bai tap luong giac

Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệtd. Công thức biến đổi tích thành tổng..[r]

(1)

I CÔNG THỨC

I Công thức lượng giác bản





2 2

2

1

sin os 1 tan , ( )

os

1

tan cot 1, ( ) cot ,

2 sin

a c a a a k k

c a

a a a k k a a k k

a

  

 

      

       



 

I Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt

d Cung kém : và





a Cung đối:

v

















os os tan tan

sin sin cot cot

c  c   

   

   

   

b Cung bù: và 

















sin sin tan tan

os os cot cot

c c

     

   

   

c Cung phụ: và 

  

sin os tan cot

2

os sin cot tan

2

c c

 

   

 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

















sin sin tan tan

os os cot cot

c c

     

   

I Công thức cộng

























sin sin cos cos sin

os cos cos sin sin

tan tan

tan

1 tan tan

tan tan

tan

1 tan tan

a b a b a b

c a b a b a b

a b

a b

a b

a b

a b

  

  

  

  



 

 

 



I Công thức nhân đôi

2 2

2

2 tan

sin 2sin cos os2 os sin 2cos 1 2sin tan

1 tan

a

a a a c a c a a a a a

a

       

 I Công thức hạ bậc

2 os2 os2 os2

sin os tan

2 os2

c a c a c a

a c a a

c a

  

  



I Công thức tính theo

tan

t 

2

2 2

2

sin cos tan ,

1 1 2

t t t a

a a a k k

t t t

 

  

       

    

I Công thức nhân ba

3

2

3tan tan

sin 3sin 4sin os3 4cos 3cos tan

1 3tan

a a

a a a c a a a a

a 

    

 I Cơng thức biến đổi tổng thành tích









cos cos 2cos os cos cos 2sin sin

2 2

sin sin 2sin os sin sin os sin

2 2

sin sin

tan tan , , tan tan , ,

cos cos cos cos

a b a b a b a b

a b c a b

a b a b a b a b

a b c a b c

a b a b

a b a b k k a b a b k k

a b a b

 

   

   

   

   

     

             

   

(2)

























1

cos cos os os

2

sin sin os os

2

sin cos sin sin

2

a b c a b c a b

a b a b a b

     

     

     

I. 10 Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt

Cung 00

 

sin

2 2 3 2 2

cos

2 2 2  2 

 1

tan

3 ║  1

1



cot ║ 3 1

3

1

 1  ║

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC II Phương trình lượng giác bản: II.1.1 Phương trình

sin

x a



a

:

a







x

k

x

k

x

k





0 0

360 sin sin 180 360 x k x k x k                





x arc a k

x a k

x arc a k

               Tổng quát:

 





f x g x k

               * Các trường hợp đặc biệt













sin

2

sin

2

sin

x x k k

x x k k

                        

II.1.2. Phương trình

cos

x a



a

:

a

 c x cos  os  x  k2



k









0 0

os os 360

c x c   x k k 

 c x aos   xarcc a kos  2



k



Tổng quát:

 





os os

c f x c g x  f x g x k  k 

* Các trường hợp đặc biệt













os

2

c x x k k

c x x k k

                         II.1.3 Phương trình

tan

x a















0 0

tan t an =

tan t an = 180

tan = arctan

x x k k

x a x a k k

(3)

Tổng quát: tan f x

 

g x

 

f x

 

g x

 

k



k



II.1.4 Phương trình

cot

x a















0 0

cot cot x = + k

cot cot x = + k180

cot x = arc cot + k

x k

x a a k

  

 



   

  

Tổng quát: c f xot

 

c g x

 

f x

 

g x

 

k



k



Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải phương trình sau:

1) sin 2



x





x



2)

cos cos

4

x  x 

   

  

   

   3) tan 2



x





 

4)





0

cot 45

3

x

 

5)



sin 2 x

6)







 

cos 25

2 x

7) sin3xsinx 8) cot 4



x



9)





tan 15 x

10)





0

sin 8x60 sin 2x0

11)





0

cos cos 30

2

x

 

12) sinx cos 2x0 13)

tan cot

4

x   x

  14) sin 2xcos3x 15)



 

 

 

 

2

sin cos2

x x

16) sin 4x cosx 17) sin 5x sin 2x 18) sin 22 xsin 32 x 19) tan 3



x



x

20)

x

21)

x

22)

x

23)

x

24)

 

cos 2sin x x

25)







 

  

 

 

tan cot

x x

26) tan tan3x x1

27) 

 



 

 

2 sin cos

4 x 28) tan 4



x





 

 

 

 

Bài 2: Tìm

; 2 x   

  cho:tan 3



x



Bài 3:

x





sin cos

3

x  x 

   

   

   

    .

II.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp:

II.2.1 Phương trình bậc hàm số lượng giác:

dạng at b 0t a,b số



a



t

Ví dụ:

1

2sin 0; os2 0; 3tan 0; cot

2

x  c x  x  x 

Phương pháp: Đưa phương trình lượng giác bản. II.2.2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác:

dạng at2bt c 0, a, b, c số



a



Ví dụ:

(4)

c) tan2x tanx 0 phương trình bậc hai tanx

d) 3cot 32 x cot 3x 3 phương trình bậc hai cot 3x

Phương pháp: Đặt ẩn phụ t hàm số lượng giác đưa phương trình bậc hai theo t giải tìm t, đưa phương trình lượng giác (chú ý điều kiện   1 t đặt t sin cos)

Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau:

31) 2 cos2 x 3cosx 1 32) cos2 xsinx 1 33) 2 cos2x cosx1

34) 2sin2x5sin – 0x  35) 2cos2x + 2cosx -

√

36)

6 cos2x

+5 sinx −2=0 37)

2

3 tan x (1 3) tan =0x 38) 24 sin2 x14cos 21 0x 

39)

sin 2cos

3

x  x 

   

   

   

    40) 4cos 2( 1)cos2x  x 

II.2.3.Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx:

có dạng





2

.sin sin cos os , ,

a x b x x c c x d a b c  II.2.3.2 Phương pháp:

 Kiểm tra cosx0có nghiệm khơng, có nhận nghiệm

 cosx0chia hai vế cho cos2xđưa phương trình bậc hai theo tanx:

Bài 4.Giải phương trình sau: 81) sin 6x cos 6x 82) cos2xsinx 1 83) 3sinx cosx1 84) 5cos 2x12sin 2x13 85)

2

sin sin

2

x x 86) cos2 x sinx2

87) 4sin2 x3 3sin 2cosx 2x4 88) 24sin2 x14cosx 21 0

89)

tan cot

6 x x

 

   

    

   

   

90)

sin 2cos

3

x  x 

   

   

   

   

91)





2

3sin x8sin cosx x cos x0

92) 2sin 3x sin 6x0 93) cos2x sin2 x 94)

sin 3cos

3

x  x 

   

   

   

   

95)





2

4cos 2x cos x  96) sin2 x–10sin cosx x21cos2x0 97) cos2x sin2x 2sin 2x1 98) cos sin3 cosx x x sin cos 3x x 99)

1 sin cos

sin

x x

x

(5)

Dành cho HS – giỏi 100) cosx sinx2 os3c x 101) tanxtan tan x x

HD:

sin sin 1

tan tan tan sin

cos cos cos3 cos cos cos3

x x

x x x x

x x x x x x

 

       

 

Giải phương trình









3

1

0

cos cos cos3

cos3 cos cos

4cos 3cos cos 2cos

2cos 2cos

cos cos

x x x

x x x x

x x

 

  

    

  

102)



 



2

2sinx cosx cos x sin x 103) (1 cos )sin 2 x xsin x

Hướng dẫn:

2

(1 cos )sin 2 x xsin x

104) cos tanx



x

 

x



x

105)

x

Hướng dẫn

cotx tanxsinxcosx, (điều kiện sinx0và cosx0)



 





 











2

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

cos sin cos sin sin cos sin cos

cos sin cos sin sin cos

cos sin 91

cos sin sin cos 91

x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x a

x x x x b

   



  

     

    

  

 

  



HD giải pt 91b):

cosx sinx sin cosx x0

Đặt





2

cos sin cos sin 2sin cos sin cos

2

t t x x t  x x   x x  x x 

Thay vào phương trình, ta được:

2

1

0 1 2

2

t

t    t  t    t  t 

Ta giải phương trình: cosx sinx 1 2; cosx sinx 1

106)

2

sin 2 cos

4

x x 

HD:





2 3

sin 2 cos cos cos

4

x x    x  x  

(6)

107) 2sin 17x 3cos 5xsin 5x0 HD:

2sin17 3cos sin

3

sin17 cos sin

2

sin17 sin

3

x x x

x  x

  

   

 

    

 

108) cos 7x sin 5x cos 5



x



109)





0

tan 45 tan 180

x x    

 

200)

1 cos sin

cos cos

x x



 

) cos sin cos

b x x x

HƯỚNG DẪN GIẢI 52) 5sin 2x 6cos2x13;(*)





5sin cos 13

sin 3cos 16

x x

   

  

53)

 

  

 

  

       

        

 

   

 

 

2

4

1 cos 2

1 cos2

sin cos

4 2

x x



 



  

 

    

      

   

  

 

   

 

2

1 cos2 sin2

1 cos2 cos 2sin sin 1 cos2 sin

cos2 sin

1 cos2 sin 2

2 2

sin cos2 cos sin sin

4 4

sin sin

4

x x

x x x x

x x

x

72)





2

1 cos4 sin 4x x sin 2x



c

x



x

 



85)

2

sin sin

2

(7)





1

1 cos sin

2

sin cos

x x

   

  

87) cosx sinx c os3x

cosx sinxcos3x BÀI TẬP BỔ SUNG: Giải phương trình sau:

201) cos5 sin 4x xcos3 sin 2x x

202)

 

2

cos cos 2

x x

203) sinxsin2xsin3xcosxcos2xcos3x 204) sin3xsin 5xsin 7x0

205) cos2xcos 22 xcos 32 x1(*)

206)

 

   

  

   

   

3

sin 2sin

4

x x

(*) (hay)

  

  

         

 

3 3

: sin sin3

4 4

x

HD t x t x t

207)

 

   

  

   

   

3 sin 2sin

4

x x

III ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM

1) cos cos 2x x cos 2x0 (Khối A - 2005)

2) sin xcosxsin 2x c os2x0 (Khối B - 2005)

4

3) os sin cos sin

4

c x x x    x   

    (Khối D - 2005)





2 cos sin sin cos

4)

2 2sin

x x x x

x

 



 (Khối A - 2006)

5)

cot sin tan tan

2

x x x  x 

  (Khối B - 2006)

6)cos3x c os2x cosx1 0 (Khối D - 2006)

7)









2

1 sin x cosx 1cos x sinx 1 sin 2x

(Khối A – 2007)

8)2sin 22 xsin 7x1 sin x (Khối B – 2007)

9)

2

sin os cos

2

x x

c x

 

  

 

  (Khối D – 2007)

10)

1

4sin

sin sin

2

x

x x

 

 

    

    

 

  (Khối A – 2008)

(8)

12)2sin 1x



c

x



x

(Khối D – 2008)

13)



 



1 2sin cos

3

1 2sin sin

x x





 

(Khối A – 2009)

14)





3

sinxcos sin 2x x cos 3x2 cos 4xsin x

(Khối B – 2009)

15) cos5x 2sin cos 2x x sinx0 (Khối D – 2009)

16)

1 sin os2 sin

1

4 cos

1 tan

x c x x

x x



 

    

  

 (Khối A – 2010)

17)



x



x

(Khối B – 2010)

18) sin 2x c os2x3sinx cosx1 0 (Khối D – 2010)

19)

1 sin os2

2sin sin cot

x c x

x x

x

 



 (Khối A - 2011)

20) sin cosx xsin cosx x c os2xsinxcosx (Khối B - 2011) 21)

sin 2cos sin

0

tan

x x x

x

  



 (Khối D - 2011)

22) sin 2x c os2x2 cosx1 (Khối A A1 - 2012)

23) 2 cos



x



x

(Khối B - 2012)