Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B,C tới AD.[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9, CẤP TRƯỜNG
(Lần 1) Thời gian :90 phútBài 1: Cho biểu thức: P =
1
1 1
x x x x
x
x x x
với x > x ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P =
Bài 2: Tìm tổng A = 2 2 2
1 1 1
1 1
1 2 2005 2006
Bài 3: Giải phương trình: x4 - 8x 2 + 12 = 0.
Bài 4: Chứng minh rằng:
1 1
24
1 3 5 9997 9999 . Bài 5: Cho tam giác ABC, AD phân giác góc A (D BC) Gọi M,N chân đường vng góc kẻ từ B,C tới AD Chứng minh rằng:
a)
MB CN AB AC .
b) BM + CN BC , dấu “=” xẩy nào?
c) Sin 2
A BC BC
AB AC AB AC
.
(2)
Đáp án biểu điểm
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9, CẤP TRƯỜNG
(Lần 1)
Bài 1: a) P = x
x
(2điểm) b) Giải tìm
4
x
(2điểm) Bài 2: (3,5 điểm) Với số tự nhiên n > ta có:
2 2
2
2 2
2 2 2
2
1
1
1
1 1
n n n n
n n n n
n n n n n n
= =
2 22 2
2
1 1 1 1 1
1
1
1
n n n n
n n n n n
n n n
= 1 1 n n Do đó: A=
1 1 1 1 1 2005
1 1 2005 2005
1 2 2005 2006 2006 2006 2006
Bài 3: (3 điểm)Giải phương trình:
x4 - 8x 2 + 12 = 0
x4 4x24
4x2 8x 8
0
2
22
2
2 2 x x x x x
Bài 4: (3,5 điểm) Gọi vế trái bất đẳng thức M M =
1 1
1 3 5 9997 9999
N =
1 1
3 5 7 9999 10001
M + N =
1 1
9999 1 3 5 9997 +
1 1
3 7 9999 10001
M + N =
1 3 5 7 9997 9999 9999 10001
M + N =
1 10001 10001 10000 100 99
2 2 2
.
Như M + N >
99 99 96
24 24
2 4
M N M N
(3)Mặt khác: M > N 2
M N M M N M
(2) Từ (1) (2) 24
M N M
(đpcm)
Bài 5: (6 điểm) Câu a: 1,5đ ; Câu b: 1,5đ ; Câu c: 2,5đ A
M B D
C N
a) Sin
A BM CN AB AC
b) BM BD CN CD (tính chất đường xiên – đường vơng góc )
BM + CN BD + CD hay BM + CN BC dấu “=” xẩy Δ ABC cân
A để đường phân giác trùng với đường cao c) Sin
A BM CN AB AC
=
BM CN BC AB AC AB AC
(1)
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương AB AC ta có AB + AC 2 AB AC
BC BC
AB AC AB AC
(2)
Từ (1) (2) sin 2
A BC BC
AB AC AB AC
Dấu “=” Xẩy AB =AC hay Δ ABC cân A