Thông tin tài liệu
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ : ĐA THỨC B CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP: I TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: * Định lí bổ sung: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) số a-1 a+1 nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự Ví dụ 1: 3x2 – 8x + Cách 1: Tách hạng tử thứ 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 – 8x + = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – + x)(2x – – x) = (x – 2)(3x – 2) Ví dụ 2: x3 – x2 - Ta nhân thấy nghiệm f(x) có x = 1; 2; 4 , có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: x3 - x2 – = x 2x x 2x 2x x x x(x 2) 2(x 2) = x 2 x x 2 Cách 2: x x x x x x (x 2)(x 2x 4) (x 2)(x 2) = x x 2x (x 2) (x 2)(x x 2) Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Nhận xét: 1, 5 không nghiệm f(x), f(x) khơng có nghiệm ngun Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ Ta nhận thấy x = nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = 3x x 6x 2x 15x 3x x 6x 2x 15x = x (3x 1) 2x(3x 1) 5(3x 1) (3x 1)(x 2x 5) Vì x 2x (x 2x 1) (x 1) với x nên không phân tích thành nhân tử Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích 6.Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)= (x2 + x + 1)(x2 - x + + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) = x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002) II THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ: Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: a) Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) b) Ví dụ 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung a) Ví dụ 1: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) b) Ví dụ 2: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) * Ghi nhớ: Các đa thức có dạng x3m + + x3n + + như: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … có nhân tử chung x2 + x + III ĐẶT BIẾN PHỤ: Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Giả sử x ta viết x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – Đặt x - 1 2 )+7] + ) = x [(x + ) + 6(x x x x x 1 = y x2 + = y2 + 2, x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 x * Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 Ví dụ 3: A = (x y z )(x y z) (xy yz+zx) 2 2 2 2 = (x y z ) 2(xy yz+zx) (x y z ) (xy yz+zx) Đặt x y z = a, xy + yz + zx = b ta có A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x y z + xy + yz + zx)2 Ví dụ 4: B = 2( x y z ) ( x y z )2 2( x y z )( x y z ) ( x y z )4 Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 Ta lại có: a – b2 = - 2( x y y z z x ) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó: B = - 4( x y y z z x ) + (xy + yz + zx)2 4x y 4y z 4z x 4x y 4y z 4z x 8x yz 8xy z 8xyz 8xyz(x y z) Ví dụ 5: (a b c)3 4(a b3 c3 ) 12abc Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m2 - n ) Ta có: m3 + 3mn 4c3 3c(m - n ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) C = (m + c) – 4 = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) IV PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: số 1, không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun củng khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a c 6 ac b d 12 đồng đa thức với đa thức cho ta có: ad bc 14 bd Xét bd = với b, d Z, b 1, 3 với b = d = hệ điều kiện trở thành a c 6 ac 8 2c 8 c 4 a 2 a 3c 14 ac bd Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) a 3 b 2a 7 a = 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c b 5 c 2b c 4 2c Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví dụ 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) ac 12 bc ad 10 a c = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3c a bd 12 b 6 d 3d b 12 2 12x + 5x - 12y + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) BÀI TẬP: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x3 - 7x + 10) 64x4 + y4 2) x - 9x + 6x + 16 11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 3) x - 6x - x + 30 12) x3 + 3xy + y3 - 4) 2x - x + 5x + 13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 5) 27x - 27x + 18x - 14) x + x + 2 6) x + 2xy + y - x - y - 12 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 15) x 2+ 3x + 16) 3x + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 8) 4x4 - 32x2 + 17) x4 - 8x + 63 9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 CHUYÊN ĐỀ - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC B KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG: I Một số đẳng thức tổng quát: an - bn = (a - b)(an - + an - b + an - b2 + … + abn - + bn - ) an + bn = (a + b) ( an - - an - 2b + an - 3b2 - … - abn - + bn - ) Nhị thức Niutơn: (a + b)n = an + C1n an - b + C2n an - b2 + …+ Cnn 1 ab n - + bn Trong đó: C nk n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] : Tổ hợp chập k n phần tử 1.2.3 k II Cách xác định hệ số khai triển Niutơn: Cách 1: Dùng công thức C nk n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] k! 7.6.5.4 7.6.5.4 35 4! 4.3.2.1 7! 7.6.5.4.3.2.1 n! với quy ước 0! = C 74 35 Chú ý: a) C kn n!(n - k) ! 4!.3! 4.3.2.1.3.2.1 7.6.5 35 b) Ta có: C kn = C kn - nên C 74 C 37 3! Chẳng hạn hệ số hạng tử a4b3 khai triển (a + b)7 C 74 Cách 2: Dùng tam giác Patxcan Đỉnh Dòng 1(n = 1) 1 Dòng 2(n = 1) Dòng 3(n = 3) 3 Dòng 4(n = 4) Dòng 5(n = 5) 10 10 Dòng 6(n = 6) 15 20 15 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm số 1; dòng k + thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn dòng (n = 2) ta có = + 1, dịng (n = 3): = + 1, = + dòng (n = 4): = + 3, = + 3, = + 1, … Với n = thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Với n = thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Với n = thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6 Cách 3: Tìm hệ số hạng tử đứng sau theo hệ số hạng tử đứng trước: a) Hệ số hạng tử thứ b) Muốn có hệ số của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số hạng tử thứ k nhân với số mũ biến hạng tử thứ k chia cho k Chẳng hạn: (a + b)4 = a4 + 1.4 4.3 2 4.3.2 4.3.2 ab+ ab + ab3 + b 2.3 2.3.4 Chú ý rằng: hệ số khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối có hệ số (a + b)n = an + nan -1b + n(n - 1) n - 2 n(n - 1) n a b + …+ ab 1.2 1.2 -2 + nan - 1bn - + bn III Ví dụ: Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử a) A = (x + y)5 - x5 - y5 Cách 1: khai triển (x + y)5 rút gọn A A = (x + y)5 - x5 - y5 = ( x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5) - x5 - y5 = 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3) = 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) Cách 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5) x5 + y5 chia hết cho x + y nên chia x5 + y5 cho x + y ta có: x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nên A có nhân tử chung (x + y), đặt (x + y) làm nhân tử chung, ta tìm nhân tử cịn lại b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 - y7 = 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 = 7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )] = 7xy {[(x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 - xy + y2) + 5x2y2(x + y)} = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ] = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3x3y - 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ] = 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2 Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số đa thức có sau khai triển a) (4x - 3)4 Cách 1: Theo cônh thức Niu tơn ta có: (4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4x 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 864x2 - 432x + 81 Tổng hệ số: 256 - 768 + 864 - 432 + 81 = b) Cách 2: Xét đẳng thức (4x - 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x + c4 Tổng hệ số: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 Thay x = vào đẳng thức ta có: (4.1 - 3)4 = c0 + c1 + c2 + c3 + c4 Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = * Ghi chú: Tổng hệ số khai triển nhị thức, đa thức giá trị đa thức x = C BÀI TẬP: Bài 1: Phân tích thành nhân tử a) (a + b)3 - a3 - b3 b) (x + y)4 + x4 + y4 Bài 2: Tìm tổng hệ số có sau khai triển đa thức a) (5x - 2)5 b) (x2 + x - 2)2010 + (x2 - x + 1)2011 CHUYÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN: I Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết Kiến thức: * Để chứng minh A(n) chia hết cho số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có nhân tử làm bội m, m hợp số ta lại phân tích thành nhân tử có đoi ngun tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho số * Chú ý: + Với k số nguyên liên tiếp củng tồn bội k + Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét trường hợp số dư chia A(n) cho m + Với số nguyên a, b số tự nhiên n thì: +) an - bn chia hết cho a - b (a - b) +) (a + 1)n BS(a )+ +) a2n + + b2n + chia hết cho a + b 2.+Bài (a +tập: b)n = B(a) + bn +)(a - 1)2n B(a) + +) (a - 1)2n + B(a) - Các toán Bài 1: chứng minh a) 251 - chia hết cho b) 270 + 370 chia hết cho 13 c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - chia hết cho không chia hết cho 37 e) 24n -1 chia hết cho 15 với n N Giải a) 251 - = (23)17 - 23 - = b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 + = 13 c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1) 1719 + 17 + = 18 1917 - 19 - = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1) hay 1719 + 1917 18 d) 3663 - 36 - = 35 3663 - = (3663 + 1) - chi cho 37 dư - e) 4n - = (24) n - 24 - = 15 Bài 2: chứng minh a) n5 - n chia hết cho 30 với n N ; b) n4 -10n2 + chia hết cho 384 với n lẻ n Z c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n N ; Giải: a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho (n - 1).n.(n+1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho (*) Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - + 5) = n(n2 - 1).(n2 - ) + 5n(n2 - 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5n(n2 - 1) chia hết cho Suy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho (**) Từ (*) (**) suy đpcm b) Đặt A = n4 -10n2 + = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên đặt n = 2k + (k Z) A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) A chia hết cho 16 (1) Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) tích số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội 2, 3, nên A bội 24 hay A chia hết cho 24 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 16 24 = 384 c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27) + Ta có: 27n - 27 27 (1) + 10 n - 9n - = [( 9 + 1) - 9n - 1] = 9 - 9n = 9( 1 - n) 27 (2) n n n 1 - n 1 - n số có tổng chữ số chia hết cho n n Từ (1) (2) suy đpcm Bài 3: Chứng minh với số nguyên a a) a3 - a chia hết cho b) a7 - a chia hết cho Giải a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên tồn số bội nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1) Nếu a = 7k (k Z) a chia hết cho Nếu a = 7k + (k Z) a2 - = 49k2 + 14k chia hết cho Nếu a = 7k + (k Z) a2 + a + = 49k2 + 35k + chia hết cho Nếu a = 7k + (k Z) a2 - a + = 49k2 + 35k + chia hết cho Trong trường hợp củng có thừa số chia hết cho Vậy: a7 - a chia hết cho Bài 4: Chứng minh A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = + + + + 100 Giải Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 99 + 992) + + (50 + 51)(502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 992 + + 502 + 50 51 + 512) chia hết cho 101 (1) Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) Mỗi số hạng ngoặc chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 101 50 nên A chi hết cho B Bài tập nhà Chứng minh rằng: a) a5 – a chia hết cho b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với n chẵn c) Cho a l số nguyên tố lớn Cmr a2 – chia hết cho 24 Ta coù AGB AEC AE AC = AG AB AB AE = AC AG (1) AF CG CG = CGB AFC (vì CB = AD) AC CB AD AF AD = AC CG (2) Cộng (5) (6) vế theo vế ta có: AB AE + AF AD = AC AG + AC CG AB AE + AF AD = AC(AG + CG) = AC AC Vaäy: AB AE + AD AF = AC2 Bμi 4: MB CM = (1) BA CN CM AD = (2) CD// AM CN DN MB AD = MB.DN = BA.AD = a.a = a Từ (1) (2) suy BA DN b) MBD BDN có MBD = BDN = 1200 MB MB CM AD BD = = (Do ABCD hình thoi có A = 600 nên BD BA CN DN DN AB = BC = CD = DA) MBD BDN a) BC // AN Suy M1 = B1 MBD BKD có BDM = BDK M1 = B1 nên BKD = MBD = 1200 C©u 1: x 7x Cho A x2 1 a) Rút gọn A b) Tìm x để A = c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu 2: Giải phơng trình: (x + 1)2 = 4(x2 + 2x + 1) C©u 3: Cho a, b, c tho· m·n: 1 1 a b c abc Tính giá trị cđa biĨu thøc: A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3) C©u 4: Cho ABC cã A 2B 4C 4 Chøng minh: 1 AB BC CA C©u 5: Cho ABC cân A có BC = 2a, M l trung ®iĨm cđa BC LÊy D, E theo thø tù thuéc AB, AC cho: DME B a) Chøng minh rằng: tích BD CE không đổi b) Chứng minh DM l tia phân giác góc BDE c) TÝnh chu vi cña ADE nÕu ABC lμ tam giác 69 Hớng dẫn Câu 3: Từ 1 1 1 1 a+ b a+ b + + =0 + =0 a b c abc a b c a+ b+ c ab c(a + b + c) c(a + b + c) + ab = Û (a + b)(b + c)(c + a) = abc(a + b + c) Tõ ®ã suy : A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3) = ( a + b)(b + c)(c + a) B = C©u : VÏ tia CM (M AB) cho ACM CAM v CBM l tam giác cân (a + b) AB AB AM AB AM AB BM 1 BC AC CM CM CM CM AB AB 1 (v× BM = CM) 1 BC AC AB BC CA B 2 4 C 3 M C©u : a) Ta có DMC = DME + CME = B + BDM , maø DME = B (gt) nên CME = BDM , kết hợp với B = C ( ABC cân A) suy BDM CME (g.g) BD BM = BD CE = BM CM = a không đổi CM CE DM BD DM BD b) BDM CME = = ME CM ME BM (do BM = CM) DME DBM (c.g.c) MDE = BMD A E I D H K B M hay DM tia phân giác BDE c) chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác DEC kẻ MH CE ,MI DE, MK DB MH = MI = MK DKM = DIM DK =DI EIM = EHM EI = EH Chu vi AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK) ABC tam giác nên suy CH = MC a 2 AH = 1,5a PAED = AH = 1,5 a = 3a đề - khảo sát chất lợng học sinh giái léc hμ(2009 - 2010) Câu : Giải phương trình : a) x 1 x x x ( x 2) ( x ) b) 6x2 - x - = x2 y2 z2 Câu : Cho x + y + z = Rút gọn : ( y z ) ( z x) ( x y ) Câu : Chứng minh không tồn x thỏa mãn : a) 2x4 - 10x2 + 17 = b) x4 - x3 + 2x2 - x + = 70 A 3 C DB ; DC Câu : Cho tam giác ABC, điểm D nằm cạnh BC cho điểm O nằm đoạn AD cho OA Gọi K giao điểm BO AC OD Tính tỷ số AK : KC Câu : Cho tam giác ABC có góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự P Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Chứng minh tam giác MPQ cân M hướng dẫn giải Câu 2: Từ x + y + z = x2 + y2 + z2 = - 2(xy + yz + zx) (1) Ta có: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy + yz + zx) (2) Từ (1) (2) suy ra: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = - 6(xy + yz + zx) (3) Thay (1) (3) vào biểu thức A ta có: A= - 2(xy + yz + zx) - 6(xy + yz + zx) Câu 3: 17 25 ) = 2(x4 - x2 + ) + =0 2 9 2(x2 - )2 + = Vì 2(x2 - )2 + > với x nên không tồn x để 2 2 a) 2x4 - 10x2 + 17 = 2( x4 - 5x2 + 2x4 - 10x2 + 17 = b) x4 - x3 + 2x2 - x + = (x2 + 1)(x2 - x + 1) = Vì vế phải ln dương với x nên không tồn x để x4 - x3 + 2x2 - x + = Câu 4: Từ D kẻ DM // BK áp dụng định lí Talét vào AOK ta có: AK AO (1) KM OD A KM CD Tương tự, CKB thì: (2) CK DB AK Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: CK Câu Gọi giao điểm AH BC I Từ C kẻ CN // PQ (N AB), Tứ giác CNPQ hình thang, có H trung điểm PQ, hai cạnh bên NP CQ đồng quy A nên K trung điểm CN MK đường trung bình BCN MK // CN MK // AB (1) H trực tâm ABC nên CH A B (2) Từ (1) (2) suy MK CH MK đường cao CHK (3) 71 K M O B D C A N P H Q K B M I C Từ AH BC MC HK MI đường cao CHK (4) Từ (3) (4) suy M trực tâm CHK MH CN MH PQ MPQ có MH vừa đường trung tuyến vừa đường cao nên cân M Đề - thi HSG Toán - cp huyn n2 n Câu 1: a) Tìm số nguyên m, n thoả mÃn m n b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + Chøng minh r»ng A chia hÕt cho với giá nguyên dơng n c) Nếu a chia 13 d− vμ b chia 13 d− a2+b2 chia hết cho 13 Câu2 : Rút gän biĨu thøc: a) A= b) B = C©u 3: TÝnh tỉng: S = trÞ bc ca ab + + (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 1 1 x x : x x 3 x x x x 1 + + + 1.3 5.7 + 2009.2011 C©u 4: Cho sè x, y, z, thoả mÃn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vo biến x, y, z : 2011x y z xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 5 1942 1944 1946 1948 1950 Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M lμ trung ®iĨm cđa BC Mét gãc xMy = 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB v AC lần lợt D v E Chứng minh : Câu 5: Giải phơng trình: a) BD.CE= BC2 b) DM, EM lần lợt l tia phân giác BDE v CED c) Chu vi ADE không đổi Giải n2 n 1 1) a, Thùc hiÖn chia m =n+ n n Để m nguyên với n nguyªn n + lμ −íc cđa Hay n + 1; -1 Khi ®ã : n + = n = Z ( t/m) n + = -1 n = -2 Z (t/m) Víi n = m = Víi n = -2 m = - VËy b, A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) +2(n+1) = = n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1) Khi ®ã : 3(n+1) n( n +1) (n+ 2) lμ tÝch cđa sè nguyªn dơng liên tiếp nên tồn số l bội cña c, a = 13k +2, b = 13q +3 a2 + b2 = ( 13k +2 )2 + ( 13q + 3) = = 13( 13k2 +4k +13 q2 + 4q +1) 13 2) a) A= bc ca ab = (a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(b c) 72 = (a b)(a c)(b c) =1 (a b)(a c)(b c) 2 2 1 1 1 b) Ta cã: x = (x ) 3(x ) ; x x x x x x x x x 2 1 1 Tö thøc: x x = (x ) 3(x ) - x x x x x x = 3 x 2 x3 3 x x x x 1 1 MÉu thøc: x x = x x x x x x Rót gän ta cã: B = 3( x ) x 1 1 1 1 1005 (1 ) (1 ) 3 2009 2011 2011 2011 2011x y z xy.xz y z = 4) 2011 2011x xy xyz y yz z zx xyz x yz xy xyz y yz z zx xy.xz z z xz + + = = kh«ng ®æi = xy ( xz z 1) z zx z zx z zx 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 5) 1 1 1 1 1 x = 2011 1942 1944 1946 1948 1950 6) a,Chøng minh BMD CEM BC BC A V× BM = CM = BD.CE = x b, Chøng minh BMD MED Tõ ®ã suy Dˆ Dˆ , ®ã DM lμ tia phân giác góc BDE D 3) S = Chøng minh t−¬ng tù ta cã EM lμ tia phân giác góc CED c, Gọi H, I, K l hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK Chu vi b»ng 2.AH Bi (4.0 điểm) Phân tích đa thøc sau thμnh nh©n tư a) x2 -7x + 12 b) x4 + 2011x2 + 2010x + 2011 c) (x2+ y2+1)4 - 17(x2+y2+1)2x2 + 16x4 Bμi (4.0 ®iĨm) Cho biÓu thøc : A = x4 5x2 x 10 x a) Ruùt gọn A b) tìm x để A = c) Tìm giá trị A x Bi (4.0điểm) : Giải phơng trình : 73 B M y E C 1 1 x 9x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 2025 x 2046 x 2057 x 2068 x 10 b) 25 23 19 17 a) Bμi (2.®) Chøng minh : a5 - a chia hÕt cho 30 víi a Z Bμi (4.0®iĨm) : Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi E; F lần lợt l trung điểm cạnh AB, BC Gọi M ìa giao điểm CE v DF a) Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF b) Chøng minh : C M C E = SABCD CF Bμi 2.0 ®iĨm) Cho tam gi¸c ABC cã chu vi b»ng 18 Trong BC l cạnh lớn nhát Đờng phân giác góc B cắt AC M cho N cho MA Đờng phân giác góc C cắt AB MC NA Tính cạnh tam giác ABC NB Đề thi HSG Câu 1: Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x 17 x 21 x 4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 x y z yz xz xy Tính giá trị biểu thức: A x yz y xz z xy Câu 3: Cho biểu thức : Câu 2: Cho x, y, z đôi khác 10 x x2 : x x x x x x P = a) Rút gọn p b) Tính giá trị biểu thức p x = c) Với giá trị x P = d) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên Câu : Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB BC CA) c) Chứng minh rằng: AA'2 BB'2 CC'2 Câu 5: 74 Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB BC M N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm) Giải Câu a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x + 32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = x x x x x (2 – 4) – 8(2 – 4) = (2 – 8)(2 – 4) = x x x x (2 – )(2 –2 ) = –2 = –2 = x x = = x = 3; x = Câu 2: xy yz xz 1 xy yz xz yz = –xy–xz 0 xyz x y z x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) yz xz xy Do đó: A ( x y)( x z) ( y x )( y z) (z x )(z y) Tính A = Câu 3: x 2( x 2) x 1 x : : = ( x 2)( x 2) x2 x2 2 x ( x 2)( x 2) x x x a) p = b) Với x ≠ ; x ≠ ± biểu thức p xác định 3 nên x = x = 4 4 + Nếu x = p = 2 4 + Nếu x = - p = 11 2 13 ( thỏa mãn điều kiện x ) c) Với p = 7 x= 2 x /x/ = d) Để p có giá trị nguyên - x phải ước Từ ta có : x = ; x = ; Vậy để p nguyên lúc x = ; x = ; Câu 4: HA'.BC S HBC HA' a) S ; AA' ABC AA'.BC A C’ H N M I B x B’ A’ C D 75 S HAB HC' SHAC HB' ; S ABC CC' SABC BB' HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC Tương tự: b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD - BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 2 AB + AD (BC+CD) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA) 4 AA'2 BB'2 CC'2 (Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều) Câu 5: A BG GK ; BK BK AM CN GK Do MN // AC nên BC BK AB AM NC Mà AB BC ta có : M K G AM + NC = 16 (cm) AB + BC = 75 – AC 16 AC = 27 (cm) 75 AC MN MN Ta lại có : MN 18 (cm) 27 AC Do : 76 B N C CHUYÊN ĐỀ 16 – BẤT ĐẲNG THỨC PhÇn I : kiến thức cần lu ý A B A B A B A B 1-§inhnghÜa: 2-tÝnh chÊt + A>B B A + A>B vμ B >C A > C + A>B A + C >B + C + A>B vμ C > D A +C > B + D + A>B vμ C > A.C > B.C + A>B vμ C < A.C < B.C + < A < B vμ < C < D < A.C < B.D + A > B > An > Bn n +A>B An > Bn víi n lỴ + A > B An > Bn víi n ch½n + m > n > vμ A > A m > A n + m > n > vμ 1 A B - số bất đẳng thức + A víi A ( dÊu = x¶y A = ) + An víi A ( dÊu = x¶y A = ) + A víi A (dÊu = x¶y A = ) + -A 0) + A B A B ( dÊu = xảy A.B < 0) Phần II : số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1) Phơng pháp 1: dùng định nghĩa Kiến thức : Để chøng minh A > B Ta chøng minh A – B > Lu ý dùng bất đẳng thức M víi M VÝ dơ x, y, z chøng minh r»ng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu : x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) ( x y ) ( x z ) ( y z ) ®óng víi mäi x;y;z R V× (x-y)2 víix ; y DÊu b»ng x¶y x = y (x- z)2 víix ; z DÊu b»ng x¶y x = z (y- z)2 víi z; y DÊu b»ng x¶y z = y VËy x + y + z xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y =z = b)Ta xÐt hiÖu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) ®óng víi mäi x;y;z R VËy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz với x;y;z R Dấu xảy x + y = z VÝ dô 2: chøng minh r»ng : 77 a b2 c2 a b c 3 a b2 a b a) ; b) gi¶i a) Ta xÐt hiƯu c) H·y tỉng qu¸t bμi to¸n 2 a 2ab b a b2 a b = a b = 2a 2b a b 2ab 4 2 VËy a b a b DÊu b»ng x¶y a = b = 14 a b 0 a b2 c2 a b c 2 b)Ta xÐt hiÖu: = a b b c c a 3 a b2 c2 a b c VËy DÊu b»ng x¶y a = b =c 3 a12 a 22 a 2n a1 a a n c)Tỉng qu¸t: n n * Tãm lại bớc để chứng minh A B theo ®Þnh nghÜa B−íc 1: Ta xÐt hiƯu H = A - B Bớc 2:Biến đổi H = (C+D) H=(C+D) + +(E+F) B−íc 3: KÕt luËn A B 2) phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đợc chứng minh l ®óng VÝ dơ 1: Cho a, b, c, d,e lμ c¸c sè thùc chøng minh r»ng b2 a) a ab b) a b ab a b c) a b c d e a b c d e Gi¶i: b2 2 a) a ab 4a b 4ab 4a 4a b 2a b (B®t ny đúng) b2 Vởy a ab (dÊu b»ng x¶y 2a = b) 2 b) a b ab a b 2(a b 1) 2(ab a b) a 2ab b a 2a b 2b (a b) (a 1) (b 1) (lu«n ®óng) VËy a b ab a b DÊu b»ng x¶y a = b = c) a b c d e2 a b c d e a b c d e 4a b c d e a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ac 4c a 2b a 2c a 2d a 2c 2 2 VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: a10 b10 a b a b8 a b Gi¶i: a 10 b10 a b a b8 a b a12 a10 b a b10 b12 a12 a b a b8 b12 78 a b a b a b8 b a a2b2(a2-b2)(a6-b6) a b (a -b ) (a + a b +b ) 2 2 2 x y.z VÝ dụ 4: cho ba số thực khác không x, y, z tháa m·n: x y z x y z Chøng minh r»ng : cã ®óng mét ba sè x,y,z lớn Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1) = xyz + (xy + yz + zx) + x + y + z - 1 x y z 1 x y z = (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz( ) = x + y + z - ( ) x y z (v× < x+y+z theo gt) sè x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 l dơng Nếủ trờng hợp sau xảy x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z =1 bắt buộc phải xảy trờng hợp tức l có ba số x ,y ,z l số lớn 3) Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A) số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phô: b) x y xy dÊu( = ) x = y = a) x y 2xy a b 2 b a a a a a n 2)Bất đẳng thức Cô sy: n c) x y 4xy d) n a1a 2a a n Víi 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski a 2 a 22 a 2n x12 x 22 n2 a1x1 a x a n x n 4) Bất đẳng thức Trê-b - sép: abc A B C NÕu aA bB cC a b c A B C 3 abc A B C aA bB cC a b c A B C 3 abc DÊu b»ng x¶y A B C NÕu B) c¸c vÝ dơ vÝ dơ Cho a, b ,c l số không âm chứng minh (a+b) (b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phô: x y 4xy a b 4ab ; b c 4bc ; c a 4ac 2 2 a b b c c a 64a b 2c 8abc (a + b)(b + c)(c + a) Tacã 2 8abc DÊu “=” x¶y a = b = c vÝ dô 2: Cho a > b > c > vμ a b c chøng minh r»ng 79 a3 b3 c3 bc ac ab Do a,b,c đối xứng , giả sử a b c a b2 c2 a b c b c a c a b ¸p dụng BĐT Trê- b-sép ta có a b c a b2 c2 a b c 2 a b c = = bc ac ab bc ac ab 2 a3 b3 c3 1 DÊu b»ng x¶y a = b = c = VËy bc ac ab vÝ dô 3: Cho a,b,c,d > vμ abcd =1 Chøng minh r»ng : a b c d a b c b c d d c a 10 Ta cã a b 2ab ; c2 d 2cd Do abcd =1 nªn cd = 1 (dïng x ) ab x Ta cã a b c2 2(ab cd) 2(ab ) (1) ab Mặt khác: a b c b c d d c a = (ab + cd) + (ac + bd) + (bc + ad) 1 ac bc ab ac bc 2 2 a b c d a b c b c d d c a 10 = ab vÝ dô 4: Chøng minh r»ng : a b c ab bc ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski XÐt cỈp sè (1,1,1) vμ (a,b,c) ta cã 12 12 12 (a b c ) 1.a 1.b 1.c a b c a b c ab bc ac a b c ab bc ac (®pcm) DÊu b»ng xảy a = b = c 4) Phơng ph¸p 4: dïng tÝnh chÊt cđa tû sè A KiÕn thức 1) Cho a, b ,c l số dơng th× a a ac a a ac th× b ) NÕu th× b b bc b b bc a c a ac c 2) NÕu b, d > th× tõ b d b bd d a ) NÕu B C¸c vÝ dơ: vÝ dơ 1: Cho a, b, c, d > a b c d 2 abc bcd cda dab a a ad Theo tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc ta cã 1 abc abc abcd a a Mặt khác : (2) abc abcd Chøng minh r»ng :1 80 (1) a a ad (3) abcd abc abcd b b ba T−¬ng tù ta cã : (4) abcd bcd abcd c c bc d d dc (5); abcd cda abcd abcd dab abcd Tõ (1) vμ (2) ta cã (6) céng vÕ víi vÕ cđa (3); (4); (5); (6) ta cã 1 a b c d (®pcm) abc bcd cd a d ab a b c vμ b,d > d a ab cd c Chøng minh r»ng 2 b b d d a c ab cd ab ab cd cd c a ab cd c Gi¶i: Tõ 2 2 (®pcm) b d b d b b d d d b b d d vÝ dô : Cho: vÝ dơ : Cho a;b;c;d lμ c¸c số nguyên dơng thỏa mÃn : a + b = c+d =1000 tìm giá trị lớn a b c d a c giải : Không tính tổng quát ta giả sử : b d a ab b a ; v× a + b = c + d c cd d c b a b 998 999 d c d a b 999 b, NÕu: b = 998 a =1 = Đạt giá trị lớn d = 1; c = 999 c d c d a, NÕu: b 998 th× a b = 999 + a = d = 1; c = b = 999 c d 999 1 1 VÝ dơ : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng : n 1 n nn 1 víi k = 1,2,3, ,n-1 Ta cã n k n n 2n n 1 1 1 Do ®ã: n 1 n 2n 2n 2n 2n 1 1 VÝ dô 5: CMR: A = với n ≥ kh«ng lμ sè tù nhiªn n 1 1 HD: ; ; 1.2 2.3 Vậy: giá trị lớn Ví dô 6: Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng : 2 ab bc cd d a 3 abc bcd cd a d ab Gi¶i : Vì a ,b ,c ,d > nên ta cã: ab ab abd abcd abc abcd b c bc bca abcd bcd abcd 81 (1) (2) da da dac abcd dab a bcd (3) Cộng vế bất đẳng thức trªn ta cã : 2 ab bc cd da abc bcd cda dab (đpcm) Phơng pháp 5:Dùng bất đẳng thức tam giác Lu ý: Nếu a;b;cl số đo ba cạnh tam giác : a; b; c > Vμ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a VÝ dô1: Cho a; b; clμ số đo ba cạnh tam giác chứng minh a, a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b, abc > (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i 0 a b c a a(b c) a)Vì a,b,c l số đo cạnh tam giác nên ta có b a c b b(a c) 0 c a b c c(a b) Céng tõng vÕ c¸c bất đẳng thức ta có a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b) Ta cã a > b - c a a (b c) > b > a - c b b (c a)2 > c > a - b c2 c (a b) 2 Nh©n vÕ bất đẳng thức ta đợc: a b c2 a b c b c a c2 a b a b 2c a b c b c a c a b abc a b c b c a c a b 2 VÝ dơ2: (®ỉi biÕn sè) a b c (1) bc ca ab yzx zxy xyz Đặt x= b + c ; y= c + a ;z = a + b ta cã a = ; b= ;c= 2 yzx zxy xyz y z x z x y ta cã (1) 1 1 1 2x 2y 2z x x y y z z y x z x z y ( ) ( ) ( ) lμ B®t ®óng? x y x z y z Cho a,b,c lμ ba cạnh tam giác Chứng minh Ví dơ 3: (®ỉi biÕn sè) 1 (1) a 2bc b 2ac c 2ab Giải: Đặt x = a 2bc ; y = b 2ac ; z = c2 2ab Ta cã x y z a b c Cho a, b, c > vμ a + b + c Theo bất đẳng thức Côsi ta cã: 82 x y z 3 xyz vμ 1 1 x y z xyz 1 1 9 x y z x y z . 6) phơng pháp lμm tréi : Chøng minh B§T sau : 1 1 1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 1 b) 1.2 1.2.3 1.2.3 n a) Gi¶i : a) Ta cã : 1 2k 1 (2k 1) 1 2n 1 2n 1 (2k 1).(2k 1) 2k 2k Cho n chạy từ đến k Sau ®ã céng l¹i ta cã 1 1 (®pcm) 1 1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2n 1 1 1 b) Ta cã : 1 1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n 1 n 1 1 1 < 1 (®pcm) 2 2 3 n 1 n n Bμi tËp vÒ nhμ: 1) Chøng minh r»ng: x + y + z +3 (x + y + z) HD: Ta xÐt hiÖu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 2) Cho a ,b,c l số đo ba cạnh tam giác Chứng minh r»ng : a aa 2a a a vμ ) bc abc abc bc abc 1 1 Chøng minh r»ng 83 a b c 2 bc ca ab ... (23 )17 - 23 - = b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 93 5 + = 13 c) 171 9 + 1 91 7 = (171 9 + 1) + (1 91 7 - 1) 171 9 + 17 + = 18 1 91 7 - 19 - = 18 nên (171 9 + 1) + (1 91 7 - 1) hay 171 9 + 1 91 7 ... M = 199 22 + 199 32 + 199 42 b) N = 199 22 + 199 32 + 199 42 + 199 52 c) P = + 91 00 + 94 100 + 199 4100 d) Q = 12 + 22 + + 1002 e) R = 13 + 23 + + 1003 Giải a) số 199 32, 199 42 chia cho dư 1, 199 22 chia... thấy 199 3 = BS + = 6k + 1, đó: 3 199 3 = 6k + = 3.(33)2k = 3(BS – 1)2k = 3(BS + 1) = BS + c) Ta thấy 199 5 chia hết cho 7, đó: 199 2 199 3 + 199 4 199 5 = (BS – 3) 199 3 + (BS – 1) 199 5 = BS – 3 199 3 + BS
Ngày đăng: 01/06/2021, 10:57
Xem thêm: 17 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9
