a) Lần đầu xuất hiện mặt một chấm. b) Mặt một chấm xuất hiện ít nhất một lần. c) Không có lần nào xuất hiện mặt một chấm. d) Tổng số chấm trên hai mặt nhỏ hơn 5. Chọn 3 quả .Hỏi có bao n[r]
(1)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
Chương I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt Độ
GTLG rad
00
300 π 6
450 π 4
600 π 3
900 π 2
1200 2π
3
1350 3π
4
1500 5π
6
1800 π
2700 3π
2
3600 2π
sin
1
2 √22 √23 √23 √22
1
2 −1
cos √23 √22
1
2 −
1
2 22 −√23 −1
tan √33 √3 || −√3 −1 −√33 ||
cot || √3 √33 −√33 −1 −√3 || ||
Ct đổi độ sang rad Rad= π
180.Đo^ộ Ct đổi Rad sang độ
Đo^=180 π Radộ
Cung đối
sin(− x)=−sinx cos(− x)=cosx tan(− x)=−tanx cot(− x)=−cotx
Cung phụ
Các hệ thứ
sin2x
+cos2x=1 , tanx=sinx
cosx cotx=cosx
sinx , tanx.cotx=1 1
cos2x=1+tan
2x
, 1
sin2x=1+cot
2x
Công thức cộng
sin(a± b)=sina.cosb ±cosa.sinb cos(a ± b)=cosa cosb∓sina sinb
Công thức biến đổi tổng thành tích
sina+sinb=2 sina+b 2 cos
a − b 2 sina −sinb=2 cosa+b
2 .sin a − b
2 cosa+cosb=2 cosa+b
2 cos a − b
2 cosa −cosb=−2 sina+b
2 sin a − b
2
Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa cosb=1
2[cos(a −b)+cos(a+b)] sina sinb=1
2[cos(a − b)+cos(a+b)] sina cosb=1
(2)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM sin(π/2− x)=cosx
cos(π/2− x)=sinx tan(π/2− x)=cotx cot(π/2− x)=tanx Cung bù
sin(π − x)=sinx cos(π − x)=−cosx tan(π − x)=−tanx cot(π − x)=−cotx Hơn
sin(π+x)=−sinx cos(π+x)=−cosx tan(π+x)=tanx cot(π+x)=cotx
tan(a ± b)=tana±tanb 1∓tana tanb
Công thức nhân đôi
sin 2a=2 sina cosa
cos 2a=cos2a −sin2a=2 cos2a −1 ¿=1−2 sin2a
tan 2a= 2 tana 1−tan2a
Công thức nhân ba ;
sin3x = 3sinx - sin3x
cos3x = 4cos3x - 3cosx
Công thức hạ bậc
sin2x
=1−cos 2x 2 cos2x=1+cos 2x
2
Các phương trình đặc biệt sinu=0⇔u=kπ
sinu=1⇔u=π 2+kπ sinu=−1⇔u=−π
2+kπ
cosu=0⇔u=π 2+kπ cosu=1⇔u=k2π cosu=−1⇔u=π+k2π tanu=0⇔sinu
cosu=0⇔sinu=0⇔u=kπ tanu=1⇔u=π
4+kπ tanu=−1⇔u=−π
4+kπ cotu=0⇔cosu
sinu =0⇔cosu=0⇔u= π 2+kπ cotu=1⇔u=π
4+kπ cotu=−1⇔u=−π
4+kπ
1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1/ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
BÀI TẬP
tanx=sinx
cosx xác định cosx ≠0⇔x ≠ π
2+kπ ,
k z
cotx=cosx
sinx xác định sinx ≠0⇔x ≠ kπ , k
z
y=f(x)
g(x) xác định g(x)≠0
y = √f(x) xác định f(x)≥0 Tìm tập xác định hàm số :
1) y= 2
sin 2x −1 2) y=tan(3x − π
6) 3) y = tan2x + cot3x
4) y= 3
sin2x −cos2x 5) y=
sinx+3
cosx +cot(x+45
0
) 6) y= 2
sin 2x −cosx 7) y=√1+sinx
1−sinx 8)
y= 2x+3
√3−cot(2x −π 4)
9) y=cosx
1+sinx+tan(2x − π 3) 10) y=
x+1
(sinx+1)(2 cosx −√2) 11) x x
y
cos sin
1
(3)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
HD : 7) Vì 1+sinx ≥0 1−sinx ≥0 nên 1−sinx
1−sinx≥0 .Biểu thức
bậc hai không âm,để hàm số xác định 1−sinx ≠0
2/ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT :
−1≤sinx ≤1 , −1≤cosx ≤1
và 0≤sin2
x ≤1 , 0≤cos2
x ≤1 sinx cosx=sin 2x
2 sin2x cos2x
=(2 sinx cosx)
2
4 =
sin22x
4
sinx+cosx=√2cos(x −π
4)=√2 sin(x+ π 4) sinx −cosx=√2sin(x −π
4)=−√2 cos(x+ π 4) cosx −sinx=√2cos(x+π
4)=−√2 sin(x+ π 4) VÍ DỤ :
Bài giải :
1) Ta có : −1≤sinx ≤1 −2≤2 sinx ≤2 −2+3≤2sinx+3≤2+3 1≤ y ≤5
Vậy : Giá trị nhỏ hàm số ymin=1 đạt :
sinx=−1⇔x=−π
2+k2π , k∈z
Giá trị lớn cùa hàm số ymax=5 đạt : sinx=1⇔x=
π
2+k2π , k∈z
2) Ta có : 0≤cos22x ≤1 0≤3 cos22x ≤3 0≥−3 cos2x ≥ −3
4≥4−3 cos2x ≥ −3+4
4 5≥
4−3 cos22x
5 ≥
1 5
4 5≥ y ≥
1 5
Vậy : Giá trị lớn hàm số ymax=4
5 đạt : cos22x
=0⇔cos 2x=0
¿ ⇔2x=π
2+kπ⇔x= π 4+k
π
2, ¿k∈z
Giá trị nhỏ cùa hàm số ymin=1
5 đạt
cos 2x=1 cos 2x=−1 cos22x=1⇔¿
¿ x=kπ¿ x=π
2+kπ
, ¿k∈z 2x=k2π¿ 2x=π+k2π⇔¿
⇔¿ BÀI TẬP
Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau :
1) y=√3−sin2xcos2x 2) y=2 sin2x −3 sin2xcos2x+2 cos2x 3)
y=2−sinx −cosx 4) y=2 sin2x −5 cos2x+2 5) y=cos2x+2 cos 2x
6) y=2√cosx+1
7) y=√3(2−sin2x)+5 8) y = sin6x + cos6x 9)
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhỏ : 1) y=2 sinx+3
2) y=4−3 cos
22x
(4)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM y=cosx+cos(x −π
3)
10) y=3 sin23x −4 cos23x+2 cos 6x 11) y=3−4 sin
2
x cos2x
2 12) y=2−3 sin 4x
4
13) y=sin4x+cos4x 14) y=3 cos 2x −33 sin 2x −5 HD : 1)Thay sin2x cos2x=sin
2
2x 4 2) y=2(sin2x+cos2x)−3sin
2
2x 4 3) Thay sinx+cosx=√2cos(x −π
4) y=2−√2 cos(x − π 4)
2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1-Phương trình sinu = a
+ a <-1 hay a > : phương trình vô nghiệm
+ -1 a 1 : Nếu a không giá trị đặc biệt nghiệm pt :
u=arcsina+k2π u=π −arcsina+k2π , k∈z
¿ ¿ sinu=a⇔¿
Nếu a giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt dạng :
u=v+k2π¿
u=π − v+k2π, k∈z sinu=sinv⇔¿
2-Phương trình cosu = a
+ a <-1 hay a > : phương trình vô nghiệm
+ -1 a 1 : Neáu a không giá trị đặc biệt nghiệm pt laø :
u=arccosa+k2π ¿
u=−arccosa+k2π ,k∈z cosu=a⇔¿
Nếu a giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt dạng :
u= v+k2π
u=− v+k2π, k∈z ¿
¿
cosu=cosv⇔¿
3- Phương trình tanu = a Điều kiện : cosu ≠0⇔u ≠π
2+kπ , k∈z
Nếu a không giá trị đặc biệt ta có : tanu=a⇔u=arctana+kπ , k∈z
Nếu a giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình dạng : tanu=tanv⇔u=v+kπ , k∈z
4- Phươpng trình cotu = a Điều kiện : u ≠ kπ , k∈z
Nếu a không giá trị đặc biệt : cotu=a⇔u=arccota+kπ , k∈z
Nếu a giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình dạng : cotu=cotv⇔u=v+kπ , k∈z BÀI TẬP
Bài : Giải phương trình 1) √2cos(2x −π
5)=1 2) sin(3x −2)=−1 3) cot(450−3x)=√3
4) 2 sin(2x −π
6)−√3=0 5) cos(3x+450)−sin 4x=0 6) 2 cos(2x
3 − π
(5)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM [sin(x
2−3)+1].(√3 cot 2x
3 +1)=0 9) tan(2x+600) = 10 10) tan(2x+π
3)=cot(x − π
6) 11) cos(2x+ π
6)−cos(3x − 3π
4 )=0 12) cosx
2=−cos(2x −30
0
)
Bài : Giải phương trình 1) 4 sin2
2x −3=0 2) sin2x – cosx = 3) sin2x + 2cos2x =
4) sin2x + cos22x = 1 5) sin2x + cos2x = 6) sinx cosx cos2x = -
√2 7) tan2x.cot3x = ) sin22x- cos2x = 0 9) tan3x.tan2x = 1
10) √3 sinx=cosx 11) cot223x=13 12) cosxcos2xcos4xcos8x = 1
16 Bài : Giải phương trình : cos2x
1−sin 2x=0
HD : Điều kiện xác định phương trình : sin 2x ≠1⇔2x⇔π
2+k2π⇔x ≠ π 4+kπ
Với : k=0⇒x ≠π
4 , k=1⇒x ≠ 5π
4 , k=2⇒x ≠ 9π
4 , k=3⇒x ≠ 13π
4 …
Với điều kiện phương trình cho tương đương với :
cos 2x=0⇔2x=π
2+hπ⇔x= π 4+h
π 2, k∈z
Với : h=0⇒x=π
4 (loại) , h=1⇒x ≠ 3π
4 , h=2⇒x ≠ 5π
4 (loại ) , h=3⇒x ≠7π
4 …/
Nhận thấy với k lẻ nghiệm phương trình thỏa điều kiện bài Vậy pt có nghiệm x=π
4+h π
2 với h lẻ nghĩa h = 2k+1
3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Phương trình bậc theo hàm số lượng giác pt có dạng sau :
asin2x + bsinx + c = (1) atan2x + btanx + c = (3)
acos2x + bcosx + c = (2) acot2x + bcotx + c = (4)
Cách giải : Đặt ẩn phụ t hslg trên,pt (1) (2) điều kiện -1 t ,pt (3) ((4) phải có
điều kiện tanx cotx
VÍ DỤ
Giải phương trình : sin2x – 3sinx +2 = Giải :
Đặt t = sinx , điều kiện −1≤t ≤1 ,phương trình trở thành : t2 – 3t + =
t=1 t=2 ⇔¿
Nghiệm t = không thỏa điều kiện phương trình Với t = sinx = x=π
2+k2π , k∈Z
BÀI TẬP
(6)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM 1) 2cos2x – 3cosx + = 2)
tan22x −(1+√3)tan2x+√3=0 3) cot2x
2−6 cot x
2+5=0 4) 4 sin2x −2(1+√3)sinx+√3=0
Bài : Giải phương trình :
1) 8cos2x + 2sinx - = 2) 2 cos 2x
+2 cosx −√2=0
3) cos2x - √3 sinx =1 4) 2 cos 2x −2(1+√3)sinx+√3−2=0 5) sin23x +cos12x =14 6)
cos 2x −sin2x=0
7) cos4x + cos2x =2 8) 3 tan 2x+√3 cot 2x −3−√3=0 9) 2cos2x – sin2x - 4cosx + = 10) 9sin2x -5cos2x -5sinx + =
11) cos2x + sin2x +2cosx + = 12) tanx + 2cotx = 3
13) sin2x
2−2cos x
2+2=0 14) sin3x+cos3x =sinx + cosx 15)sin4x + cos4x = 1
2sin 2x 16) 2cos22x +3sin2x = 17) – cos2 x = sin4x 18) sin3x+cos3x=2−sin 2x
2 19) (3-2cosx)cosx = 2cos2x -1 20) cos 2x+2cosx=2sin2x
2 HƯỚNG DẪN
12) Thay sin3x + cos3x =(sinx+cosx)(sin2x –sinxcosx+cos2x) =(sinx+cosx)(1- sin 2x
2 ) 15) sin4
x+cos4x=(sin2x)2+(cos2x)2=[(sin2x)2+(cos2x)2+2 sin2xcos2x]−2sin2xcos2x = (sin2x+cos2x)2−2 sin2xcos2x=1−2 sin
2
2x 4
18) Thay sin3x + cos3x =(sinx+cosx)(sin2x –sinxcosx+cos2x)=(sinx+cosx)(1- sin 2x
2 ) ) 16) Thay sin2x=1−cos 2x
2
3/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VAØ COSX : a sinx + b cosx = c (1)
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
sincosaa cos cosb ±b ±cossinaa sin sinbb=sin(a ± b)
=cos(a∓b) Cách giải
Caùch : Chia hai vế phương trình cho √a2+b2 ,ta :
a
√a2+b2sinx
+ b
√a2+b2cosx
= c
√a2+b2 Vì ( a
√a2+b2)
2
+( b
√a2+b2)
2
=1 nên a
√a2+b2=cosα b
√a2+b2=sinα pt trở thành :
sinx cosα+cosx sinα= c
√a2
+b2 ¿
⇔¿sin(x − α)= c
√a2+b2 ¿
Đây pt lượng giác bản,pt có nghiệm | c
√a2
+b2|≤1⇔a
2
(7)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM Cách : Chia hai vế phương trình cho a ,pt trở thành :
sinx+b
acosx= c
a ⇔sinx+tanα.cosx= c a ⇔sinx+sinα
cosα cosx= c
a ⇔sinxcosα+cosxsinα= c
acosα ⇔sin(x+α)= c acosα
Nếu |c
acosα|>1 phương trình vơ nghiệm Nếu |c
acosα|<1 ta đặt | c
acosα|=sinβ ,pt trở thành : sin(x+α)=sinβ pt
Cách 3: Đặt t=tan x
2 , ta có cơng thức : sinx= 2t
1+t2 , cosx= 1− t2
1+t2 pt trở thành : a 2t
1+t2+b 1−t2
1+t2=c
¿
⇔(b+c)t2−2 at+b − c=0 ¿
, Đây pt bậc hai theo t
B.VÍ DỤ :
Giải phương trình :
sinx −√3 cosx=1 Bài giải :
Cách : Chia hai vế phương trình cho ta : 1
2sinx −
√3
2 cosx= 1 2 Vì 1
2=cos 60
0
√3
2 =sin 60
0
nên phương trở thành : sinxcos600 - cosxsin600 = 1
2
sin(x- 600) = sin300
x −600
=300+k3600¿ x −600=1800−300+k3600
¿
x=900+k3600¿ x=2100+k3600¿
¿
, kz
Cách : Chia hai vế pt cho , phương trình trở thành sinx −√3 cosx=1
⇔sinx −tan 600 cosx
=1 ⇔sinx −sin 60
0
cos 600cosx=1
⇔sinxcos 600−cosxsin 600=cos 600 ⇔sin(x −600)=1
2 ⇔sin(x −60
0
)=sin 300 , pt Cách : Đặt t=tan x
2 , phương trình trở thành : 2t
1+t2−√3 1− t2
1+t2=1 ⇔2t −√3+√3t
2
=1+t2 ⇔(1−√3)t2−2t+1+√3=0
Đây phương trình bậ hai theo t C.BÀI TẬP
(8)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
1) 3 cos 2x −√3 sin 2x=−3 2) √3 sin(x −300)+cos(x −300)=1 3) 3sin2x + cos2x = 4) √2cos(− x)+√2 sin(π+x)=√3
5) sinx + cosx = √2 6) sin 2x+2√3cos2x=0 7) sin 4x=√3(cos 4x −1) 8) tan150.cosx + sinx -1 = 0
9) sin 2x+sin2x=1
2 10)
1+sinx 1−cosx=2
HD : 6) Thay cos2x=1+cos 2x 2 8) Thay tan 150
=sin 15
0
cos 150 qui đồng mẫu số 9) Thay sin2x=1−cos 2x
2
10) Đặt điều kiện qui đồng ,khử mẫu đưa dạng ( )
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUẦN NHẤT THEO SINX VAØ COSX asin2x + b sinxcosx + c.cos2x =d với a,b,c không đồng thời 0
A KIÊN THỨC CẦN NHỚ Cách giải :
Cách :
+ Với cosx = tương ứng sinx=±1 vào pt Nếu vt = vp ( thỏa) : pt cĩ nghiệm x=π
2+kπ , k∈z
Nếu vt ≠ vp (khơng thỏa ) pt khơng có nghiệm x=π 2+kπ
+ Với cosx ≠0 ,Chia hai vế phương trình cho cos2x,phương trình trở thành :
a tan2x + b tanx + c = d
cos2x
a tan2x + b tanx + c = d(1+tan2x) Đây phương trình bậc theo tanx
Cách : Dùng công thức hạ bậc , thay sin2x=1−cos 2x
2 , cos
2x
=1+cos 2x 2 , sinxcosx=sin 2x
2 ta : a1−cos 2x
2 +b sin 2x
2 +c
1+cos 2x 2 =d ⇔bsin 2x+(c −a)cos 2x=2d − a −c Đây phương trình bậc theo sin2x cos2x
B.VÍ DỤ ;
Ví dụ : Giải phương trình :
2sin2x – sinx.cosx - cos2x = -2
Bài giải : Cách :
+ Với cosx = tương ứng với sinx=±1 VT = VP = -2 nên cosx = không
thỏa
mãn phương trình (1) Pt khơng có nghiệm cosx = + Với cosx , chia hai vế pt cho cos2x pt trở thành :
2 tan2x -5 tanx -1 = −2
cos2x=−2(1+tan
2
(9)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM 4tan2x – 5tanx + = 0
tanx=1 tanx=1 4 ⇔¿
Với tanx = ⇔x=π
4+kπ , k∈z
Với tanx = 1
4 ⇔x=arctan 1
4+kπ , kz Cách : Thay sin2x=1−cos 2x
2 , cos
2x
=1+cos 2x
2 , sinxcosx= sin 2x
2 ta :
21−cos2x 2 −5
sin 2x 2 −
1+cos 2x 2 =−2 ⇔5 sin 2x+3 cos 2x=5
Đây phương trình bậc theo sin2x cos2x Ví dụ : Giải phương trình :
2 cos2
x −3√3 sin 2x −4 sin2x=−4 Bài giải :
Pt viết lại dạng : cos2x −3
√3 sinxcosx −2 sin2x
=−2
+ Với cosx = tương ứng với sinx=±1 VT = -2 = VP = -2 nên cosx = thỏa
phương trình (1) Pt có nghiệm cosx = ⇔x=π
2+kπ ,¿k∈z .
+ Với cosx , chia hai vế pt cho cos2x pt trở thành :
1 - 3√3 tanx -2 tan2x= −2
cos2x=−2(1+tan
x)
⇔ 1−√3 tanx=0 ⇔ tanx= 1
√3 ⇔tanx=tan
π
6 ⇔x=
π
6+kπ ,¿k∈z
Vậy pt có nghiệm x=π
2+kπ , và x= π
6+kπ ,¿k∈z Bài tập : Giải phương trình
1) 3 sin2x+4 sin 2x+(8√3−9)cos2x=0 2) (√3+1)sin2x −√3 sin 2x+(√3−1)cos2x=0 3) 3sin2x - sinxcosx +5cos2x = 2 4) sin2x + sin2x - 2cos2x = 1
2 5) sin2x −√3 cos2x=(1−√3)
2 sin 2x 6) cos
22x −
√3 sin 4x=1+sin22x 7) 2 sin22x+(3+√3)sin 2xcos 2x+(√3−1)cos22x=−1 8)
√3 sin2x+(1−√3)sinx cosx −cos2x+1−√3=0 9) 2 sin2
x+3 sin 2x+2(1+√3)=5+√3 10) sin2x −2 cos 2x −4 sin 2x=0 Một số pt áp dụng công thức biến đổi :
Vd: Giải phương trình
1) sinx + sin2x + sin3x = 2) cos3x – cos4x + cos5x = (*)
3) cos3x.cos7x = sin4x.sin6x 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = (*)
5) sin2x.sinx =1 + cosx – cos3x Giải
1) sinx + sin2x + sin3x =
Ta có : sinx + sin2x + sin3x =
(10)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM ⇔sin 2x(2 cosx+1)=0
sin 2x=0 2 cosx+1=0
⇔¿
sin2x= ⇔x=kπ , k∈z
2cosx+1 = ⇔cosx=−1 2=cos
2π 3
x=2π 3 +k2π x=−2π
3 +k2π
, k∈z ⇔¿
CHƯƠNG II : TỔ HỢP – XÁC SUẤT
QUI TẮC ĐẾM
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1- Qui tắc cộng :Một công việc thực nhiều phương án Phương án thứ có m cách chọn,phương án thứ hai có n cách chọn có m + n cách chọn cơng việc
Nếu B tập hợp hữu hạn khơng có giao nhau( A B = )thì
n(A∪B)=n(A)+n(B)
Nếu Avà B hai tập hợp hữu hạn ( A B giao nhau) n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)
n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A ∩ B)
2- Qui tắc nhân :Một công việc thực nhiều công đoạn liên tiếp Công đoạn thứ có m cách chọn,cơng đoạn thứ hai có n cách chọn có m n cách chọn cơng việc
B VÍ DỤ Ví dụ 1:
Có nam , nữ hỏi có cách chọn : a) Một học sinh trực
b) Một cặp song ca
Vd2 : Từ số 0,1,2,3,4,5 lập số:
a) Có chữ số b) Có chữ số khác
c) Số lẻ có chữ số khác d) Số chẵn có chữ số khác Bài giải :
a ) Gọi số cần tìm abcd
Tại a có cách chọn a ( a∈{1,2,3,4,5} ) Tại b có cách chọn ( b∈{0,1,2,3,4,5} ) Tại c có cách chọn ( tương tự ) Tại d có cách chọn
Qui tắc nhân ta có : 5.6.6.6 = 1080 số b) Gọi số cần tìm abcd
Tại c có cách chọn c a c b c dQui
tắc nhân ta có : 3.4.4.3 = 144 số d) Gọi số cần tìm abcd
Cách 1:Số có chữ số khác = số lẻ có chữ số khác + số chẵn có chữ số
số chẵn có chữ số khác = Số có chữ số khác
nhau – số lẻ có chữ số khác nh = 300 – 144 = 156
Bài giải :
a) Số cách chọn học sinh đỉ trực Có cách chọn 1nam Có cách chọn nữ
Vậy theo qui tắc cộng ta có : + = cách b) Số cách chọn cặp song ca
- Có cách chọn nam,
- Ứng với cách chọn nam lại có cách chọn nữ
(11)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
Tại a có cách chọn a ( a∈{1,2,3,4,5} ) Tại b có cách chọn b a
Tại c có cách chọn c a c b
( tương tự )
Tại d có cách chọn d a d b d c
Qui tắc nhân ta có : 5.5.4.3 = 300 số c) Gọi số cần tìm abcd
Tại d có cách chọn ( d∈{1,3,5} ) Tại a có cách chọn a a d
Tại b có cách chọn b a b d
Cách :
Trường hợp d = Tại d có cách chọn
Tại a có cách chọn ad
Tại b có cách chọn b a b d
Tại c có cách chọn
Theo qui tắc nhân ta có 1.5.4.3 = 60 số
Trường hợp d Tại d có cách chọn ( d∈{2;4}
)
Tại a có cách chọn a a d
Tại b có cách chọn b a b d
Tại c có cách chọn
Theo qui tắc nhân ta có 2.4.4.3 = 96 số
Bài tập
1/ Từ số 1,2,3,4,5,6,,7 lập số :
a) Có chữ số b) Có chữ số khác
c) Số chẵn có chữ số d) Số chẵn có chữ số khác 2/ Từ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số:
a) Có chữ số b) Có chữ số khác
c) Số lẻ có chữ số khác d) Số chẵn có chữ số khác e) Số chẵn có chữ số khác chia hết cho
3/ Một lớp học có 50 học sinh có 30 hs biết đá bóng,20 học sinh biết đánh bóng chuyền ,15 học sinh biết hai môn Hỏi lớp học có học sinh
a) Biết chơi thể thao b) Không biết chơi thể thao
4 / Từ A đến B có đường ,từ B đến C có đường ,từ C đến D có đường Hỏi có cách :
a) Từ A đến D ( ĐS : 3.4.5 cách )
b) Từ A đến D trở A (ĐS : 60.60 cách )
c) Từ A đến D trở A mà không trở lại đường cũ (ĐS: 60.24 cách)
5) Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc Người ta chọn cặp để phát biểu ý kiến ,Hỏi có cách chọn để : a) Hai người vợ chồng ( Đs : 10 cách )
b) Hai người khơng phải vợ chồng ( Đs : 90 cách )
6) Có cách xếp nam , nữ vào 10 ghế thành hàng ngang cho : a)Nam nữ ngồi xen kẽ (Đs : 5!.5! cách)
b)Các bạn nam ngồi cạnh (Đs : 6.5!.5! cách )
2 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1)Hoán vi :Chọn n n phần tử xếp theo thứ tự định gọi hoán vị n phần tử.Tổng số hoán vị :
Pn=n !=n(n−1)(n−2) 1
2)Chỉnh hợp :Chọn k n phần tử ( 1≤ k ≤ n ) và xếp theo thứ tự định (vd:nhất,nhì,ba) thì gọi chỉnh hợp chập k n phần tử.Tổng số chỉnh hợp chập k n phần tử :
An
k
= n !
(n −k)!
3)Tổ hợp : Một tập hợp gồm k phần tử ( 1≤ k ≤ n ) được gọi tổ hợp chập k n phần tử Tổng số tổ hợp chập k n phần tử :
Cn k
= n ! k !(n− k)! B VÍ DỤ :
Có 10 học sinh Hỏi có cách xếp : 1) 10 học sinh vào bàn có 10 chỗ ngồi 2) học sinh để phát thưởng ,nhì , ba ,tư 3) học sinh trực
Bài giải :
(12)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
P10 = 3628800 cách xếp
2) Chọn 10 học sinh xếp theo thứ tự :nhất ,nhì ,ba tư chỉnh hợp chập 10 phần tử Tổng số cácchỉnh hợp : A10
4
=5040
3) Chọn 10 học sinh trực Mỗi cách chọn tập hợp có phần tử Tổng số tập hợp tổ hợp chập 10 phần tử Như có C10
3
=120 cách xếp C.BÀI TẬP
1) Từ điểm mp ta vẽ
a) Đường thẳng b) Véc tơ c) Tam giác 2) Một ban chấp hành gồm người Hỏi có cách chọn
a) Cả người vào bàn ăn có chỗ ngồi khác b) Ba người vào ban thường vụ : Bí thư,phó bí thư,ủy viên c) Năm người dự đại hội đoàn cấp
3) Có cách chọn 11 cầu thủ đá phạt đền 4) Có đường chéo hình đa giác lồi 20 cạnh
5) Có hình chữ nhật tạo thành từ đt// đt vng góc
6) Trên giá sách có 10 sách tốn,8 sách văn sách lý.Lấy quyển.Tính số cách lấy để : a) Mỗi loại có b) Cả loại
c) Chỉ có sách văn d) Có tốn D.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP
Giải phương trình : 1) Ax
2
=12 2) (n+1)!
(n−1)!=72 3)
n!−(n −1)! (n+1)! =
1 6 4) n!
(n−2)!− n !
(n −1)!=3 5) Ax
3
+5A2x=21x 6) A3x+Cxx −2=14x 7) 2Ax2+50=A22x 8) C1x+C2x=6 9) Cx
1
+C2x+C3x=7x 2
10) 2Cx+1
+3Ax
2
=30 11) Cx
0
+Cx x−1
+Cx x−2
=79 12) Cx
1
+6Cx
2
+6Cx
3
=9x2−14 13) 1
2 A2x
2 − A
x
2≤6
x.Cx
3
+10 14) Pn+3=720An5Pn −5 15) An5=18An−4
16) PxAx
2
+72=6(Ax
2
+2Px) 17) Cx+8
x+3
=5Ax+6
18) 1 C4x
− 1 C5x
= 1 C6x
19) C3x −1− C2x −1=2 3Ax −2
2
20) 1 Cx
1−
1 Cx+1
2 =
7 6Cx+4
1 21)
2Pn+6An2− Pn.An2=12
22) A10x +A9x=9A8x 23) 2C2x+1+3Ax2<30 24) 72Ax1− A3x+1=72
3 -NHỊ THỨC NIU-TƠN
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : Cần nhớ : a0 = , a− n=1
an , √nam=a m
n , am.an = am+n , a m
an=a m−n
, (am
)n=am.n 1) Công thức nhị thức niu tơn :
(a+b)n=Cn0an+C1nan −1b1+C2nan −2b2+ .+Cnkan − kbk+ +Cnnbn + Số hạng tổng quát Cn
k
an −kbk + Tổng hệ số (ax+by)n (a+b)n
(13)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM n=0 (a+b)0
n=1 (a+b)1 1
n=2 (a+b)2 1
n=2 (a+b)3 hay 3
n=4 n=5 10 10 10 10 B.BÀI TẬP
1/ Khai triển nhị thức :
a)) (x+2)4 b) (3x- 4)5 c) (2x-3y)5 d)
(sinx+2)4 e) (x −√2)6 f) (x −2
x)
7
g) (x2
+ 1 2x)
5
h) (2x − 4 x2)
4
i) (2x3− 3 x2)
5
k) (x2−2 x)
5
m) (2x2−3 xy
)6 n)
(xy2+ x y2)
4
2/ a)Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển
(x+1 x)
10
b)Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển (x −2 x)
20
a) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển (2x − 1 x2)
6
b) Tìm số hạng thứ khai triển (1-2x)12
c) Tìm số hạng thứ khai triển (x2
+4 x)
12
d) Tìm hệ số x4 khai triển
(x13−2x
)n bieát Cn+4
n+1
−Cn+3
n
=7(n+3) e) Biết hệ số x2 trong khai triển (1+3x)n 90.Tìm n
4- PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1/ Không gian mẫu :là tập hợp tất kết sảy phép thử k/h 2/ Biến cố :là tập không gian mẫu
5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1 - Định nghĩ xác suất : tỉ số P(A)=n(A)
n(Ω) gọi xác suất biến cố A 2/ Tính chất :
Nếu {A ∩ B=∅
A∪B=Ω A B hai biến cố đối ( B=A ) : P(A)+P(B)=1 hay P(A)+P(A)=1
B.VÍ DỤ :
Có cầu trắng , cầu xanh Chọn ngẫu nhiên hai Tính xác suất biến cố : a) Hai màu b) Hai khác màu
(14)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
Lấy hai cầu tổ hợp chập phần tử ,do n(Ω)=C72=21
a ) Chọn hai màu ,Có hai khả năng: + Chọn hai trắng ,có C32 cách
+ Chọn hai xanh ,có C24 cách
Nên n(A)=C32+C42=9 , P(A)=
n(A) n(Ω)=
9 21=
3 7
b) Chọn hai khác màu + Có C3
1
cách chọn trắng
+ Ứng với cách chọn trắng lại có C14 cách xanh
Qui tắc nhân ta có n(B) = C31.C41=12 , P(B)=
n(B) n(Ω)=
12 21=
4 7
c) Chọn trắng : Có hai khả : + Chọn trắng, xanh : có C3
1
.C4
cách + Chọn hai trắng : có C32 cách
Qui tắc cơng ta có n ( C ) = C31.C41 + C32 =15 ,do đó
P(A)=n(A) n(Ω)=
15 21=
5
d) {A ∩ B=∅
A∪B=Ω nên A B hai biến cố đối ( B=A ) nên :
P(A) + P(B) = P(D) = 1- P(C) = 1−5 7=
2 7 C.BÀI TẬP
2) Gieo đồng tiền hai lần Tính xác suất biến cố :
A: “ Lần đầu xuất mặt sấp” B: “ Mặt sấp xuất lần” 3) Gieo đồng tiền ba lần Tính xác suất biến cố :
A: “ Lần đầu xuất mặt sấp’ B: “ Mặt sấp xuất lần” C: “ Khơng có lần xuất mặt sấp D: “ Mặt sấp xuất hai lần” 3) Gieo súc sắc hai lần Tính xác suất biến cố :
a) Lần đầu xuất mặt chấm b) Mặt chấm xuất lần c) Khơng có lần xuất mặt chấm d) Tổng số chấm hai mặt nhỏ 5) Có cầu trắng , xanh , đỏ Chọn Hỏi có cách chọn
a) Ba màu b) Ba khác màu c) Ít trắng d) Khơng có trắng e) Có trắng f) Ít hai trắng 6) Một bình có 16 viên bi với bi trắng ,6 bi đen,3 bi đỏ
a) Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để :
i) Lấy bi đỏ ii) Lấy bi không đỏ b) Lấy ngẫu nhiên hai bi Tính xác suất để lấy được:
i) Hai bi khác màu ii) Hai bi màu
CHƯƠNG III : DÃY SỐ - CẤP SỐ
1-PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp chứng minh qui nạp gồm có bước : Bước : Kiểm tra mệnh đề với n= 1
Bước : Giả thiết mệnh đề với n=k Bước : Ta c/m mệnh đề với n = k+1
Vd1 : Cmr nN* ,ta có :
1+3+5+ ….+ (2n-1) = n2
(15)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM 1+2+3+ +n=n(n+1)
2
Vd3: : Cmr nN* n3 – n chia hết cho
Vd4 : Cmr nN* ,ta có : 3n > 3n+1
2 DÃY SỐ
a) Dãy số un gọi dãy số tăng un <un+1
Dãy số un gọi dãy số giảm un >un+1
b) Phương pháp khảo sát tính đơn điệu dãy số :
Phương pháp : xét hiệu un+1 – un un+1 –un >0 un+1 > un dãy số tăng
un+1 –un < un+1 < un dãy số giảm
Phương pháp : Nếu un > với n N* lập tỉ số
un+1 un
Nếu un+1
un
>0 với n N* dãy số tăng
Nếu un+1
un
<0 với n N* dãy số giảm
Vd :
a) Chứng minh dãy số sau dãy số tăng : un = 2n-3
b) Chứng minh dãy số sau dãy số giảm : un=1 n
CẤP SỐ CỘNG
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
a) ĐN : un=un −1+d ( un+1 = un + d )
b) Số hạng tổng quát : un=u1+(n −1)d
c) Tính chất : uk=uk −1+uk+1
2 ( k ≥2 ) d) Tổng : Sn=
n
2(u1+un) Hay Sn=
n
2[2u1+(n −1)d]
B BÀI TẬP
Dạng : Tìm số hạng cấp số cộng :
Vd1 : 1) Tìm số hạng đầu csc biết u1 = , d =
2) Cho cấp số cộng biết u1 = , u6 = 23
a) Tìm số hạng đầu cấp số cộng b) Tính số hạng thứ 50
c) Tính tổng 100 số hạng
3) Tìm số hạng đầu liên tiếp cấp số cộng biết tổng ba số hạng đầu 12,tổng ba số hạng kế 30
3) Xen vào số số 24 để csc có tám số hạng
Dạng : Tính tổng cấp số cộng
1) Tính tổng S = 1+4+7+…+ 997+1000 ( HD : un = u1 + (n-1)d =1000 , tìm n )
2) Tính tổng S=1+3 2+2+
5 2+ +
101 2 3) Tính tổng S= 400 + 396 + 392 + …+
4) Tính tổng S= 12-22+32 - 42 +52-62 + …+ (-1)n-1.n2 (HD: 12-22 = -3 , 32-42 = -7 , 52-62 = -11 )
(16)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM 1) {u2=4
u5=13
2) {2u5−u3=14 u4+u6=20
3) {u5− u2=−9 u6.u7=54
4) {u3+u4−2u5=−6 S5=30
5) {u1+2u5=0 S4=14
6) {
u2+u7=113
S4=
14 3
7) {u1+u5− u3=10 u1+u6=7
8) { u1+u2+u3=27 u12+u
22+u
32=275
Dạng : Chứng minh dãy số (un) cấp số cộng ,tìm n
1) Cho dãy số (un) biết un= 2n-3
a) Chứng minh dãy số (un) cấp số cộng Tìm u1 d
b) Số 1999 số hạng thứ ? c) Số 9800 tổng số hạng ? 2) Tìm x cấp số cộng biết :
a) 1+ +11+ 16 +…+ x = 970 b) + + 12 +…+ x = 24
Giải : a) Tổng tổng cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1,un = x ,cơng sai d = ,và có
Sn = 970 Để tìm x ta cần tìm n Ta có :
Sn=n
2[2u1+(n −1)d]=970⇔n[2 1+(n−1) 5]=1940
⇔2n+5n2−5n=1940
n=20¿ ¿ n=−194(loai) ⇔5n2−3n −1940=0⇔¿
Do x số hạng thứ 20 hay x = u20 = u1 + 19d =1+19.5 = 96
Dạng : Dùng tính chất cấp số cộng để giải số tốn :
1) Tìm m để số : 3m2 + ; 7m – m2 ; m2 + lập thành cấp số cộng
2) Tìm x cấp số cộng có số hạng liên tiếp C1x , C2x , C3x
3) Tìm x để 1+ sinx , sin2x , 1+ sin3x lập thành cấp số cộng
4) Cho cấp số cộng có số hạng liên tiếp , x+1 , y - , 19 lập thành cấp số cộng
Dạng : Xác định góc,cạnh tam giác ,tứ giác
1) Tìm góc tam giác lập thành cấp số cộng có cơng sai d = 30 2) Tìm góc tam giác vng lập thành cấp số cộng
3) Tìm góc tam giác lập thành cấp số cộng biết góc nhỏ 200
4) Ba góc tam giác có số đo lập thành cấp số cộng.Góc nhỏ 1/7 góc lớn nhất.Tính số đo góc tam giác
5) Tìm góc tứ giác lập thành cấp số cộng có góc nhỏ 150
6) Tìm cạnh đa giác lập thành cấp số cơng, có chu vi 158 cm , biết góc lớn 44 ,công sai d = cm
4 CẤP SỐ NHÂN
A KIÊN THỨC CẦN NHỚ :
a) ĐN : un=un −1.q ( un+1 = un q )
b) Số hạng tổng quát : un=u1.qn −1
c) Tính chất : uk2=uk −1.uk+1 ( k ≥2 )
d) Tổng : Sn=u11− q
n
1−q
Nếu q < qn→0 ,ta có tổng cấp số nhân lùi vơ hạn : S= u1
1− q B BÀI TẬP
Dạng : Tìm số hạng tổng cấp số nhân :
(17)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM 2) Cho cấp số nhân có số hạng đầu 1
3 , 2 9 ,
4
27 , tính u8 , S8
3) Cho cấp số nhân có bốn số hạng liên tiếp , x , , y Hãy tìm x , y 4) Cho cấp số nhân biết u1 = , u4 = 81
a) Tìm số hạng đầu cấp số nhân b) Tính số hạng thứ
c) Tính tổng số hạng
5) Xen vào số số 243 ,sáu số để cấp sốp nhân có tám số hạng 6) Xen vào số -2 số 256 ,sáu số để cấp số nhân có tám số hạng
Dạng : Tìm số hạng đầu công bội csn ,biết :
1) {u2=4 u4=16
2) {u4− u2=72 u5+u3=144
3) {u1+u2−u3=−22 u2+u4−u6=−44
4) {u5− u3=24 u2+u3=12
5) {u1−u3+u5=65 u1+u7=325
6) {u5− u1=15 u4− u2=6
Dạng : Chứng minh dãy số (un) cấp số nhân ,tìm n
1) Cho cấp số nhân biết {u1+u5=51 u2+u6=102
a)Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân
b)Hỏi tổng số hạng 3069 ? c)Số 12288 số hạng thứ ?
2) Cho cấp số nhân (un) có {
u1−u3=1 3 u2+u3=−1
2
a) Tìm số hạng thứ 15 b) số −6561
8 số hạng thứ ? 3) Cho dãy số (un) biết un= 2n
a) Chứng minh dãy số (un) cấp số nhân Tìm u1 q
b) Số 1024 số hạng thứ ? c) Số 2046 tổng số hạng ? 4) Tìm số số hạng ( tìm n ) cấp số nhân ( un) biết :
a) q = , un = 96 , Sn = 189
b) q = , un =
1
8 , Sn =
31 8
Giải : a) Ta có : un=u1.qn −1=96⇔u1 2n −1=96⇔u1.2
n
2=96⇔2
n
=192 u1
Sn=u11− q
n
1−q =189⇔u11−2
n
1−2=189⇔u1−u1 2
n
=−189 ⇔u1−u1.192
u1 =−189⇔u1=3
Với u1 = vào pt (1) ta : 2
n
=192
3 =64=2
6
n =
Vậy cấp số nhân có số hạng
Dạng : Xác định góc tam giác ,tứ giác
1) Tìm góc tứ giác lập thành cấp số nhân có cơng bội q = 2) Tìm góc tứ giác lập thành cấp số nhân có góc nhỏ 90
3) Tìm góc tứ giác lập thành cấp số nhân biết góc lớn gấp lần góc nhỏ
Dạng : Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn
1) Tính tổng : a) S=1
2+ 1 3+ 2 9+ 4
27+ b) S=1− 1 2+
1 22−
1 23+
1 24+ c) S=1−1
2+ 1 3− 1 4+ 1 9− 1 16+ 1
27+ d) S=3+ 1 2+
1 4+ +
(18)TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM e) S= 1
1 2+ 1 2 3+
1
3 4+ + 1
n(n+1) ( HD : 1 1 2=
1 1−
1 2 ,
1 2 3=
1 2−
1 3 , , 1
n(n+1)= 1 n−
1 n+1 )
2) Viêt số a = 5,121212…dưới dạng phân số ( HD : a = 5+0,12+0,0012+ =5+ 12 100+
12
10000+ )
SỞ GD VÀ ĐT TIỀN GIANG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ NĂM HỌC 2011 -2012
TRƯƠNG THPT HUỲNH VĂN SÂM Mơn tốn – khối 11 , Thời gian 120 phút
Bài : ( điểm ) Giải phương trình : 1) cos22x + cos2x =
2) + cos2x + sin2x = 3sin2x
3) sinx + cos2x +sin3x + cos4x = Bài : ( điểm )
1) Cho 10 điểm đường trịn ( C )
a) Có tam giác tạo nên từ 10 điểm cho ?
b) Có đường chéo từ đa giác lồi tạo từ 10 điểm 2) Giải phương trình : Ax
3
+Cx x −2
=14x 3) Tìm số hạng thứ tư khai triển (x −2
x)
5
Bài : ( điểm)
Cho cấp số cộng (un) cho : {
3u1+2u3=−4 4u2+5u5=18
Tìm u1 d
Bài : ( điểm )
Trong mpOxy cho đường thẳng (d) :2x – y + = đường tròn ( C ) : x2 + y2 - 2x + 4y - = 0
1) Tìm ảnh d qua phép tịnh tiến véc tơ u→=(−2;1) 2) Tìm ảnh ( C ) qua phép vị tự tâm I(2;3) ,tỉ số k =
Bài : ( điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành ,tâm O 1)Tìm giao tuyến hao mặt phẳng :
a)(SAC) (SBD) b)(SAB) (SCD)
2) Gọi M trung điểm SD Tìm giao điểm : a) SA với mp(MBC)
(19)