phuong trinh luong giac khong mau muc

Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa.. Một số phương trình lư[r]

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Một số tốn phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù phương trình, khơng nằm phương pháp nêu hầu hết sách giáo khoa

Một số phương trình lượng giác thể tính khơng mẫu mực dạng chúng, có phương trình ta thấy dạng bình thường cách giải lại khơng mẫu mực

Sau phương trình lượng giác có cách giải khơng mẫu mực thường gặp I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG

Phương pháp nhằm biến đổi phương trình lượng giác dạng vế tổng bình phương số hạng (hay tổng số hạng không âm) vế cịn lại khơng áp dụng tính chất:

A2+B2=0⇔ A=0

B=0

¿{ Bài Giải phương trình:

3 tan2x+4 sin2x −2

√

3 tanx −4 sinx+2=0 GIẢI ¿

√

3 tanx −1=0

2 sinx −1=0 ¿ ⇔ ¿tanx=

√

3

3

¿

sinx=1

2

¿ ⇔ ¿x=π

6+mπ

x=π

6+2nπ tan2x+4 sin2x −2

√

3 tanx −4 sinx+2=0 ⇔3 tan2x −2

√

3 tanx+1+4 sin2x −4 sinx+1=0

2 sinx −1¿2=0 ¿

¿ ⇔

ĐS x=π

6+2kπ (k∈Z)

II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP

Phương pháp xây dựng tính chất: Để giải phương trình f(x)=g(x) , ta nghĩ đến việc chứng minh tồn A → R:

f(x)≥ A ,∀x∈(a , b) g(x)≤ A ,∀x∈(a ,b) đó: f(x)=g(x)⇔

f(x)=A g(x)=A

¿{

Nếu ta có f(x)>A g(x)<A , ∀x∈(a , b)

kết luận phương

trình vơ ngiệm.

Bài Giải phương trình:

cos5x+x2=0

GIẢI

cos5x

+x2=0⇔x2=−cos5x

Vì −1≤cosx ≤1 nên 0≤ x2≤1⇔−1≤ x ≤1

mà

[

−1,1

]

⊂

(

− π

2 ,

π

2

)

⇒cosx>0,∀x∈

[

−1,1

]

⇒−cos

5x<0,∀x∈

[

−1,1

]

Do x2>0 −cos5x<0 nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm

Bài Giải phương trình:

sin1996x+cos1996x=1 (1)

GIẢI (1) ⇔sin1996x

+cos1996x=sin2x+cos2x

⇔sin2x(sin1994x −1)=cos2x(1−cos1994x) (2)

Ta thấy

¿

sin2x ≥0

sin1994x ≤1

⇒sin2x

(sin1994x −1)≤0,∀x ¿{

¿

Mà

¿

cos2x ≥0

1−cos1994x ≥0

⇒cos2x

(1−cos1994x)≥0,∀x ¿{

Do (2)

⇔

sin2x(sin1994x −1)=0

cos2x(1−cos1994x)=0 ⇔

sinx=0

¿

sinx=±1

¿

cosx=0

¿

cosx=±1

¿ ¿⇔

¿ x=mπ

¿ x=π

2+mπ

¿ x=π

2+nπ

¿ x=nπ

¿ ¿(m , n∈Z)

¿ ¿ ¿ ¿

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

¿ ¿ ¿

Vậy nghiệm phương trình là: x=kπ

2(k∈Z)

ĐS x=k π

2(k∈Z)



sin ax sin bx=1⇔ ¿sin ax=1

sin bx=1 ¿ ¿ ¿

sin ax=−1

¿ ¿

sin bx=−1

¿ ¿ ¿



sin ax sin bx=−1⇔ ¿sin ax=1

sin bx=−1

¿ ¿ ¿

sin ax=−1

¿ ¿

sin bx=1 ¿ ¿ ¿

Cách giải tương tự cho phương trình thuộc dạng:

cos ax cos bx=1

cos ax cos bx=−1 sin ax cos bx=1

sin ax cos bx=−1

III PHƯƠNG PHÁP ĐỐN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM

Tuỳ theo dạng điều kiện phương trình, ta tính nhẩm nghiệm phương trình, sau chứng tỏ nghiệm cách thông sụng sau:

 Dùng tính chất đại số

 Áp dụng tính đơn điệu hàm số

Phương trình f(x)=0 có nghiệm x=α∈(a ,b) hàm f đơn điệu (a , b) f(x)=0 có nghiệm x=α

Phương trình f(x)=g(x) có nghiệm x=α∈(a ,b) , f (x) tăng (giảm) (a , b) , g(x) giảm (tăng) (a , b) phương trình f(x)=g(x) có nghiệm x=α

Bài Giải phương trình:

cosx=1−x

2 với x>0

Ta thấy phương trình có nghiệm x=0 Đặt f(x)=cosx+x

2

2 −1 biểu thức hàm số có đạo hàm

f '(x)=−sinx+x>0,∀x>0 (vì |x|>|sinx|,∀x ) ⇒ Hàm f đơn điệu tăng (0,+∞) ⇒ f(x)=0 có nghiệm (0,+∞) Vậy phương trình cho có nghiệm x=0 B.CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN

Bài 1: Giải phương trình: x2−2xcosx −2 sinx

+2=0 (1)

GIẢI Ta có (1) ⇔x2−2xcosx

+cos2x+sin2x −2 sinx+1=0 ¿x −cosx=0

sinx −1=0 ¿ ⇔ ¿cosx=x

¿

sinx=1 sinx −1¿2=0

¿ ⇔ x −cosx¿2+¿

¿ ¿⇔¿ Phương trình vơ nghiệm Bài 2: Giải phương trình:

sin4x

+cos15x=1

GIẢI Ta có: sin4x+cos15x=1

⇔sin4x+cos15x=sin2x+cos2x ⇔sin2x

(sin2x −1)=cos2x(1−cos13x) (1) Vì sin2x(sin2x −1)≤0,∀x

Và cos2x(1−cos13x)≥0,∀x

Do (1)

⇔

sin2x(sin2x −1)=0

⇔

sinx=0

¿

sinx=±1

¿

cosx=0

¿

cosx=1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

¿ ¿ ¿ ⇔ x=mπ

¿ x=π

2+mπ

¿ x=π

2+nπ

¿ x=2nπ

¿ ¿(m, n∈Z)

¿ ¿ ¿ ¿

¿ ¿ ¿

ĐS x=π

2+kπ hay x=2kπ , (k∈Z)

C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI Bài 3: Giải phương trình:

1 sin4x

+cos4(x+π

4)= (1)

2 tanx+14cotx¿n=cosnx+sinnx(n=2,3,4, .)

¿

GIẢI Ta có:

(1)

1−sin 2x¿2=1

1−cos 2x¿2+¿ ⇔¿

⇔cos 2x+sin 2x=1 ⇔cos(2x −π

4)=

√

2

⇔ x=kπ

¿ x=π

4+kπ

¿ (k∈Z)

¿ ¿ ¿

2.Với điều kiện x ≠ k π

2 ta có tanx cotx ln dấu nên:

|

tanx+1

4cotx

|

=|tanx|+

|

4cotx

|

≥2

√

|

tanx⋅

4cotx

|

=1⇒

|

tanx+ 4cotx

|

n

≥1

Dấu "=" xảy ⇔|tanx|=

|

1

4cotx

|

⇔tan

2x=1

4⇔tanx=±

1

 Với n=2 : phương trình

(

tanx+1

4cotx

)

2

=1 có nghiệm cho bởi:

tanx=±1

2⇔x=±arctan

2+kπ(k∈Z)

 Với n∈Z , n>2 thì:

cosnx+sinnx ≤cos2x+sin2x=1

Dấu xảy

⇔ x=kπ

2khin=2m

¿ x=2kπhayx=π

2+2kπkhin=2m+1

¿ (k , m∈Z)

¿ ¿ ¿ (đều không thoả mãn điều kiện x ≠ k π

2 phương trình)

Vậy với n>2, n∈Z phương trình vơ nghiệm ĐS x=±arctan1

2+kπ(k∈Z)

cosx

√

cosx −1+cos 3x

√

1

cos 3x−1=1 (1) GIẢI Điều kiện:

¿

cosx>0

cos 3x>0

¿{ ¿

Khi (1) ⇔

√

cosx −cos2x

+

√

cos 3x −cos23x=1 Vì

a −1

2¿

2

≥0⇒a − a2≤1

4

a2− a+1

4=¿

Do cosx −cos2x ≤1

4 cos 3x −cos

2

3x ≤1

4

⇒

√

cosx −cos2x ≤1

2và

√

cos 3x −cos

23x ≤1

2

Dấu xảy

⇔

cosx −cos2x=1

4 cos 3x −cos23x=1

4

⇔ ¿cosx=1

2 cos 3x=1

2

⇔x∈∅ ¿{ Vậy phương trình (1) vơ nghiệm D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Giải phương trình:

sin3x+cos3x=2−sin4x

HƯỚNG DẪN

sin3x ≤sin2x ,∀x

cos3x ≤cos2x ,∀x ⇒sin3x+cos3x ≤1,∀x

2−sin4x ≥1,∀x

Vậy phương trình tương đương:

¿

sin3x+cos3x=1 2−sin4x=1

ĐS x=π

2+2kπ(k∈Z)

Bài 2: Giải phương trình:

sinx+tanx −2x=0 với 0≤ x ≤π

2

HƯỚNG DẪN Dễ thấy phương trình có nghiệm x=0

Đặt f(x)=sinx+tanx −2x liên tục ¿ Có đạo hàm: f '(x)=(cosx −1)(cos

2x −cosx −1 )

cos2x ≥0,∀x∈¿

1−

√

5

2 <0≤cosx ≤1< 1+

√

5

2 ⇒cos

2x −cosx −1 <0 ⇒f đơn điệu tăng ¿

Bài 3: Giải phương trình: (cos 4x −cos 2x)2=5+sin3x ĐS x=π

2+2kπ(k∈Z)

Bài 4: Giải phương trình:

cos4x −sin4x=|cosx|+|sinx| ĐS x=kπ(k∈Z)

Bài 5: Giải phương trình: x2−2 sin xy+1=0

ĐS

¿ x=1

y=π

2+2kπ

¿{ ¿

hay

¿ x=−1

y=π

2+2kπ

¿{ ¿