• Giải: Để tìm các giao điểm của các đường sinh của trụ với mặt phẳng cắt K ta thay mặt phẳng hình chiếu đứng để mặt phẳng K đã cho trở thành mặt phẳng chiếu đứng. Từ hình chiếu đ[r]
(1)CHƯƠNG 4:
SỰ TƯƠNG GIAO
• 4.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỞI HÌNH CHIẾU
(2)4.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỞI HÌNH CHIẾU
4.3.1 PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU:
• a) Thay mặt phẳng hình chiếu bằng:
• Giả sử ta có mặt phẳng hình chiếu P1, P2 (H 4-17)
• Thay mặt phẳng hình chiếu lấy mặt phẳng P2’
vng góc với P1 thay mặt phẳng P2 Kết việc thay
mặt phẳng hình chiếu ta có đồ thức mà trục hình chiếu
x’ = P1 P2’ hướng đường dóng hướng vng
góc với x’ Từ hình 4-17 ta thấy điểm A bất kỳ, thay mặt phẳng hình chiếu vị trí tương đối điểm A P1 khơng có thay đổi, đó:
- Hình chiếu đứng A1 A không thay đổi
- Độ xa điểm A hệ thống hình chiếu độ xa điểm A hệ thống hình chiếu cũ, tức là:
A2’AX = A2AX = AA1
- Từ nhận xét việc thay mặt phẳng hình chiếu cho điểm A thực cách dễ dàng (H 4-18)
- Biết cách lập đồ thức điểm thay mặt phẳng hình chiếu bằng, ta suy cách thành lập đồ thức đường thẳng hay mặt phẳng
(3)Ta xét vài thí dụ:
• Thí dụ 1: Cho đoạn thẳng AB
(A1B1, A2B2) Thay mặt phẳng hình chiếu cho hệ thống mặt phẳng hình chiếu AB đường (H 4-19)
• Giải: Điều kiện có đủ để AB đường A1B1 phải song song với trục hình chiếu Do chọn x’ // A1B1 Hình chiếu đoạn thẳng A2’B2’
(4)• Thí dụ 2: Cho mặt phẳng ABC Thay mặt phẳng hình chiếu cho mặt phẳng hình chiếu ABC mặt phẳng hình chiếu (H 4-20)
• Giải: Mặt phẳng P2’ phải chọn vừa
vng góc với ABC vừa vng góc với P1 nên vng góc với đường mặt
của mặt phẳng ABC Do trục hình chiếu x’ phải vng góc với hình chiếu đứng đường mặt ABC Suy bước vẽ:
• Vẽ đường mặt ABC, ví dụ đường mặt AE
• Vẽ x’ A1E1
• Hình chiếu ABC
A2’B2’C2’ Ba điểm thẳng hàng
trong hệ thống mặt phẳng hình chiếu ABC mặt phẳng chiếu
• Góc A2’B2’C2’ với x’ góc
(5)• b) Thay mặt phẳng hình chiếu đứng:
• Tương tự trên, thay mặt phẳng hình chiếu đứng ta có (H.4-21):
- Hình chiếu A2 A không thay
đổi
- Độ cao điểm A hệ thống hình chiếu độ cao điểm A
trong hệ thống hình chiếu cũ, tức là: A1’Ax = A1Ax = AA2
(6)• Một vài thí dụ áp dụng:
• Thí dụ 1: Thay mặt phẳng hình chiếu đứng để đường AB trở thành đường thẳng chiếu đứng (H.4-23) • Giải: Để đường AB trở
thành đường thẳng chiếu đứng phải chọn x’ vng góc A2B2 Hình chiếu đứng AB trùng thành điểm, cách x’ đoạn độ cao
(7)• Thí dụ 2: Thay mặt phẳng
hình chiếu đứng để mặt phẳng chiếu ABC trở thành
mặt phẳng mặt (H.4-24) • Giải: ABC trở thành mặt
phẳng mặt A2B2C2 song song với trục
hình chiếu
• Do ta chọn x’ // A2B2C2 Vì hệ thống mặt phẳng ABC mặt phẳng mặt nên
(8)c) Thay liên tiếp mặt phẳng hình chiếu:
• Như đã xét trên, cách mặt phẳng hình chiếu ta đưa tốn xét dạng đặc biệt để cách giải trở nên đơn giản nhiều Bằng cách
thay liên tiếp mặt phẳng hình chiếu ta đưa đường thẳng thường trở thành đường thẳng chiếu
(9)• 4.3.2 PHÉP QUAY HÌNH
PHẲNG QUANH ĐƯỜNG BẰNG HAY ĐƯỜNG MẶT CỦA NĨ:
• Dưới trình bày phương pháp khác đưa mặt phẳng vị trí song song với mặt phẳng hình chiếu: phương pháp quay hình phẳng quanh đường hay đường mặt
• Trước hết ta nhắc lại khái niệm quay điểm quanh đường thẳng:
• Quay điểm M quanh đường thẳng d góc có hướng thực phép biến đổi cho:
1 ảnh M’ M với M nằm mặt phẳng P vng góc với d
2 Khoảng cách M M’ đến d nhau: OM = OM’ (O giao điểm P với d)
3 Góc MOM’ =
• Đường thẳng d gọi trục quay Khoảng cách OM từ M đến d gọi bán kính quay điểm M (H.4-25)
• Quay hình quanh đường thẳng d góc quay điểm quanh d theo góc Để quay đường thẳng hay mặt phẳng quanh đường thẳng d góc quay hai điểm đường thẳng hay ba điểm mặt phẳng quanh d theo góc Từ để quay hình phẳng quanh đường hay đường mặt ta cần quay điểm mặt phẳng
(10)• Ta xét vài thí dụ:
• Thí dụ 1: Cho mặt phẳng ABC có AB đường Hãy quay mặt phẳng ABC quanh AB để Abc trở thành song song với mặt phẳng hình chiếu
• Giải: Ta cần quay C quanh AB vị trí C’ cho ABC’ song song với P2 Để xác
định C’ ta dựa vào điều kiện phép quay điểm quanh đường thẳng - Điểm C điểm C’ nằm mặt phẳng
vng góc với AB (điều kiện 1) Vì AB đường nên mặt phẳng mặt
phẳng chiếu Do đó: C2C2’ A2B2
• Gọi O2 = C2C2’ A2B2 O2 hình
chiếu điểm O (O giao điểm AB với mặt phẳng chiếu chứa CC’) • OC’ = OC (điều kiện 2) Từ điều kiện
ta dễ dàng xác định C2’ biết độ
dài OC (H 4-26)
(11)• Thí dụ 2: Vẽ mặt phẳng P (V1P, V2P)
một tam giác ABC Cạnh AB tam giác cho trước (H 4-27)
• Giải: Để xác định đỉnh C ta gập mặt phẳng P, chẳng hạn, vào mặt phẳng P2 Việc gập
thực cách quay điểm N P (trên đồ thức ta lấy N V1P) quanh V2P
đến N’ P2 Cách xác định N’ thấy rõ hình
vẽ
(N’N2 V2P; O2N’ = O2N2*) Vết đứng V1P
của mặt phẳng gập thành
V1’P PxN’ Điểm N’ cịn xác định với
chú ý PxN1 = PxN’ Hình gập AB
A’B’, vẽ cách gắn lên đường thẳng IK
Vì I V1P nên I’ V1P’; K V2P nên K K’
Với A’B’ làm cạnh, ta dựng tam giác A’B’C’ A’B’C’ hình gập tam
giác ABC cần vẽ Sau theo C’ xác định C2
và C1 Chú ý C’B’ cắt V2P E’ E E2 nên
C2 E2B2 C1 E1B1
(12)4.4 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC MẶT
4.4.1 GIAO CỦA MẶT PHẲNG VỚI MẶT:
a) Giao mặt phẳng với đa diện:
• Giao mặt phẳng với đa diện thường hay nhiều đa giác có cạnh giao tuyến mặt bên đa diện với mặt phẳng có đỉnh giao điểm cạnh đa diện với mặt phẳng
• Để xác định giao mặt phẳng với đa diện, ta có thể:
- Xác định đỉnh giao cách tìm giao điểm cạnh đa diện với mặt phẳng đã cho
(13)• Thí dụ: Vẽ giao mặt phẳng P với mặt chóp cho hình vẽ 4-28
• Giải: Ta cần vẽ giao tuyến mặt bên đa diện với mặt phẳng đã cho
• Thí dụ ta vẽ giao tuyến mặt SAC với mặt đã cho
• Để vẽ giao tuyến mặt SAC với mặt phẳng P, ta tìm giao điểm K đường thẳng SA với mặt phẳng P
(14)• b) Giao mặt phẳng với mặt cong:
• Nói chung giao mặt phẳng với mặt cong đường cong phẳng mặt cong mặt đại số bậc n giao mặt phẳng với mặt
một đường cong đại số bậc n
• Muốn vẽ điểm giao mặt phẳng với mặt cong
người ta thường làm sau: Vẽ mặt phẳng phụ trợ cắt mặt phẳng đã cho theo đường thẳng g cắt mặt cong theo
(15)1 Giao mặt phẳng với mặt cầu:
• Giao mặt phẳng với mặt cầu đường trịn.Hình chiếu đường trịn mặt phẳng hình chiếu elíp Các yếu tố xác định elíp xác định theo vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu • Thí dụ: Vẽ giao mặt phẳng chiếu đứng
K với mặt cầu (H 4-30)
• Giải: Giao phải tìm đường trịn có tâm I với I1 C1 D1 Vì mặt phẳng cắt mặt
phẳng chiếu đứng nên hình chiếu đứng giao đoạn thẳng A1B1 thuộc hình chiếu
đứng K1 mặt phẳng cắt Biết hình chiếu
đứng giao ta dễ dàng suy hình chiếu elíp có trục dài C2D2 = A1B1
(với C1 D1 điểm A1B1) trục
ngắn A2B2 Các giao điểm đường tròn
vĩ tuyến với mặt phẳng cắt cho ta điểm ranh giới thấy khuất E, G giao hình chiếu
(16)• Giao mặt phẳng với mặt nón:
• Giao mặt phẳng mặt nón có đáy đường trịn là:
• Một đường trịn , mặt phẳng đã cho song song với mặt • phẳng đáy nón
• Một đường elíp, điểm giao điểm hữu hạn, tức mặt phẳng đã cho phải cắt tất đường sinh nón
• Một parabơn giao có vơ tận, tức mặt phẳng đã cho song song với đường sinh nón
• Một hypecbơn giao có hai điểm vơ tận, tức mặt phẳng đã cho song song với hai đường sinh nón
(17)• Thí dụ: Vẽ giao mặt phẳng chiếu đứng K với mặt nón trịn xoay đỉnh S (H 4-31)
• Giải: Theo hình đã cho ta dễ
nhận thấy mặt phẳng chiếu đứng K cắt tất đường sinh nón Vậy giao phảI tìm đường elíp Hình chiếu đứng elíp đoạn thẳng thuộc K1 Hình chiếu elíp
(18)• Giao mặt phẳng với mặt trụ:
• Giao mặt phẳng với mặt trụ đáy trịn là:
• Một đường trịn mặt phẳng đã cho song song với đáy trụ.
• Một elíp mặt phẳng đã cho khơng song song với đáy trụ.
• Hai đường thẳng khác mặt phẳng cắt song song với đường sinh trụ cắt đáy trụ hai
(19)• Thí dụ: Vẽ giao tuyến mặt phẳng K cho vết với mặt trụ có đường chuẩn trịn cho
hình 4-32
• Giải: Để tìm giao điểm đường sinh trụ với mặt phẳng cắt K ta thay mặt phẳng hình chiếu đứng để mặt phẳng K đã cho trở thành mặt phẳng chiếu đứng Từ hình chiếu đứng V1'K ta biết dạng giao
Theo hình vẽ ta dễ dàng thấy mặt phẳng K cắt trụ theo elíp Hình chiếu đứng elíp đoạn thẳng A1'B1'
thuộc V1'K.Có hình chiếu đứng
mới ta suy hình chiếu hình chiếu đứng elíp cần tìm Ta thấy B, A
(20)4 Giao mặt phẳng với mặt tròn xoay: Giao mặt phẳng với mặt tròn xoay là:
- Một đường kinh tuyến mặt phẳng cắt qua trục.
- Một đường vĩ tuyến mặt phẳng cắt vng góc với trục.
(21)• Thí dụ: Vẽ giao mặt phẳng P với mặt elípxơít trịn xoay cho hình 4-33
• Giải: Vì mặt phẳng cắt khơng vng góc với trục của mặt trịn xoay nên
giao đường elíp. • Ta tìm điểm
(22)4.4.2 GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT: a) Giao đường thẳng với đa diện:
Muốn tìm giao đường thẳng với đa
diện, người ta thường dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ Nội dung phương pháp sau:
- Qua đường thẳng đã cho dựng mặt phẳng gọi mặt phẳng phụ trợ.
- Tìm giao mặt phẳng phụ trợ với đa diện đã cho Giao gọi giao phụ.
(23)• Thí dụ: Vẽ giao đường thẳng l với tứ diện ABCD (H 4-34)
• Giải: Ta thực hiên sau: • Dựng qua l mặt phẳng chiếu
đứng K
• Vẽ giao K với tứ diện, giao phụ g tứ giác MNPQ
• Vẽ giao g với đường thẳng đã cho Theo hình vẽ giao phải tìm hai điểm K, H
• Theo hình vẽ , hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K
(24)b) Giao đường thẳng với mặt cong:
• Muốn tìm giao đường thẳng l với mặt cong người ta thường dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ Nội dung phương pháp sau :
- Qua đường thẳng đã cho l dựng mặt phẳng phụ trợ K.
- Vẽ giao g K với mặt đã cho, giao g gọi giao phụ.
(25)• Giao đường thẳng với mặt cầu:
• Ta đã biết mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn Vấn đề chọn mặt phẳng phụ trợ để việc vẽ giao đường thẳng với đường tròn phụ đơn giản.Người ta thường chọn mặt
phẳng phụ trợ mặt phẳng chiếu hay mặt phẳng qua tâm mặt cầu
• Trên hình 4-35, để tìm giao l với mặt cầu ta chọn mặt phẳng phụ trợ mặt phẳng chiếu đứng K chứa l Hình chiếu đứng K1 trùng với l1 Để tìm
giao điểm l với đường tròn phụ v ta dùng
phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu Mặt phẳng hình chiếu chọn trùng với mặt phẳng phụ trợ Dựa vào hình chiếu l đường tròn v, ta dễ dàng vẽ giao điểm H, K l với v Các giao điểm giao phải tìm
(26)2 GIAO CỦA ĐƯỜNG
THẲNG VỚI MẶT NĨN, MẶT TRỤ:
• Trong trường hợp người ta thường dùng mặt phẳng phụ trợ mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho qua đỉnh nón hay song song với đường sinh trụ (để giao phụ
đường thẳng)
• Thí dụ 1: Vẽ giao đường thẳng l với mặt nón có đường chuẩn năm mặt phẳng chiếu đứng D (H 4-36 )
• Giải: Mặt phẳng phụ trợ xác định l đỉnh S nón Để vẽ giao mặt phẳng phụ trợ với mặt nón ta làm sau :
- Vẽ giao tuyến g mặt phẳng phụ trợ với mặt phẳng chứa đáy nón
- Xác định giao điểm 1, g với đường chuẩn Giao mặt phẳng phụ trợ với mặt nón (giao phụ) hai đường thẳng S1, S2 với
l
(27)• Thí dụ 2: Vẽ giao đường thẳng l với mặt trụ (H 4-37 )
• Giải: Mặt phẳng phụ trợ mặt phẳng chứa l song song với đường sinh mặt trụ Trên hình vẽ mặt phẳng mặt phẳng K chứa l chứa đường thẳng t song
song với đường sinh mặt trụ (t qua điểm M l)
• Mặt phẳng phụ trợ K cắt đường
chuẩn trụ hai điểm 1, Giao phụ hai đường sinh qua 1, Các giao điểm K, H đường sinh với l giao l với trụ • Trên hình chiếu điểm K thấy,
điểm H khuất
(28)