Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng luôn tìm được ba dây cung, đôi một không có điểm chung, sao cho tổng của các số gán với ba dây cung đó bằng 9.. Hết[r]
(1)(Xem trang sau) HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN VÀ HỌC SINH NĂM 2018
ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: ĐẠI SỐ
(Đề thi có 02 trang) Thời gian làm bài: 180 phút.
Bảng A
Bài A.1. Cho ma trận
A=
2 −3 −5 12 −10
(a) (2 điểm) TínhA4;
(b) (4 điểm) Tìm số nguyên dương N nhỏ cho rank(Ak) = rank(Ak+1) với k ≥ N, đórank(M)là hạng ma trậnM (có giải thích rõ lập luận tính tốn)
Bài A.2. Người ta khảo sát mơ hình di cư dân số hai vùng thị nông thôn với quy luật sau: Hằng năm, có50%dân số vùng nơng thơn chuyển vùng thị đồng thời có25%dân số vùng thị chuyển vùng nông thôn sinh sống Giả sửx, y tương ứng số dân vùng nông thôn vùng đô thị thời điểm ban đầu (x, y >0)
(a) (4 điểm) Hỏi sauknăm dân số vùng nông thôn vùng đô thị bao nhiêu?
(b) (2 điểm) Giả sử ban đầu số người sống nơng thơn thị Có thể đến lúc dân số vùng thị vượt quá80%tổng dân số hai vùng không? Giải thích câu trả lời Bài A.3. (a) (2 điểm) Giả sửX, A ma trận vuông với hệ số thực thoả mãnX2 = A Chứng minh rằngAX =XA;
(b) (4 điểm) Tìm số ma trận vngX với hệ số thực thỏa mãn
X2 =
1 0 16
Bài A.4. Một ma trận vuông gọi dương tất hệ số số thực dương
(a) (2 điểm) Chứng minh ma trận dương cấp2đều có hai giá trị riêng số thực khác giá trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn số dương;
(b) (2 điểm) ChoAlà ma trận dương cấp2 Giả sửv ∈R2 véc tơ riêng ứng với giá trị riêng lớn củaA Chứng minh hai thành phần véc tơvcó dấu;
(c) (2 điểm) ChoAlà ma trận dương cấp3 Xét tập giá trị riêng củaA(kể giá trị phức), chứng minh giá trị riêng có mơ đun lớn củaAlà số thực dương
(2)Bài A.5. Cho trước6điểm phân biệt đường trịn
(a) (3 điểm) Chia6điểm thành ba cặp nối hai điểm cặp dây cung Hỏi có cách chia cho khơng có hai dây cung cắt nhau?
(b) (3 điểm) Đánh số cách ngẫu nhiên điểm từ1,2, ,6 Mỗi dây cung nối hai điểm gán với giá trị tuyệt đối hiệu số hai đầu mút Chứng minh ln tìm ba dây cung, đơi khơng có điểm chung, cho tổng số gán với ba dây cung bằng9
Hết
Ghi chú:Cán coi thi khơng giải thích thêm.