Giải Bài toán cực trị hàm nhiều biến bằng phương pháp nhân tử Lagrang và bằng cahcs sử dụng các bất đẳng thức cổ điễn

GIẢI BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN CÓ ĐIỀU KIỆN Giới thiệu Cực trị hàm nhiều biến có ràng buộc điều kiện cân kiến thức trọng tâm học phần Toán cao cấp dành cho kinh tế, có nhiều ứng dụng việc giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Bài viết giới thiệu cách giải tốn tìm cực trị hàm nhiều biến có ràng buộc điều kiện cân bằng phương pháp nhân tử Lagrang cách sử dụng bất đẳng thức cổ điễn Nội dung tốn Tìm cực trị hàm w = f (x1; x2; … ; xn) (1); thỏa mãn điều kiện ràng buộc cân g(x1; x2; … ; xn) = b (2) (x1; x2; … ; xn): gọi biến chọn (hay biến định); w: biến mục tiêu; f: hàm mục tiêu; g(x1; x2; … ; xn) = b phương trình ràng buộc I Kiến thức sở: Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm Cho n  số không âm a1 ≥ 0; a2 ≥ 0; …; an ≥ 0; Khi đó, ta có a1  a2   an n  a1.a2 an ; dấu = xảy a1 = a2 = … = an n Bất đẳng thức Bunhiacôpxki  Cauchy  Schwartz (BCS) Cho n  số (a1; a2; … ; an) , (x1; x2; … ; xn), ta có:  a1 x1  a2 x2   an xn    a12  a22   an2   x12  x22   xn2  ; dấu = xảy a a1 a2    n x1 x2 xn Phương pháp nhân tử Lagrange Ở chúng tơi trình bày tóm tắt phương pháp nhân tử Lagrange hàm  biến hàm  biến 3.1 Đối với hàm 2biến Tìm cực trị f(x; y), thỏa mãn điều kiện g(x; y) = b  Lập hàm Lagrange F = f (x; y) + .(g(x; y)  b); : gọi nhân tử Lagrange  Fx/    Xét hệ phương trình:  Fy/  (*) F /    Nếu hệ (*) vô nghiệm f (x; y) với điều kiện (2) khơng có cực trị Nếu hệ (*) có nghiệm (x0; y0; 0) ta gọi điểm dừng  Tính g g  F  F 2F 2F ; ; ; ; ; x y x xy yx y  Xét điểm dừng (x0; y0; 0) 0 Lập ma trận D sau: D   g1  g g1 a11 a21 g2  a12  , với a22  g1  g g 2 F 2 F  x0 ; y0 ;0  ; g2   x0 ; y0 ;0  ; a11   x0 ; y0 ;0  ; a12   x0 ; y0 ;0  x y x xy a21  2 F 2 F  x0 ; y0 ;  ; a22   x0 ; y0 ;0  yx y Để ý D ma trận đối xứng  Nếu D > điểm (x0; y0) điểm cực đại D < điểm (x0; y0) điểm cực tiểu Và D = ta chưa có kết luận điểm dừng (x0; y0; 0) 3.2 Đối với hàm 3biến Tìm cực trị f(x; y; z), thỏa mãn điều kiện g(x; y; z) = b  Lập hàm Lagrange F = f (x; y; z) + .(g(x; y; z)  b); : gọi nhân tử Lagrange  Fx/  / F  Xét hệ phương trình:  y/  Fz  F/ 0 0 0 (*) 0 Nếu hệ (*) vơ nghiệm f (x; y; z) với điều kiện (2) khơng có cực trị Nếu hệ (*) có nghiệm (x0; y0; z0; 0) ta gọi điểm dừng  Tính g g g  F  F  F  F  F  F  F  F  F ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; x y z x xy xz yx y yz zx zy z  Xét điểm dừng (x0; y0; z0; 0) 0 g Lập ma trận H sau: H    g1   g1 g1  a11 a12 a13  , với a21 a22 a23   a31 a32 a33  g g g g1   x0 ; y0 ; z0 ;0  ; g2   x0 ; y0 ; z0 ;0  ; g3   x0 ; y0 ; z0 ;0  x y z g1 g1 a11  2 F 2 F 2 F x ; y ; z ;  ; a  x ; y ; z ;  ; a   0 0  12  0 0  13  x0 ; y0 ; z0 ;  x xy xz a21  2 F 2 F 2 F  x0 ; y0 ; z0 ;0  ; a22   x0 ; y0 ; z0 ;  ; a23   x0 ; y0 ; z0 ;  yx y yz a31  2 F 2 F 2 F  x0 ; y0 ; z0 ;0  ; a32   x0 ; y0 ; z0 ;  ; a33   x0 ; y0 ; z0 ;  zx zy z Xét Dk định thức cấp k+1 H Nếu (1)kDk > với k = 1; 2; (tức D1 < 0, D2 > 0, D3 = det(H) < 0) hàm số đạt cực đại (x0; y0; z0); Nếu Dk < với k = 1; 2; hàm số đạt cực tiểu (x0; y0; z0) II Các toán minh họa Trong phần lời giải, cách giải cách dùng phương pháp nhân tử Lagrange, cách dùng cơng cụ tốn sơ cấp Bài (Ví dụ 1, trang 35, [1]) Tìm cực trị hàm số f(x; y) = x2 + y2 (1) với điều kiện ràng buộc cân ax + by + c = (2) Lời giải Cách Lập hàm Lagrange F(x; y; ) = x2 + y2 + ( ax + by + c) ac  x  x0  a  b2  Fx/  x   a   bc  /  Xét hệ phương trình  Fy  y   a    y  2  y0 a b  F /  ax  by  c     2c    a  b    Tính g g 2 F 2 F 2 F 2 F  a;  b;  2;  0;  0; 2 x y x xy yx y Xét điểm dừng (x0; y0; 0) 0 a b Lập ma trận đối xứng D   a   2  a  b   b  Kết luận.Hàm số đạt cực tiểu c2 điểm a  b2 bc   ac  2; 2  a b a b  Cách Từ (2): ax + by =  c  c2 = (ax + by)2 ≤ (a2 + b2 ) (x2 + y2 )  x2  y  a b c2 c2 hay ; dấu = xảy  (3) f ( x ; y )  2 2 x y a b a b Từ (2), (3)  x  ac bc ; y 2 a b a  b2 KL Hàm số đạt cực tiểu c2 bc   ac điểm  2 ; 2  2 a b  a b a b  Bài (Ví dụ 2, trang 237 [3]) Tìm cực trị hàm số f(x; y) = 8x + 15y + 28 (1) với điều kiện ràng buộc cân 2x2 + 3y2 = 107 (2) Lời giải Cách Lập hàm Lagrange F(x; y; ) = 8x + 15y + 28 + (2x2 + 3y2  107)   /   x  4  x2  Fx   4 x  x   x1    Xét hệ phương trình  Fy/  15  6 y    y   y1   y  5  y2  F /  x  y  107    1      1        Tính g g 2 F 2 F 2 F 2 F  4x ;  6y;   ;  0;  0;  6 x y x xy yx y  Xét điểm dừng (x1; y1; 1) 0 16 30 Định thức đối xứng D  16 2   Hàm số đạt cực đại điểm (4; 5) giá trị cực 30 3 đại 135  Xét điểm dừng (x2; y2; 2) 16 30   Hàm số đạt cực tiểu điểm (4; 5) giá Định thức đối xứng D  16 30 trị cực đại 79 Cách Ta có 8 x  15 y       15 2.x     y    32  75  x  y   107    79 ≤ 8x + 15y + 28 ≤ 135 hay 79 ≤ f(x; y) ≤ 135 dấu = xảy x y (3)  Từ (2), (3)  x = 4, y = x = 4; y = 5 KL Hàm số đạt cực tiểu 79 điểm (4; 5); đạt cực đại 135 điểm (4; 5) Bài (Ví dụ, trang 243 [3]) Tìm cực trị hàm số f(x; y; z) = x + y + z (1) với điều kiện ràng buộc cân x.y.z = (2) Lời giải Cách Lập hàm Lagrange F(x; y; z; ) = x + y + z + (x.y.z  8)  x   x1  Fx/    yz   y   y1  /  Fy    xz     z   z1 Xét hệ phương trình  /  Fz    xy    F/  xyz      1  Tính g g g 2 F 2 F 2F  yz ;  xz ;  xy ;  0;   z ; y x y z x xy xz 2 F 2 F 2 F 2 F 2 F 2 F z;  0;   x ;   y ;   x ;  yx y yz zx zy z  Xét điểm dừng (x1; y1; z1 ; 1) 0  4  Lập ma trận đối xứng H   4   4  4 1 4 1  2 1   2  4  1 1 1 4  16  0; D2  1  16  0; D3  det( H )  12  1 Xét định thức D1  4  Hàm số đạt cực tiểu điểm (2; 2; 2) giá trị cực đại Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho  số dương x, y, z, ta có: x  y  x  3 x y.z  hay f(x; y; z) ≥ 6; dấu = xảy x = y = z (3) Từ (2), (3)  x = y = z = KL Hàm số đạt cực tiểu điểm (2; 2; 2) Bài (Bài tập số 13, trang 256 [3]) Tìm cực trị hàm số f(x; y; z) = 5x + 4y + 3z (1) với điều kiện ràng buộc cân x2 + 2y2 + 3z2 = 36 (2) Lời giải Cách Lập hàm Lagrange F(x; y; z; ) = 5x + 4y + 3z + (x2 + 2y2 + 3z2  36)  x   x1  x  5  x2  Fx/   2 x   y2 y  y  2  y  /  Fy   4 y       Xét hệ phương trình    z   z z    z Fz/   6 z      F/  x  y  3z  36    1  1    2   Tính g g g 2 F 2 F 2 F  2x ;  4y;  6z ;   ;  0; 0 x y z x xy xz 2 F 2 F 2 F 2 F 2 F 2 F  0;  4 ;  0;  0;  0;  6 yx y yz zx zy z  Xét điểm dừng (x1; y1; z1 ; 1)  10  10 1 0   Lập ma trận đối xứng H    2     0 3 Xét định thức chính, có D1 < 0, D2 > 0, D3 = det(H) <  Hàm số đạt cực đại điểm (5; 2; 1) giá trị cực đại 36  Xét điểm dừng (x2; y2; z2 ; 2)  10 8 6   10 0   Lập ma trận đối xứng H   8 0   0 3  6 Xét định thức chính, có D1 < 0, D2 < 0, D3 = det(H) <  Hàm số đạt cực tiểu điểm (5; 2; 1) giá trị cực đại 36 Cách Ta có  x  y  3z    5 x     y    2  3.z    36   x  y  3z    36    36 ≤ 5x + 4y + 3z ≤ 36 hay 36 ≤ f(x; y; z) ≤ 36 dấu = xảy x y   z (3) Từ (2), (3)  x = 5; y = 2; z = x = 5; y = 2; z = 1 KL Hàm số đạt cực tiểu 36 điểm (5; 2; 1); đạt cực đại 36 điểm (5; 2; 1) Bài (Bài tập số 14, trang 256 [3]) Tìm cực trị hàm số f(x; y; z) = x.y2.z3 (1) với điều kiện ràng buộc cân x + 2y + 3z = 18 (2) Lời giải Cách Lập hàm Lagrange F(x; y; z; ) = x.y2.z3 + (x + 2y + 3z  18)  Fx/  y z       /  Fy  xyz  2    Xét hệ phương trình  /  Fz  3xy z  3    F/  x  y  3z  18   Tính x3 y 3 z 3  243 g g g 2 F 2 F 2 F  1;  2;  3;  0;  yz ;  y2 z2 x y z x xy xz 2 F 2 F 2 F 2 F 2 F 2 F 2 2  yz ;  xz ;  xyz ;  y z ;  xyz ;  xy z 2 yx y yz zx zy z  Xét điểm dừng (3; 3; 3; 243)  0 1 162 243  Lập ma trận đối xứng H    162 162 486     243 486 486  Xét định thức chính, có D1 < 0, D2 > 0, D3 = det(H) <  Hàm số đạt cực đại điểm (3; 3; 3) giá trị cực đại 729 Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 18  x  y  3z  x  y  y  z  z  z  6 x y z  729  x y z hay f(x; y; z) ≤ 729; dấu = xảy x = y = z = KL Hàm số đạt cực đại 729 điểm (3; 3; 3) Bài Tìm cực trị hàm f = x4 + y4 + z4 (1) với điều kiện ràng buộc cân xy + yz + zx = (2) Lời giải Cách Lập hàm Lagrange F(x; y; z; ) = x4 + y4 + z4 + (xy + yz + zx  4)  x    Fx/  x   ( y  z )    /  y  F  y   ( z  x )   y Xét hệ phương trình  /  F  z   ( x  y )   z z   F/  xy  yz  zx        Tính 2   x1 x  x2  3  2   y1 y   y2  3    z   z1  z2  3  8      1  3 g g g 2 F 2F 2F  y  z;  z  x;  x  y;  12 x ;   ;  x y z x xy xz 2 F 2 F 2 F 2 F 2 F 2 F ;  12 y ;   ;   ;   ;  12 z 2 yx y yz zx zy z  Xét điểm dừng (x1; y1; z1;1)      Lập ma trận đối xứng H        4 4 16 8 8 8 16 8  3  8    8    16   Xét định thức chính, có D1 < 0, D2 < 0, D3 = det(H) <  Hàm số đạt cực tiểu 16 điểm x  y  z   3 Cách Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có  xy  yz  zx  x x  y  z  1 suy x  y  z   y  z  x  y  z   x  y  z 2  12  12  x  y  z    x  y  z  16 16 hay f ( x; y; z )  ; dấu = xảy x  y  z   3 Kết luận Hàm số đạt cực tiểu 16 điểm x  y  z   3 Tài liệu tham khảo [1] Trần Lưu Cường; Bài tập tốn cao cấp  phần II  Các ví dụ tập; Trường ĐKBK Hồ Chí Minh; 1992 [2] Lê Đình Thúy; Tốn cao cấp dành cho nhà kinh tế; NXB ĐH kinh tế quốc dân; 2017 ………………………………………………………………………………………… ... Các toán minh họa Trong phần lời giải, cách giải cách dùng phương pháp nhân tử Lagrange, cách dùng cơng cụ tốn sơ cấp Bài (Ví dụ 1, trang 35, [1]) Tìm cực trị hàm số f(x; y) = x2 + y2 (1) với... D2  1  16  0; D3  det( H )  12  1 Xét định thức D1  4  Hàm số đạt cực tiểu điểm (2; 2; 2) giá trị cực đại Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho  số dương x, y, z, ta có: x  y  x... KL Hàm số đạt cực tiểu điểm (2; 2; 2) Bài (Bài tập số 13, trang 256 [3]) Tìm cực trị hàm số f(x; y; z) = 5x + 4y + 3z (1) với điều kiện ràng buộc cân x2 + 2y2 + 3z2 = 36 (2) Lời giải Cách Lập hàm