PP5 Có các đường thẳng qua các trung điểm của mỗi cặp cạnh đối là trục đối xứng của tứ giác 4-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LAØ HÌNH THOI Chứng minh tứ giác PP1 Laø hình bình haønh coù [r]
(1)MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC LOẠI HÌNH TỨ GIÁC I/MỞ ĐẦU: * Chương I “Tứ giác” hình học là chương đặt móng đầy đủ cho việc nghiên cứu đa giác học hình học phẳng chương trình THCS Nó hoàn thiện kiến thức tam giác và sở để mở rộng đa giác noùi chung * Nhiều năm dạy toán THCS tôi nhận thấy HS thường hay lúng túng tứ giác có thêm bớt điều kiện thì loại hình tứ giác đó thay đổi nào?Do các em chưa nắm mối quan hệ các loại hình tứ giác đó * Để phần nào giúp HS có sở làm tốt bài toán chứng minh tứ giác Tôi xin đưa số yếu tố cạnh , góc , đường chéo tứ giác , vị trí điểm ,tam giác … thay đổi thì kéo theo loại hình tứ giác đó thay đổi Làm tảng cho HS vẽ hình , dự đoán và chứng minh tứ giác đó là hình gì.Từ đó HS tính độ dài cạnh , số đo góc … II/KEÁT QUAÛ: * Để đạt hiệu cao sử dụng mối liên hệ các loại hình tứ giác HS phải hiểu hệ thống kiến thức chương tứ giác * Các em phải nắm vững định nghĩa , tính chất , dấu hiệu nhận biết , lưu ý… loại hình tứ giaùc * Từ đó thêm bớt điều kiện các em có thể dự đoán loại hình và tìm cách để chứng minh -Có thể dựa vào sơ đồ nhận biết các loại tứ giác -Có thể dựa vào tính chất đối xứng (đối xứng tâm, đối xứng trục loại hình tứ giác) - Nắm hết các phương pháp để chứng minh tứ giác là hình gì ? -Tìm các mối liên hệ cùng tiểu mục : định nghĩa với , tính chất với , dấu hiệu nhận biết với Để thấy giống và khác loại hình tứ giác Từ đó không nhầm lẫn chứng minh tìm điều kiện để hình này trở thành hình khác SƠ ĐỒ NHẬN BIẾT CÁC LOẠI TỨ GIÁC (2) caïnh baèng goùc vuoâng TỨ GIÁC Các cạnh đối song song Các cạnh đối = cạnh đối song song và = Các cạnh đối = đường chéo cắt tai trung điểm đường cạnh đối song song Hình thang 2góc kề đáy = 2đường chéo = Goùc vuoâng caïnh beân song song Hình thang caân Hình thang vuoâng Hình bình haønh caïnh beân song song 2caïnh keà = 2đường chéo vuông góc 1đường chéo là đường phaân giaùc cuûa goùc 1goùc vuoâng 2đường chéo = goùc vuoâng Hình thoi goùc vuoâng đường chéo = Hình chữ nhật 2caïnh keà = 2đường chéo vuông góc 1đường chéo là đường phaân giaùc cuûa goùc *Tôi xin minh hoạ số trường hợp cụ thể các bài toán sau Lời giải trình bày gọn , chủ yếu là gợi ý HS hieåu vaø laøm laïi chi tieát hôn A.LÝ THUYẾT: Để giúp HS nắm đầy đủ các phương pháp chứng minh tứ giác là hình gì , tôi xin giới thieäu baûng caùc phöông phaùp sau : 1-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LAØ HÌNH THANG CÂN Chứng minh tứ giác là hình thang có PP1) Hai góc kề đáy PP2) Hai đường chéo PP3) Hai góc đối bù PP4) Đường nối các trung điểm hai đáy là trục đối xứng 2-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LAØ HÌNH BÌNH HAØNH Chứng minh tứ giác có PP1) Hai cặp cạnh đối song song PP2) Hai cặp cạnh đối băng đôi (3) PP3) Các cặp góc đối PP4) Các đường chéo cắt trung điểm đường PP5) Một cặp cạnh đối song song và PP6) Một tâm đối xứng 3-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LAØ HÌNH CHỮ NHẬT Chứng minh tứ giác PP1) Laø hình bình haønh coù moät goùc vuoâng PP2) Coù boán goùc baèng PP3) Là hình bình hành có hai đường chéo PP4) Laø hình thang caân coù moät goùc vuoâng PP5) Có các đường thẳng qua các trung điểm cặp cạnh đối là trục đối xứng tứ giác 4-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LAØ HÌNH THOI Chứng minh tứ giác PP1) Laø hình bình haønh coù hai caïnh lieân tieáp baèng PP2) Coù boán caïnh baèng PP3) Là hình bình hành có các đường chéo vuông góc PP4) Có đường chéo là phân giác góc có đỉnh thuộc đường chéo đó PP5) Là hình bình hành có đường chéo là phân giác góc có đỉnh thuộc đường chéo PP6) Có đường thẳng qua hai đỉnh đối là trục đối xứng nó 5-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LAØ HÌNH VUÔNG Chứng minh tứ giác PP1) Laø hình thoi coù moät goùc vuoâng PP2) Là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp PP3) Là hình thoi có hai đường chéo PP4) Là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc PP5) Có bốn trục đối xứng là các đường thẳng qua các đỉnh đối , các đường thẳng qua trung điểm các cạnh đối B.AÙP DUÏNG: 1.Phương pháp :Đường chéo tứ giác cho trước thay đổi dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình * Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành b) Tứ giác ABCD phải thoả điều kiện gì đường chéo để : MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi , hình vuoâng ? A * Giaûi : B B M B N M M N C A A Q P Q N M A C Q B C N D P P a) Vẽ đường chéo AC,BD D C Q P D D AC MN AC , MN (tính chất đường trung bình tam giác ) Ta coù : AC PQ AC , PQ MN PQ, MN PQ Vaäy MNPQ laø hình bình haønh (4) b)- MNPQ là hình chữ nhật thì M̂ = 1v AC BD - MNPQ laø hình thoi thì MN = MQ AC BD - MNPQ laø hình vuoâng thì AC BD vaø AC = BD 2.Phương pháp :Vị trí điểm trên cạnh tam giác và tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình * Cho ABC ,D là điểm nằm B và C Qua D kẻ các đường thẳng song song AB và AC Chúng cắt các cạnh AC , AB theo thứ tự E và F a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì ? b) Điểm D vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi ? c)Nếu ABC vuông A thì tứ giác AEDF là hình gì ? Điểm D vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF laø hình vuoâng ? * Giaûi : A A A E F E B F C D A F B D C E D B E F C C B D a) Ta coù : DE AF (gt) DF AE (gt) Vaäy AEDF laø hình bình haønh b)Vẽ đường chéo AD Để AEDF là hình thoi thì AD là phân giác  Vaäy D laø giao ñieåm cuûa phaân giaùc A vaø BC ˆ c) Nếu ABC : A 1v thì AEDF là hình chữ nhật Để AEDF là hình vuông thì :  = 1v và AD là phân giác Phương pháp : Khi tứ giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình * Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành b) - Neáu ABCD laø hình bình haønh thì MNPQ laø hình gì ? Vì ? - Neáu ABCD laø hình thoi thì MNPQ laø hình gì ? Vì ? - Nếu ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình gì ? Vì ? - Neáu ABCD laø hình vuoâng thì MNPQ laø hình gì ? Vì ? * Giaûi : M A B Q D N P C A M Q D N P A B C Q A M D B P C N M Q B N a) (Xem baøi phaàn a ) C P D b) - Neáu ABCD laø hình bình haønh thì MNPQ laø hình bình haønh (töông tự phần a) - Nếu ABCD là hình chữ nhật thì : AC = BD MN MQ Vaäy MNPQ laø hình thoi - Neáu ABCD laø hình thoi thì : AC BD MN MQ hay M̂ = 1v Vậy MNPQ là hình chữ nhật - Neáu ABCD laø hình vuoâng thì : MN = MQ vaø M̂ = 1v (5) Vaäy MNPQ laø hình vuoâng Phương pháp :Khi hình thang cho trước thay đổi loại hình và góc dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình * Cho hình thang ABCD ( AB CD ) Goïi M,N,P,Q laø trung ñieåm caùc caïnh AB, AC, DC, BD a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành b) Neáu ABCD laø hình thang caân thì MNPQ laø hình gì ? c) Khi MNPQ laø hình vuoâng Tính caùc goùc cuûa hình thang ABCD * Giaûi : M A D D C P B P B M A N Q N Q K M A B Q C N D C P AD ( tính chất đường trung bình tam giác ) a) Ta coù : AD NP AD, NP MQ NP, MQ NP Vaäy MNPQ laø hình bình haønh b) Neáu ABCD laø hình thang caân thì AD = BC MQ MN MQ AD, MQ Vaäy MNPQ laø hình thoi c) Khi MNPQ laø hình vuoâng thì M̂ = 1v hay MQ MN DK CK nên Ĉ = D̂ = 450 Do đó  = B̂ = 1350 5.Phương pháp :Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến các tứ giác thay đổi loại hình * Cho ABC cân A Gọi M,N,P thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC Q là điểm đối xứng P qua N a) Chứng minh tứ giác PMAQ là hình thang b) Chứng minh tứ giác APCQ là hình chữ nhật c) ABC phải thoả mãn điều kiện gì để các tứ giác PMAQ là hình thang cân , APCQ là hình vuông * Giaûi : Q A A Q Q A M M N B B P C N P N C B P C a) Ta có : PN AB (tính chất đường trung bình tam giác ) hay AM PQ Vaäy PMAQ laø hình thang b) Ta coù NA = NC (gt) NP = NQ ( tính chất đối xứng) ABC cân A nên AP là đường cao , đó ; AP BC hay P̂ = 1v Vậy APCQ là hình chữ nhật c) - Nếu PMAQ là hình thang cân thì Q = P mà Q = B (góc đối hình bình hành) P = A (góc đối hình thoi ) (6) Aˆ Bˆ Cˆ Vậy ABC BC - Neáu APCQ laø hình vuoâng thì AP = PC (= ) Vaäy ABC vuoâng caân taïi A 6.Phương pháp :Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình và góc trung tuyến thay đổi dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình * Cho ABC Các đường trung tuyến BE và CF cắt G Gọi I,J là trung điểm GB, GC a) Chứng minh tứ giác EFIJ là hình bình hành b) ABC phải có điều kiện gì để tứ giác EFIJ là hình chữ nhật ? c) Nếu BE CF thì tứ giác EFIJ là hình gì ? A A * Giaûi : A Do đó :  = B̂ E F I B F G J C B E G I J F C B G I E l J C BC (tính chất đường trung bình tam giác) a) Ta coù : BC IJ BC , IJ FE IJ , FE IJ Vaäy EFIJ laø hình bình haønh b) Để EFIJ là hình chữ nhật thì FJ = IE Do đó BE = CF Vaäy ABC caân taïi A c) Neáu BE CF hay FJ IE Vaäy EFIJ laø hình vuoâng FE BC , FE * BAØI TAÄP THAM KHAÛO : Tôi xin giới thiệu thêm số bài toán để HS thử sức và đồng nghiệp hướng dẫn cho các em Với mục đích tìm thêm nguyên nhân mà tứ giác thay đổi loại hình Từ đó thấy mối liên hệ các loại hình tứ giác thật phong phú đa dạng Cho ABC , đường trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AC , D là điểm đối xứng với M qua I a) Tứ giác AMCD là hình gì ? Vì ? b) Nếu ABC có  = 900 thì tứ giác AMCD là hình gì ? Vì ? c) Tìm điều kiện ABC để AMCD là hình vuông ? Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy E,K cho BE = DK a) Chứng minh AKCE là hình bình hành b) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để AKCE là hình thoi ? Cho hình thoi ABCD Gọi O là giao điểm AC và BD Vẽ đường thẳng qua B và song song AC , vẽ đường thẳng qua C và song song BD Hai đường đó cắt K (7) a)Tứ giác OBKC là hình gì ? Vì ? b) Tìm điều kiện hình thoi ABCD để OBKC là hình vuông ? Cho tứ giác ABCD , các phân giác các góc Â, B,C,D cắt M,N P,Q a) Chứng minh tứ giác MNPQ có tổng các góc đối bù b) Neáu ABCD laø hình bình haønh thì MNPQ laø hình gì ? Vì ? c) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình gì ? Vì ? d) Neáu ABCD laø hình thoi , hình vuoâng thì MNPQ laø hình gì ? Vì ? Cho hình bình haønh ABCD Goïi E,F laø trung ñieåm AB, CD AF caét BC taïi G , BF caét AD taïi H a) Chứng minh ABGH là hình thoi b) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để ABGH là hình vuông ? Cho hình thang ABCD ( AB CD ) Gọi M,N,P,Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD , DA a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành b) Với điều kiện nào hình thang ABCD thì MNPQ là hình thoi , hình vuông Cho ABC , gọi D,E,F là trung điểm các cạnh AB, AC, BC gọi M,N,P,Q là trung điểm AD, AE, EF, FD a) Chứng minh các tứ giác ADFE, MNPQ là hình bình hành b) Khi ABC coù A = 1v thì ADFE, MNPQ laø hình gì ? Vì ? Cho ABC có AA’, BB’,CC’ là các trung tuyến , Trọng tâm G Trên tia đối tia B’G lấy D cho B’D = B’G Trên tia đối tia C’G lấy E cho C’E = C’G a) Chứng minh BEDC là hình bìng hành b) Tìm điều kiện ABC để BEDC là hình chữ nhật ? c) Tứ giác BEDC có thể là hình vuông , hình thoi không ? Vì ? Cho ABC và H là trực tâm Các đường thẳng vuông góc với AB B , vuông góc với AC C cắt D a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành b) Neáu ABC coù A = 1v thì BDCH laø hình gì ? c) Tìm điều kiện ABC để BDCH là hình thoi ? 10 Cho hình bình haønh ABCD Goïi M,N,P,Q laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, BC, CD ,DA Noái AN, BP, CQ, DM chuùng caét taïi E, F, G, H a) Chứng minh EFGH là hình bình hành b) Nếu ABCD là hình vuông thì EFGH là hình gì ? Chứng minh III/ KEÁT LUAÄN : Thực tế giảng dạy tôi nhận thấy HS làm loại toán này nhiều thì các em nhớ nhanh kiến thức các loại tứ giác đã học Khi câu có điều kiện đưa tạo cho HS tích cực suy nghĩ và tiết học sôi , sinh động Rất mong các đồng nghiệp góp ý để “sáng kiến kinh nghiệm” có chất lượng HS nên tìm thêm nhiều bài toán dạng này và giải chi tiết , hình vẽ cụ thể cho trường hợp Từ đó các em tìm điều kiện nhanh và vô hình chung HS tích luỹ nhiều kiến thức Chúc các đồng nghiệp và các em HS thaønh coâng , ngaøy 15/2/2009 (8) Người viết : (9)