don dieu

Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4... ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.[r]

BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 y  f (x) đồng biến / (a, b) (x)  x(a, b) đồng thời (x)  số hữu hạn điểm  (a, b)

2 y  f (x) nghịch biến / (a, b) (x)  x(a, b) đồng thời (x)  số hữu hạn điểm  (a, b)

Chú ý: Trong chương trình phổ thơng, sử dụng 1., cho hàm số quy tắc bỏ điều kiện (x)  số hữu hạn điểm  (a, b)

CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Tìm m để

   

2 6 5 2 3

1

mx m x m

y

x

   



 nghịch biến [1, )

Giải: Hàm số nghịch biến [1, )   

2

2 7 0 1

1

mx mx

y x

x

 

    









2 2 7 0 2 7 1

mx  mx  m x  x   x   

7 1

2

u x m x

x x



   



 

1

Min

x u x m

 

Ta có:

   

2

7 2 0 1

( )

x

u x x

x x



    



 u(x) đồng biến [1, ) 

   

1

7

Min

3 x

m u x u





  

Bài 2. Tìm m để    

3

1 1 3 4

3

y x  m x  m x

đồng biến (0, 3)

Giải Hàm số tăng (0,3)     





2 2 1 3 0 0, 3

y  x  m x m   x (1) Do y x  liên tục x  x  nên (1)  y x[0, 3]

  





2

2 0,

m x x  x  x   





2 2 3

0,

2

x x

g x m x

x

 

   



0,3   Max

x g x m

 

Ta có:  

 





2

2 8 0 0, 3

2

x x

g x x

x

 

    



 g(x) đồng biến [0, 3]   

   

0,3

12

Max

7 x

m g x g



Bài 3. Tìm m để    

3 1 3 2

3

m

y x  m x  m x

đồng biến



2,



Giải: Hàm số tăng /



2,



    

2 2 1 3 2 0 2

y mx  m x m   x (1)

  

2

1 2

m x    x  x 

 

 2

2 2

1

x

g x m x

x

 

   

 

Ta có:

 





2

2 0

( 3)

x x

g x

x x

 

  

 

1

3

3

x x x x

     

  

 ; xlim g x 0

Từ BBT 

   

2

2

Max

3 x g x g  m

Bài y x  mx2 



2m2  7m7



x2m1 2  m 3 đồng biến /



2,



Giải: Hàm số tăng



2,



 y3x2  2mx



2m2  7m7



  0, x

Ta có V7



m2  3m3







2

3

7

2

m

 

     

  nên y 0 có nghiệm x1 x2

BPT g(x)  có sơ đồ miền nghiệm G là:

Ta có y x 0  x 



2, 



G

 





1

0 1

5

2 3

2

2

2

m

x x y m m m

S m m

  

   

  

               



    



Bài Tìm m để

 

2

2x m x m y

x m

   



 đồng biến



1,



Giải: Hàm số đồng biến



1,



  

2

2

2x 4mx m 2m 1 0 1

y x

x m

   

    





  2 4 2 1 0 1   0 1

0

g x x

g x x mx m m x

m x m

            

 



 

  

 



Cách 1:Phương pháp tam thức bậc 2

Ta có:   2m120 suy g(x)  có nghiệm x1x2

BPT g(x)  có sơ đồ miền nghiệm G là:

Ta có g(x)  x(1, ) 



1, 



G

x

1

x

2

1

x

x

2

 





1

1 1,

1 2 2 2

3 2

2

m m

x x g m m m m

S m

 

   





 

               

 

     



Cách 2:Phương pháp hàm số

Ta có: g(x)  4(x  m)  4(x  1) > x >  g(x) đồng biến [1, )

Do

   

 

1

1 2

Min

1 3 2 2

1 1 1

x

g m m m

g x

m m

m m m





      

 

  

         



  

    

Bài Tìm m để y4m cos x2m 3x m  3m1 giảm  x ¡

Giải: Yêu cầu toán  y5 4 msinx2m 0,  x ¡

  5  0,



1;1



g u m u m u

         Do đồ thị y g u u  ,  



1;1



một đoạn thẳng nên ycbt

   

1 4

1

3

1 2

g m

m

g m

    



    

  

 

Bài Tìm m để hàm số

1

sin sin sin

4

y mx  x x x

tăng với x¡

Giải: Yêu cầu toán

1

cos cos cos 0,

2

y m x x x x

       ¡











1

cos 2cos cos 3cos 0,

2

m x x  x x   x ¡

 





3

4 , 1,1

3

m u u g u u

       

, với ucosx 



1,1



Ta có    

2

4 2 ;

2 g u  u  u u u  u u

Lập BBT suy yêu cầu toán   

   

1,1

5

Max

6 x  g u g   m

Bài Cho hàm số      

3

1 1 2 1 3 2

3

y m x  m x  m x m

Giải Xét y m1x2 2 2 m 1x 3m20 Do   7m2 m 3

nên y 0 có nghiệm x1x2 Khoảng nghịch biến hàm số có độ dài

bằng  y  0; x



x x1; 2



;x2  x14  m 1 0 x2  x1 4 Ta có

2

x  x  









   

 

2

2

2 2

4

16

1

m m

x x x x x x

m m

 

      

 

 2  2    

4 m 2m 3m m

      

2 61

3

6

m m m 

     

kết hợp với m 1 0 suy

7 61

B ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I DẠNG 1: ỨNG DỤNG TRONG PT, BPT, HỆ PT, HỆ BPT

Bài 1. Giải phương trình: x5 x3  3 x 4 0

Giải. Điều kiện: x

Đặt f x x5 x3 3 x 4 0

Ta có:

  3

f x x x

x

    

  f (x) đồng biến



1 ,

3

  

Mặt khác f (1)  nên phương trình f (x)  có nghiệm x 1

Bài 2. Giải phương trình: x2 15 3 x 2 x2 8 Giải. Bất phương trình   

2

3 15

f x  x  x   x   (1)

+ Nếu x

f (x) <  (1) vô nghiệm

+ Nếu x

 

2

1

3

3

8 15

f x x x

x x

 

      

 

 

 

 f (x) đồng biến





,

3  mà f (1)  nên (1) có nghiệm x  1

Bài 3. Giải bất phương trình: x 1 35x 747x 5513x 8 (*)

Giải. Điều kiện x

Đặt f x  x 1 35x 47x 5513x

Ta có:  

 2  3

3

5 13

1 0

2 3 5 7 4 7 5 (13 7)

f x

x x x x

     

      

 f (x) đồng biến



,

 

 Mà f (3)  nên (*)  f (x) < f (3)  x <

Vậy nghiệm bất phương trình cho

5 3

7 x

Bài 4. Giải PT:

3

1 1

5 2 17

2

x x x x

x x x x x x

         

(*)

Giải. (*)  

 

   

 

3

1 1

5 2 17

2

x x x

x x x x

f x x x x g x

            

Nghiệm f (x)  g(x) hoành độ giao điểm yf x  y g x   Do f (x) tăng; g(x) giảm f  1 g 1 13 nên (*) có nghiệm x 

Bài 5. Tìm số m Max để m



sinx  cosx 1



sin 2x sinx cosx 2 x (*)

Giải. Đặt





2

sin cos sin cos sin

t x  x   t  x  x   x  1t2 2  1 t 2, (*)  m t 1t2  t   t 1, 2



  1,

t t

f t m t

t   

     

 

 

1,

Min

t  f t m Do

   

2

2 0

1 t t f t

t



  



nên f (t) đồng biến / 1, 2 

   

1,

3

Min

2 t  f t f 

 m



3 Max

2 m

Bài 6. Giải phương trình 2008sin2x 2008cos2x cos 2x

2 2

sin cos 2 sin cos

2008 x  2008 xcos x sin x 2008 x sin x2008 x cos x (*)

Xét f u 2008u u Ta có f u 2008 lnu u 1 Suy f u  đồng biến (*)  f



sin2 x



f



cos2x



 sin2 xcos2 xcos 2x0 ,

k

x   k

   ¢

Bài Tìm x y, 



0,



thỏa mãn hệ

cotg cotg

3

x y x y

x y

  

 

   

Giải cotg x cotg y x  y x cotg x y cotg y

Xét hàm số đặc trưng f u  u cotg ,u u



0,



Ta có  

2

1

1

sin f u

u

   

Suy f u  đồng biến



0,



Khi

 

 

4

3

f x f y

x y

x y

  

  



   

Bài Giải hệ phương trình

3

3

3

2

2

2

x y y y

y z z z

z x x x

    



   

 

   

 (*)

Giải. Xét f t t3 t2 t với t¡  f t 2t2 t12 0  f (t) tăng

Khơng tính tổng qt giả sử x  y  z

Bài

Giải hệ bất phương trình

2

3

3

x x

x x

   

 

   



Giải

2

3 1

3 x  x     x

Đặt f x x3  3x1 Ta có:

  3 1  1

II DẠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bài Chứng minh rằng:

3

sin

3! 3! 5!

x x x

x  x x  

x >

Giải 

3

sin 3! x

x  x

x >   

3

sin 3!

x

f x   x x

x >

Ta có  

2

1 cos 2!

x

f x    x

 f x  x sinx  f x  1 cosx0 x > 0  f x đồng biến [0, +)  f x f 0 0 x >

 f x  đồng biến [0, +)  f x  f 0 = x > 0

 f x  đồng biến [0, +)  f(x) > f(0) = x >  (đpcm)



3

sin

3! 5!

x x

x x  

x >  g(x) =

5

sin 5! 3!

x x

x x

   

x > 0

Ta có g(x) =

4

1 cos 4! 2!

x x

x

  

 g(x) =

3

sin 3!

x

x x

 

= f(x) > x > 0  g(x) đồng biến [0, +)  g(x) > g(0) = x > 0

 g(x) đồng biến [0, +)  g(x) > g (0) = x >  (đpcm)

Bài Chứng minh rằng:

2

sin 0,

2 x

x  x  

  

Giải

2 sin

sinx x f x( ) x x

   

  x

0,



 

 

  Xét biểu thức đạo hàm

2

( ) cos sin

( ) x x x g x

f x

x x



  

, kí hiệu g(x) = x cosx  sinx

Ta có g(x) = cosx  xsinx  cosx =  xsinx < x 0,

2



 

 

 

 g(x) giảm 0,

2



 

 

   g(x) < g(0) =

  

2

( ) g x f x

x

  

x 0,

2



 

 

  f (x) giảm 0,2 

 

 



 

 

2 f x  f  

 

2

sin , 0,

2 x

x  x  

  

Bài Chứng minh rằng: ln ln

x y x y

x y

 



 x > y > 0

Giải Do x > y > 0, lnx > lny  lnx  lny > 0, nên biến đổi bất đẳng thức



1

ln ln ln

1 x

x y x y

x y

x

x y y

y            ln t t t   

 với

x t y  >1 

( ) ln

1 t f t t

t



   

 t >1 Ta có

        2

1

0

1

t f t

t t t t



    

  t >1

 f(t) đồng biến [1, +)  f(t) > f(1) = t >1  (đpcm)

Bài Chứng minh rằng:

ln ln

1

y x

y x y x

          





, 0,1 x y x y      

 (1)

Giải Xét hai khả sau đây:

+ Nếu y > x (1) 





ln ln

1

y x

y x

y x  

   ln1 ln1

y x

y x

y   x 

 

+ Nếu y < x (1) 





ln ln

1

y x

y x

y x 

   ln1 ln1

y x

y x

y   x

 

Xét hàm đặc trưng f(t) = ln1 t

t t 

 với t(0, 1)

Ta có

   

2

1

4

(1 ) (1 )

t f t

t t t t



    

  t(0,1)  f(t) đồng biến (0, 1)

 f(y) > f(x) y > x f(y) < f(x) y < x  (đpcm)

Bài Chứng minh rằng: ab ba a > b  e

Giải ab < ba  lnab < lnba  blna < alnb 

lna lnb a  b

Xét hàm đặc trưng f(x) = lnx

Ta có 2 ln ln

( ) x e

f x

x x

 

   

 f(x) nghịch biến [e, +)

 f(a) < f(b) 

lna lnb

a  b  ab < ba

Bài (Đề TSĐH khối D, 2007)

Chứng minh



 



1

2 ,

2

b a

a b

a b a b

     

Giải Biến đổi bất đẳng thức



2

 

2



4

2 2

b a

b a a b

a b

a b a b

     

       

   



1 4a



b



1 4b



a ln 4



a



b ln 4



b



a ln 4



a



ln 4



b



a b

 

         

Xét hàm số đặc trưng cho hai vế  





ln 4x f x

x

 

với x0 Ta có

 













2

4 ln 4 ln 0

x x x x

x f x

x

  

  

  f x giảm trên



0, 



f a f b 

Bài (Bất đẳng thức Nesbitt) Chứng minh rằng:

3

a b c

b c c a a b  a, b, c > (1)

Giải Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c Đặt x = a  x  b  c >

Ta có (1)  f (x) =

x b c

b c c x x b với x  b  c > 0

  2  2  2  2

1

( ) b c b c

f x

b c x c x b b c b c b c

       

     

 f(x) đồng biến [b, +) 

2 ( ) ( ) b c f x f b

b c



 

 (2)

Đặt x = b  x  c > 0, xét hàm số g(x) = 2x c

x c



 với x  c > 0

  2

( ) c

g x

x c

  

 c >  g(x) đồng biến [c, +) 

3 ( ) ( )

2 g x g c 

Từ (2), (3) suy

3

a b c