ⇔ Mµ A ⇔ ¿ x 0=2 a − x y 0= y ¿{ ¿ ⇒ A(2 a − x ; y ) (C) ⇔ y = f(2a-x) ⇔ y = g(x) KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m VÝ dô 1: Cho hµm sè y = x3 – 3x2 + (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng x=-1 Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) I(-1; y0) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng x = -1 ⇔ I lµ trung ®iÓm cña AB ⇔ Mµ A ¿ x 0+ x=−2 y0= y ¿{ ¿ ⇔ ¿ x 0=−2 − x y 0= y ¿{ ¿ ⇒ A(− 2− x ; y ) (C) ⇔ y = (-2 – x)3 – 3(-2 – x)2 + ⇔ y = -x3 – 9x2 – 24x - 18 (6) KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = -x3 – 9x2 – 24x - 18 VÝ dô 2: Cho hµm sè y = x +1 (C) x −2 Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng x = Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) I(1; y0) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng x = ⇔ I lµ trung ®iÓm cña AB ⇔ Mµ A ¿ x 0+ x=2 y 0= y ¿{ ¿ ⇔ ¿ x 0=2 − x y 0= y ¿{ ¿ ⇒ A(2 − x ; y) (C) ⇔ y = 2( 2− x)+1 − x −2 ⇔ y = x−5 x KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = x − x Bµi to¸n 4: Cho hµm sè y = f(x); (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) Bµi gi¶i: + Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) + Viết phơng trình đờng thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d) y = − (x – x0) + y0 (Δ) a + Tọa độ giao điểm I (Δ) và (d) là nghiệm hệ: ¿ y=ax +b −1 y= (x − x0 )+ y a ¿{ ¿ ⇔ ¿ x I =¿ y I =¿ { ¿ + B(x; y) đối xứng với A qua đờng thẳng (d) ⇔ I là trung điểm AB (7) ⇔ ¿ x+ x =2 x I y + y 0=2 y I ¿{ ¿ ¿ x 0=2 x I − x y 0=2 y I − y ¿{ ¿ ⇔ ⇒ A(2xI – x; 2yI – y) (C) ⇔ 2yI – y = f(2xI – x) + Do A ⇔ y = g(x) KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m VÝ dô 1: (§¹i häc l©m nghiÖp – 2001) Cho hµm sè y = x +1 x −3 (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng (d): x + y – = Bµi gi¶i: + Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) + Phơng trình đờng thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d) là: y = (x – x0) + y0 (Δ) + Tọa độ giao điểm I (Δ) và (d) là nghiệm hệ: ¿ y=− x+3 y=x − x + y ¿{ ¿ ¿ 3+ x − y x I= − x0 + y yI = ¿{ ¿ ⇔ + B(x; y) đối xứng với A qua đờng thẳng (d) ⇔ I là trung điểm AB ⇔ ¿ x+ x =2 x I =3+ x − y y + y 0=2 y I =3 − x + y ¿{ ¿ ⇔ ¿ x 0=3 − y y 0=3 − x ¿{ ¿ ⇒ A(3-y; 3-x) + Do A (C) ⇔ - x = (3 − y )+ = −10 +3 − y −3 ⇔ y = 10 x KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = 10 x y (8) VÝ dô 2: Cho hµm sè y = x2 + 2x + (C) Tìm phơng trình đờng cong (P) mà (P) đối xứng với (C) qua đờng thẳng (d): y = x – Bµi gi¶i: + Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) + Phơng trình đờng thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d) là: y = - (x – x0) + y0 (Δ) + Tọa độ giao điểm I (Δ) và (d) là nghiệm hệ: ¿ y=x − y=− x+ x + y ¿{ ¿ ¿ 1+ x 0+ y xI= − 1+ x 0+ y yI = ¿{ ¿ ⇔ + B(x; y) đối xứng với A qua đờng thẳng (d) ⇔ I là trung điểm AB ⇔ ¿ x+ x0 =2 x I =1+ x + y y + y 0=2 y I =−1+ x + y ¿{ ¿ ⇔ ¿ x 0= y+1 y 0=x −1 ¿{ ¿ ⇒ A(y + 1; x - 1) + Do A (C) ⇔ x - = (y + 1)2 + 2(y + 1) + ⇔ x = y2 + 4y + KÕt luËn: §êng cong cÇn t×m cã ph¬ng tr×nh x = y2 + 4y + (P) * (C) là Parabol có đỉnh điểm M(-1; 2) và có trục đối xứng là đờng thẳng x = -1; (P) là Parabol có đỉnh điểm N(2; -2) và có trục đối xứng là đờng thẳng y = -2 Chú ý: Các bài toán 1, 2, có thể giải đợc phơng pháp đổi trục toạ độ; Ta lấy ví dụ: (Học viện kỹ thuật quân – 1999) Cho hµm sè y = x + x − (C) x −2 Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = Bµi gi¶i: + §æi hÖ trôc Oxy vÒ hÖ trôc IXY gèc I(0; 2) theo c«ng thøc: ¿ x= X y=2+Y ¿{ ¿ (9) + Hàm số đã cho trở thành + Y = ⇔ Y= X − X +2 X−2 X 2+ X −2 X−2 = F(X) + Do hàm số cần tìm đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = (trục hoành đối víi hÖ IXY) nªn hµm sè cÇn t×m cã d¹ng: Y = - F(X) X − X +2 X−2 ⇔ Y=- ⇔ y – = - x − x+ ⇔ y = x −3 x+ x −2 2− x KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ: y = x −3 x+ 2− x Nhận xét 1: Bạn đọc tự so sánh cách giải này với cách giải dùng tính chất trung điểm (Bài toán – ví dụ 2) để thấy đợc tính ngắn gọn việc trình bày; sử dụng tính chất trung điểm, học sinh không phải dùng đến các tính chất khác hµm sè Nhận xét 2: Sử dụng phơng pháp đổi trục toạ độ còn có hạn chế thứ đó là: giải đợc (C) là đồ thị hàm số; đờng cong đã cho không là đồ thị hàm số mà muốn sử dụng phơng pháp đổi trục toạ độ ta phải tách đờng cong phần cho đờng cong phần đó ứng với hàm số xác định sau đó áp dụng công thức đổi trục 2 Ta xÐt mét vÝ dô: (E) x + y = (1) Rõ ràng đơng cong (E) không là đồ thị hàm số (vì tồn đờng thẳng song song với Oy mà cắt (E) hai điểm) Để tìm đờng cong đối xứng với (E) qua điểm hay qua đờng thẳng theo phơng pháp đổi trục toạ độ ta phải làm nh sau: + (1) ⇔ y = ± √36 − x Khi đó ta có hai hàm số: y = f(x) = √ 36− x y = g(x) = − √ 36 − x Sau đó ta áp dụng công thức đổi trục toạ độ cho hàm số, cuối cùng hợp lại ta đợc đờng cong cần tìm Vậy phơng pháp đổi trục toạ độ đờng cong không là hàm số thì lời giải rõ ràng dài dòng và phức tạp Trong đó sử dụng tính chÊt trung ®iÓm ta cã lêi gi¶i qu¸ ng¾n gän vµ hiÖu qu¶ (xem bµi to¸n – vÝ dô 3) (10) 3/ Bµi tËp luyÖn tËp Bµi 1: Cho hµm sè y = x2 + 2x – (P) 1, Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (P) qua điểm I(-1; 1) 2, Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (P) qua đờng thẳng x=3 3, Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (P) qua đờng thẳng y = -1 4, Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với đồ thị (P) qua đờng thẳng x + y + = Bµi 2: Cho y = x + x −1 (C) 1, Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1) 2, Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng x = -1 3, Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 4, Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = x + Bµi 3: Cho (E) x2 y2 + =1 16 Tìm phơng trình các đờng cong (E1), (E2), (E3), (E4) cho 1, (E1) đối xứng với (E) qua điểm I(4; 5) 2, (E2) đối xứng với (E) qua đờng thẳng x = 3, (E3) đối xứng với (E) qua đờng thẳng y = -3 4, (E4) đối xứng với (E) qua đờng thẳng x – y = III KÕt luËn + Nếu nhìn nhận bốn bài toán trên theo cách nhìn thông thờng (đổi trục toạ độ) thì đó là bài toán riêng biệt: Đối xứng qua gốc toạ độ, đối xứng qua trục hoành, đối xứng qua trục tung (xét hệ toạ độ mới) Xong sử dụng tính chất trung điểm thì bốn bài toán trên đợc xem nh là một, nh tính chất trung điểm đã là phơng pháp chung cho bốn bài toán đó, học sinh vận dụng dẽ dàng và đạt hiệu tốt quá trình làm bài Hơn phơng pháp trung điểm còn khắc phục đợc khó khăn phơng pháp đổi trục toạ độ các đờng cong cha là đồ thị hàm số + Trong quá trình giảng dạy ngoài việc đổi phơng pháp giảng dạy, giáo viªn còng ph¶i thêng xuyªn lµm giµu thªm chi thøc cña m×nh th«ng qua c¸c ho¹t động chuyên đề, dự v.v Mỗi nét thông minh sáng tạo học trò, lời giải hay, câu hỏi tởng trừng ngớ ngẩn v.v… Tất điều đó giúp ngời thày tự điều chỉnh phơng pháp nh nội dung để kết giảng dạy ngày mét cao h¬n + Chuyên đề này tôi đã áp dụng giảng dạy nhiều năm, là các em häc sinh líp 12, c¸c em tá rÊt hµo høng tiÕp thu – vËn dông tèt vµ gi¶i quyÕt cã hiÖu qu¶ c¸c bµi tËp d¹ng nµy; Tuy nhiªn t«i kh«ng bá qua viÖc giíi thiÖu ph¬ng pháp đổi trục toạ độ để kiến thức các em hoàn chỉnh phơng diện; qua đó các em thấy đợc tính t mềm dẻo và sáng tạo toán học là điều rÊt cÇn thiÕt vµ t¨ng thªm tÝnh say mª, t×m tßi, s¸ng t¹o häc tËp cña c¸c em + Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã đọc và góp ý cho chuyên đề này (11)