Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AB. Biết rằng các cặp đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E và AD, BC cắt nhau tại F. hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại M. Gọi H là h[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM 2012
MƠN THI: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút (khơng tính thời gian giao đề) Bài (2.0 điểm)
a) Cho phương trình x2 – 2(m - 1)x – = (m tham số) Tìm tất giá trị m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện |x1− x2| =
b) Lập phương trình bậc hai nhận x1 = y1 √y2 + √y1 x2 = y2 √y1 + √y2 làmcác
nghiệm, biết {y1; y2} tập nghiệm phương trình y2 – 7y + =
Bài (2.5 điểm)
a) Giải hệ phương trình
¿
x2=|x|+y
y2
=|y|+x
¿{
¿ b) Giải phương trình
x = √40− x √45− x + √45− x √72− x + √72− x √40− x Bài (2.0 điểm)
a) Cho x, y, z, t bốn số thực thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 + t2 ≤ Chứng minh
rằng
y −t¿2 ¿
y+t¿2 ¿
x − z¿2+¿ ¿
x+z¿2+¿ ¿
√¿
b) Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện √x + √y = √2012
Bài (2.5 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AB Biết cặp đường thẳng AB, CD cắt E AD, BC cắt F hai đường chéo AC BD cắt M Gọi H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng AB Hai đường thẳng CH BD cắt N
a) Chứng minh rằng: DBDM NM NB =1
b) Hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE CDF cắt điểm thứ hai L Chứng minh Ba điểm E, F, L thẳng hàng
Bài (1.0 điểm)
Cho tam giác ABC không đều, Có cạnh BC = a, AC = b, AB = c Gọi điểm I G tâm đường tròn nội tiếp trọng tâm tam giác ABC Chứng minh IG IC vng góc với 6ab = (a + b)(a + b + c)
(2)HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài (2.0 điểm)
a) Cho phương trình x2 – 2(m - 1)x – = (m tham số) Tìm tất giá trị m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện |x1− x2| =
b) Lập phương trình bậc hai nhận x1 = y1 √y2 + √y1 x2 = y2 √y1 + √y2 làmcác
nghiệm, biết {y1; y2} tập nghiệm phương trình y2 – 7y + =
Bài (2.5 điểm)
a) Giải hệ phương trình
¿
x2
=|x|+y
y2
=|y|+x
¿{
¿ Dễ dàng
Bài (1.0 điểm)
b) Giải phương trình
x = √40− x √45− x + √45− x √72− x + √72− x √40− x
Đặt a = √40− x ; b = √45− x ; c = √72− x ; ĐK: a, b, c > 0; < x < 40 Ta có x = ab + bc + ca ; a2 + x = 40 ; b2 + x = 45 ; c2 + x = 72
Từ suy ra:
¿
(a+b)(a+c)=40 (a+b)(b+c)=45 (a+c)(b+c)=72
¿{ {
¿
=> ¿
b+c=9
a+c=8
a+b=5
¿{ {
¿
=> ¿
a=2
b=3
c=6
¿{ {
¿
=> x = 36 (thỏa mãn ĐK) Vậy x = 36
Bài (2.0 điểm)
a) Cho x, y, z, t bốn số thực thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 + t2 ≤ Chứng minh
rằng
y −t¿2 ¿
y+t¿2 ¿
x − z¿2+¿ ¿
x+z¿2+¿ ¿
(3)HD: A =
y −t¿2 ¿
y+t¿2
x − z¿2+¿ ¿
x+z¿2+¿ ¿
√¿
= √1+2(xz−yt)+√1−2(xz−yt)
A2 = + 2
√1+2(xz−yt)√1−2(xz−yt) = +
xz−yt¿2 1−4¿
√¿
≤ => A ≤ (đpcm)
b) Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện √x + √y = √2012
HD: √x + √y = √503
Do x, y số tự nhiên nên √x , √y bậc hai đồng dạng √503 Đặt √x = a √503 ; √y = b √503
Ta có: a + b = => a = ; b= a = b = a = ; b = => (x = 0; y = 2012); (x = 503; y = 503); (x = 2012; y = 0)
Bài (2.5 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AB Biết cặp đường thẳng AB, CD cắt E AD, BC cắt F hai đường chéo AC BD cắt M Gọi H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng AB Hai đường thẳng CH BD cắt N
c) Chứng minh rằng: DBDM NM NB =1
d) Hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE CDF cắt điểm thứ hai L Chứng minh Ba điểm E, F, L thẳng hàng
a) Ta có: CM phân giác góc DCH => MNMD=CN
CD (1)
CB phân giác góc NCE => DBNB=CD
CN (2)
Từ (1) (2) => MNMD DB NB=
CN CD
CD CN=1 Vậy DBDM NM
NB =1
b) BCLE nội tiếp => CLE = CBA ABCD nội tiếp => CBA = CDF Mà CDF + CLF = 1800
CLE + CLF = 1800
Vậy ba điểm F, L, E thẳng hàng
(4)Cho tam giác ABC khơng đều, Có cạnh BC = a, AC = b, AB = c Gọi điểm I G tâm đường tròn nội tiếp trọng tâm tam giác ABC Chứng minh IG IC vng góc với 6ab = (a + b)(a + b + c)
- Vẽ đường thẳng GI cắt AC E BC F
- Theo giả thiết GI IC CI phân giác nên tam giác CEF cân C suy CE = CF Gọi khoảng cách từ G đến BC AC m n; , hb độ dài đường cao
hạ từ A B suy m = ha
3 ; n =
hb
3 - Ta có SCIF = SCIE =
1
2 r.CF
=> SCEF = SCIF + SCIE = SCGE + SCGF = 12 CF.m + 12 CE N = 12 CF(m + n) (vì CE = CF)
=> r.CF = 12 CF( ha +
hb
3 ) => 6r = (ha + hb) (1) Mặt khác SABC =
1
2 r.(a + b + c) =
2 a.ha =
1 b.hb
=> = r(a+b+c)
a ; hb =
r(a+b+c)
b (2)
Từ (1) (2) suy 6r = r.( a+ba+c+a+b+c
b ) => = (a + b + c)(
1
a+
1
b )