Thông qua môn Toán ta cã thÓ trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về toán học, rèn cho học sinh nh÷ng kĩ năng c¬ b¶n cÇn thiÕt để hình thành nên nhân cách của các em… Đồng thời q[r]
(1)I ĐẶT VẤN ĐỀ 1/ Lí chọn đề tài: Mụn Toỏn Tiểu học cú tầm đặc biệt.quan trọng Thông qua môn Toán ta cã thÓ trang bị cho học sinh kiến thức toán học, rèn cho học sinh nh÷ng kĩ c¬ b¶n cÇn thiÕt để hình thành nên nhân cách các em… Đồng thời qua dạy toỏn giỏo viên hình thành cho học sinh phương pháp học tập; khả phân tích tổng hợp, óc quan sát, trí tưởng tượng tạo điều kiện phát triển óc sáng tạo, tư duy… Trong chương trỡnh Toỏn lớp có đề cập tới dạng toỏn "Chuyển động " Đây là dạng toán tương đối míi l¹ vµ kh¸ trõu tîng học sinh Học tốt dạng toán này giúp c¸c emhọc sinh rèn kĩ đổi đơn vị đo thời gian, kĩ tính toán, kĩ giải toán có lời văn Đồng thời là sở tiền đề giúp học sinh học tốt chương trình toán và chương trình vật lí các lớp trên Làm nào để giúp học sinh học tốt dạng toán chuyển động ? Đó là câu hỏi đặt kh«ng chØ cho b¶n th©n t«i mµ cho hÇu hÕt nh÷ng quan tâm đến môn toán lớp Qua thực tế giảng dạy tụi mạnh dạn đưa số biÖn ph¸p "Giúp học sinh giải tốt các bài toán chuyển động lớp " 2/ §èi tîng vµ thêi gian nghiªn cøu: Häc sinh líp 5E trêng TiÓu häc thÞ trÊn §åi Ng« n¨m häc 2010 - 2011 II Néi dung Tình hình thực trạng §Ó thÊychương râ t×nh h×nh viÖc d¹y häcthực to¸ntếchuyÓn động Trong trình thùc giảngtr¹ng dạy cña tôi nhận thấyvµ sau: nh sai lầm mà học sinh thờng mắc phải, tôi đã tiến hành - Về phía học sinh: Học sinh tiếp cận với toán chuyển động còn chÊm ®iÓm cho c¸c em häc sinh líp 5E vµo c¸c giê häc to¸n §Õn c¸c giê bỡ ngỡ nhiều Các kinh em chưa nắmcña vững hệ thống công thức, häc to¸ngặp buæi chiÒukhó t«ikhăn vËn dông nghiÖm m×nh để khắc phôc chưa nắm khác nh÷ng sai sãt mµphương häc sinhpháp m¾cgiải ph¶itheo qu¸dạng tr×nhbài lµm bµi.nhau Trong §Òsinh kiÓm trasaicãlầm néikhi dung quá trình giải toán học còn đổinh đơnsau: vị đo thời gian C©u 1: ( ®iÓm ) Một ngời xe đẹp 45phút với vận tốc 12, 5km/ Tính quãng (2) Vấn đề cần giải Từ thực tế trên tôi nhận thấy vấn đề cần giải đặt là giáo viên ph¶i t×m c¸ch kh¾c phôc yÕu kÐm cho häc sinh, kiªn tr× rÌn kÜ n¨ng cho c¸c em từ đơn giản đến phức tạp Chó träng thùc hiÖn mét sè yªu cÇu c¬ b¶n sau: + Rèn kĩ đổi đơn vị đo thời gian cho học sinh + Gióp häc sinh n¾m v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ d¹ng to¸n chuyển động đều, hệ thống các công thức cần ghi nhớ + Giúp các em vận dụng các kiến thức để giải tốt các bài toán chuyển động theo dạng bài Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh Để giải vấn đề đã nêu trên trớc tiên tôi quan tâm đến việc t¹o t©m thÕ høng khëi cho c¸c em tham gia häc to¸n Gióp c¸c em tÝch cùc tham gia vµo qu¸ tr×nh häc tËp, t¹o ®iÒu kiÖn cho c¸c em ph¸t triÓn t óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp Sau đó tôi tiến hành theo các (3) * Cách đổi từ đơn vị nhỏ đơn vị lớn VD: 30 phót = … giê - Hớng dẫn học sinh tìm " tỉ số đơn vị " Ta quy ớc " Tỉ số đơn vị " là giá trị đơn vị lớn chia cho đơn vị nhỏ ví dụ trên, tỉ số đơn vị là : = 60 1giê 1phót - Ta chia số phải đổi cho tỉ số đơn vị ë vÝ dô trªn ta thùc hiÖn 30 : 60 = VËy 30 phót = 2 = 0,5 giê = 0,5 giê * Cách đổi từ đơn vị lớn đơn vị nhỏ VD: §æi giê = … phót - Tìm tỉ số đơn vị ë vÝ dô nµy = 60 1giê 1phót - Ta nhân số phải đổi với tỉ số đơn vị ë vÝ dô trªn ta thùc hiÖn nh sau: VËy x 60 = 45 giê = 45 phót Hoặc đổi ngày = …… Tỉ số đơn vị là : = 24 (4) ngµy giê Bớc 1: Thực đổi từ km/giờ sang km/phút - Thực đổi 120 km/giờ = …….km/phút - Tỉ số đơn vị và phút là 60 120 : 60 = * VËy 120 km/giê = km/phót Ghi nhớ cách đổi: Muốn đổi từ km/giờ sang km/phút ta lấy số phải đổi chia cho 60 Bớc 2: Thực đổi từ km/phút sang m/phút - §æi km/phót = ….m/phót - Tỉ số đơn vị km và m là 1000 ( Vì 1km = 1000 m ) x 1000 = 2000 * VËy km/phót = 2000 m/phót Ghi nhớ cách đổi: Muốn đổi từ km/phút sang m/phút ta lấy số phải đổi nhân với 1000 VËy 120 km/giê = km/phót = 2000 m/phót * Cách đổi từ m/phút sang km/phút, sang km/giờ Ta tiến hành ngợc với cách đổi trên VÝ dô: 2000 m/phót = … km/phót = ….km/giê - Tỉ số đơn vị km và m là: 1000 Ta cã: 2000 : 1000 = VËy 2000 m/phót = km/phót - Tỉ số đơn vị và phút là 60 Ta cã: x 60 = 120 VËy km/phót = 120 km/giê VËy 2000 m/phót = km/phót = 120 km/giê (5) b Cung cÊp cho häc sinh n¾m v÷ng c¸c hÖ thèng c«ng thøc Trong phÇn nµy t«i kh¾c s©u cho häc sinh mét sè c¸ch tÝnh vµ c«ng thøc sau: * Muốn tính vận tốc ta lấy quãng đờng chia cho thời gian C«ng thøc: v = s t - v: VËn tèc - s: Quãng đờng - t: Thêi gian * Muốn tính quãng đờng ta lấy vận tốc nhân với thời gian s=vxt - s: Quãng đờng - v: VËn tèc - t: Thêi gian * Muốn tính thời gian ta lấy quãng đờng chia cho vận tốc t= s v - t: Thêi gian - s: Quãng đờng - v: VËn tèc Đồng thời tôi giúp học sinh nắm vững mối quan hệ các đại lợng vận tốc quãng đờng, thời gian - Khi cùng vận tốc thì quãng đờng tỉ lệ thuận với thời gian ( Quãng đờng càng dài thì thời gian càng lâu ) - Khi cùng thời gian thì quãng đờng tỉ lệ thuận với vận tốc ( Quãng đờng càng dài thì vận tốc càng lớn ) - Khi cùng quãng đờng thì thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc ( Thêi gian ng¾n th× vËn tèc nhanh, thêi gian dµi th× vËn tèc chËm ) c Gióp häc sinh gi¶i c¸c bµi tËp theo tõng d¹ng bµi cô thÓ Dạng 1: Những bài toán áp dụng công thức các yếu tố đề cho đã tờng minh Đây là dạng toán đơn giản Học sinh dễ dàng vận dụng hệ thống công thức để giải VÝ dô: Bµi tËp 3/139 To¸n Một ngời chạy đợc 400m 1phút 20giây Tính vận tốc chạy ngời đó với đơn vị đo là m/giây - Với đề bài trên tôi hớng dẫn cho học sinh nh sau: (6) - Häc sinh tr×nh bµy bµi gi¶i: Quãng đờng ngời đó đợc là: 15phót = giê = 0,25 giê 12,6 x 0,25 = 3,15 ( km ) §¸p sè: 3,15 km C¸ch gi¶i chung: - Nắm vững đề bài - Xác định công thức áp dụng - Lu ý đơn vị đo Dạng 2: Các bài toán áp dụng công thức có các yếu tố đề cho cha tờng minh VÝ dô 1: Bµi tËp 4/140 Một xe máy từ 30phút đến 7giờ 30phút đợc quãng đờng 40km TÝnh vËn tèc cña xe m¸y - Víi bµi to¸n trªn t«i tiÕn hµnh híng dÉn häc sinh th«ng qua c¸c b- (7) VËn tèc xe m¸y Quãng đờng Thêi gian xe m¸y ®i Thêi gian xuÊt ph¸t Thời gian đến nơi Từ sơ đồ phân tích trên học sinh có thể tổng hợp tìm cách giải Thêi gian xuÊt ph¸t Thời gian đến nơi Thời gian trên đờng Quãng đờng VËn tèc xe m¸y * Häc sinh tr×nh bµy bµi gi¶i Gi¶i Thời gian xe máy trên đờng là: giê 45 phót - giê 30 phót = giê 15 phót = Vận tốc xe máy đợc là: giê = giê (8) VÝ dô 2: Bµi 4/ trang 166 To¸n Một ô tô từ Hà Nội lúc 6giờ 15phút và đến Hải Phòng 8giờ 56phút Giữa đờng ô tô nghỉ 25phút Vận tốc ô tô là 45km/giờ Tính quãng đờng từ Hà Nội đến Hải Phòng ? Víi bµi to¸n nµy c¸ch gi¶i còng tiÕn hµnh t¬ng tù VD1 T«i híng dÉn häc sinh nh sau: * Đọc kĩ yêu cầu đề bài * Ph©n tÝch bµi to¸n - §Ò bµi cho biÕt g× ? Hái g× ? - Để tính quãng đờng từ Hà Nội đến Hải Phòng ta cần biết yếu tố nµo ? ( Vận tốc và thời gian xe ô tô trên đờng ) - Để tính thời gian trên đờng ta cần biết yếu tố nào ? ( Thời gian xuất phát, thời gian đến nơi, thời gian nghỉ ) * Phân tích bài toán sơ đồ Quãng đờng Hà Nội - Hải Phòng VËn tèc « t« Thêi gian xuÊt ph¸t Thời gian trên đờng Thời gian đến nơi Thêi gian nghØ Từ sơ đồ phân tích, học sinh lập sơ đồ tổng hợp để tìm cách giải (9) Thêi gian xuÊt ph¸t Thời gian đến nơi Thời gian trên đờng Thêi gian nghØ VËn tèc « t« Quãng đờng Hà Nội - Hải Phòng * Häc sinh tr×nh bµy bµi gi¶i Gi¶i Thời gian ô tô trên đờng là: 8giê 56phót - 6giê 15phót - 25phót = 2giê 16phót 2giê 16phót = 34 15 giê Quãng đờng từ Hà Nội đến Hải Phòng là: 45 x 34 15 = 102 ( km ) §¸p sè: 102 km * bài tập trên ta lu ý: Nếu xe nghỉ dọc đờng thì thời gian trên đờng thời gian đến nơi, trừ thời gian xuất phát và thời gian nghỉ dọc đờng Dạng 3: Bài toán dựa vào mối quan hệ quãng đờng, vận tốc vµ thêi gian Ví dụ: Trên quãng đờng AB xe máy với vận tốc 36 km/giờ thì hết Hỏi xe đạp với vận tốc 12km/giờ thì hết bao nhiêu thời gian ? - Víi bµi to¸n trªn, häc sinh cã thÓ gi¶i theo c¸ch kh¸c C¸ch 1: Theo c¸c bíc + Tính quãng đờng AB + Tính thời gian xe đạp hết quãng đờng Bµi gi¶i Quãng đờng AB dài là: 36 x = 108 ( km ) Thời gian xe đạp hết quãng đờng là: (10) Tæng vËn tèc = vËn tèc lín + vËn tèc bÐ Thêi gian gÆp = Quãng đờng Tæng vËn tèc Quãng đờng = Tổng vận tốc x Thời gian gặp Tæng vËn tèc = Quãng đờng Thêi gian gÆp Ví dụ: Quãng đờng AB dài 276km Hai ô tô khởi hành cùng lúc, xe từ A đến B với vận tốc 42km/giờ, xe từ B đến A với vËn tèc 50km/giê Hái kÓ tõ lóc b¾t ®Çu ®i sau mÊy giê hai « t« gÆp nhau? Víi bµi to¸n trªn, t«i híng dÉn häc sinh ph©n tÝch bµi to¸n vµ gi¶i nh sau: §äc kÜ yªu cÇu cña bµi tËp vµ tr¶ lêi c¸c c©u hái sau: - Bµi to¸n cho biÕt g× ? Hái g× ? (11) Dạng 5: Hai động tử chuyển động cùng chiều đuổi C¸ch tiÕn hµnh còng t¬ng tù d¹ng to¸n trªn, t«i h×nh thµnh cho häc sinh hÖ thèng c«ng thøc Hai động tử chuyển động cùng chiều trên cùng quãng đờng và khởi hành cùng lúc để đuổi kịp thì: - HiÖu vËn tèc = VËn tèc lín - VËn tèc bÐ - Thêi gian ®uæi kÞp = Kho¶ng c¸ch cña xe cïng ®i HiÖu vËn tèc - Kho¶ng c¸ch lóc ®Çu = Thêi gian ®uæi kÞp X HiÖu vËn tèc - HiÖu vËn tèc = Kho¶ng c¸ch cña xe cïng ®i Thêi Ví dụ 1: Một ngời xe đạp từ Bgian đến đuổi C víikÞpvËn tèc 12km/giê, cïng lúc đó ngời xe máy từ a cách B 72km với vận tốc 36km/giờ và đuổi theo xe đạp Hỏi kể từ lúc bắt đầu đi, sau xe máy đuổi kịp xe đạp ? Víi bµi to¸n trªn, t«i híng dÉn häc sinh c¸ch gi¶i th«ng qua c¸c bíc * Đọc kĩ đề bài, xác định kĩ yêu cầu đề * Ph©n tÝch bµi to¸n - Bµi to¸n cho biÕt g× ? Hái g× ? - Bµi to¸n thuéc d¹ng nµo ? (12) Xe m¸y Xe đạp A B C 72km §Ó tÝnh thêi gian ®uæi kÞp ta cÇn biÕt yÕu tè nµo ? ( Kho¶ng c¸ch lóc ®Çu vµ hiÖu vËn tèc ) Học sinh vận dụng hệ thống quy tắc đã đợc cung cấp để giải bài to¸n Bµi gi¶i HiÖu vËn tèc cña hai xe lµ: 36 - 12 = 24 ( km /giê ) Thời gian để xe máy đuổi kịp xe đạp là: 72 : 24 = ( giê ) §¸p sè: giê VÝ dô 2: Mét xe m¸y ®i tõ A lóc 8giê 37phót víi vËn tèc 36km/giê §Õn 11giê 7phót, mét « t« còng ®i tõ A ®uæi theo xe m¸y víi vËn tèc 54km/giê Hái « t« ®uæi kÞp xe m¸y lóc mÊy giê ? Víi bµi to¸n trªn c¸ch gi¶i t¬ng tù nh vÝ dô nhng phøc t¹p h¬n v× ®©y lµ bµi to¸n Èn kho¶ng c¸ch lóc ®Çu gi÷a xe T«i híng dÉn häc sinh t×m c¸ch gi¶i nh sau: * §äc kÜ yªu cÇu cña bµi to¸n * Ph©n tÝch bµi to¸n + Bµi to¸n cho biÕt g× ? Hái g× ? + Bµi to¸n thuéc d¹ng to¸n g× ? ( Hai động tử chuyển động cùng chiều đuổi ) + §Ó biÕt « t« ®uæi kÞp xe m¸y lóc mÊy giê ta cÇn biÕt yÕu tè nµo ? ( Thêi gian ®uæi kÞp vµ thêi ®iÓm « t« xuÊt ph¸t ) + Để tính đợc thời gian đuổi kịp ta cần biết yếu tố nào ? (13) ( HiÖu vËn tèc, kho¶ng c¸ch lóc ®Çu ) + Muèn tÝnh kho¶ng c¸ch lóc ®Çu cÇn biÕt g× ? ( VËn tèc xe m¸y vµ thêi gian xe m¸y ®i tríc ) + Muèn tÝnh thêi gian xe m¸y ®i tríc cÇn biÕt g× ? ( Thêi gian xe m¸y xuÊt ph¸t vµ thêi gian « t« xuÊt ph¸t ) * Hớng dẫn học sinh lập sơ đồ phân tích nh sau: Thêi ®iÓm hai xe gÆp Thêi gian hai xe ®uæi kÞp Quãng đờng xe m¸y ®i tríc HiÖu vËn tèc Thêi gian xe m¸y ®i tríc VËn tèc xe m¸y VËn tèc « t« Thêi gian « t« xuÊt ph¸t Thêi gian xe m¸y xuÊt ph¸t Từ sơ đồ phân tích trên học sinh thiết lập sơ đồ tổng hợp Thêi gian xe m¸y xuÊt ph¸t Thêi gian xe m¸y ®i tríc Thêi gian « t« xuÊt ph¸t VËn tèc xe m¸y Vận tốc xe đạp (14) Quãng đờng xe m¸y ®i tríc HiÖu vËn tèc Thêi gian xe ®uæi Thêi ®iÓm xe gÆp Thêi ®iÓm « t« ®uæi kÞp xe m¸y lµ: 11giê 7phót + giê = 16 giê 7phót VËy lóc 16giê 7phót xe « t« ®uæi kÞp xe m¸y Lu ý : Khi giải bài toán trên, học sinh phải thiết lập đợc mối quan hệ các yếu tố bài toán Từ các mối quan hệ lập sơ đồ phân tích, tổng hợp dựa vào sơ đồ giải bài toán Dạng 6: bài toán liên quan đến vận tốc dòng nớc Đối với bài toán này đợc đa vào phần ôn tập Sách giáo khoa không đa hệ thống công thức tính nên tôi chủ động cung cấp cho học sinh số công thức tính để các em dễ dàng vận dụng giải toán - VËn tèc thùc : VËn tèc tµu níc lÆng - VËn tèc xu«i : VËn tèc tµu ®i xu«i dßng - VËn tèc ngîc : VËn tèc tµu ngîc dßng - VËn tèc dßng níc ( VËn tèc ch¶y cña dßng s«ng ) (15) * Từ sơ đồ trên ta dễ dàng có * VËn tèc dßng níc = ( VËn tèc xu«i dßng - VËn tèc ngîc dßng ) : * VËn tèc thùc = ( VËn tèc xu«i dßng + VËn tèc ngîc dßng ) : Từ hệ thống công thức trên, học sinh dễ dàng giải đợc các bài toán VÝ dô 1: Mét thuyÒn ®i víi vËn tèc 7,2 km/giê níc lÆng, vËn tèc cña dßng níc lµ 1,6km/giê Nếu thuyền xuôi dòng thì sau 3,5giờ đợc bao nhiêu ki-lômét ? Víi bµi to¸n trªn, t«i híng dÉn häc sinh nh sau: * Đọc kĩ đề bài * Ph©n tÝch bµi to¸n + Bµi to¸n cho biÕt g× ? Hái g× ? + Để tính đợc quãng sông thuyền xuôi dòng cần biết điều gì ? ( VËn tèc xu«i dßng, thêi gian ®i xu«i dßng ) + TÝnh vËn tèc xu«i dßng b»ng c¸ch nµo ? * Häc sinh tr×nh bµy c¸ch gi¶i VËn tèc cña thuyÒn ®i xu«i dßng lµ: 7,2 + 1,6 = 8,8 ( km/giê ) §é dµi qu·ng s«ng thuyÒn ®i xu«i dßng 3,5 giê lµ: (16) * Ph©n tÝch bµi to¸n + Bµi to¸n cho biÕt g× ? Hái g× ? - Thiết lập mối quan hệ các yếu tố sơ đồ đoạn thẳng - Dựa vào hệ thống công thức đã đợc cung cấp, kết hợp với sơ đồ đoạn thẳng đã phân tích trên học sinh dễ dàng giải đợc bài toán Bµi gi¶i Theo bài ta có sơ đồ: VËn tèc thùc VËn tèc dßng níc VËn tèc xu«i dßng: 28,4km/giê 18,6km/giê VËn tèc dßng níc VËn tèc ngîc dßng: VËn tèc thùc Dựa vào sơ đồ ta có: VËn tèc dßng níc lµ: ( 28,4 - 18,6 ) : = 4,9 ( km/giê ) VËn tèc cña tµu thuû níc lÆng lµ: 28,4 - 4,9 = 23,5 ( km/giê ) §¸p sè: 23,5 km/giê 4,9 km/giê * Một số lu ý :khi giải bài toán liên quan đến vận tốc dòng nớc là học sinh phải hiểu rõ " vận tốc xuôi dòng lớn vận tốc ngợc dßng " §ång thêi gióp c¸c em n¾m v÷ng hÖ thèng c«ng thøc mèi quan hÖ gi÷a vËn tèc thùc víi vËn tèc xu«i dßng níc, ngîc dßng níc KÕt qu¶ thùc nghiÖm Qua thời gian giảng dạy thực nghiệm tôi tiến hành khảo sát để đánh giá kết học tập và tiến chuyển biến học sinh Tôi tiến hµnh kh¶o s¸t chÊt lîng trªn c¶ líp 5B, 5D (17) * §Ò kh¶o s¸t cña t«i cã néi dung nh sau: Câu 1: ( điểm ) Khoanh vào chữ đặt trớc câu trả lời đúng: Một ô tô đợc 150km 3giờ 20phút Tính vận tốc ô tô với đơn vị đo là km/giờ A 46,87km/giê B 45km/giê C 50km/giê D 75km/giê C©u 2: ( ®iÓm ) Hai thµnh phè A vµ B c¸ch 90km Lóc 7giê 30phót s¸ng mét xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/giờ Hỏi xe máy đến B lúc ? C©u ( ®iÓm ) Một ô tô từ A đến B với vận tốc 34,5km/giờ Cùng lúc đó xe m¸y ®i tõ B vÒ A víi vËn tèc 28km/giê Sau 1giê 12phót hai xe gÆp Hỏi quãng đờng AB dài bao nhiêu kilômét ? * Với đề bài trên tôi thu đợc kết nh sau: Giái Líp SÜ sè 5B 31 SL Kh¸ % 13 SL 12 Trung b×nh % 39 SL 13 % 42 YÕu SL % 31 11 38 28 5D 29 Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y vµ kÕt qu¶ kh¶o s¸t T«i nhËn thÊy chÊt lîng líp 5D nâng lên rõ rệt Số em đạt điểm giỏi, khá nhiều Chỉ có 1em đạt điểm dới trung bình Các em nắm vững phơng pháp, cách thức giải toán chuyển động đều, trình bày bài khoa học Các em yêu thích và có hứng thú tham gia gi¶i to¸n KÕt luËn sau tiÕn hµnh Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y vµ qu¸ tr×nh nghiªn cøu thùc nghiÖm t«i nhËn thấy Muốn giúp học sinh giải tốt toán chuyển động đều, giáo viên phải không ngừng đổi PPDH tìm cách thức riêng phù hợp với nội dung bài giảng và đối tợng học sinh Giáo viên phải giúp học sinh nắm vững hÖ thèng c«ng thøc liªn quan vµ mèi quan hÖ gi÷a c¸c thµnh phÇn công thức đó Phân loại toán chuyển động thành loại nhỏ để hớng dẫn các em rèn kĩ đổi đơn vị đo, kĩ tính toán, kĩ trình bày theo trình tự từ đơn giản đến phức tạp Đồng thời quá trình giảng dạy, gi¸o viªn ph¶i thùc sù coi häc sinh lµ trung t©m cña qu¸ tr×nh d¹y häc t¹o điều kiện cho các em tham gia vào hoạt động học tập §iÒu kiÖn ¸p dông (18) phô lôc I Đặt vấn đề Trang II Giải vấn đề Trang đến trang 22 III KÕt luËn chung Trang 22 (19) (20)