biểu thức phức tạp kết quả, chúng tôi cũng đã lựa chọn trong số ba nguồn gốc khối lập phương trong từng phần của mỗi giải pháp, cho chín kết hợp có thể của một trong ba nguồn gốc khối l[r]
(1)Trước tiên, chia phương trình cho α3 để đưa dạng
Đặt x = t - a/3 biến đổi ta có phương trình
Nó gọi phương trình bậc ba suy biến Ta tìm số u v cho
một nghiệm tìm từ việc đặt
có thể kiểm tra trực tiếp thay giá trị t vào (2), nhờ đảng thức lập phương nhị thức
Hệ (3) giải từ phương trình thứ hai rút v, ta có
Thay vào phương trình thứ (3) ta có
Phương trình tương đương với phương trình bậc hai với u3 Khi giải, ta tìm được
Vì t = v − u t = x + a/3, ta tìm
(2)Mỗi phương trình bậc ba (1) với thực tế hệ số có giải pháp xgiữa số thực, điều hệ định lý giá trị trung gian Chúng ta phân biệt số trường hợp sử dụng cácbiệt ,
Các trường hợp sau cần phải xem xét: [ 17 ]
Nếu Δ> 0, sau phương trình có ba nguồn gốc khác biệt thực
Nếu Δ = 0, sau phương trình có gốc rễ nhiều tất rễ thực
Nếu Δ <0, sau phương trình có gốc rễ thực hai nhân liên hợp nonreal phức tạp
Xem thêm: đa dạng thư mục gốc đa thức [ sửa ]Tổng công thức rễ
Đối với phương trình bậc ba chung (1) với hệ số thực tế, công thức chung rễ, hệ số, sau Lưu ý biểu thức dấu bậc hai
sau , mà biệt nói
(3)tượng vuông (tương tự hai phần giải pháp cho x i ) Để giải nén bậc phức tạp
biểu thức phức tạp kết quả, lựa chọn số ba nguồn gốc khối lập phương phần giải pháp, cho chín kết hợp ba nguồn gốc khối lập phương cho phần biểu thức ba thứ hai Sự kết hợp mà hai bậc hai điều khoản biểu thức giải pháp cho lựa chọn tiếp hợp phức tạp (mà hai điều khoản giải pháp tưởng tượng hủy bỏ ra)
Một cách khác để viết giải pháp thu cách lưu ý chứng công thức cho thấy sản phẩm bậc hai hợp lý Điều cho phép công thức sau viết tắt cho lựa chọn gốc hình vng hình khối,
Nếu , dấu hiệu chọn để có
Nếu rễ bình đẳng:
Nếu , biểu thức cho rễ xác sai lệch, che giấu thực tế khơng có cần thiết để đại diện cho rễ Trong thực tế, trường hợp này, có gốc đơi,
(4)Xét phương trình bậc bốn:
(*) Ta đưa vào phương trình ẩn phụ y sau:
Cộng hai vế phương trình (*) cho Ta có:
(**)
Ta tìm giá trị y cho vế phải biểu thức phương (trường hợp vế phải (*) biểu thức chính phương việc đưa vào biến phụ y không cần thiết) Muốn vậy, vế phải phải có nghiệm kép theo biến x.
Hay:
Nghĩa là, ta tìm y nghiệm phương trình:
(***)
Với giá trị vừa tìm vế phải (**) có dạng Do đó, vào phương trình (**) ta có:
(****) Từ (****) ta có phương trình bậc hai:
(a)
(5)nghiệm (thực phức) Do đó, giá trị x tương ứng với y0 phải trùng lại với giá trị x tương ứng với y1 y2 Vì vậy, từ (***) ta cần tìm giá trị yo đủ
Trong nghiên cứu cách giải phương trình bậc ba tổng quát
1 Phương trình có dạng: (1), a, b, c, d số thực cho
trước .
2 Cách giải: Bây ta xét cách giải phương trình (1).
Vì nên ta chia hai vế phương trình (1) cho a Do ta cần giải phương trình dạng : (2)
Đặt , (2) trở thành : (3)
Trong đó: .
Đặt Để xét số nghiệm (3), ta khảo sát tương giao hàm
số với trục Ox.
Chú ý hàm bậc ba cắt Ox tại
· Một điểm hàm đơn điệu · Hai điểm
· Ba điểm
Xét hàm số , ta có: .
* Nếu hàm đồng biến có nghiệm.
* Nếu và
.
Từ ta có kết sau:
* Nếu có nghiệm Để tìm nghiệm ta làm sau: Đặt , (3) trở thành:
Ta chọn u,v cho: , lúc ta có hệ: là nghiệm phương trình: 4)
(4) có hai nghiệm: (*)
Công thức (*) gọi công thức Cardano.
(6)nghiệm đơn Tức là: hoặc (**).
* Nếu , (3) có ba nghiệm phân biệt ba nghiệm nằm
khoảng Để tìm ba nghiệm ta đặt , với ta đưa (3) về dạng: (5), .
Giải (5) ta ba nghiệm , từ suy ba nghiệm phương trình (3) : (***).
Chú ý : Trong số trường hợp để giải phương trình bậc ba ta tìm nghiệm thực
phép chia đa thức chuyển phương trình cho phương trình tích nhị thức bậc và tam thức bậc hai.
Ví dụ 1: Giải phương trình : .
Giải: Ta thấy phương trình có nghiệm (dùng MTBT) nên ta biến đổi phương
trình : .
Ví dụ 2: Giải phương trình : .
Giải: Ta có: nên phương
trình có nghiệm: .
Ví dụ 3: Giải phương trình : (1).
Giải:
Ta có: nên phương trình có ba nghiệm thuộc
khoảng Đặt với (2) trở thành:
(7)
Vậy phương trình có ba nghiệm: .
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
(1).
Giải: Vì tổng hệ số phương trình nên phương trình có nghiệm nên :
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt . Vậy giá trị cần tìm.
Chú ý : Số nghiệm PT : phụ thuộc vào số nghiệm tam
thức: Cụ thể
* Nếu có hai nghiệm phân biệt , tức là: phương trình có ba nghiệm phân biệt.
* Nếu có hai nghiệm phân biệt, nghiệm , tức là: phương trình có hai nghiệm: .
* Nếu có nghiệm kép khác , tức là: thì phương trình có hai nghiệm
và .
* Nếu có nghiệm kép , tức là: thì phương trình có nghiệm . * Nếu vơ nghiệm phương trình có nghiệm .
Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox hai điểm phân biệt:
Giải:
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm:
(8)u cầu tốn có hai nghiệm phân biệt.
TH 1: có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm
bằng Điều có
TH 2: có nghiệm khác Khi xảy hai khả năng
Khả 1:
Khả 2: .
Vậy giá trị m cần tìm là: .
Ví dụ 6: Chứng minh phương trình : có nghiệm
(1).
Giải: Giả sử phương trình có ba nghiệm Ta chứng minh (1).
* Nếu ba nghiệm phương trình trùng đúng.
* Nếu ba nghiệm phương trình có hai nghiệm trùng hoắc ba nghiệm phân biệt Khi
đó ta có: ,
( đó: )
.
đpcm.
thực tế định lý giá trị trung gian cbiệt [ 17 ] gốc rễ nhiều sửa