cach giai tong quat PT bac 3 va bac 4

biểu thức phức tạp kết quả, chúng tôi cũng đã lựa chọn trong số ba nguồn gốc khối lập phương trong từng phần của mỗi giải pháp, cho chín kết hợp có thể của một trong ba nguồn gốc khối l[r]

Trước tiên, chia phương trình cho α3 để đưa dạng

Đặt x = t - a/3 biến đổi ta có phương trình

Nó gọi phương trình bậc ba suy biến Ta tìm số u v cho

một nghiệm tìm từ việc đặt

có thể kiểm tra trực tiếp thay giá trị t vào (2), nhờ đảng thức lập phương nhị thức

Hệ (3) giải từ phương trình thứ hai rút v, ta có

Thay vào phương trình thứ (3) ta có

Phương trình tương đương với phương trình bậc hai với u3 Khi giải, ta tìm được

Vì t = v − u t = x + a/3, ta tìm

Mỗi phương trình bậc ba (1) với thực tế hệ số có giải pháp xgiữa số thực, điều hệ định lý giá trị trung gian Chúng ta phân biệt số trường hợp sử dụng cácbiệt ,

Các trường hợp sau cần phải xem xét: [ 17 ]

 Nếu Δ> 0, sau phương trình có ba nguồn gốc khác biệt thực

 Nếu Δ = 0, sau phương trình có gốc rễ nhiều tất rễ thực

 Nếu Δ <0, sau phương trình có gốc rễ thực hai nhân liên hợp nonreal phức tạp

Xem thêm: đa dạng thư mục gốc đa thức [ sửa ]

Tổng công thức rễ

Đối với phương trình bậc ba chung (1) với hệ số thực tế, công thức chung rễ, hệ số, sau Lưu ý biểu thức dấu bậc hai

sau , mà biệt nói

tượng vuông (tương tự hai phần giải pháp cho x i ) Để giải nén bậc phức tạp

biểu thức phức tạp kết quả, lựa chọn số ba nguồn gốc khối lập phương phần giải pháp, cho chín kết hợp ba nguồn gốc khối lập phương cho phần biểu thức ba thứ hai Sự kết hợp mà hai bậc hai điều khoản biểu thức giải pháp cho lựa chọn tiếp hợp phức tạp (mà hai điều khoản giải pháp tưởng tượng hủy bỏ ra)

Một cách khác để viết giải pháp thu cách lưu ý chứng công thức cho thấy sản phẩm bậc hai hợp lý Điều cho phép công thức sau viết tắt cho lựa chọn gốc hình vng hình khối,

Nếu , dấu hiệu chọn để có

Nếu rễ bình đẳng:

Nếu , biểu thức cho rễ xác sai lệch, che giấu thực tế khơng có cần thiết để đại diện cho rễ Trong thực tế, trường hợp này, có gốc đơi,

Xét phương trình bậc bốn:

(*) Ta đưa vào phương trình ẩn phụ y sau:

Cộng hai vế phương trình (*) cho Ta có:

(**)

Ta tìm giá trị y cho vế phải biểu thức phương (trường hợp vế phải (*) biểu thức chính phương việc đưa vào biến phụ y không cần thiết) Muốn vậy, vế phải phải có nghiệm kép theo biến x.

Hay:

Nghĩa là, ta tìm y nghiệm phương trình:

(***)

Với giá trị vừa tìm vế phải (**) có dạng Do đó, vào phương trình (**) ta có:

(****) Từ (****) ta có phương trình bậc hai:

(a)

nghiệm (thực phức) Do đó, giá trị x tương ứng với y0 phải trùng lại với giá trị x tương ứng với y1 y2 Vì vậy, từ (***) ta cần tìm giá trị yo đủ

Trong nghiên cứu cách giải phương trình bậc ba tổng quát

1 Phương trình có dạng:

(

1

), a, b, c, d số thực cho

trước

.

2 Cách giải:

Bây ta xét cách giải phương trình (1).

Vì

nên ta chia hai vế phương trình (1) cho a Do ta cần giải phương

trình dạng :

(

2

)

Đặt

, (

2

) trở thành :

(

3

)

Trong đó:

.

Đặt

Để xét số nghiệm (3), ta khảo sát tương giao hàm

số

với trục Ox.

Chú ý hàm bậc ba cắt Ox tại

· Một điểm hàm đơn điệu

· Hai điểm

· Ba điểm

Xét hàm số

, ta có:

.

* Nếu

hàm đồng biến

có nghiệm.

* Nếu

và

.

Từ ta có kết sau:

* Nếu

có nghiệm Để tìm nghiệm ta làm sau:

Đặt

, (3) trở thành:

Ta chọn u,v cho:

, lúc

ta có hệ:

là nghiệm phương trình:

4

)

(

4

) có hai nghiệm:

(*)

Công thức (*) gọi công thức Cardano.

nghiệm đơn Tức là:

hoặc

(**).

* Nếu

, (3) có ba nghiệm phân biệt ba nghiệm nằm

khoảng

Để tìm ba nghiệm ta đặt

, với

ta đưa (3)

về dạng:

(5),

.

Giải (5) ta ba nghiệm

, từ suy ba nghiệm phương trình (3) :

(***).

Chú ý :

Trong số trường hợp để giải phương trình bậc ba ta tìm nghiệm thực

phép chia đa thức chuyển phương trình cho phương trình tích nhị thức bậc

và tam thức bậc hai.

Ví dụ 1:

Giải phương trình :

.

Giải:

Ta thấy phương trình có nghiệm

(dùng MTBT) nên ta biến đổi phương

trình :

.

Ví dụ 2:

Giải phương trình :

.

Giải:

Ta có:

nên phương

trình có nghiệm:

.

Ví dụ 3:

Giải phương trình :

(1).

Giải:

Ta có:

nên phương trình có ba nghiệm thuộc

khoảng

Đặt

với

(2) trở thành:

Vậy phương trình có ba nghiệm:

.

Ví dụ 4:

Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

(1).

Giải:

Vì tổng hệ số phương trình nên phương trình có nghiệm

nên :

Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

.

Vậy

giá trị cần tìm.

Chú ý :

Số nghiệm PT :

phụ thuộc vào số nghiệm tam

thức:

Cụ thể

* Nếu

có hai nghiệm phân biệt

, tức là:

phương trình có ba nghiệm phân

biệt.

* Nếu

có hai nghiệm phân biệt, nghiệm , tức là:

phương

trình có hai nghiệm:

.

* Nếu

có nghiệm kép khác , tức là:

thì phương trình có hai nghiệm

và

.

* Nếu

có nghiệm kép

, tức là:

thì phương trình có nghiệm

.

* Nếu

vơ nghiệm phương trình có nghiệm

.

Ví dụ 5:

Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox hai điểm phân biệt:

Giải:

Ta có phương trình hồnh độ giao điểm:

u cầu tốn

có hai nghiệm phân biệt.

TH 1:

có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm

bằng Điều có

TH 2:

có nghiệm khác Khi xảy hai khả năng

Khả 1:

Khả 2:

.

Vậy giá trị m cần tìm là:

.

Ví dụ 6

: Chứng minh phương trình :

có nghiệm

(1).

Giải:

Giả sử phương trình có ba nghiệm Ta chứng minh (1).

* Nếu ba nghiệm phương trình trùng

đúng.

* Nếu ba nghiệm phương trình có hai nghiệm trùng hoắc ba nghiệm phân biệt Khi

đó ta có:

,

( đó:

)

.

đpcm.

thực tế định lý giá trị trung gian cbiệt [ 17 ] gốc rễ nhiều sửa