Lý thuyết và các dạng toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG I Tóm tắt lí thuyết Véc-tơ phương đường thẳng → − − − − Định nghĩa Véc-tơ → u gọi véc-tơ phương đường thẳng ∆ → u = giá → u song song trùng với ∆ Phương trình tham số đường thẳng → − Định nghĩa Cho ß đường thẳng ∆ qua M0 (x0 ; y0 ) có véc-tơ phương u = (u1 ; u2 ) Phương trình x = x0 + tu1 tham số ∆ : (1) (t tham số) y = y0 + tu2 ß x = x0 + tu1 ! Nhận xét: M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃t ∈ R : y = y0 + tu2 Phương trình tắc đường thẳng − Định nghĩa Cho đường thẳng ∆ qua M0 (x0 ; y0 ) có véc-tơ phương → u = (u1 ; u2 ), u1 u2 = Phương trình tắc đường thẳng ∆ x − x0 y − y0 = a b Véc-tơ pháp tuyến đường thẳng → − − − − Định nghĩa Véc-tơ → n gọi véc-tơ pháp tuyến đường thẳng ∆ → n = giá → n vng góc với ∆ Phương trình tổng quát đường thẳng Định nghĩa Phương trình Ax + By + C = (với A2 + B2 = 0) gọi phương trình tổng quát đường thẳng ! Nhận xét: − • Nếu đường thẳng ∆ có phương tình Ax + By = C đường thẳng ∆ có véc-tơ pháp tuyến → n = (A; B), → − → − véc-tơ phương u = (B; −A) u = (−B; A) 171 172 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ − • Nếu đường thẳng ∆ qua M (x0 ; y0 ) có véc-tơ pháp tuyến → n = (A; B) phương trình đường thẳng ∆ : A (x − x0 ) + B (y − y0 ) = • Đường thẳng ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (với a.b = 0) phương trình đường thẳng ∆ có dạng: x y + = Đây gọi phương trình đường thẳng theo đoạn chắn a b • Đường thẳng ∆ qua điểm M (x0 ; y0 ) có hệ số góc k phương trình đường thẳng ∆ là: y − y0 = k (x − x0 ) Đây phương trình đường thẳng theo hệ số góc u2 − • Nếu đường thẳng ∆ có véc-tơ phương → u = (u1 ; u2 ) có hệ số góc k = Ngược lại, u1 a → − đường thẳng ∆ có hệ số góc k = véc-tơ phương u = (1; k) b II Các dạng tốn Dạng Viết phương trình tham số đường thẳng Để lập phương trình tham số đường thẳng ∆ ta cần xác định điểm M (x0 ; y0 ) ∈ ∆ − véc-tơ phương → u = (u1 ; u2 ) ß x = x0 + tu1 Vậy phương trình tham số đường thẳng ∆ : y = y0 + tu2 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số đường thẳng ∆ biết ∆ qua M(1; 2) có − vec-tơ phương → u = (−1; 3) ß Lời giải Phương trình tham số đường thẳng ∆: x = 1−t y = + 3t Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua A (1; 2) , B (3; 1) Viết phương trình tham số đường thẳng d − → Lời giải Đường thẳng d qua A (1; 2) nhận ß AB = (2; −1) làm véc-tơ phương x = + 2t Vậy phương trình tham số đường thẳng d: y = 2−t Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua M(−2; 3) song song với đường thẳng EF Biết E(0; −1), F(−3; 0).Viết phương trình đường thẳng d −→ Lời giải EF = (−3; 1) ß Phương trình tham số đường thẳng d: x = −2 − 3t y = 3+t BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3; −4), B(0, 6) Viết phương trình tham số đường thẳng AB − → Lời giải Ta có: AB = (−3; 10) − → Đường thẳng (AB) qua A(3; −4) nhận ß AB = (−3; 10) làm véc-tơ phương x = − 3t Vậy phương trình đường thẳng (AB): y = −4 + 10t PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 173 Bài Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A(1; −4) có − véc-tơ phương → u = (5; 1) ß x = − 4t Lời giải Phương trình đường thẳng (d): y = 5+t Bài Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M(1; −1) có − véc-tơ phương → u = (0; 1) ß x=1 Lời giải Phương trình đường thẳng (d): y = −1 + t Bài Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình ß tham số đường thẳng d qua điểm A(0; −4) song song x = 2017 + 2t với đường thẳng ∆ có phương trình tham số y = 2018 − t − Lời giải Đường thẳng ∆ : có véc-tơ phương → u = (2; −1) − Vì đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ nên d nhận → u = (2; −1) làm ß véc-tơ phương x = 2m Lại có d qua điểm A(0; −4) nên phương trình tham số đường thẳng d : y = −4 − m Dạng Viết phương trình tổng quát đường thẳng Để lập phương trình tổng quát đường thẳng ∆ ta cần xác định điểm M (x0 ; y0 ) ∈ ∆ − véc-tơ pháp tuyến → n = (A; B) Vậy phương trình đường thẳng ∆ : A (x − x0 ) + B (y − y0 ) = Vậy phương trình tổng quát đường thẳng ∆: Ax + By = C với C = − (Ax0 + By0 ) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ qua điểm M(−1; 5) − có véc-tơ pháp tuyến → n = (−2; 3) Lời giải Phương trình đường thẳng ∆ : −2(x + 1) + 3(y − 5) = ⇔ −2x + 3y − 17 = Vậy phương trình tổng quát đường thẳng ∆ : −2x + 3y − 17 = Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ qua điểm N(2; 3) vng góc với đường thẳng AB với A(1; 3), B(2; 1) − → Lời giải Ta có: AB = (1; −2) − → Đường thẳng ∆ qua N(2; 3) nhận AB = (1; −2) làm véc-tơ pháp tuyến Phương trình đường thẳng ∆: (x − 2) − 2(y − 3) = ⇔ x − 2y + = Vậy phương trình tổng quát đường thẳng ∆ : x − 2y + = Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua A(−1; 2) vng góc với đường thẳng : 2x − y + = Lời giải Cách 1: Phương trình đường thẳng d có dạng: x + 2y +C = Vì d qua A(−1; 2) nên ta có phương trình: −1 + 2.2 + C = ⇔ C = −3 Vậy phương trình tổng quát đường thẳng đường thẳng d: x + 2y − = Cách 2: − Đường thẳng có véc-tơ phương → u = (1; 2) → − Vì d vng góc với nên d nhận u = (1; 2) làm véc-tơ pháp tuyến Phương trình đường thẳng d: (x + 1) + 2(y − 2) = ⇔ x + 2y − = 174 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ® Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x = −2t ∆ : y = 1+t trình tham ® số đường thẳng®d đối xứng với ∆ qua ∆.® x=l x = 22 − 7l x = −6 + 3l A d : B C y = 22 − 7l y=l y=4 ® x = −2 − t Viết phương y=t ® D x = −6 + 7l y = 4+l Lời giải Chọn đáp án B Gọi M = ∆ ∩ ∆ ⇒ M(−6; 4) Có A(−2; 0) ∈ ∆ khác M ã −6 ; Tìm tọa độ hình chiếu A lên ∆ H 5 ã Å 16 Tọa độ điểm đối xứng A qua ∆ A − ; 5 ® x = 22 − 7l Vậy đường thẳng cần tìm y=l Å BÀI TẬP TỰ LUYỆN ® Bài Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số: x = + 2t y = −3 − t a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ b) Viết phương trình tổng quát đường thẳng l qua điểm N (4; 2) vng góc với ∆ − − Lời giải a) Đường thẳng ∆ có vecto phương → u = (2; −1) nên có véc-tơ pháp tuyến → n = (1; 2) Chọn tham số t = ta có điểm A (1; −3) nằm ∆ Phương trình tổng quát đường thẳng ∆ là: (x − 1) + [y − (−3)] = ⇔ x + 2y − = − b) Đường thẳng l vng góc với ∆ nên có vecto pháp tuyến → nl = (2; −1) Phương trình tổng quát đường thẳng l là: (x − 4) − (y − 2) = ⇔ 2x − y − = Bài Trong mặt phảng Oxy, cho đường thẳng d có hệ số góc −3 A (1; 2) nằm d Lập phương trình tổng quát đường thẳng d Lời giải Đường thẳng dcó hệ số góc −3 nên có vec-tơ pháp tuyến (3; 1) Đường thẳng d qua điểm A (1; 2) có vec-tơ pháp tuyến (3; 1) nên có phương trình tổng quát là: (x − 1) + (y − 2) = ⇔ 3x + y − = Bài Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua A (2; −5) tạo với trục Ox góc 60◦ √ Lời giải Hệ số góc đường thẳng d k = tan 60◦ = 33 √ √ √ Phương trình đường thẳng d là: y = (x − 2) − ⇔ 3x − 3y − 15 − = Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : y = 2x + 1, viết phương trình đường thẳng d qua điểm B điểm đối xứng điểm A (0; −5) qua đường thẳng d song song với đường thẳng y = −3x + Lời giải Đường thẳng AB vng góc với đường thẳng d nên ta có: kAB = −1 ⇔ kAB = − 1 Phương trình đường thẳng AB là: y = − (x − 0) − ⇔ y = − x − 2 Vì A B đối xứng qua đường thẳng d nên trung điểm N chúng giao điểm hai đường thẳng d AB  ã Å y = 2x + 12 19 Suy tọa độ điểm N nghiệm hệ phương trình: ⇒ N − ;− Từ ta tính y = − x − 5 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 175 ã Å 24 13 Đường thẳng d song song với đường thẳng y = −3x + nên kd = −3 A − ; − 5 Å ã 24 13 Phương trình đường thẳng d là: y = −3 x + − ⇔ y = −3x − 17 5 Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − 3y + = điểm A (−1; 3).Viết phương trình đường thẳng d qua A cách điểm B (2; 5) khoảng cách Lời giải Phương trình d có dạng: ax + by = c = Do A ∈ d nên: (−1) a + 3b + c = ⇔ c = a − 3b (1) |2a + 5b + c| Hơn d (B, d ) = ⇔ √ = (2) a2 + b2  b=0 |3a + 2b|  = ⇔ 5b − 12ab = ⇔ Thay (1) vào (2) ta có: √ 12a a2 + b2 b= Với b = thay vào (1) ta có c = a ⇒ d : ax + a = ⇔ d : x + = 12a ta chọn a = 5, b = 12 thay vào (1) ta được: c = − 3.12 = −31 ⇒ d : 5x + 12y − 31 = Với b = Bài 10 Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm M (2; 5) cách A (−1; 2) B (5; 4) Lời giải Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm ax + by + c = a2 + b2 = − (1) Do M (2; 5) ∈ d nên ta có: 2a + 5b + c = ⇔ c = −2a − 5b Thay c = −2a − 5b vào (1) ta có phương trình đường thẳng d trở thành: ax + by − 2a − 5b = (2) Vì d cách hai điểm A B nên: |(−1) a + 2b − 2a − 5b| |5a + 4b − 2a − 5b| √ √ = ⇔ |3a + 3b| = |3a − b| ⇔ 9a2 + 18ab + 9b2 = 9a2 − 6ab + + b2 a2 + b2 a ñ b=0 2 b ⇔ 8b + 24ab = ⇔ b = −3a Trường hợp 1: Với b = thay vào (2) ta phương trình đường thẳng d là: ax + 0y − 2a − 5.0 = ⇔ ax − 2a = ⇔ x − = Trường hợp 2: Với b = −3a ta chọn a = 1, b = −3 thay vào (2) ta phương trình đường thẳng d là: 1x − 3y − − (−3) = ⇔ x − 3y + 13 = Dạng Vị trí tương đối góc hai đường thẳng − Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = ∆ : A x + B y + C = Khi ta có → n = (A, B) → − n = (A , B ) véc-tơ pháp tuyến ∆ ∆ → − − − a) Để xét vị trí tương đối ∆ ∆ trước hết ta dựa vào véc-tơ → n n Nếu véc-tơ → n → − → − A B − n khơng cộng tuyến ∆ ∆ cắt Nếu véc-tơ → n n cộng tuyến, nghĩa = A B ∆ ∆ hai đường thẳng song song trùng Cụ thể ta có: A B ∆ cắt ∆ = , AA + BB = ∆⊥∆ A B A B C ∆ ≡ ∆ = = A B C A B C ∆ ∆ = = A B C → − − b) Nếu ∆ cắt ∆ gọi ϕ góc đường thẳng ∆, ∆ cos ϕ = | cos(→ n n )| Chú ý việc xét vị trí tương đối hai đường thẳng xét qua số điểm chung ∆ ∆ Việc xét vị trí tương đối tính góc hai đường thẳng cắt thực qua véc-tơ phương ∆ ∆ 176 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Ví dụ Cho ba đường thẳng: d1 : 2x + y − = 0, d2 : x + 2y + = 0, d3 : mx − y − = Chứng minh đường thẳng d1 , d2 cắt tìm giá trị tham số m để ba đường thẳng đồng quy ® ® x=1 2x + y − = ⇔ Lời giải Ta có y = −1 x + 2y + = Từ suy d1 , d2 cắt điểm A(1; −1) Ba đường thẳng cho đồng quy d3 qua điểm A, hay A ∈ d3 , suy m.1 − (−1) − = ⇔ m = Ví dụ Cho đường thẳng ∆ : 2x + 3y − = 0, ∆ : 3x − 2y − = điểm M(2; 3) a) Xét vị trí tương đối đường thẳng ∆ ∆ b) Biết d đường thẳng qua điểm M tạo với đường thẳng ∆, ∆ tam giác cân Tính góc đường thẳng ∆ d → − − Lời giải a) Ta có → n = (2, 3) n = (3, −2) véc-tơ pháp tuyến ∆ ∆ → − − Ta thấy → n n không phương = , từ suy ∆ ∆ đường thẳng cắt −2 → − − b) Ta có → n n = 2.3 + 3.(−2) = 0, ∆ ∆ đường thẳng vng góc với Gọi A = ∆ ∩ ∆ , B = ∆ ∩ d, C = d ∩ ∆ Khi tam giác ABC vng A tam giác ABC cân π B=C = π Từ suy góc đường thẳng ∆ d Ví dụ 10 Cho hai đường thẳng ∆ : (m + 3)x + 3y − 2m + = ∆ : 2x + 2y + − 3m = Tìm giá trị tham số m để a) Đường thẳng ∆ song song với ∆ b) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆ m+3 = ⇔ m = 2 b) Theo câu a), để ∆ song song với ∆ trước hết ta phải có m = Với m = 0, dễ dàng nhận thấy ∆ ≡ ∆ Vậy không tồn m để ∆ ∆ Chú ý: Ta làm theo cách sau: ∆ song song với ∆   m + = = −2m + 2 − 3m  − 3m = Lời giải a) ∆ cắt ∆ Hệ vơ nghiệm, khơng tồn m để ∆ ∆ Ví dụ 11 Tìm giá trị k để góc đường thẳng ∆ : kx − y + = ∆ : x − y = 60◦ → − − Lời giải Ta có → n = (k; 1) n = (1; −1) véc-tơ pháp tuyến đường thẳng ∆ ∆ → − |k + 1| − √ = ⇔ 2(k + 1)2 = k2 + Giải phương trình Theo ta có cos 60◦ = | cos(→ n , n )| ⇔ √ k +1 2 √ ñ k = −2 + √ ta k = −2 − PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 177 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 11 Tìmm cho hai đường thẳng ∆ : x + 5my − = ∆ : 2x + 3y − = song song với 5m Lời giải ∆ ∆ ⇔ = ⇔m= 10 Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1 : 2x + y − = 0, d2 : 5x − 2y + = 0, d3 : mx + 3y − = a) Xét vị trí tương đối d1 d2 b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng đồng quy Lời giải a) Nhận thấy = , từ suy đường thẳng d1 , d2 cắt −2 b) Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 d2 nghiệm hệ phương trình:  ®   x = 2x + y − = ⇔  5x − 2y + = y = 26 Å ã 26 Vậy d1 d2 cắt điểm M ; 9 26 Vì d1 , d2 , d3 đồng quy nên M ∈ d3 , ta có: m + − = ⇔ m = −12 9 √ Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆1 : x + 2y − = ∆2 : x − y = Tính cơsin góc đường thẳng ∆1 ∆2 → − − Lời giải Ta có → n = (1; 2) n = (1; −1) véc-tơ pháp tuyến đường thẳng ∆ ∆ Gọi ϕ góc đường thẳng ∆ ∆ Khi √ → − 10 → − cos ϕ = | cos( n , n )| = 10 ® Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : 3x+5y+15 = ∆ : x = 10 − 3t y = + 5t Tính góc ϕ ∆1 ∆2 − Lời giải Ta có → n = (3; 5) véc-tơ pháp tuyến ∆ → − → − u = (−3; 5) véc-tơ phương ∆ , suy ∆ có véc-tơ pháp tuyến n = (5; 3) → − − Do → n n = ⇒ ∆⊥∆ Bài 15 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : x + 2y − = 0, ∆ : 3x + my − = Tìm m để góc hai đường thẳng ∆, ∆ 45◦ − Lời giải ∆ : x + 2y − = có véc-tơ pháp tuyến → n = (1; 2), → − ∆ : 3x + my − = có véc-tơ pháp tuyến n = (3; m) → − → − n n |3 + 2m| Theo ta có: cos 45◦ = → − =√ √ → − + m2 | n | n ñ m=1 Từ suy m = −9 Dạng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm M(x0 ; y0 ) đường thẳng ∆ : Ax + By +C = Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ tính theo cơng thức d (M, ∆) = |Ax0 + By0 +C| √ A2 + B2 178 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Ví dụ 12 Tìm khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng (D) : 4x + 3y − = Lời giải Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có |4 · + · − 2| √ d(M, D) = = 42 + 32 Ví dụ 13 Tìm điểm nằm đường thẳng ∆ : 2x+y−1 = có khoảng cách đến (D) : 4x+ 3y − 10 = Lời giải Giả sử có điểm M ∈ ∆, M(m; − 2m) |4m + 3(1 − 2m) − 10| √ Theo đề d(M, ∆) = ⇔ = ⇔ | − 2m − 7| = 10 42 + 32  ñ m= 2m + = 10  ⇔ ⇔ 17 2m + = −10 m=− ã Å ã Å 17 ; −2 M2 − ; 18 Vậy có hai điểm thỏa mãn điều kiện M1 2 Ví dụ 14 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1, −3) có khoảng cách đến điểm M0 (2, 4) Lời giải Giả sử đường thẳng ∆ qua điểm A(1; −3) có hệ số góc k Khi phương trình ∆ có dạng: y + = k(x − 1) ⇔ kx − y − k − = √ |2k − − k − 3| √ Theo đề ta có d(M0 , ∆) = = ⇔ |k − 7| = k2 + ⇔ (k − 7)2 = k2 + k2 + 24 ⇔ k2 − 14k + 49 = k2 + ⇔ 14k = 48 ⇔ k = Vậy phương trình ∆ : 24x − 7y − 45 = Ví dụ 15 Viết phương trình đường thẳng (D) song song với (D ) : 3x + 4y − = cách (D ) đoạn Lời giải Đường thẳng (D) (D ) nên phương trình đường thẳng (D) : 3x + 4y + c = Lấy điểm M(−1; 1) ∈ (D ), theo đề ta có: đ c=9 | − + + c| d(D, D ) = d(M, D) = ⇔ = ⇔ |c + 1| = 10 ⇔ c = −11 Với c = ta có D : 3x + 4y + = Với c = −11 ta có D : 3x + 4y − 11 = Ví dụ 16 Cho điểm A(−1, 2) hai đường (∆) : x − y − = 0, (∆ ) : x + 2y − = Tìm đường thẳng (∆) điểm M cho khoảng cách từ M đến (∆ ) AM Lời giải Ta có M ∈ ∆, suy M(m, m − 1) √ −→ AM = (m + 1; m − 3) ⇒ AM = (m + 1)2 + (m − 3)2 = 2m2 − 4m + 10 |m + 2(m − 1) − 5| √ √ Theo đề = 2m − 4m + 10 ⇔ |3m − 7| = 5(2m2 − 4m + 10) √ ⇔ (3m − 7)2 = 10m2 − 20m + 50 ⇔ m2 +√22m + = √ ⇔ m = −11 ± 30.√ √ Vậy có hai điểm thỏa mãn M1 (−11 − 30; −12 − 30) M2 (−11 + 30; −12 + 30) Ví dụ 17 Tìm phương trình đường thẳng cách điểm M(1, 1) khoảng cách điểm M (2, 3) khoảng PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG Lời giải Giả sử phương trình cần tìm ∆ : Ax + By +C = Theo đề ta có: √ |A + B +C| d(M, ∆) = ⇔ √ = ⇔ |A + B +C| = A2 + B2 A2 + B2 √ |2A + 3B +C| d(M , ∆) = ⇔ √ = ⇔ |2A + 3B +C| = A2 + B2 A2 + B2 ñ 2A + 3B +C = 2(A + B +C) Từ (1) (2) ta có |2A + 3B +C| = 2|A + B +C| ⇔ 2A + 3B +C = −2(A + B +C) ñ B −C = ⇔ 4A + 5B + 3C =  A=0 √ Thay B = C (1) ta |A + 2B| = A2 + B2 ⇒ 3A2 − 4BA = ⇔  A= B Với A = 0, chọn B = C = 1, ta đường thẳng ∆1 : y + = Với A = B, chọn B = ⇒ A = 4,C = Ta có đường thẳng ∆2 : 4x + 3y + = Từ 4A + 5B + 3C = ⇒ C = − (4A + 5B) (1) ta √ |A + 2B| = A2 + B2 ⇒ 35A2 − 4BA + 32B2 = Giải phương trình bậc hai theo ẩn A, ta có ∆ = 4B2 − 1020B2 = −1016B2 ≤ Trường hợp B = 0, ta có ∆ = 0, phương trình có nghiệm kép A = 0, vơ lý Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu 179 (1) (2) 180 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Dạng Viết phương trình đường phân giác góc ∆1 ∆2 tạo thành Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = hai điểm M(xM ; yM ), N(xN ; yN ) ∈ ∆ Khi đó: a) M, N nằm phía so với ∆ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > b) M, N nằm khác phía so với ∆ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < ‘ ta có nhiều cách Dưới cách thường Để viết phương trình đường phân giác góc BAC sử dụng: Cách 1: Dựa vào tính chất đường phân giác tập hợp điểm cách hai đường thẳng AB : ax + by + c = AC : mx + ny + p = 0, ta có: |ax + by + c| |mx + ny + p| √ = √ a2 + b2 m2 + n2 ‘ Hai đường thu phân giác phân giác ngồi góc ABC Sau đó, ta cần dựa vào vị trí tương đối hai điểm B,C với hai đường vừa tìm để phân biệt phân giác trong, phân giác Cụ thể, B,C phía phân giác ngồi, khác phía phân giác Cách 2: Lấy B ,C thuộc AB, AC cho: A C −→ − − → −→ → B AB; AC = AC AB = AB AC D −→ −→ −→ B Giả sử AD = AB + AC Khi tứ giác AB DC hình thoi −→ Do đó, AD vectơ phương đường phân giác cần tìm Cách 3: − Giả sử → u = (a; b) vectơ phương đường phân giác cần tìm Ta có: − →− − →− AB.→ u AC.→ u − →→ − →→ − − cos(AB, u ) = cos(AC, u ) ⇔ − → = − → AB AC C Ví dụ 18 Viết phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC biết A(1; 1), B(4; 5), C(−4; −11) Lời giải Cách Ta có phương trình cạnh: AB : 4x − 3y − = 0; AC : 12x − 5y − = Phương hai đường phân giác góc A là:  4x − 3ytrình − 12x − 5y − đ = 4x + 7y − 11 = (d1 )  13 ⇔  4x − 3y − 12x − 5y − 56x − 32y − 24 = (d2 ) =− 13 Ta có: (4xC + 7yC − 11) (4xB + 7yB − 11) < Do B,C khác phía so với (d1 ) hay (d1 ) đườngÅphânãgiác cần tìm −→ − − → → Cách Ta có AB = (3; 4); AB = 5; AB = AB = ; 5 242 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ x2 y2 + = điểm M(3; 2) Gọi A B hai điểm nằm elip đối xứng 100 36 qua M Viết phương trình đường thẳng AB x2 y2 Lời giải Gọi A(x; y) ∈ (E), ta có + = 100 36 Từ M trung điểm AB suy B(6 − x; − y) (1) 2 (4 − y) (6 − x) + = (2) Ta có B ∈ (E) nên suy 100 36 Từ (1) (2) suy 27x + 50y − 131 = (*) Do tọa độ A B thỏa (*) nên (*) phương trình đường thẳng AB cần tìm √ x2 y2 Bài 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 3) elip (E) : + = Gọi F1 , F2 tiêu điểm (E) (F1 có hồnh độ âm); M giao điểm đường thẳng AF1 với (E) (M có tung độ dương); N điểm đối xứng F2 qua M Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ANF2 Lời giải Bài 19 Cho elip (E) : y N A M x F1 O Ta có F1 (−1; 0), F2 (1; 0) √ Đường thẳng AF1 có phương trình x − 3y + = F2 √ å M giao điểm có tung độ dương AF1 với (E) suy M 1; √ Ta tính MA = MF2 = Do N đối xứng với F2 qua M nên MF2 = MN, suy MA = MF2 = MN Ç √ Do đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 đường tròn tâm M, bán kính MA = x2 y2 + = hai điểm A(−5; 3), B(5; −3) Tìm (E) điểm C có hồnh độ Bài 21 Cho elip (E) : 25 tung độ dương cho diện √ tích tam giác ABC lớn Tính diện tích lớn Lời giải Ta có AB = 34 phương trình đường thẳng AB : 3x + 5y = |3x + 5y| Gọi C(x; y) ∈ (E) (x > 0, y > 0), ta có d(C, AB) = √ Khi diện tích tam giác ABC 34 1 √ |3x + 5y| SABC = AB.d(C, AB) = 34 √ = |3x + 5y| 2 34 x y Mà |3x + 5y| = 15 + ≤ 15 Ç x2 y2 + 25 å √ = 15 √ x y Dấu xảy = Thay vào phương trình (E) ý x > 0, y > ta tìm x = ,y = 3 ĐƯỜNG ELIP 243 Ç √ √ √ å Vậy M ; 2 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 22 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tắc elip (E) biết M thay đổi (E) độ dài nhỏ OM độ dài lớn MF1 với F1 tiêu điểm có hồnh độ âm x2 y2 Lời giải Giả sử phương trình elip có dạng (E) : + = a b cx M(x; y) ∈ (E) ⇒ MF1 = a + , mà −a ≤ x ≤ a nên MF1 lớn a + c x = a, y = a x2 x2 x2 y2 x2 + y2 OM Vì a > b nên ≤ ⇒ = + ≤ = ⇒ OM ≥ b a b a b b2 b Do giá trị nhỏ OM b x = 0, y = ±b ® ® b=4 b=4 ⇔ Kết hợp với giả thiết ta có: a=5 a+c = x2 y2 Vậy phương trình (E) : + = 25 16 Bài 23 Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình tắc elip (E), biết có một√đỉnh hai tiêu điểm (E) tạo thành tam giác chu vi hình chữ nhật sở (E) 12(2 + 3) x2 y2 Lời giải Giả sử phương trình elip có dạng (E) : + = a b Chu vi hình chữ nhật √ sở 2(2a + 2b) √ (1) Suy 2(2a + 2b) = 12(2 + 3) ⇔ a + b = 3(2 + 3) Do đỉnh A1 (−a; 0), A2 (a; 0) F1 (−c; 0), F2 (c; 0) nằm Ox nên theo giả thiết F1 , F2 với đỉnh B2 (0, b) Oy tạo thành tam giác ⇔ B2 F2 = F1 F2 = B2 F1 (∗) Lại có F1 F2 đối xứng qua√Oy nên tam giác B2 F1 F2 tam giác cân B2 Do đó: (∗) ⇔ B2 F2 = F1 F2 ⇔ c2 + b2 = 2c ⇔ b2 = 3c2 Lại có: a2 − c2 = b2 ⇒ 3a2 = 4b2 √(2) Từ (1) (2) suy a = b = 3 x2 y2 Vậy phương trình elip (E) + =1 36 27 x2 y2 Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : + = Đường thẳng ∆ : 2x − 3y = cắt (E) hai điểm B,C Tìm tọa độ điểm A (E) cho tam giác ABC có diện tích lớn Lời giải Do ∆ ∩ (E) = {B;C} nên B,C cố định hay độ dài BC không đổi Do diện tích ABC lớn khoảng ® cách h = d(A, ∆) lớn x = sint Phương trình tham số (E) có dạng: y = cost Mà A ∈ (E) ⇒ A(3 sint; cost), √ π √ 26 |6 sint − cost| 6| sint − cost| sin t − √ √ √ = = ≤ h = (A, ∆) = 13 13 13 13  π 3π sin t − =1 π  t = + k2π =1⇔ Dấu “=” xảy khi: sin t − ⇔ (k ∈ Z)  π π sin t − = −1 t = − + k2π 4 Ç √ å 3π √ + Với t = + k2π ⇒ A ; Ç √ å π √ + Với t = − + k2π ⇒ A − ; 244 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ x2 y2 + = P(1; −1) Gọi d đường thẳng qua P cắt (E) hai điểm M, N Tìm tọa độ hai điểm M, N cho PM.PN lớn Lời giải Ta có P(1; −1) thuộc miền (E)®nên d cắt (E) M, N x = + mt với t ∈ R, m2 + n2 = Gọi M(1 + mt1 ; −1 + Gọi phương trình đường thẳng d có dạng y = −1 + nt nt1 ); N(1 + mt2 ; −1 + nt2 ) Trong t1 ,t2 nghiệm phương trình Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) có phương trình (1 + mt)2 (−1 + nt)2 + = ⇔ (m2 + 2n2 )t + 2(m − 2n)t − = Theo hệ thức Vi-et ta có t1 t2 = Khi PM.PN = −5 m2 + 2n2 (mt1 )2 + (nt2 )2 (mt2 )2 + (nt2 )2 = (m2 + n2 )|t1 t2 | = 5(m2 + n2 ) = m2 + 2n2 m2 2− M + n2 m2 m2 ≤ 1, PM.PN lớn ⇔ n = m2 + n2 m2 + n2 Khi phương trình đường thẳng d có dạng y = −1, suy tọa độ điểm M, N nghiệm hệ Mặt khác ≤ √ 6; −1) M(  √ √ ® ®  y x  N(− 6; −1) x2 = x=± + =1 √ ⇔ ⇒ ⇔ ®  y = −1 y = −1  M(− 6; −1) y = −1 √ N( 6; −1) ® Bài 26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : x2 y2 + = Viết phương trình đường thẳng d cắt (E) hai điểm phân biệt có tọa độ số nguyên x02 y20 Lời giải Gọi M(x0 ; y0 ) ∈ (E) ⇒ + = ⇒ x02 ≤ ⇒ x0 ∈ {−1; 0; 1} Với x0 = ±1 ⇒ y0 = ±2 √ (thỏa mãn) Với x0 = ⇒ y0 = ±2 (loại) Vậy có bốn điểm có tọa độ nguyên (E) M1 (1; 2); M2 (1; −2); M3 (−1; 2); M4 (−1; −2) Do ta lập phương trình đường thẳng d thỏa mãn đề là: y = 2; 2x + y = 0; −2x + y = 0; x = −1; x = 1; y = −2 (1) Bài 27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình tắc (E) có tâm sai Biết diện tích tứ giác tạo tiêu điểm đỉnh trục bé (E) 24 Lời giải B1 y F1 F2 O B2 x ĐƯỜNG ELIP 245 Gọi phương trình tắc elip (E) có dạng x2 y2 + = với a > b > a2 = b2 + c2 a2 b2 c Ta có tâm sai e = = ⇔ a = c a Gọi F1 (−c; 0), F2 (c; 0) tiêu điểm B1 (0; −b), B2 (0; b) la đỉnh trục bé 1 12 Suy F1 B2 F2 B2 hình thoi, kho SF1 B2 F2 B2 = F1 F2 B1 B2 = 2c.2b = 2bc = 24 ⇔ b = 2 c Khi Å ã2 Å ã2 12 a2 = b2 + c2 ⇔ c = + c2 ⇔ 25c4 = 2304 + 16c4 ⇔ c4 = 256 ⇔ c = 4(do c > 0) c x2 y2 Suy a = 5; b = Vậy phương trình tắc elip (E) cần tìm là: + =1 25 Bài 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(4; 3), B(6, 4) Xác định điểm M thuộc elip (E) : x2 y2 + = cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ √ Lời giải Ta có AB = phương trình đường thẳng AB : 2x + y − 11 = x2 y2 Gọi M(x0 , y0 ) ∈ (E) Khi + = (1) 2√ √ Từ (1) suy |x0 | ≤ 2; y0 ≤ 2 ⇒ 2x0 + y0 < 11 |2x0 + y0 − 11| 11 − (2x0 + y0 ) √ √ = Ta lại có d(M, AB) = 5 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có Ç å x0 y20 (2x0 + y0 ) ≤ (8 + 8) + = 16 ⇒ −4 ≤ 2x0 + y0 ≤ 7 Suy d(M, AB) ≥ √ ⇒ (d(M, AB))min = √ 5 √ Vậy minSMAB = (d(M, AB))min AB = √ = ⇔ M(1; 2) 2 x2 y2 Bài 29 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (E) : + = điểm M(2; 3) Viết phương trình đường 25 thẳng qua M, cắt (E) hai điểm phân biệt A, B cho M trung điểm AB Lời giải Ta có M thuộc miền (E), ® d cắt (E) hai điểm phân biệt x = + mt Gọi phương trình đường thẳng d có dạng: với t ∈ R, m2 + n2 = y = + nt Gọi A(2 + mt1 ; + nt1 ), B(2 + mt2 ; + nt2 ) Khi t1 ,t2 nghiệm phương trình (1 + mt)2 (2 + nt)2 + = ⇔ (9m2 + 25n2 )t + 2(9m + 50n)t − 116 = 25 Theo hệ thức Vi-et ta có t1 + t2 = − 2(9m + 50n) 9m2 + 25n2 ® ® xA + xB = 2xM + (t1 + t2 )m = ⇔ yA + yB = 2yM + (t1 + t2 )n = Mặt khác ta lại có M trung điểm AB, ® m(t1 + t2 ) = ⇔ ⇔ t1 + t2 = (m2 + n2 = 0) n(t1 + t2 ) = 2(9m + 50n) 50 ⇒− = ⇔ 9m + 50n = ⇔ m = − n 2 9m + 25n Chọn m = ⇒ n = −50 Khi phương trình đường thẳng d ® x = + 9t y = − 50t 246 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Bài 30 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(4; 0) elip (E) : thuộc (E) cho tam giác ABC vuông cân A Lời giải x2 y2 + = Tìm tọa độ điểm B,C 16 y B A x O C Ta có B,C thuộc (E) tam giác ABC vng cân A Mặt A(4; 0) ∈ Ox (E) nhận trục Ox, Oy trục đối xưng nên B,C đối xứng qua trục Ox Do gọi B(m; n),C(m; −n) ∈ (E) với  n =   − →  m2 n2 n2 n2 m  m  AB = (m − 4; n) + =1 + =1 + =1 ⇔ 16 = ⇔ 16 Suy − , 16 9 →    →− → 2 − AC = (m − 4; −n) (m − 4) − n n = (m − 4)2 AB.AC =  m = m2 (m − 4)2 ⇒ + = ⇔ 25m2 − 128m + 112 = ⇔ m = 28 16 25 Với m = ⇒ n = ã ã  Å  Å 28 72 28 72     ; ;− B B 72 28 25 25 25 25 Å ã Å ã ⇒ n = ± Suy Với m = 28 72 28 72   25 25   C C ;− ; 25 25 25 25 x2 y2 + = Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với d cắt (E) hai điểm A, B cho diện tích tam giác OAB Lời giải Ta có ∆ ⊥ d phương trình đường thẳng ∆ có dạng: x − y + c = Phương trình hồnh độ giao điểm ∆ (E) là: 2x2 + 4(x + c)2 = ⇔ 6x2 + 8cx + 4c2 − = (1) Ta lại có ∆ cắt (E) hai √ điểm phân √ biệt (1) phải có hai nghiệm phân biệt, nghĩa ∆ = 48 − 8c2 > ⇔ − < c < (2) Ta có A(x1 , x1 + c), B(x2 , x2 + c) giao điểm ∆ với (E), x1 , x2 nghiệm phương trình (1)  4c   x1 + x2 = Do  2c −  x1 x2 = Mặt khác  ta lại có AB = (x2 − x1 )2 + (x2 − x1 )2 = 2(x1 + x2 )2 − 8x1 x2 32c2 16c2 − 32 √ ⇒ AB = − = c +2 9 |c| Ta lại có d(O, ∆) = √ Mà SABC = ⇒ AB.d(O, ∆) = 2 Bài 31 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y − = elip (E) : ĐƯỜNG ELIP 247 √ 4√ |c| ⇒ c + √ = ⇔ c4 + 2c2 − 18 = ⇔ c = ± −1 + 19 (thỏa mãn (2)) √ √ Vậy đường thẳng ∆ cần lập ∆ : x − y + −1 + 19 = ∆ : x − y − −1 + 19 = x2 y2 Bài 32 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : + = ngoại tiếp tam giác ABC Tính diện 16 tích tam giác ABC, biết (E) nhận A(0; 3) làm đỉnh trục tung làm trục đối xứng Lời giải y A x O B C Do ABC có A(0; 3) nên B,C đối xứng với qua trục tung, nên gọi B(m, n) ⇒ C(−m, n) với m > ⇒ a =√ BC = 2m chiều cao tam giác h = − n √ √ √ a Khi h = ⇔ − n = 3m ⇔ n = − 3m ⇒ B(m; − 3m) a √ √ m2 (3 − 3m)2 Mặt khác B ∈ (E), + = ⇔ 9m2 − 32 3m = 16 √ 32 (thỏa mãn) m = (loại) ⇔m= 19  96  √  h=  −39 3072 19 √ ⇒ SABC = h.BC = Khi n = ⇒  19 361 64  BC = 19 248 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ §4 I ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG Đề số 1a Bài Cho A(1, 5); B(4, −1);C(−4, −5) a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng chứa cạnh tam giác b) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC AB c) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải − → − → − → a) Ta có AB = (3, −6); BC = (−8, −4), AC = (−5, −10) Phương trình tổng quát đường thẳng chứa cạnh AB: 2(x − 1) + (y − 5) = ⇔ 2x + y − = 0,5 điểm Phương trình tổng quat đường thẳng chứa cạnh AC: 2(x + 4) − (y + 5) = ⇔ 2x − y + = 0,5 điểm Phương trình tổng quát đường thẳng chứa cạnh BC: (x − 4) − 2(y + 1) = ⇔ x − 2y − = 0,5 điểm b) Gọi I trung điểm cạnh BC Khi I(0; −3) Phương trình đường trung trực cạnh BC 2(x − 0) + (y + 3) = ⇔ 2x + y + = 0,5 điểm Gọi J trung điểm cạnh AB Khi J( 25 ; 2) Phương trình đường trung trực cạnh AB (x − 25 ) − 2(y − 2) = ⇔ 2x − 4y + = 0,5 điểm c) Vì tam giác ABC vng B√nên tâm đường trịn ngoại tiếp trung điểm O cạnh AC Ta có 5 −→ −5 O( −3 ; 0) bán kính OA = ; OA = ( ; −5) 0,5 điểm 125 0,5 điểm Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (x + 32 )2 + y2 = Bài Cho elip (E) có phương trình x2 y2 + = a) Tìm tiêu điểm, tâm sai, đường chuẩn (E) b) Tìm (E) điểm M cho M nhìn đoạn thẳng nối hai tiêu điểm góc vng Lời giải √ √ √ a) Ta có c2 = a2 − b2√= 3, suy c = Các tiêu điểm F1 (− 3; 0) F( 3; 0) 0,5 điểm c Tâm sai e = = 0,5 điểm a a Đường chuẩn x = ± = ± √ 0,5 điểm e ◦ 2 ÷ b) Vì F MF2 = 90 , M thuộc đường trịn đường kính F1 F2 x + y = 0,5 điểm x2 y2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình + = x2 + y2 = 0,5 điểm √ ±2 Gải hệ ta x = √ ; y = ± √ 0,5 điểm Ç √3 å 2 ±1 Vậy có bốn điểm cần tìm ( ± √ ; √ 0,5 điểm 3 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 249 Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A(2; 0) B(6; 4) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục hoành điểm A khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B Lời giải Gọi I(a; b), R tâm bán kính đường trịn (C) Do (C) tiếp xúc với trục hoành điểm A(2; 0) nên a = |b| = R 0,75 điểm Do IB = mà I(2; b) B(6; 4) suy (b − 2)2 + (4 − b)2 = 52 ⇔ b2 = 8b + = ↔ b = 1, b = 0,75 điểm Với a = 2, b = ⇒ R = 1, ta có phương trình (C) (x − 2)2 + (y − 1)2 = 0,75 điểm Với a = 2, b = ⇒ R = ta có phương trình (C) (x − 2)2 + (y − 7)2 = 49 0,75 điểm II Đề số 1b Bài Cho A(−5, 6); B(−4, −1);C(4, 3) a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng chứa cạnh tam giác b) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC AB c) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải − → − → − → a) Ta có AB = (1, −7); BC = (8, 4), AC = (9, −3) Phương trình tổng quát đường thẳng chứa cạnh AB: 7(x + 5) + (y − 6) = ⇔ 7x + y + 29 = 0,5 điểm Phương trình tổng quat đường thẳng chứa cạnh AC: (x + 5) + 3(y − 6) = ⇔ x + 3y − 13 = 0,5 điểm Phương trình tổng quát đường thẳng chứa cạnh BC: (x + 4) − 2(y + 1) = ⇔ x − 2y + = 0,5 điểm b) Gọi I trung điểm cạnh BC Khi I(0; 1) Phương trình đường trung trực cạnh BC 2(x − 0) + (y − 1) = ⇔ 2x + y − = 0,5 điểm Gọi J trung điểm cạnh AB Khi J( −9 ; ) Phương trình đường trung trực cạnh AB (x + ) − 7(y − 52 ) = ⇔ x − 7y + 22 = 0,5 điểm c) Gọi O giao điểm hai đường trung trực hai cạnh AB BC Tọa độ điểm O nghiệm hệ phương −→ trình 2x + y − = x − 7y + 22 = 0,5 điểm Giải hệ ta O(−1; 3) OC = (−5; 0) suy bán kính OC = 0,5 điểm Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (x + 1)2 + (y − 3)2 = 25 0,5 điểm x2 y2 Bài Cho elip (E) có phương trình + = a) Tìm tiêu điểm, tâm sai, đường chuẩn (E) b) Tìm (E) điểm M cho M nhìn đoạn thẳng nối hai tiêu điểm góc vng Lời giải √ √ √ a) Ta có c2 = a2 − b2√= 5, suy c = Các tiêu điểm F1 (− 5; 0) F( 5; 0) 0,5 điểm c Tâm sai e = = 0,5 điểm a a Đường chuẩn x = ± = ± √ 0,5 điểm e 250 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ◦ 2 ÷ b) Vì F MF2 = 90 , M thuộc đường trịn đường kính F1 F2 x + y = 0,5 điểm x2 y2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình + = x2 + y2 = 0,5 điểm ±3 ±4 Gải hệ ta x = √ ; y = ± √ 0,5 điểm Å ã ±4 Vậy có bốn điểm cần tìm ± √ ; √ 0,5 điểm 5 Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có C(−1; −2), đường trung tuyến kẻ từ A đường cao kẻ từ B có phương trình 5x + y − = x + 3y − = Tìm tọa độ đỉnh A B Lời giải Đường thẳng AC qua C vng góc với đường thẳng x + 3y − = 0, suy phương trình AC 3x − y + = 0,75 điểm Tọa độ điểm A nghiệm hệ 5x + y − = 3x − y + = 0, suy A(1; 4) 0,75 điểm Điểm B thuộc đường thẳng x + 3y − = trung điểm cạnh BC thuộc đường thẳng 5x + y − = 0,5 điểm ã Å y−2 x−1 + − = 0, suy B(5; 0) Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình x + 3y − = 2 0,75 điểm III Đề số 2a ® Bài (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ : x = 1+t (t ∈ R) điểm A(3; 0) Tìm B ∈ ∆ cho ∆AOB y=t vuông O −→ −→ Lời giải Gọi B(1 + b; b) ∈ ∆ Khi đó: OB = (1 − b; b); OA = (0; 3) (0, điểm) ∆AOB vuông O − → −→ ⇔ OA ⊥ OB (0, điểm) − → −→ ⇔ OA.OB = (0, điểm) ⇔ 3.(1 + b) + 0.(b) = (0, điểm) ⇔ b = −1 Vậy B(0; −1) (0, điểm) Bài (2 điểm) Tìm hình chiếu vng góc gốc tọa độ O lên đường thẳng ∆ : x − y + = 0, từ tìm điểm đối xứng O qua ∆ Lời giải Gọi H hình chiếu O lên ∆ Vì OH vng góc với ∆ nên OH nhận vectơ pháp tuyến (− n→ ∆ = (1; −1)) ∆ làm vectơ phương, tức − − → OH nhận nOH = (1; 1) làm vectơ pháp tuyến (0, điểm) → Do đó, OH đường thẳng qua O(0; 0) nhận − n− OH = (1; 1) làm vectơ pháp tuyến; OH có phương trình: 1(x − 0) + 1(y − 0) = ⇔ x + y = .® ® (0, điểm) x−y+2 = x = −1 Ta có H = ∆ ∩ OH, nên tọa độ H nghiệm hệ: ⇔ x+y = y=1 Vậy H(−1; 1) (0, điểm) Gọi O điểm đối xứng với O qua ∆ Khi đó, H trung điểm OO Áp dụng cơng thức tính tọa độ trung điểm ta tính O (−2; 2) (0, điểm) Bài (2 điểm) Viết phương trình đường trịn (C ) nội tiếp ∆ABC biết (C ) có tâm I(1; 2) AB : x − 2y + = Lời giải Vì ∆ABC nội tiếp (C ) nên (C ) có bán kính R = d(I, AB) = √ (1, điểm) 16 Vậy (C ) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = (1, điểm) ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 251 Bài (2 điểm) Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (C ) có tâm gốc tọa độ O Viết phương trình tiếp tuyến (C ) A biết E(−1; 0) F(1; 1) chân đường cao kẻ từ B C; A thuộc đường thẳng ∆ : 3x + y − = Lời giải Gọi At tiếp tuyến (C ) A • Chứng minh OA ⊥ EF ‘ = ACB ‘ Tứ giác BCEF nội tiếp nên EFA ‘ Hơn nữa, BAt = ACB ‘ = BAt Do đó, EFA Mặt khác At ⊥ OA nên EF ⊥ OA (0, điểm) −→ • OA đường thẳng qua O(0; 0) nhận EF = (2; 1) làm véc-tơ pháp tuyến OA : 2x + y = (0, điểm) C t A E F O ® 3x + y − = Ta tìm 2x + y = A(1; −2) (0, điểm) −→ • Tiếp tuyến At đường thẳng qua A(1; −2) nhận OA = (1, −2) làm véc-tơ pháp tuyến At : x − 2y − = (0, điểm) • A giao điểm OA ∆ Do đó, tọa độ (x; y) A nghiệm hệ: Bài (2 điểm) Cho elip (E) : x2 y2 + = 25 16 a) Tìm độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ, tiêu cự (E) b) Viết phương trình đường trịn đường kính đoạn nối hai tiêu điểm (E) Chứng minh (E) (C ) khơng có điểm chung Lời giải √ √ √ a) Ta có a = 25 = 5; b = 16 = 4; c = a2 − b2 = (0, điểm) Độ dài trục lớn: 2a = 10 Độ dài trục bé: 2b = Tiêu cự: 2c = (0, điểm) b) Đường trịn (C ) có tâm gốc tọa độ bán kính c = (C ) cóphương trình: x2 + y2 = (0, điểm) y2 x + =1 vô nghiệm nên (E) (C ) khơng có điểm chung (0, điểm) Vì hệ 25 16  2 x +y = IV Đề số 2b ® Bài (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ : x = 1−t (t ∈ R) điểm A(0; 3) Tìm B ∈ ∆ cho ∆AOB y=t vuông O −→ −→ Lời giải Gọi B(1 − b; b) ∈ ∆ Khi đó: OB = (1 − b; b); OA = (0; 3) ∆AOB vuông O − → −→ ⇔ OA ⊥ OB (0, điểm) − → −→ ⇔ OA.OB = (0, điểm) ⇔ 0.(1 − b) + 3.(b) = (0, điểm) ⇔b=0 Vậy B(1; 0) (0, điểm) B 252 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Bài (2 điểm) Tìm hình chiếu vng góc gốc tọa độ O lên đường thẳng ∆ : x + y − = 0, từ tìm điểm đối xứng O qua ∆ Lời giải Gọi H hình chiếu O lên ∆ Vì OH vng góc với ∆ nên OH nhận vectơ pháp tuyến (− n→ ∆ = (1; 1)) ∆ làm vectơ phương, tức − − → OH nhận nOH = (1; −1) làm vectơ pháp tuyến (0, điểm) → Do đó, OH đường thẳng qua O(0; 0) nhận − n− OH = (1; −1) làm vectơ pháp tuyến; OH có phương trình: 1(x − 0) − 1(y − 0) = ⇔ x − y = .® ® (0, điểm) x=1 x+y−2 = ⇔ Ta có H = ∆ ∩ OH, nên tọa độ H nghiệm hệ: y=1 x−y = Vậy H(1; 1) (0, điểm) Gọi O điểm đối xứng với O qua ∆ Khi đó, H trung điểm OO Áp dụng cơng thức tính tọa độ trung điểm ta tính O (2; 2) (0, điểm) Bài (2 điểm) Viết phương trình đường trịn (C ) nội tiếp ∆ABC biết (C ) có tâm I(−1; 2) AB : x − 2y + = Lời giải Vì ∆ABC nội tiếp (C ) nên (C ) có bán kính R = d(I, AB) = √ (1, điểm) 2 Vậy (C ) : (x + 1) + (y − 2) = (1, điểm) Bài (2 điểm) Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn (C ) có tâm gốc tọa độ O Viết phương trình tiếp tuyến (C ) A biết E(−1; 3) F(2; 3) chân đường cao kẻ từ B C A thuộc đường thẳng ∆ : 2x + y − = Lời giải Gọi At tiếp tuyến (C ) A • Chứng minh OA ⊥ EF ‘ = ACB ‘ Tứ giác BCEF nội tiếp nên EFA ‘ Hơn nữa, BAt = ACB ‘ = BAt Do đó, EFA Mặt khác At ⊥ OA nên EF ⊥ OA (0, điểm) −→ • OA đường thẳng qua O(0; 0) nhận EF = (3; 0) làm véc-tơ pháp tuyến OA : x = (0, điểm) C t A E F O ® 2x + y − = Ta tìm x=0 A(0; 5) (0, điểm) −→ • Tiếp tuyến At đường thẳng qua A(0; 5) nhận OA = (0; 5) làm véc-tơ pháp tuyến At : y = (0, điểm) • A giao điểm OA ∆ Do đó, tọa độ (x; y) A nghiệm hệ: Bài (2 điểm) Cho elip (E) : x2 y2 + = 25 a) Tìm độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ, tiêu cự (E) b) Viết phương trình đường trịn đường kính đoạn nối hai tiêu điểm (E) Chứng minh (E) (C ) có điểm chung Lời giải √ √ √ a) Ta có a = 25 = 5; b = = 3; c = a2 − b2 = (0, điểm) Độ dài trục lớn: 2a = 10 Độ dài trục bé: 2b = Tiêu cự: 2c = (0, điểm) B ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 253 b) Đường trịn (C ) có tâm gốc tọa độ bán kính c = (C ) cóphương trình: x2 + y2 = 16 (0, điểm) y2 x + =1 Vì hệ 25 có nghiệm phân biệt nên (E) (C ) có điểm chung (0, điểm)  2 x + y = 16 V Đề số 3a Câu (4,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(−1; 3), B(3; 1) C(3; −5) a) Viết phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng chứa cạnh AC b) Viết phương trình tổng quát đường cao xuất phát từ đỉnh B tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC c) Viết phương trình đường thẳng d qua A cách B đoạn Lời giải − → → − a) Ta có AC = (4; −8) nên đường thẳng AC nhận ® véc-tơ n1 = (2; 1) làm véc-tơ pháp tuyến 0,5 điểm x = −1 + t Phương trình tham số đường thẳng AC : 0,5 điểm y = − 2t Phương trình tổng quát đường thẳng AC : 2x + y − = 0,5 điểm − → b) Phương trình đường cao xuất phát từ B(3; 1) nhận véc-tơ AC = (4; −8) làm véc-tơ pháp tuyến x − 2y − = 0,5 điểm − → Phương trình đường cao xuất phát từ A(−1; 3) nhận BC = (0; −6) làm véc-tơ pháp tuyến y − = 0,5 điểm Tọa độ trực tâm H ∆ABC nghiệm hệ phương trình ® ® x − 2y = x=7 ⇔ y=3 y = 0,25 điểm − c) Gọi ∆ đường thẳng cần tìm ∆ có véc-tơ pháp tuyến → n = (a; b) với a2 + b2 = Đường thẳng ∆ có dạng a(x + 1) + b(y − 3) = 0,25 điểm Ta có d(B; ∆) = ⇔ |a(3 + 1) + b(1 − 3)| √ =4 a2 + b2 a2 + b2 ⇔ 4ab + 3b2 = 3a ⇔ b = b = − ⇔ |2a − b| = 1,0 điểm Khi b = (thì a = 0), ta có phương trình ∆ x + = 0,25 điểm 3a Khi b = − ∆ có phương trình 4x − 3y + 13 = 0,25 điểm B Câu (2,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (T ) : x2 + y2 − 2x + 6y − 15 = a) Tìm tọa độ tâm tính bán kính (T ) 254 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ b) Viết phương trình tiếp tuyến (T ), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng l : 3x − 4y + = Lời giải a) Đường trịn (T ) có tâm I(1; −3) bán kính R = 0,5 điểm b) Gọi ∆ tiếp tuyến cần tìm Vì ∆ song song l nên ∆ có dạng 3x − 4y + m = 0, m = 0,5 điểm Vì ∆ tiếp xúc (T ) nên d(I; ∆) = R ⇔ m = 10 m = −35 0,75 điểm Vậy phương trình ∆ 3x − 4y + 10 = 3x − 4y − 35 = 0,25 điểm Câu (2,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : x2 y2 + = a) Xác định tọa độ tiêu điểm F1 , F2 độ dài tiêu cự (E) b) Lấy điểm M tùy ý thuộc (E) Chứng minh biểu thức T = MF1 · MF2 + OM có giá trị khơng đổi Lời giải √ √ a) Ta có c2 = a2 − b2 = nên elip E có hai√tiêu điểm F1 (− 5; 0), F2 ( 5; 0) 0,5 điểm Độ dài tiêu cự (E) F1 F2 = 2c = 0,25 điểm c c b) Với M tùy ý thuộc E, ta có MF1 · MF2 = a + xM · a − xM = − xM 0,5 điểm a a å Ç 2 + y2 = x2 + − xM Mà OM = xM = xM + 0,5 điểm M M 9 Vậy T = MF1 · MF2 + OM = 13 0,25 điểm Câu (2,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho (E) : x2 y2 + = 25 16 a) Viết phương trình đường trịn (C) có tâm O đường kính độ dài trục nhỏ (E) b) Tìm điểm M(x; y) thuộc E có tọa độ dương cho tích x · y đạt giá trị lớn Lời giải a) Elip (E) có độ dài trục nhỏ 2b = nên đường tròn cần tìm có bán kính r = 0,5 điểm Vậy phương trình (C) x2 + y2 = 16 .0,5 điểm   b) Vì M(x; y) ∈ (E) x, y > nên ta có y = 1− x2 4√ = 25 − x2 0,25 điểm 25 x2 + 25 − x2 x2 (25 − x2 ) ≤ · = 10 0,5 điểm  2  √ x = 25 − x     x>0  x=   Đẳng thức xảy ⇔ 0,25 điểm √    x  y = 2   y = 1− 25 Ta có xy = ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG VI 255 Đề số 3b Câu (4,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác MNP với M(−1; 3), N(3; 1) P(3; −5) a) Viết phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng chứa cạnh MP b) Viết phương trình tổng quát đường cao xuất phát từ đỉnh N tìm tọa độ trực tâm tam giác MNP c) Viết phương trình đường thẳng d qua M cách N đoạn Lời giải −→ → − a) Ta có MP = (4; −8) nên đường thẳng MP nhận ® véc-tơ n1 = (2; 1) làm véc-tơ pháp tuyến 0,5 điểm x = −1 + t 0,5 điểm Phương trình tham số đường thẳng MP : y = − 2t Phương trình tổng quát đường thẳng MP : 2x + y − = 0,5 điểm −→ b) Phương trình đường cao xuất phát từ N(3; 1) nhận véc-tơ MP = (4; −8) làm véc-tơ pháp tuyến x − 2y − = 0,5 điểm −→ Phương trình đường cao xuất phát từ M(−1; 3) nhận NP = (0; −6) làm véc-tơ pháp tuyến y − = 0,5 điểm Tọa độ trực tâm H ∆MNP nghiệm hệ phương trình ® ® x − 2y = x=7 ⇔ y=3 y = 0,25 điểm − c) Gọi ∆ đường thẳng cần tìm ∆ có véc-tơ pháp tuyến → n = (a; b) với a2 + b2 = Đường thẳng ∆ có dạng a(x + 1) + b(y − 3) = 0,25 điểm Ta có d(N; ∆) = ⇔ |a(3 + 1) + b(1 − 3)| √ =4 a2 + b2 a2 + b2 ⇔ 4ab + 3b2 = 3a ⇔ b = b = − ⇔ |2a − b| = 1,0 điểm Khi b = (thì a = 0), ta có phương trình ∆ x + = 0,25 điểm 3a Khi b = − ∆ có phương trình 4x − 3y + 13 = 0,25 điểm Câu (2,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x + 6y − 15 = a) Tìm tọa độ tâm tính bán kính (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4x − 3y + = Lời giải a) Đường trịn (C) có tâm I(1; −3) bán kính R = 0,5 điểm b) Gọi ∆ tiếp tuyến cần tìm Vì ∆ song song d nên ∆ có dạng 4x − 3y + m = 0, m = 0,5 điểm Vì ∆ tiếp xúc (C) nên d(I; ∆) = R ⇔ m = 12 m = −38 0,75 điểm Vậy phương trình ∆ 4x − 3y + 12 = 4x − 3y − 38 = 0,25 điểm 256 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Câu (2,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : x2 y2 + = 12 a) Xác định tọa độ tiêu điểm F1 , F2 độ dài tiêu cự (E) b) Lấy điểm M tùy ý thuộc (E) Chứng minh biểu thức T = MF1 · MF2 + OM có giá trị khơng đổi Lời giải √ √ a) Ta có c2 = a2 − b2 = nên elip E có hai√tiêu điểm F1 (−2 2; 0), F2 (2 2; 0) 0,5 điểm Độ dài tiêu cự (E) F1 F2 = 2c = 0,25 điểm c c 2 0,5 điểm b) Với M tùy ý thuộc E, ta có MF1 · MF2 = a + xM · a − xM = 12 − xM a a Ç å xM 2 2 2 Mà OM = xM + yM = xM + − + 0,5 điểm = xM 12 Vậy T = MF1 · MF2 + OM = 16 0,25 điểm Câu (2,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho (E) : x2 y2 + = 16 a) Viết phương trình đường trịn (C) có tâm O đường kính độ dài trục nhỏ (E) b) Tìm điểm M(x; y) thuộc E có tọa độ dương cho tích x · y đạt giá trị lớn Lời giải a) Elip (E) có độ dài trục nhỏ 2b = nên đường trịn cần tìm có bán kính r = 0,5 điểm Vậy phương trình (C) x2 + y2 = 0,5 điểm   x2 3√ 16 − x2 0,25 điểm = b) Vì M(x; y) ∈ (E) x, y > nên ta có y = − 16 3 x2 + 16 − x2 2 Ta có xy = x (16 − x ) ≤ · = 0,5 điểm 4   x2 = 16 − x2 √      x>0 x = 2 √ 0,25 điểm   Đẳng thức xảy ⇔    y= x2    y = 1− 16 ... ta viết phương trình tiếp tuyến cách tìm toạ đoạ − → độ véc-tơ pháp tuyến tiếp tuyến IM = (x0 − a; y0 − a) II Các dạng toán Dạng Tìm tâm bán kính đường trịn Phương pháp giải: • Cách Đưa phương. .. tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm đường trịn có tọa độ (2; 2) Vậy phương trình đường trịn nội tiếp tam giác OAB (x − 2)2 + (y − 2)2 = Ví dụ 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng... 10) làm véc-tơ phương x = − 3t Vậy phương trình đường thẳng (AB): y = −4 + 10t PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 173 Bài Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham