Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Đề số Thời gian làm bài: 120 phút Câu1: (2 ®iÓm) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d a +b b + c c + d d + a + + + Tìm giá trị biểu thøc: M= c + d d + a a +b b + c Câu2: (1 điểm) = abc + bca + cab Chứng minh S số phơng Câu3: (2 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, lúc xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h Biết khoảng cách AB 540 km M trung điểm AB Hỏi sau khởi hành ôtô cách M khoảng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M Câu4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam giác à a Chứng minh r»ng: BOC = µA + ·ABO + ·ACO Cho S b BiÕt ·ABO + ·ACO = 900 − µA vµ tia BO tia phân giác góc B Chứng minh rằng: Tia CO tia phân giác góc C Câu 5: (1,5điểm) Cho đờng thẳng đờng thẳng song song CMR có đờng thẳng mà góc nhọn chúng không nhỏ 200 Câu 6: (1,5điểm) Khi chơi cá ngựa, thay gieo súc sắc, ta gieo hai súc sắc lúc điểm thấp 2, cao 12 điểm khác 3; 4; ;6 11 HÃy lập bảng tần số khả xuất loại điểm nói trên? Tính tần xuất loại ®iÓm ®ã HÕt -Đề số Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: Tìm số a,b,c biết r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b Tun chän ®Ị thi học sinh giỏi toán Câu 2: Tìm số nguyên x tho¶ m·n: a,5x-3 < b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: A =x +8 -x 2 C©u 4: BiÕt r»ng :1 +2 +3 + +10 = 385 TÝnh tỉng : S= 22+ 42+ +202 C©u : Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM Gäi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC t¹i D a Chøng minh AC=3 AD b Chøng minh ID =1/4BD - HÕt -§Ị sè Thêi gian lµm bµi: 120 a a+b+c Câu ( 2đ) Cho: Chứng minh: = d b+c+d a c b = = Câu (1đ) Tìm A biết rằng: A = b+c a+b c+a a b c = = b c d Câu (2đ) a) A = Tìm x Z để A Z tìm giá trị x+3 x2 b) A = 2x x+3 Câu (2đ) Tìm x, biết: a) x−3 = b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyÕn AM E ∈ BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE) Chøng minh MHK vu«ng c©n HÕt -§Ị sè Thêi gian làm : 120 phút Câu : ( điểm) Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4,12 ,a Biết a số tự nhiên Tìm a ? Tuyển chọn ®Ị thi häc sinh giái to¸n Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc a c = ( a,b,c ,d≠ 0, a≠ b, c≠ d) ta b d suy đợc tỉ lệ thức: a) a c = a−b c−d b) a+b c+d = b d Câu 2: ( điểm) Tìm số nguyên x cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ cña: A = | x-a| + | x-b| + | x-c| + | x-d| víi a ·ADC Chøng minh r»ng: DB < DC A = x − 1004 - x + 1003 C©u 5: ( điểm ) Tìm GTLN biểu thức: HÕt §Ị sè 14 Thêi gian : 120 Câu (2 điểm): Tìm x, biết : a 3x − +5x = 4x-10 b 3+ 2x + > 13 Câu 2: (3 điểm ) a Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số cđa nã tû lƯ víi 1, 2, b Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+ +74n chia hÕt cho 400 (n N) Câu : (1điểm )cho hình vẽ , biÕt α + β + γ = 1800 chøng minh Ax// By α A x C β γ B y Câu (3 điểm ) Cho tam giác cân ABC, có ÃABC =1000 Kẻ phân giác góc CAB cắt AB D Chứng minh rằng: AD + DC =AB Câu (1 điểm ) Tính tổng S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + .+ (-3)2004 HÕt -Đề số 15 Thời gian làm bài: 120 phú Bài 1: (2,5đ) Thực phép tính sau cách hợp lí: Bài 2: (2,5đ) 1 1 1 1 − − − − − − − − 90 72 56 42 30 20 12 Tính giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: A = x − + x Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Bài 3: (4đ) Cho tam giác ABC Gọi H, G,O lần lợt trực tâm , trọng tâm giao điểm đờng trung trực tam giác Chứng minh rằng: a AH lần khoảng cách từ O đến BC b Ba điểm H,G,O thẳng hàng GH = GO Bài 4: (1 đ) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bá dÊu ngc biĨu thøc (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007 - HÕt -Đề 16 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1(3đ): Chứng minh A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hết cho 102 Câu 2(3đ): T×m x, biÕt: a x + x + = ; b 3x − = x + Câu 3(3đ): Cho tam giác ABC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Các đờng trung trực tam giác gặp tai Các đờng cao AD, BE, CF gặp t¹i H Gäi I, K, R theo thø tù trung điểm HA, HB, HC a) C/m H0 IM cắt Q trung điểm đoạn b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 c) HÃy suy kết tơng tự nh kết câu b Câu 4(1đ): Tìm giá trị x để biểu thức A = 10 - 3|x-5| đạt giá trị lớn - HÕt Đề 17 Thời gian: 120 phút Bài 1: (2®) x −5 x +3 Cho biĨu thøc A = a) Tính giá trị A x = b) Tìm giá trị x để A = - c) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài (3đ) a) Tìm x biÕt: − x = x − TuyÓn chọn đề thi học sinh giỏi toán cho d vµ a + b chia hÕt cho d ⇒ b chia hÕta cho d (0.5®) ⇒ (a,b) = d ⇒ trái với giả thiết Vậy (a2,a + b) =1 (0.5đ) - §Ị 23 Câu I : 1) Xác định a, b ,c a − b + c − 5(a − 1) − 3(b + 3) − 4(c − 5) 5a − 3b − 4c − − + 20 = = = = = = −2 = 10 − 12 − 24 10 − 12 − 24 => a = -3 ; b = -11; c = -7 C¸ch : a −1 b + c − = = = t ; sau ®ã rút a, b ,c thay vào tìm t =- 2 tìm a,b,c 2) Chứng minh Đặt a c = = k => a= kb ; c = kd Thay vào biểu thức : b d 2a − 3ab + 5b 2c − 3cd + 5d k − 3k + k − 3k + − = − = => ®pcm + 3k + 3k 2b + 3ab 2d + 3cd C©u II: TÝnh: 1) Ta cã :2A= 2( = 1 1 1 1 1 32 + + + ) = − + − + + − = − = =>A 3.5 5.7 97.99 5 97 99 99 99 16 99 2) B = = − + 1 1 1 1 + + + + + − + + 50 − 51 = 50 (−3) (−3 ) ( −3 ) (−3 ) (−351 ) 3 3 1 1 1 1 − 351 − + + + + − B= => => B = 51 52 52 = − ( −3 ) (−3 ) (−3 ) (−3) ( −3 ) ( −3 ) −3 352 (−351 − 1) 4.351 C©u III Ta cã : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = 2 + 0,(1).3 = + = 10 10 10 10 30 TuyÓn chọn đề thi học sinh giỏi toán 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+ (01).32 = = 1 0,(32)= 0,12+ 0, 1000 1000 12 32 + 100 1000 99 1489 12375 Câu IV : Gọi đa thức bËc hai lµ : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d P(0) = 10 => -3c+d =10 (1) P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vµo (1) ta cã -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= => 2b -2+16 = > b= -5 P(3) = => 6a-30 +16 =1 => a = 5 Vậy đa thức cần tìm : P(x) = x( x − 1)( x − 2) − 5x( x − 1) + 2( x − 3) + 16 => P(x) = 25 x - x + 12x + 10 2 C©u V: a) DƠ thÊy ∆ ADC = ∆ ABE ( c-g-c) => DC =BE Vì AE AC; AD AB mặt khác gãc ADC = gãc ABE => DC ⊥ Víi BE b) Ta cã MN // DC vµ MP // BE => MN ⊥ MP MN = 2 DC = BE =MP; Vậy MNP vuông cân M - Đáp án đề 24 Bài 1: a) 3 3 − + + 10 11 12 + A= 5 5 − + − − 10 11 12 3 + − (0,25®) 5 + − Tun chọn đề thi học sinh giỏi toán 1 1 1 1 3 − + + ÷ 3 + − ÷ 10 11 12 + A= (0,25®) 1 1 1 1 −5 − + + ÷ 5 + − ÷ 10 11 12 4 A= −3 + =0 5 (0,25®) b) 4B = 22 + 24 + + 2102 2102 − (0,25đ) 3B = 2102 1; B= (0,25đ) Bài 2: a) Ta cã 430 = 230.415 (0,25®) 3.2410 = 230.311 (0,25đ) mà 415 > 311 430 > 311 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25®) b) = 36 > 29 (0,25®) 33 > 14 ⇒ 36 + 33 > 29 + 14 (0,25đ) Bài 3: Gọi x1, x2 x3 lần lợt số ngày làm việc cđa m¸y ⇒ x1 x2 x3 = = (1) (0,25đ) Gọi y1, y2, y3 lần lợt số làm việc máy y1 y2 y3 = = (2) (0,25®) Gäi z1, z2, z3 lần lợt công suất m¸y z1 z2 z3 = = ⇒ 5z1 = 4z2 = 3z3 ⇔ 1 (3) Mµ x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) x1y1z1 x2 y2z2 x3y3z3 395 = = = = 15 40 395 Tõ (1) (2) (3) ⇒ 18 15 (0,25®) (0,25®) (0,5®) ⇒ x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 Vậy số thóc đội lần lợt 54, 105, 200 (0,25đ) Bài 4: a) EAB =CAD (c.g.c) (0,5®) · · ⇒ ABM (1) (0,25®) = ADM (0,25đ) Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán · · · Ta cã BMC = MBD + BDM (góc tam giác) à à à à à ⇒ BMC = MBA + 600 + BDM = ADM + BDM + 600 = 1200 (0,25đ) (0,25đ) b) Trên DM lÊy F cho MF = MB (0,5®) ⇒ FBM ®Ịu (0,25®) ⇒ DFBAMB (c.g.c) (0,25®) A · · ⇒ DFB = AMB = 1200 E D (0,5®) F Bµi 6: Ta cã x = ⇒ f(2) + ( ) = (0,25®) 1 x = ⇒ f( ) + (2) = (0,25®) 2 47 ⇒ f (2) = (0,5®) 32 M B C - đáp án đề 25 Câu a.Nếu x ≥ suy x = (tho· m·n) NÕu < suy x = -3 (tho· m·n) b x x − y =1 = − = ⇒ y 6 x − = y = x − = y = −3 x − = −2 y = x − = hc y = −2 x − = −3 hc y = −1 x − = −6 ; hc ;hc ;hc y = −6 x − = −1 ; hc y = x − = ; Từ ta có cặp số (x,y) lµ (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6) c Tõ 2x = 3y vµ 5x = 7z biÕn ®ỉi vỊ x y z 3x y z 3x − y + z 30 = = ⇒ = = = = =2 21 14 10 61 89 50 63 − 89 + 50 15 x = 42; y = 28; z = 20 C©u c A tích 99 số âm ®ã Tun chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n 1 1.3 2.4 5.3 99.101 − A = − ÷ − ÷1 − ÷ − = g g ggg ÷ 1002 16 100 1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 = g = > ⇒ A< − 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 200 2 d x +1 = x −3 B= x −3+ 4 = 1+ B nguyªn ⇔ x −3 x −3 ˆ ⇔ x − ∈ U′( 4) nguen x −3 ⇒ x ∈ { 4; 25;16;1; 49} Câu Thời gian thực tế nhiều thời gian dự định Gọi vận tốc dự định từ C đến B v1 == 4km/h Vận tốc thực tế từ C đến B V2 = 3km/h V t V 1 Ta cã: V = va t = V = 2 (t1 thời gian AB với V1; t2 thời gian CB với V2) t t t t −t 15 2 tõ t = ⇒ = = − = = 15 t2 = 15 = 60 = giê Vậy quÃng đờng CB 3km, AB = 15km Ngời ®ã xt ph¸t tõ 11 giê 45 – (15:4) = Câu e Tam giác AIB = tam giác CID có (IB = ID; góc I = gãc I2; IA = IC) f Tam gi¸c AID = tam gi¸c CIB (c.g.c) gãc B1 = gãc D1 vµ BC = AD hay MB =ND tam gi¸c BMI = tam gi¸c DNI (c.g.c) Gãc I3 = góc I4 M, I, N thẳng hàng IM = IN Do vậy: I trung điểm cđa MN g Tam gi¸c AIB cã gãc BAI > 900 gãc AIB < 900 gãc BIC > 900 h Nếu AC vuông góc với DC AB vuông góc với AC tam giác ABC vuông A Câu x + 10 10 10 = 1+ P lín nhÊt lín nhÊt 4− x 4− x 4− x 10 XÐt x > th× 0 4− x P= Tun chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n 10 lín nhÊt – x số nguyên dơng nhỏ x 4x=1x=3 10 = 10 Plín nhÊt = 11 4− x ®ã - Hớng dẫn chấm đề 26 Bài : a) T×m x Ta cã x − + 5x =9 x − = 9-5x * 2x –6 ≥ ⇔ x ≥ ®ã 2x –6 = 9-5x ⇒ x = 15 kh«ng tho· m·n (0,5) * 2x – < ⇔ x< ®ã – 2x = 9-5x ⇒ x= tho· m·n (0,5) VËy x = b) TÝnh (1+2+3+ +90).( 12.34 – 6.68) : + + + = 3 6 (0,5) ( v× 12.34 – 6.68 = 0) c) Ta cã : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 + + 2101 ⇒ 2A – A = 2101 –1 (0,5) Nh vËy 2101 –1 < 2101 VËy A1 §Ĩ A = tøc lµ x +1 x −1 =5⇔ x= ⇔x= (1) Bµi : E thuộc phân giác ABC nên EN = EC ( tính chất phân giác) suy : tam giác NEC cân ENC = ECN (1) D thuộc phân giác góc CAB nên DC = DM (tính chất phân giác ) suy tam giác MDC cân DMC =DCM ,(2) Ta lại có MDB = DCM +DMC (gãc ngoµi cđa ∆CDM ) = 2DCM Tơng tự ta lại có AEN = 2ECN Mà AEN = ABC (góc có cạnh tơng ứng vuông góc nhọn) MDB = CAB (góc có cạnh tơng ứng vuông góc nhọn ) Tam giác vuông ABC có ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy CAB = ABC = AEN + MDB = ( ECN + MCD ) suy ECN + MCD = 450 VËy MCN = 900 –450 =450 (1,5) Bài : Tuyển chọn đề thi học sinh giái to¸n Ta cã P = -x2 –8x + = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = ( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2 ≤ víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 ≤ 21 víi mäi x DÊu (=) x¶y x = -4 Khi P có giá trị lớn 21 hớng dẫn đề 27 Câu 1: (3đ) b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25 suy 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5® suy 2n (1/2 +4) = 25 suy 2n-1 =9 25 suy n-1 = suy n=6 0,5® c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5đ 3n.10 M10 2n.5 = 2n-1.10 M10 suy 3n.10-2n.5 M10 0,5đ Bài 2: a/ Gọi x, y, z lần lợt số học sinh 7A, 7B, 7C tham gia trång c©y(x, y, z∈z+) ta cã: 2x=3y = 4z x+y+z =130 0,5đ hay x/12 = y/8 = z/6 mà x+y+z =130 0,5đ suy ra: x=60; y = 40; z=30 -7(4343-1717) b/ -0,7(4343-1717) = 0,5®10 43 40 10 Ta cã: 43 = 43 43 = (43 ) 43 43 tận 433 tận suy 4343 tËn cïng bëi 1717 = 1716.17 =(174)4.17 v× 174 cã tËn cïng lµ suy (174)4 cã tËn cïng lµ suy 1717 = 1716.17 tËn cïng 0,5đ suy 4343 1717 có tận nên 4343-1717 có tận suy 4343-1717 chia hÕt cho 10 0,5® 43 17 suy -0,7(43 -17 ) số nguyên Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Bài 3: 4đ( Học sinh tự vẽ hình) a/ MDB= NEC suy DN=EN 0,5® b/∆ MDI=∆ NEI suy IM=IN suy BC cắt MN điểm I trung điểm MN 0,5đ c/ Gọi H chân đờng cao vuông góc kẻ từ A xuống BC ta cã ∆ AHB=∆ AHC suy HAB=HAC 0,5® gäi O giao AH với đờng thẳng vuông góc với MN kẻ từ I OAB= OAC (c.g.c) nên OBA = OCA(1) 0,5® ∆ OIM=∆ OIN suy OM=ON 0,5® (2) suy ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM 0,5® Tõ (1) vµ (2) suy OCA=OCN=90 suy OC AC 0,5đ Vậy điểm O cố định - Đáp án đề 28 Câu 1: (2đ) a a + a = 2a với a (0,25đ) Với a < a + a = (0,25®) b a - a -Víi a≥ th× a - a = a – a = -Víi a< th× a - a = - a - a = - 2a c.3(x – 1) - 2x + 3 -Víi x + ≥ ⇒ x ≥ - Ta cã: 3(x – 1) – x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – – 2x – = x – (0,5®) -Víi x + < → x< - Tacã: 3(x – 1) - 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3) = 3x – + 2x + = 5x + (0,5đ) Câu 2: Tìm x (2đ) a.T×m x, biÕt: 5x - 3 - x = ⇔ x − = x + (1) §K: x ≥ -7 (0,25 ®) (0,25 ®) Tun chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n 5 x − = x + ( 1) ⇒ 5 x − = − ( x + ) (0,25 đ) Vậy có hai giá trị x thỏa mÃn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= 2/3 (0,25®) b 2x + 3 - 4x < (1,5đ) 2x + < + 4x (1) ĐK: 4x +9 ≥ ⇔ x ≥ − −2 < x < −3 (1) ⇔ − ( x + ) < x − < x + (t/mĐK) (0,5đ) Câu 3: Gọi chữ số số cần tìm a, b, c Vì số càn tìm chia hết 18 số phải chia hÕt cho VËy (a + b + c ) chia hÕt cho (1) (0,5®) Tacã: ≤ a + b + c ≤ 27 (2) V× ≤ a ≤ ; b ≥ ; ≤ c ≤ Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c) nhận giá trị 9, 18, 27 (3) Suy ra: a = ; b = ; c = (0,5đ) Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho vừa chia hết cho chữ số hàng đơn vị phải số chẵn Vậy ssố càn tìm là: 396 ; 963 (0,5đ) -Vẽ hình viết giả thiết, kết luận (0,5đ) -Qua N kẻ NK // AB ta cã EN // BK ⇒ NK = EB EB // NK EN = BK L¹i cã: AD = BE (gt) ⇒ AD = NK (1) -Häc sinh chøng minh ∆ ADM = ∆ NKC (gcg) (1®) ⇒ DM = KC (1®) Đáp án đề 29 Bài 1: Ta có: 10A = 102007 + 10 = + 2007 2007 10 + 10 + 102008 + 10 = + 2008 T¬ng tù: 10B = (2) 2008 10 + 10 + 9 ⇒ 10A > 10B ⇒ A > B Tõ (1) vµ (2) ta thÊy : 2007 > 2008 10 + 10 + (1) Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Bài 2:(2điểm) Thực phép tính: ÷ ÷ ÷ 1 A = 1 − (1 + 2).2 ÷ 1 − (1 + 3).3 ÷ 1 − (1 + 2006)2006 ÷ ÷ ÷ ÷ = 2007.2006 − 10 18 2007.2006 − = 10 2006.2007 12 20 2006.2007 (1) Mµ: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 Tõ (1) vµ (2) ta cã: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 = = = A= 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 Bài 3:(2điểm) Từ: (2) x 1 x − = ⇒ = − y y y Quy ®ång mÉu vÕ ph¶i ta cã : = x-2 Do : y(x-2) =8 Để x, y nguyên y x-2 phải ớc Ta có số nguyên tơng ứng cần tìm bảng sau: Y x-2 X 10 -1 -8 -6 -2 -4 -2 4 -4 -2 -8 -1 Bài 4:(2 điểm) Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn c¹nh thø VËy cã: b + c > a Nh©n vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2 (1) T¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b (2) a.c + c.b > c (3) Céng vÕ víi vÕ cđa (1), (2), (3) ta đợc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 à Bài 5:(3 điểm) Vẽ tia phân giác ABK cắt đờng thẳng CK I A Ta có: VIBC cân nên IB = IC à à VBIA = VCIA (ccc) nªn BIA = CIA =1200 Do ®ã: VBIA = VBIK (gcg) ⇒ BA=BK b) Tõ chøng minh trªn ta cã: I K B C Tun chọn đề thi học sinh giỏi toán à BAK = 700 - Đáp án ®Ị 30 C©u 1: ( ®iĨm ) 1 < víi mäi n ≥ nªn ( 0,2 ®iĨm ) n n −1 1 1 A< C = + + + + ( 0,2 ®iĨm ) −1 n a Do Mặt khác: C= = = 1 1 + + + + ( n − 1).( n + 1) 1.3 2.4 3.5 ( 0,2 ®iĨm) 1 1 1 1 − − + − + − + + ( 0,2 ®iĨm) 1 n −1 n + 1 3 1 1 + − − < = víi k = 1,2……… n ( 0,25 điểm ) k áp dụng bất đẳng thøc C« Si cho k +1 sè ta cã: k + k +1 1.1 k + k +1 = < k k k + + + + k +1 k +1 k = k 1 + = 1+ k +1 k k ( k + 1) (0,5 ®iĨm ) Tun chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n Suy < k +1 k +1 1 < 1+ − k k k +1 ( 0,5 điểm ) Lần lợt cho k = 1,2, 3, n n < +3 n +1 + + n +1 < n +1− < n +1 n n cộng lại ta đợc ( 0,5 ®iĨm) => [α ] = n C©u (2 ®iĨm ) Gọi , hb ,hc lần lợt độ dài đờng cao tam giác Theo đề ta cã: + hb hb + hc hc + 2( + hb + hc ) + hb + hc = = = = 20 10 ( 0,4 ®iĨm ) hc hb = = => : hb : hc = : 2: ( 0,4 ®iĨm ) 1 Mặt khác S = a.ha = bhb = chc ( 0,4 ®iĨm ) 2 a b c = = 1 => (0 , ®iÓm ) hb hc => 1 1 1 => a :b : c = h : h : h = : : = 10 : 15 : (0 ,4 ®iĨm ) a b c VËy a: b: c = 10 : 10 : Câu 4: ( điểm ) Trên tia Ox lÊy A′ , trªn tia Oy lÊy B′ cho O A′ = O B′ = a ( 0,25 ®iÓm ) Ta cã: O A′ + O B′ = OA + OB = 2a => A A′ = B B ( 0,25 điểm ) Gọi H K lần lợt hình chiếu Của A B đờng thẳng A B y Tam giác HA A = tam giác KB B ( cạnh huyền, góc nhọn ) ( 0,5 ®iĨm ) => H A′ = KB′, ®ã HK = AB (0,25 điểm) Ta chứng minh đợc HK ≤ AB (DÊu “ = “ ⇔ A trïng A′ B trïng B′ (0,25 ®iĨm) ®ã A′B′ ≤ AB ( 0,2 ®iĨm ) Tun chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n VËy AB nhá nhÊt ⇔ OA = OB = a Câu ( điểm ) Giả sö a + b + c = d ∈ Q ( 0,2 ®iĨm ) => (0,25®iĨm ) a+ b=d− a => b +b +2 bc = d + a + 2d a => bc = ( d + a − b − c ) − 2d a (1) ( 0,2 ®iĨm) ( 0,2 ®iĨm) => 4bc = ( d + a − b − c ) + d2a – 4b ( d + a − b − c ) a ( 0,2 ®iĨm) => d ( d + a − b − c ) a = ( d + a − b − c ) + 4d 2a – bc ( 0,2 ®iĨm) * NÕu d ( d + a − b − c ) # th×: a= ( d + a − b − c ) + 4d a − 4ab lµ sè h÷u tØ 4d ( d + a − b − c ) (0,2 5®iĨm ) ** NÕu d ( d + a − b − c ) = thì: d =0 d 2+ a-b – c = ( 0,25 ®iĨm ) + d = ta cã : a+ b+ c =0 => (0,25 ®iĨm ) a = b = c = 0∈Q + d 2+ a-b – c = th× tõ (1 ) => V× a, b, c, d ≥ nªn VËy a = 0∈Q bc = − d a ( 0,25 điểm ) a số hữu tỉ Do a,b,c có vai trò nh nên a , b , c số hữu tỉ Tun chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n ... 171 7 = 171 6. 17 =( 174 )4. 17 174 có tận suy ( 174 )4 cã tËn cïng lµ suy 171 7 = 171 6. 17 tËn cïng bëi 0,5® suy 4343 171 7 có tận nên 4343- 171 7 cã tËn cïng lµ suy 4343- 171 7 chia hÕt cho 10 0,5® 43 17. .. : 396, 936 b-(1 điểm ) A= (7 +72 +73 +74 ) + (75 +76 +77 +78 ) + + (74 n-3+ 74 n-2 +74 n-1 +74 n) = (7 +72 +73 +74 ) (1 +74 +78 + +74 n-4) Trong ®ã : +72 +73 +74 =7. 400 chia hÕt cho 400 Nên A 400 Câu 3-a (1 điểm )... a/.Ta cã: A= (- 7) + ( -7) 2 + … + (- 7) 2006 + (- 7) 20 07 (1) (- 7) A = ( -7) 2 + (- 7) 3 + … + (- 7) 20 07 + (- 7) 2008 ⇒ 8A = (- 7) – ( -7) 2008 Suy ra: A = 1 [(- 7) – ( -7) 2008 ] = - ( 72 008 + ) 8 * Chøng