Đang tải... (xem toàn văn)
Để bpt đã cho nghiệm đúng mọi x thuộc TXĐ thì bpt * phải nghiệm đúng với mọi t thoả mãn 0 ≤t ≤5... Gọi O là giao điểm của 2đờng chéo.[r]
(1)Së GD&§T nghÖ an Trêng THPT DTNT Kú S¬n Kú thi chän häc sinh giái líp 12 N¨m häc: 2010 – 2011 M«n thi: To¸n - Thêi gian: 150 o00o Câu (6.0 ®iÓm): y x 1 2 x 1) Khảo sát hàm số 2) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình 2 x 1 x m 1 m C©u (2.0 ®iÓm): Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 1 x+ + y+ =5 ¿ x y 1 3 x + + y + =20 x y { C©u 3(2.0 ®iÓm): T×m sè nguyªn d¬ng n cho: C12 n +1 − 2C 22 n+1 +3 22 C32n +1 − 23 C 42 n+1 +⋯+(2 n+1)22 n C22 nn +1 +1=2009 C©u 4(2.0 ®iÓm): Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với x thuộc tập xác định √(4+ x )(6 − x) ≤ x −2 x+ m C©u 5(2.0 ®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4 sin x+ sin x +sin x+ sin x=cos x +cos x +cos x +cos x C©u 6(6.0 ®iÓm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trung ®iÓm cña SC MÆt ph¼ng (P) qua AK vµ c¾t c¸c c¹nh SB , SD lÇn lît t¹i M vµ N §Æt V1= VS.AMKN , V = VS.ABCD 1) Khi mp(P)//BD, h·y tÝnh tû sè thÓ tÝch 2) §Æt x = SM SN , y= TÝnh SB SD HÕt V1 V V1 V theo x vµ y (2) đáp án và hớng dẫn chấm C©u 1.1 Néi dung Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số * TX§: R y=∓ ∞ * Giíi h¹n: xlim → ±∞ *B¶ng biÕn thiªn: y’ = 2(x+1)(2-x) – (x+1)2 = (x+1)(3-3x) x=−1 y’ = x=1 ⇔¿ x - ∞ + ∞ y’ y -1 - + ∞ 0.5 0.5 + - 0.5 - ∞ y *Vẽ đồ thị: y’’= - 6x; y’’= ⇔ x = ⇒ y = Đồ thị nhận I(0; 2) làm tâm đối xứng Giao víi Ox: (-1; 0) vµ (2 ; 0) -2 1.2 §iÓm -1 O 0.5 x BiÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Số nghiệm phơng trình số giao điểm đồ thị trên và đờng thẳng y = (m +1)2(2 – m) 0.5 Dựa vào đồ thị ta có: 0.5 Khi (m +1)2(2 - m) > ⇔ m < -2 th× cã 1nghiÖm 0.5 Khi (m +1) (2 - m) = ⇔ m = -2 hoÆc m =1 th× cã nghiÖm 0.5 m + 1¿ ( - m)< ¿ m + 1¿ 2( - m)> Khi ¿ ⇔m ∈( −2 ; 2){−1 ; th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ¿ ¿ ¿ ¿¿ Khi (m +1)2(2 - m) = ⇔ m = -1 hoÆc m = th× cã 0.5 0.5 nghiÖm Khi (m +1)2(2 - m) < ⇔ m > th× cã 1nghiÖm Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh §Æt { x+ =u x y+ =v y , §iÒu kiÖn: |u|≥ 2;|v|≥2 2.0 0.5 0.5 (3) u +v =5 u − 3u+ v −3 v =15 u=2 v=3 u=3 v=2 ⇔ u+ v=5 ⇔ ¿ uv =6 Tacã hÖ { 0.5 { { 0.5 { Suy c¸c nghiÖm lµ: ( 3+2√ ; 1) ( 3−2√ ; 1) (1 ; 3+2√5 ) (1 ; −2√5 ) T×m sè nguyªn d¬ng n XÐt hµm sè: 1+ x ¿2 n +1 f (x)=¿ 2n +1 = C02 n +1+C 12 n+1 x+C 22 n+1 x 2+C 32 n+1 x3 +C 42 n+1 x +⋯+C 22 n+1 n+1 x 2n 1+ x ¿ Ta cã = f ' ( x)=(2 n+1)¿ 2n = C12 n +1+ 2C 22 n+1 x +3 C 32n +1 x +4 C 42 n+1 x 3+⋯+(2 n+ 1) C22 nn +1 +1 x Do đó f ' (−2)=2 n+1=¿ = C12 n +1 − 2C 22 n+1 +3 22 C32n +1 − 23 C 42 n+1 +⋯+(2 n+1)22 n C22 nn +1 +1 Suy ra: 2 3 2n 0.5 0.5 0.5 0.5 n +1 C2 n +1 − 2C n+1 +3 C 2n +1 − C n+1 +⋯+(2 n+1)2 C2 n +1=2009 ⇔ 2n + = 2009 ⇔ n = 1004 Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với x thuộc tập xác định √(4+ x )(6 − x) ≤ x −2 x+ m §Æt √ (4+ x )(6 − x)=t t2 = -x2 + 2x + 24 ⇒ Do − ≤ x ≤ suy ≤t ≤5 Khi đó ta có bất phơng trình: t2 + t – 24 m.(*) XÐt hµm sè g(t)=t +t − 24 trªn ®o¹n [0 ; 5] Cã b¶ng biÕn thiªn: t g’(t) + g(t) 2 0.5 0.5 0.5 -24 Để bpt đã cho nghiệm đúng x thuộc TXĐ thì bpt (*) phải nghiệm đúng với t thoả mãn ≤t ≤5 Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra: m≥ 0.5 Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 4 sin x+ sin x +sin x+ sin x=cos x +cos x +cos x +cos x (*) (*) ⇔ (sinx - cosx)[2 +2(sinx+ cosx) + sinxcosx] = sin x − cos x=0(1) ¿ 2+2(sin x +cos x)+ sin x cos x=0 (2) ⇔¿ 0.5 0.5 0.5 (4) π (1)⇔ tan x=1 ⇔ x= +kπ (k ∈ Z) 0.5 π Gi¶I (2): §Æt t=sin x+ cos x=√ 2sin ( x+ )⇒|t|≥ √2 t 2− ⇒ sin x cos x= Tacã t2 + 4t +3 = ⇔ t = -1 v t = -3(lo¹i) Víi t = -1 ⇒ sin( x + π )=− √ =sin(− π ) 4 π x=− + m2 π (m∈ Z) x=π +n π ¿(n ∈ Z ) ⇔¿ 6.1 Khi mp(P)//BD, h·y tÝnh tû sè thÓ tÝch V1 V Gọi O là giao điểm 2đờng chéo I lµ giao ®iÓm cña AK vµ SO Do (P)//BD, qua I kẻ đờng song song với BD c¾t SB vµ SD t¹i M vµ M Trong tam gi¸c SAC cã I lµ träng t©m Suy ra: SM SN = ; = SB SD V× SABCD lµ hbh nªn Vs.ABC = Vs.ADC = S V 2A K N I D V S AMK SM SK 1 = = = ⇒ V S AMK = V V S ABC SB SC 3 T¬ng tù ta cã V S ANK= V Ta cã M O B 0.5 C 0.5 Mµ V = Vs.ABC + Vs.ADC vµ V1 = VS.AMK+ VS.ANK V1 = V SM §Æt x = , y= SB V S AMK SM Ta cã = V S ABC SB Suy 6.2 V1 SN TÝnh theo x vµ y SD V SK x = x ⇒ V S AMK = V SC y T¬ng tù ta cã V S ANK= V V x+ y Suy (1) = V 1 (5)