Đang tải... (xem toàn văn)
Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luôn vuông góc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo góc AMC .. Xác định số đo để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG I ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN (Đề gồm trang) Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm ) Rút gọn các biểu thức sau a b c A = 3x x x B = 352 C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α) Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình a x x x x 0 b x x 36 8 3x Bài 3: (2.0 điểm) a Cho các số nguyên dương a; b; c đôi nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a + b)c = ab Xét tổng M = a + b có phải là số chính phương không? Vì sao? b Cho x; y và x y 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P 20 11 x y xy Bài 4: ( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD; BE; CF cắt H Gọi M là trung điểm HC; N là trung điểm AC AM cắt HN G Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt K Chứng minh rằng: a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC 2 Từ đó hãy suy SAEF = SABC cos BAC b BH.KM = BA.KN c GA5 GB GH 4 GM GK GN Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ cùng phía AB các tia Ax và By vuông góc với AB Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luôn vuông góc với M và cắt Ax, By theo thứ tự C và D và tạo góc AMC Xác định số đo để tam giác MCD có diện tích nhỏ Hết./ Họ và tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… (2) Bài Ý a 0.75 b 0.75 2.5 b 1.0 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI MÔN: TOÁN Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Nội dung cần đạt 4 x 2; 3 x ( x 2) 3 x x 2 x 2; B neu x 2 neu x ( 1) ( 1) = | 1| | 1| = = Suy A = sin cos C (1 )(1 sin ) (1 )(1 cos ) cos sin = (1 Điểm 0.25x3 0.5 0.25 0.2x5 sin cos )(cos ) (1 )(sin ) 2 cos sin = sin cos2 cos2 sin 1 cos sin cos sin 2 sin cos sin = cos =2 x 0.25x4 ĐK: 2a 1.0 2.0 2b 1.0 x x x x 0 x (x x ) 0 x 0 x ( x 2)( x 1) 0 x 4 ; Học sinh đối chiếu ĐK và kết luận nghiệm 4 x ĐKXĐ: ( x x 16) (3x x 4.4 16) 0 ( x 4)2 ( x 4) 0 x 0 và x 0 x 4(tm) 2.0 3a 1.0 (a b)c ab (a c)(b c ) c 2 Gọi UCLN a-c và b-c là d c d c d a d ; b d mà a; b; c là số đôi nguyên tố cùng nên d = Do đó a-c và b-c là hai số chính phương Đặt a-c = p2; b-c = q2 ( p; q là các số nguyên) c2 = p2q2 c = pq a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 0.5 (3) P Mà 20 10 x y xy xy 20 20 80 20 2 x y xy x y xy ( x y) 2 0,25 Ta có x y 2 0,25 20 20 20 x y xy Nên 3b 1.0 Dấu x = y =1 ( x y) 1 xy 1 xy 4 Mặt khác : Nên Dấu xảy 0.25 0.25 x = y =1 Vậy giá trị nhỏ P là 21 và x = y =1 0.25 A F E H K N G B D M 2.5 C AEB vuông E nên 4a 1.0 4b 0.75 cos BAE AE AB ACF vuông F nên cos CAF AF AC ; Tư đó chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c) Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên S AEF AE cos BAC S AEF S ABC cos BAC S ABC AB NMK ABH và MNK có BAH ; ABH MKN (Góc có cạnh tương ứng song song) BA BH BA.KN BH KM KM KN Suy AHB đồng dạng với MNK ( g.g); 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 (4) 4c 0.75 AB AH 2 AHB đồng dạng với MNK nên MK MN ( Vì MN là đường TB tam giác AG HG 2 2 AHC); Lại có: MG ; NG ( G là trọng tâm tam giácAHC) AB AG 2 MK MG Mặt khác BAG GMK ( so le trong) ABG đồng dạng với tam giác MKG (c.g.c) 0.25 GB GA GH GB5 GA5 GH GB5 GA5 GH 2 32 GK GM GN GK GM GN GK GM GN 0.25 GB GA5 GH 4 GK GM GN AMC BDM ; Ta có : SMCD = MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta có a b ab MC = cos , MD = sin ; SMCD = cos.sin 1.0 0.5 Do a,b là số nên SMCD nhỏ 2sin.cos lớn Theo bất đẳng thức 2xy x2 +y2 ta có : 2sin.cos sin +cos2 = nên SMCD ≥ ab SMCD = ab sin = cos sin = sin(90 ) = 900 = 450 AMC và BMD vuông cân Vậy SMCD = ab Khi = 450 ; C,D xác định trên tia Ax ; By cho AC = AM , BD = BM 0.5 x y D C A a ( M b B (5)