Khi xét giới hạn của dãy số un ta có thể chỉ xét các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ n0 trở ñi, tức là việc thay ñổi hữu hạn số hạng ñầu tiên của dãy số không làm ảnh hưởng ñến tính hộ[r]
(1)Giới hạn dãy số - Bồi dưỡng HSG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ LÍ THUYẾT Trong bài viết này chúng tôi kí hiệu n là biến số nguyên dương, còn n0 là số nguyên dương (trừ trường hợp có chú thích cụ thể) Một dãy số có giới hạn hữu hạn ñược gọi là dãy số hội tụ, nó có giới hạn vô cực không có giới hạn thì ta nói nó phân kì Khi xét giới hạn dãy số (un) ta có thể xét các số hạng dãy kể từ số hạng thứ n0 trở ñi, tức là việc thay ñổi hữu hạn số hạng ñầu tiên dãy số không làm ảnh hưởng ñến tính hội tụ, và không làm ảnh hưởng ñến giới hạn (nếu có) dãy số ñó Giới hạn dãy số (nếu có) là Tức là limun = u thì limun+k = limun-k = u, với k là số nguyên dương tùy ý limun = ⇔ lim|un| = limun = u ⇔ lim|un – u| = limun = u ⇔ limu2n = limu2n+1 = u Nếu limun = u thì lim|un| = |u| và lim u kn = uk (k nguyên dương), lim 1 = (u ≠ 0) un u Nếu un < un+1 < M (∀n ≥ n0) thì (un) hội tụ, limun = u ≤ M, và un < u (∀n ≥ n0) Nếu un ≤ un+1 ≤ M (∀n ≥ n0) thì (un) hội tụ, limun = u ≤ M, và un ≤ u (∀n ≥ n0) Nếu un ≤ un+1(∀n ≥ n0) và (un) không bị chặn trên thì limun = + ∞ Nếu un > un+1 > m (∀n ≥ n0) thì (un) hội tụ, limun = u ≥ m, và un > u (∀n ≥ n0) Nếu un ≥ un+1 ≥ m (∀n ≥ n0) thì (un) hội tụ, limun = u ≥ m, và un ≥ u (∀n ≥ n0) Nếu un ≥ un+1(∀n ≥ n0) và (un) không bị chặn thì limun = – ∞ Một dãy số hội tụ thì bị chặn Nếu xn ≤ yn ≤ zn (hoặc xn < yn < zn ) với ∀n ≥ n0, ñồng thời limxn = limzn = a thì limyn = a (nguyên lí giới hạn kẹp) Nếu un ≥ (hoặc un > 0) với ∀n ≥ n0, và limun = u thì u ≥ và lim u n = u Giả sử un ≤ (hoặc un < vn) với ∀n ≥ n0 Khi ñó: • Nếu limun = u, limvn = v thì u ≤ v • Nếu limun = + ∞ thì limvn = + ∞ • Nếu limvn = – ∞ thì limun = – ∞ n Ta có lim 1 + = e Nếu limun = + ∞ limun = - ∞ thì lim 1 + n un un = e Nếu (un) bị chặn và limvn = thì lim(unvn) = VÍ DỤ VÍ DỤ Cho dãy số (an) thỏa mãn a n = 2a n −1.a n +1 , ∀ n > Tìm lim an a n −1 + a n +1 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong – Bắc Ninh Lop12.net (2) Giới hạn dãy số - Bồi dưỡng HSG LỜI GIẢI Nếu tồn số nguyên dương k cho ak = thì a k+1 = 2a k a k + = , suy a k + a k +2 2a k+1.a k +3 2a a = , và dẫn tới a k+1 = k k + không có nghĩa Do an ≠ 0, ∀ n ∈ N * a k + a k +2 a k+1 + a k +3 Bây ta ñặt un = (∀ n ∈ N *), thì un ≠ (∀ n ∈ N *), thay vào ñẳng thức ñề bài ta an ñược un = (un-1+ un+1), ∀n >1, suy (un) là cấp số cộng có công sai d, và số hạng tổng quát a1 un = u1 + (n – 1)d ≠ 0, với n ∈ N * Như a n = (∀ n ∈ N *) Nếu d = + (n − 1)da1 a k+2 = (⇔ u1 = u2 = …⇔ a1 = a2 = …) thì an = a1(∀ n ∈ N *) và lim an = a1 Nếu d ≠ (⇔ các số hạng dãy (un) phân biệt ⇔ các số hạng dãy (an) phân biệt) thì a1 lim a n = lim = + ( n − 1) d a Vậy, các số hạng (an) thì lim an = a1, các số hạng dãy (an) phân biệt thì lim an = 0, q < 1, q = n VÍ DỤ Chứng minh limq = + ∞, q > không tô`n tai, q ≤ −1 n LỜI GIẢI Nếu q = thì có limq = Và q = thì có limqn = 1 = + a (a > 0)⇒ n = (1 + a)n = C0n + a.C1n + + a n Cnn ≥1 + na > 0, Nếu <|q| < thì q q 1 , với ∀ n ∈ N * Vì a > nên lim = Theo + na + na nguyên lí giới hạn kẹp ta có lim|q|n = 0, hay limqn = n với ∀ n ∈ N * Do ñó < q ≤ Nếu q > thì < 1 < nên theo chứng minh trên lim n = Ta ñi ñến limqn = + ∞ q q Nếu q = –1 thì limq2n = còn limq2n+1 = –1 nên không tồn limqn Nếu q < – thì q2 > nên limq2n = lim(q2)n = + ∞, và limq2n+1 = lim[q.(q2)n] = – ∞, vì không tồn limqn VÍ DỤ Cho dãy số (an) thỏa mãn an ≤ an+1 – a 2n +1 , ∀n ∈ ℕ * Tìm giới hạn liman LỜI GIẢI Từ an ≤ an+1 – a 2n +1 , ∀n ∈ ℕ * , suy an ≤ an+1 và an ≤ , ∀n ∈ℕ * Tức là (an) là dãy bị chặn trên và không giảm Do ñó (an) có giới hạn hữu hạn liman = a Lấy giới hạn hạn hai vế bất ñẳng thức ñề bài cho ta ñược a ≤ a – a2, hay a = Vậy liman = Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong – Bắc Ninh Lop12.net (3) Giới hạn dãy số - Bồi dưỡng HSG VÍ DỤ Cho dãy số (xn) thỏa mãn x1 = 3, x 3n+1 − 3x n +1 = + x n , ∀ n ∈ N * Tìm giới hạn lim xn LỜI GIẢI Ta thấy x1 = > Giả sử xk > 2, lúc này x 3k+1 − 3x k +1 = + x k > + = nên x 3k+1 − 3x k +1 − > ⇔ (xk+1 + 1)2(xk+1 – 2) > ⇔ xk+1 > Tức là xn > 2, ∀ n ∈ N * Xét hàm số f(t) = t3 – 3t, có f ’(t) = 3t2 – = 3(t + 1)(t – 1) > 0, ∀ t > 2, suy f(t) ñồng biến trên khoảng (2; + ∞) Kiểm tra thấy x1 − 3x1 = 18 > x − 3x = x1 > x2 Giả sử xk > xk+1 ⇒ + x k > ⇒ f(x1) > f(x2) ⇒ + x k+1 ⇒ x 3k+1 − 3x k +1 > x 3k+2 − 3x k + ⇒ f(xk+1) > f(x k +2) ⇒ xk+1 > xk+2 Do ñó xn > xn+1 với ∀ n ∈ N * Dãy (xn) giảm và bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn lim xn = x ≥ Lấy giới hạn hai vế ñẳng thức ñề bài ta ñược x3 – 3x = + x ⇔ x6 – 6x4 + 9x2 = x + (vì x ≥ nên x3 – 3x > 0) ⇔ x6 – 6x4 + 9x2 – x – = ⇔ (x – 2).(x5 + 2x4 – 2x3– 4x2 + x + 1) = ⇔ (x – 2).(x2(x3 – 4) + 2x3(x – 1) + x + 1) = ⇔ x = (do x ≥ 2) Vậy limxn = VÍ DỤ Tính giới hạn: [(2+ 3) n ] , ñó [x] là phần nguyên số thực x, tức là số nguyên lớn a) lim (2+ 3) n không vượt quá x c n 2n − n n b) lim( + + + + n ) c) lim n (a > 1, c > 0) d)lim e) lim n 2 n! a 2 (2 + 3) n + (2 − 3) n , nhờ công thức khai triển nhị thức Niuton ta LỜI GIẢI a) ðặt a n = thấy an là số nguyên dương Mặt khác – 1< – (2 − 3)n < nên có [(2+ 3)n ] = 2a n − [(2+ 3) n ] = lim = =[2an – (2 − 3) ] = 2an +[– (2 − 3) ] = 2an – Vậy lim (2+ 3) n (2+ 3) n n n (2 + 3) n + (2 − 3) n − 1 − = lim = lim( + ) = n n (2+ 3) (7 + 3) (2+ 3) n Nhận xét: Với x, y, n, r nguyên dương, r không là số chính phương thì tồn hai dãy số nguyên dương (an) và (bn) cho (x +y r )n = an + b n r ; (x - y r )n = an - b n r ; với (x + y r ) n + (x − y r ) n (x + y r ) n − (x − y r ) n an = , bn = 2 Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong – Bắc Ninh Lop12.net (4) Giới hạn dãy số - Bồi dưỡng HSG b) Ta ñặt xn = xn = 2xn – xn 2n − 1 2n − + + + + n ⇒ 2xn = + + + + n-1 Ta có 2 2 2 = 2+ 1 n 1 1 − 2n + + + n −2 + n = – n − + n – n −1 Dễ thấy 2 2 2 2 n −1 = C0n −1 + C1n −1 + Cn2 −1 + + C nn −−11 ≥ C n −1 = n = Với n > ta có n −2 2 2n n 2n n − 3n + = > Từ ñó suy < n −1 < , ∀ n > Mà lim =0 2 n − 3n + n − 3n + n nên lim n −1 = Vậy lim xn = lim = lim n n c) Với hai số thực a > và c > ta biến ñổi n = n a c a c c = n ñó b = a c – > (1+b) n (n − n)b 2 n n 2 n >0 Nhận thấy với n ≥ thì (1 + b) = Cn + bC n + b C n + + b C n ≥ b Cn = n 2 n suy < < , ∀ n ∈ N * Từ ñây và lim = nên lim = 0, n 2 (1+b) (n − 1)b (n − 1)b (1+b)n c c n nc dẫn tới lim n = lim = n a (1+b) n C1n C2n C3n Cnn + + + + d) Với n ≥ ta có ≥ 1 + = Cn + n n n n n nn n − n − 3n + 1 n n n n n n n n n + n+ + + + − ≥1 + n + = + > = n+ = 2 2 6 6 n n n( n − 3) 1 ≥ n Dẫn ñến < n n < + với n ≥ Mà lim ( + ) = nên suy n n lim n n = =n + log a n = n 1 e) Trước hết ta có n! = 1.2.3…n ≤ nn ⇒ ≤ n , ∀ n ∈ N * Mặt khác ∀k = 1, n ta luôn có n n! (n − k)(k − 1) ≥ ⇒ k(n − k + 1) ≥ n , cho k chạy từ ñến n ta thu ñược n bất ñẳng thức mà hai vế Nhận xét: Với a >0, a ≠ 1, thì lim ñều dương, nhân n bất ñẳng thức này, vế với vế tương ứng, ta ñược (n!)2 ≥ nn hay 1 1 1 1 ≤ , ∀n ∈ ℕ* Từ ≤ n ≤ , ∀n ∈ ℕ* , và lim = lim = suy lim n = n n n n! n n! n n n! Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong – Bắc Ninh Lop12.net (5) Giới hạn dãy số - Bồi dưỡng HSG VÍ DỤ Cho dãy số (un) thỏa mãn u1 = – 2, un+1 = un , ∀ n ∈ N * 1− un a Chứng minh un < 0, ∀ n ∈ N * 1+ u n , ∀ n ∈ N * Chứng minh (vn) là cấp số cộng un c Tìm công thức số hạng tổng quát (un), (vn), và tính các giới hạn limun, limvn b ðặt = LỜI GIẢI a) Ta chứng minh un < (∀ n ∈ N *) phương pháp quy nạp toán học Rõ uk < Vậy un < (∀ n ∈ N *) − uk 1+ u n 1− un b) ðặt = thì ≠ và un = Ta có v1 = ta có = Từ un+1 = un − −2 1− un 1 = : (1 − ) hay vn+1 = – (∀ n ∈ N *) Vậy (vn) là cấp số cộng có số hạng v n+1 − v n − − 1 ñầu tiên v1= , công sai d = –1 c) Từ câu b ta có = – n, và un = = hay un = (∀ n ∈ N *) − 1 − 2n − n −1 Như limun = 0, limvn = – ∞ VÍ DỤ Cho dãy số (un) thỏa mãn < un < và un+1 < – với n ∈ N * 4u n Chứng minh un > , ∀ n ∈ N * 1 LỜI GIẢI Từ < un < và un+1 < – suy un(1 – un+1) > (∀ n ∈ N *) Áp dụng bất 4u n ràng u1 = – < Giả sử uk < ⇒ – uk > ⇒ uk+1 = ñẳng thức Côsi cho hai số un và – un+1 ta có un + (1 – un+1) ≥ u n (1 − u n+1 ) > =1 hay u n + − u n+1 > hay u n > u n+1 (∀ n ∈ N *) Dãy (un) giảm và bị chặn nên có giới hạn hữu hạn lim u n = u ∈ [0; 1] Lấy giới hạn hai vế bất ñẳng thức un(1 – un+1) > ta ñược 1 ⇔ u = Tức là limun = 2 Bây ta ñi chứng minh un > (∀ n ∈ N *) phương pháp phản chứng Giả sử u(1 – u) > Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong – Bắc Ninh Lop12.net (6) Giới hạn dãy số - Bồi dưỡng HSG tồn số nguyên dương k cho uk ≤ Lúc này ≥ uk > uk+1 > uk+2 > … > un+k > … , 2 1 ∀ n ∈ N * Suy ≥ uk > uk+1≥ lim un+k = ðiều này vô lí Vậy un > (∀ n ∈ N *) 2 VÍ DỤ Cho số nguyên dương n Chứng minh phương trình xn+1 = x + có nghiệm dương nhất, kí hiệu là xn Tìm limxn LỜI GIẢI Trước hết x > thì x + > 1, từ phương trình xn+1 = x + ⇒ xn+1> ⇒ x > Do ñó phương trình xn+1 = x + có nghiệm dương thì nghiệm ñó lớn Ta xét hàm số fn(x) = xn+1 – x – với x > 1, có fn’(x) = (n + 1)xn –1 > (n + 1) – = n > với x > Suy fn(x) ñồng biến trên khoảng (1; + ∞) Từ ñây, và tính liên tục fn(x), và fn(1) = – 1< 0, lim f n (x) = +∞ , ta kết luận phương trình xn+1 = x + có nghiệm dương x→+∞ xn Tất nhiên xn > n+1 Do fn+1(x) liên tục, fn+1(1) = – 1< 0, fn+1(xn) = x n+2 n − x n − > x n − x n − = fn(xn) = 0, nên phương trình xn+2 = x + có nghiệm dương xn+1 và < xn+1< xn Dãy (xn) giảm và bị chặn nên có giới hạn hữu hạn limxn = a ≥ Do xn là nghiệm dương phương trình xn+1 = x + nên x n+1 n − x n − = ⇒ x n = (1 + x n lim(1+ xn) = a + 1, nên lim x n = lim(1 + x n n ) +1 ) n +1 Do lim = 0, n+1 = (1 + a)0 = Vậy limxn = BÀI TẬP Bài Tính giới hạn: 13 33 53 (2n − 1)3 1) lim( + + + + ) n n n n3 1 3) lim( ) + + + 1.2 2.3 n(n + 1) 1 5) lim(cos + a.sin )n n n 13 + 23 + + n n4 2n − 4) lim( ) 2n 1 6) lim( ) + + + n2 +1 n2 + n n2 + n an 8) lim (với a > 0) n! 1 10) lim( + + + + ) n 2) lim 11 + 22 + + n n 7) lim nn 9) lim n 1n + 2n + + 2010n Bài Dãy số (xn) có x1 = a >0, x 2n+1 − x n = a (∀ n ∈ N *) Tìm limxn Bài Dãy số (an) có < an < và an+1 = an(2 – an) với n ∈ N * Tìm limxn Bài Với số nguyên dương n phương trình x = kí hiệu là xn Tìm lim(n(xn – 1)) Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong – Bắc Ninh Lop12.net n x + có nghiệm dương nhất, (7)