Cac phuong phap giai phuong trinh vo ti

Chuyên đề đã giới thiệu một số phương pháp hay dùng để giải phương trình vô tỉ: Ôn thi học sinh đại trà:.. Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ T[r]

LỜI NĨI ĐẦU

Phương trình vơ tỷ đề tài lý thú vị Đại số, lôi nhiều người nghiên cứu say mê tư sáng tạo để tìm lời giải hay, ý tưởng phong phú tối ưu Tuy nghiên cứu từ lâu phương trình vơ tỷ mãi đối tượng mà người đam mê Tốn học ln tìm tịi học hỏi phát triển tư

Mỗi loại tốn phương trình vơ tỷ có cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư toán học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Bên cánh đó, tốn giải phương trình vơ tỷ thường có mặt kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp THCS

Chuyên đề '' Giải phương trình vơ tỉ'' viết theo chương trình SGK hành nhằm dạy học sinh đại trà lớp ôn thi học sinh giỏi.

Chuyên đề giới thiệu số phương pháp hay dùng để giải phương trình vơ tỉ: Ơn thi học sinh đại trà:

Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI

Ơn thi học sinh giỏi , lớp chọn: Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ

Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Trong chuyên đề phương pháp có dành nhiều tập cho học sinh tự luyện.

Chúng hy vọng chuyên đề mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích giúp bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp Tốn học qua phương trình vơ tỷ

Mặc dù cố gắng nhiều, chuyên đề khơng tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ thày cô em học sinh để chuyên đề ngày hồn thiện hơn!

Mọi đóng góp xin gửi : info@123doc.org

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NGẠN TRƯỜNG THCS MỸ AN - LỤC NGẠN - BẮC GIANG

Năm: 2010 - 2011

CHUN ĐỀ :

PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ

I - Tác giả:

Tổ toán trường THCS Mỹ An - Lục Ngạn - Bắc giang II - Mục Lục:

Trang Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA - Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI - Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ - 17 Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 17 - 21 Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 21 - 22 Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC 22 - 24 Bài tập tổng hợp: 24 - 27

III - Tài liệu tham khảo:

CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA I-KIẾN THỨC:

1/

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) f x

f x g x g x

f x g x

 



   

 



2/

( ) ( ) ( )

( ) ( ) g x

f x g x

f x g x

 

  

 

3/

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x

f x g x h x g x

f x g x f x g x h x

 



    



  



4/

*

2

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

n n

f x

f x g x g x n N

f x g x

 



    

 

 5/

*

2 ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) n

n g x

f x g x n N

f x g x

 

   

 

6/ 2n1 f x( )2n1g x( )  f x( )g x( ) (n N *)

7/ 2n1 f x( )g x( ) f x( )g2n1( ) (x n N *) …

II-BÀI TẬP

Bài 1: Giải phương trình: x x 1   (1)

HD: (1) 

2

x x x

x x (x 1) x 3x

   

  

 

  



     

   x3

Bài 2: Giải phương trình: x 2x 3 HD:Ta có: x 2x 3  2x 3 x

2

2

0

2 0

3

3 x

x x

x

x x

x

x x

x

   

  

   

  

   

     

 

 

Bài 3: Giải phương trình: x 4 1 x  2 x

HD: Ta có: x 4 1 x  2 x  x4 2 x 1 x

1

4 2 (1 )(1 ) x

x

x x x x x

   

    

       

2

2

2

x

x x x

           2 2

(2 1) x

x

x x x

               1 1 2

2 0

7 x x x x x x x                             

Bài 4: Giải phương trình: x 3 x2  0

HD:ĐK: 2 x x x        

 (1)

PT

 

 

2 ( 2)( 2)

2

(2) 17

1

9

x x x

x x x x x x                             

Kết hợp (1) (2) ta được:x =

Bài 5. Giải phương trình : 3 x x 3x

HD:Đk: 0 x 3 pt cho tương đương: x3 3x2 x 0

3 3

1 10 10

3 3

x x 

 

      

 

Bài 6. Giải phương trình sau :2 x 3 9x2 x

HD:Đk:x3 phương trình tương đương :

 2

1 3

1 5 97

3

18 x x x x x x x x                      

Bài 7. Giải phương trình sau :    

2

2 3

3

2 9 x x2 2x3 3x x2

HD: pt  

3

3 x 2 33x 0 x 1

     

Bài 8. Giải biện luận phương trình: x2 x m 

HD: Ta có: x2 x m   2 2

x m x m

x x 4xm m 2mx (m 4)

               

– Nếu m = 0: phương trình vơ nghiệm

– Nếu m ≠ 0:

2 m x 2m  

Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m 

2 m

2m 

≥ m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2

 m2 ≤  m 2 

+ Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2

 m2 ≥  m ≤ –2

Tóm lại:

– Nếu m ≤ –2 < m ≤ 2: phương trình có nghiệm

– Nếu –2 < m ≤ m > 2: phương trình vơ nghiệm Bài 9. Giải biện luận phương trình với m tham số: √x2−3

=x − m

(Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000)

HD: Ta có:

2 2

x m x m

x x m

x x m 2mx 2mx (m 3)

 

 

      

      

 

– Nếu m = 0: phương trình vơ nghiệm

– Nếu m ≠ 0:

2 m x

2m  

Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m 

2 m

m 2m

  + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤  m 

+ Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2

 m2 ≥  m ≤ 

Tóm lại:

– Nếu m  3 m 3 Phương trình có nghiệm:

2 m x

2m   – Nếu  m 0  m 3: phương trình vơ nghiệm

Bài 10. Giải biện luận theo tham số m phương trình: x x m m HD: Điều kiện: x ≥

– Nếu m < 0: phương trình vơ nghiệm

– Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x 1) 0   có hai nghiệm: x

1 = 0, x2 =

– Nếu m > 0: phương trình cho tương đương với ( x m)( x m 1) 0 

x m

x m

  

 

  

+ Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 =

2 (1 m) + Nếu m > 1: phương trình có nghiệm: x = m

III-Bài tập áp dụng:

Bài 1:Giải phương trình sau:

1/ x x1 13 2/ 3 x34 3 x 1 3/ 2x 5 3x 2 4/ 1x x24  x 5/ x 5   x 2 6/ x 1  x 7  12 x 7/ x  x 1  x 4  x 0  8/ x 0  9/ =

6x x 10/

1

5

2 x  

11/

19 3

6 x

  

12/

8

3x

  

13/ 16x17 8x 23 14/ 3x 1 2 x 3 15/20 2 x 2x Bài 2: Giải phương trình:

a) x2 1 x b) x 2x 3 c) x2 x 1

d) 3x 6 x 3 e) 3x 2 x 3 f) 3x 2 x 1

g) x9 5  2x4 h) 3x 4 2x 1 x3 i) x 4x 32 Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  x23x 2 2m x x 

Bài 4: Cho phương trình: x2 1 x m

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 5: Cho phương trình: 2x2 mx 3 x m

a) Giải phương trình m=3

b) Với giá trị m phương trình có nghiệm Bài 6: Giải phương trình sau:

a/ x x 0  d/

1

1 17

2 x  x  x  g/

2

x x

x x

 



 

b/ 2x 1

e/

5

3 27 12

3

x  x  x  h/ x 5 x1 0 c/ 3x x4 0

f) (x3) 10 x2 x2 x 12 i/ 5x7 x12 0

PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I-KIẾN THỨC:

Sử dụng đẳng thức sau:

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ( ) 0) f x g x f x

f x g x f x g x

f x g x f x

 



    

 



II-BÀI TẬP:

Bài 1: Giải phương trình: x2  4x x 8   (1) HD: (1) 

2

(x 2)  8 x  |x – 2| = – x

– Nếu x < 2: (1)  – x = – x (vô nghiệm)

– Nếu x  : (1)  x – = – x  x = (thoả mãn) Vậy: x =

Bài 2: Giải phương trình: x 2 x 1    x 10 x 1   2 x 2 x 1   (2)

HD

: (2) 

x

x x 1 x 2.3 x x x 1  

  

             

 



x

x 1 | x | 2.| x 1| 

  

       



 (*)

Đặt y = x 1 (y ≥ 0)  phương trình(*) cho trở thành: y | y | | y 1|     – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y  y = –1 (loại)

– Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y –  y =

– Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y =  x + =  x = (thoả mãn) Vậy: x =

Bài 3:Giải phương trình: x 2 2x  x 2 2x 7 HD:ĐK:

5 x

PT  2x 2 x 1  2x 2 x 14   2x 1  2x 14 

 2x 5

 x15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15

Pt  x 2 x1 1  x 2 x 1 2   x1 1  x 1 2

Nếu x2 pt  x 1  x 1 2   x2 (Loại)

Nếu x2 pt  x1 1   x 2  0x0 (Luôn với x) Vậy tập nghiệm phương trình là: S x R |1 x 2

III-Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau:

1/ x2 2x 1 2/ x x4 3 3/ x2  6x9 2x1 4/ x4 x45x2

5/ x2  2x 1 x2 4x4 4 6/ x x 1 x x 4 10

7/ x2  6x9 2x2 8x8  x2  2x1 8/ x2 4x 4 x2 6x9 1 9/ x2 x1 x x1 2 10/ x 2 x  x x 1

11/ x 6 x2  x11 6 x2 1 12/ x 2 2x 5 x 2 2x 7 13/ x2 2x x2 2x 1 0 14/ √2x+4+6√2x −5+√2x −4−2√2x −5=4 15/ x2 4x 4 2x10 16/ x2 2x 1 2x8

17/

1

2

2

x x  x  18/ √14x2+x+1−√6−2√5=0 19/

3

2

2 x

x x  x x   20/ x2 4x4 2  x

21/ (x 1) 4  x 1 x 6 x 1  22/ x 8 x1 4 PHƯƠNG PHÁP 3:ĐẶT ẨN PHỤ 1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải đặt t f x và ý điều

kiện tnếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến tquan trọng ta giải phương trình theo tthì việc đặt phụ xem “hồn tồn ” Bài Giải phương trình: x x2 1 x x2 2

HD:Điều kiện: x1

Nhận xét x x2 x x2 1

Đặt t  x x2 1 phương trình có dạng:

1

2

t t

t

   

Thay vào tìm x1

Bài Giải phương trình: 2x2 6x 1 4x5

HD:Điều kiện:

Đặt t  4x5(t 0)

2 5

4 t x 

Thay vào ta có phương trình sau:

4

2

10 25

2 ( 5) 22 27

16

t t

t t t t t

 

        

2

(t 2t 7)(t 2t 11)

     

Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2  1 2;t3,4  1

Do t 0 nên nhận gái trị t1 1 2,t3  1

Từ tìm nghiệm phương trình l: x 1 x 2

Cách khác: Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện 2x2 6x 0

Ta được: x x2(  3)2 (x 1)2 0, từ ta tìm nghiệm tương ứng.

Đơn giản ta đặt : 2y 3 4x5 đưa hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ

đưa hệ)

Bài Giải phương trình sau: x 5 x 6

HD:Điều kiện: 1 x

Đặt y x 1(y0) phương trình trở thành: y2 y5 5  y4 10y2 y20 0

( với y 5) (y2 y 4)(y2 y 5) 0

1 21 17

,

2 (loại)

y  y  

  

Từ ta tìm giá trị

11 17

2 x 

Bài 4.Giải phương trình sau :   

2

2004 1

x  x   x

HD: ĐK: 0 x

Đặt y 1 x phương trình trở thành:    

2 2

2 1 y y y1002  0 y 1 x0

Bài 5. Giải phương trình sau :

2 2 3 1

x x x x

x

   

HD:Điều kiện:   1 x

Chia hai vế cho x ta nhận được:

1

2

x x

x x

   

Đặt

1 t x

x

 

, ta giải

Bài 6. Giải phương trình : x23 x4 x2 2x1

HD: x0 nghiệm , Chia hai vế cho x ta được:

3

1

2

x x

x x

 

   

 

 

Đặt t=

3 x

x



, Ta có : t3 t 0 

1

1

2 t   x 

Phương trình có dạng: 3y2 + 2y - =

5 y y

 

  

 

  y1

Với y =  x2 7x7 1

1 x x

    

 Là nghiệm phương trình cho.

Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ giải quyết lớp đơn giản, đơi phương trình t lại q khó giải

2 Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến :

Chúng ta biết cách giải phương trình: u2uvv2 0 (1) cách

Xét v0 phương trình trở thành :

0

u u

v  v 

   

  

   

   

v0 thử trực tiếp

Các trường hợp sau đưa (1)

 a A x  bB x  c A x B x     uv mu2nv2

Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vơ tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng

a) Phương trình dạng : a A x  b B x   c A x B x   

Như phương trình Q x   P x  giải phương pháp nếu:

     

     

P x A x B x Q x aA x bB x

 

 

 

 

Xuất phát từ đẳng thức :

  

3 1 1 1

x   x x  x

     

4 1 2 1 2 1 1

x x   x  x   x  x  x x  x

  

4 1 2 1 2 1

x   x  x x  x

   

4 2

4x  1 2x  2x1 2x 2x1

Hãy tạo phương trình vơ tỉ dạng ví dụ như:4x2 2x 4 x41

Để có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai

2 0

at bt c  giải “ nghiệm đẹp”

Bài Giải phương trình :  

2

2 x 2 5 x 1

HD: Đặt

2

1 ( 0) ; ( )

2 u x u v x  x v

phương trình trở thành :

 2

2

2 1

2

u v

u v uv

u v

  

  

 

 Tìm được:

5 37

2 x 

Bài 2. Giải phương trình :

2 3 1 1

3

x  x  x x 

HD:Dễ thấy:      

4 1 2 1 2 1 1

x x   x  x   x  x  x x  x

Ta viết        

2 2

1 1

x x x x x x x x

          

Đồng vế trái với (*) ta :

       

3 x x x x x x x x

          

Đặt :

2 3

1 ;

4

ux  x u  vx  x v 

   

phương trình trở thành :-3u+6v=- uv  u 3v Từ ta tìm x. Bài 3: Giải phương trình sau :2x25x 7 x3 1(*)

HD:Đk: x1

Nhận xét : Ta viết       

2

1 1

x x x x x x

        

Đồng vế trái với (*) ta :       

2

3 x1 2 x x 1 7 x1 x  x

Đặt u x , v x 2  x 0, ta được:

9

3 1

4

v u

u v uv

v u

  

  

  

Ta :x 4

Bài 4. Giải phương trình :  

3

3 3 2 2 6 0

x  x  x  x

HD:Nhận xét : Đặt y x2 ta biến pt phương trình bậc x và

y :

3 3

3

2 x y

x x y x x xy y

x y

 

         

 

Pt có nghiệm :x2, x 2

Bài 5:Giải phương trình: 10 x3 1 3x2 2 HD:ĐK:x1

Pt 10 x1 x2  x 1 3(x2 2)

Đặt

1

( , 0)

u x

u v

v x x

  



 

  

 

Phương trình trở thành:10uv = 3(u2+v2)  3u v u    3v 0

3

u v

v u

    

 Nếu u = 3v  x 1 x2  x 1 9x2 10x 8 0 (vô nghiệm)

Nếu v = 3u

2 1 3 1 10 8 0 33

5 33 x

x x x x x

x

  

          

 

 nghiệm b).Phương trình dạng : uv mu2nv2

Phương trình cho dạng thường khó “phát “ dạng , nhưg nếu ta bình phương hai vế đưa dạng

HD:Ta đặt :

 

2

2 , 0;

1 u x

u v u v

v x

  

 



 



 phương trình trở thành : u3v u2 v2

hay: 2(u + v) - (u - v)= u v u v    

Bài 2.Giải phương trình sau : x22x 2x 1 3x24x1

HD:Đk x

Bình phương vế ta có :

x2 2x2x 1 x2 1 x2 2x2x 1 x2 2x 2x 1

          

Ta đặt :

2

2

2

u x x

v x

  



 

 ta có hệ :

1

2

1

2

u v

uv u v

u v

 

  

  

 

  

Do u v, 0  

2

1 5

2

2

u  v x  x  x

Bài 3. Giải phương trình : 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x1

HD:Đk x5 Chuyển vế bình phương ta được:   

2

2x  5x 2 x  x 20 x1

Nhận xét : Không tồn số  , để : 2x2 5x 2 x2 x 20x1 ta không

thể đặt :

2 20

1

u x x

v x

   



 

 .

Nhưng may mắn ta có :            

2 20 1 4 5 1 4 4 5

x  x x  x x x  x x  x

Ta viết lại phương trình:    

2

2 x  4x 3 x4 5 (x  4x 5)(x4)

Đến toán giải quyết

3 Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn

Từ phương trình tích  x 1 1  x 1 x2 0,

 2x 3 x  2x 3 x2 0

Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát

Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau

Bài 1. Giải phương trình :  

2 3 2 1 2 2

x   x  x  x 

HD:Đặt t  x22;t  2 , ta có :

 

2 2 3 3 0

1 t

t x t x

t x

 

      

  

Bài 2 Giải phương trình : x1 x2 2x3x21 HD:Đặt : t  x2 2x3, t 

       

2 2

2 1

1 t

x x x t x t x t x

t x                    

Bài 3:Giải phương trình:x2 3x 1 x3 x2 1 HD:Đặt t  x2 1;t1

Phương trình trở thành:t2 - (x + 3)t + 3x = 0

 (t - x)(t - 3) = 0 t x t       Nếu t = x  x2  1 x (Vô lý) Nếu t =  x2   1 x2 Vậy:x2

4 Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích

Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp tạo phương trình vơ

tỉ mà giải lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa hệ

Xuất phát từ đẳng thức        

3 3 3 3

3

a b c  a b c  a b b c c a   , Ta có

 3      

3 3 0

a b c  a b c   a b a c b c   

Từ nhận xét ta tạo phương trình vơ tỉ có chứa bậc ba

2

3

3 7x 1 x  x 8 x  8x 1 2 33x 1 35 x 32x 9 34x 3 0

       

Bài Giải phương trình :x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 x 2 x

HD:ĐK:x2

Đặt

2 ;

3 ;

5 ;

u x u

v x v

w x w

              

 , ta có :

            2 2 3 5

u v u w u uv vw wu

v uv vw wu u v v w

w uv vw wu v w u w

                             

  , giải hệ ta

được:

30 239

60 120

u  x

Bài 2. Giải phương trình sau : 2x2 1 x2 3x 2 2x22x 3 x2 x2

HD:Ta đặt :

2 2 2

2

2

a x

b x x

c x x

d x x

                  

 , ta có : 2 2

2 a b c d

x

a b c d

          

Bài Giải phương trình sau : 4x25x 1 x2 x 1 9x

HD:Đặt

 

2

4

;

a x x

a b

b x x

           

Ta hệ phương trình:

2 4 9 3

2

a b x

a b x

   



  

Từ ta có: a2 - 4b2 = a - 2b  (a - 2b)(a + 2b - 1) = 0

2

a b

a b

     

 Nếu a = 2b

2

4

3

x x x x x

       

(thoả mãn) Nếu a = - 2b  4x2 5x  1 x2  x1 (*)

Ta có : VT(*) 0 (1)

VP(*) =

2

2

1 1

2

x x x 

           

  (2)

Từ (1) (2) suy phương trình (*) vơ nghiệm

Vậy phương trình cho có nghiệm x Bài tập áp dụng:

Giải phương trình sau :      

3 4 3 2

4

4 1 1

x x  x   x   x x  x  x 5 Đặt ẩn phụ đưa hệ:

5.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường

Đặt u x v,  x tìm mối quan hệ  x  x từ tìm hệ theo

u,v

Bài 1. Giải phương trình:  

335 335 30

x  x x  x 

HD:Đặt y335 x3  x3y3 35

Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau: 3

( ) 30

35 xy x y

x y

 

  

 



 , giải hệ ta tìm

được ( ; ) (2;3) (3;2)x y   Tức nghiệm phương trình x{2;3}

Bài 2. Giải phương trình:

4

1

2

x x

   

HD:Điều kiện: 0 x 1

Đặt

4

2

0 1,0

x u

u v

x v

   



      

   

Ta đưa hệ phương trình sau:

4

2

2 4

4

1

2

1

2

2

u v

u v

u v v v



 

 

 

 



 

 

        

  

 

Giải phương trình thứ 2:

2

2

4

1

( 1)

2 v   v  

  , từ tìm v thay vào tìm nghiệm

của phương trình

Bài 3. Giải phương trình sau: x 5 x 6

HD:Điều kiện: x1

2

5

( )( 1) 1

5

a b

a b a b a b a b

b a

  



           



 

 

Vậy

11 17

1 1

2 x    x  x   x x 

Bài Giải phương trình:

6

3

5

x x

x x

 

 

 

HD:Điều kiện:  5 x5

Đặt u 5 x v,  5 y 0u v,  10

Khi ta hệ phương trình:

2

2 10 ( ) 10 2

2

4 ( ) 1

2( )

3

u v uv

u v

u v u v

uv u v



     

 



   

  

      

 

   

Bài Giải phương trình:

√629− x+4√77+x=8 HD:ĐK:77 x 629

Đặt 4

629

( ; 0) 77

u x

u v

v x

  



 

 

 

⇒u+v=8, u4+v4=706 Đặt t = uv

⇒t2−128t

+1695=0

¿

t=15 t=113

⇔¿

Với t = 15 ⇒ x = Với t = 113 ⇒ x = 548

Bài Giải phương trình: x3 x2 1 x3 x2 2 3 (1) HD:Với điều kiện: x3 x2  0  x3x2 2 0

Đặt

3

3 2

u x x

v x x

   

 

  



 Với v > u ≥ 0 Phương trình (1) trở thành u + v = Ta có hệ phương trình

2

3

3

3 3

3

( )( )

1 2 1 u v

v u

u v u v u

v u v u v u v

x x x x x x x x

  



 



       



     

      

 



   

  

  

 

   

 

  

3 2

2

( 1)( 2)

1 ( 2 )

x x

x x x

x do x x x

   

    

     

Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {1}

Bài Giải phương trình: √1− x2=(2 3−√x)

2

HD: Điều kiện:

2 1 1

1 0 0 x x x x x                 (*)

Với điều kiện (*),đặt u=√x ; v=2

3−√x , với u ≥ 0, v ≤

Ta có: { 1− x2

=1−u4 (23−√x)

2

=v2 Do dó ta có hệ

   

4

4

2

2 2

2 2 2

2 2 2 2 3 1 2 3

2

2 2

3 3

16 65

4

2

2

9 81 194 18

u v u v

u v

u v

u v u v

u v u v u v u v u v

u v u v

u v u v

u v u v

u v u v u v                                                                                         

 2 194 18 u v                  

⇒ u v nghiệm phương trình y2−2

3 y+

8−√194

18 =0(a) y2−2

3y+

8+√194

18 =0(b)

¿

 (b) vô nghiệm  (a) có nghiệm

y1=

1−√√97 −3 ; y2=

Do đó: {u1=y1

v1=y2

∨{u2=y2

v2=y1

Vì u ≥ nên ta chọn

u=y2=

1+√√97 −3

⇒√x=

1+√√97 −3

3 ⇒√x=(

1+√√97 −3

3 )

2

Vậy phương trình cho có nghiệm x=1

9(1+√√ 97

2 −3)

2

Bài Giải phương trình:

√18+5x+√464−5x=4 HD:Với điều kiện

{18+5x ≥0 64−5x ≥0⇔{

x ≥ −18 x ≤64

5

⇔−18 ≤ x ≤

64

5 (*)

Đặt u=4√18+5x , v=√464−5x , với u ≥ 0, v ≥ Suy {u4=18+5x

v4=64−5x

Phương trình cho tương đương với hệ: u+v=4

uv¿2=82

¿ ¿

(u2+v2)2−2¿

u+v=4 u4+v4=82

v ≥0, v ≥0

⇔¿ ¿

Đặt A = u + v P = u.v, ta có:

{ S=4

(S2−2P)2−2P2=82 P≥0, S ≥0

⇒{

S=4 p2−32P+87=0

P ≥0

⇔{P=3S∨=P4=29 P ≥0 (1) Với S = 4, P =

u v nghiệm phương trình:

2 4 3 0

3 y

y y

y

      

 

Do ta có: {uv==13∨{u=3

v=1

Suy

4

4

18 18 64 64

x x

x x

     

 



 

   

 

 

18 18 81 64 81 64

x x

x x

   

 

   

   

⇔x=−17 ∨x=

63

5 thoả mãn (*)

(2) Với S = 4, P = 29 ⇒ khơng tồn u v Vậy phương trình cho có nghiệm là:

1

2 17

5 63

5 x

x

      

5.2 Giải phương trình vơ tỉ cách đưa hệ đối xứng loại II

Ta tìm nguồn gốc tốn giải phương trình cách đưa hệ đối

xứng loại II

Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau :

 

 

2

2

1 (1)

1 (2)

x y

y x

   

 

  



 việc giải hệ này

thì đơn giản

Bây ta biến hệ thành phương trình cách đặt yf x  cho (2) ,

y x  , ta có phương trình : x12 ( x2 1) 1   x22x x2

Vậy để giải phương trình : x22x x2 ta đặt lại đưa hệ

Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc :

 

 

2

2

x ay b

y ax b

 

 

   

 

  



 , ta xây dựng được

phương trình dạng sau : đặt y  ax b , ta có phương trình :

x 2 a ax b b 

 

    

Tương tự cho bậc cao :  

n a n

x ax b b 

 

 

    

Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng :

 x n p a x bn ' '

     đặt y n ax b

    để đưa hệ , ý dấu  ???

Việc chọn  ; thông thường cần viết dạng :xn p a x bn '  '

là chọn

Bài 1: Giải phương trình: x2 2x2 2x1

HD:Điều kiện: x

Ta có phương trình viết lại là: (x 1)2 2 x

Đặt y 1 2x ta đưa hệ sau:

2

2 2( 1)

2 2( 1)

x x y

y y x

   

 

  

 

Trừ hai vế phương trình ta (x y x y )(  ) 0 Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x 2

Cách 2: Đặt 2x 1 t a  2x 1t2 2at a

kết hợp với đầu ta có hệ phương trình: 2

2 2

2 2

x x t

t t x

   

 

  

  Giải hệ ta tìm x

Bài Giải phương trình: 2x2 6x 1 4x5

HD:Điều kiện

5 x

Ta biến đổi phương trình sau: 4x2 12x 2 4 x5  (2x 3)2 2 4x 5 11

Đặt 2y 3 4x5 ta hệ phương trình sau:

2

(2 3)

( )( 1)

(2 3)

x y

x y x y

y x

   



    



  

 

Với x y 2x 3 4x5 x 2

Với x y  0  y 1 x 2x 1 4x5 (vô nghiệm)

Kết luận: Nghiệm phương trình x 2

Bài 3:Giải phương trình:x2  x5 5 HD:ĐK:x5

Pt  x2  5 x5 ; x  (*) Đặt x5  t a x 5 t2 2at a

Chọn a = ta được:t2 - = x kết hợp với (*) ta hệ phương trình:

2

5

x t

t x

  

 

  

 từ ta tìm nghiệm. Bài 4:Giải phương trình: 7x2 + 7x =

4

( 0) 28

x x

 

HD:Đặt

4 28 x

t a



  2

28 x

t at a



   

Chọn a

ta được:

2

4 1

7

28

x

t t t t x



      

Kết hợp với đầu ta hệ phương trình:

2

1

7

2

7

2

x x t

t t x



  

  

   

  Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm Bài tập áp dụng:

Giải phương trình:2x2 2x 1 4x1

PHƯƠNG PHÁP 4:PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I-KIẾN THỨC:

1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:

Cho hai số : ( a , b), (x , y) ta có: (ax + by)2 (a2b2)(x2y2) Dấu ‘‘=’’ xảy

a b x y

 

a) Với hai số a, b  ta có:

a b ab

  Dấu ‘‘=’’ xảy  a b

b) Với ba số a, b, c  ta có:

3 a b c

abc

   Dấu ‘‘=’’ xảy  a b = c

c) Với bốn số a, b, c, d  ta có:

4

a b c d

abcd

    Dấu ‘‘=’’ xảy  a b = c = d

e) Với n số a1, a2,…, an  ta có:

1

1

n n

n

a a a

a a a n

  

 Dấu ‘‘=’’ xảy  a1 a2   an

3.GTLN,GTNN biểu thức: a/ A = m + f2(x)  m

A m MinA m

 

 

Dấu ''='' xảy  f(x) = 0

b/ A = M - g2(x)  M

ax A M M A M

 

 

Dấu ''='' xảy  g(x) = 0 4 Dùng đẳng thức :

Từ đánh giá bình phương : A2B2 0, ta xây dựng phương trình dạng

2 0

A B 

Từ phương trình    

2

5x 2 x  5 x  x 0

ta khai triển có phương trình :  

2

4x 12 x 4 x 5x 1 5 x 5 Dùng bất đẳng thức

Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức:

(1) (2) A m B m

  





nếu dấu (1) (2) đạt x0 x0 nghiệm phương trình A B

Ta có : 1x 1 x 2 Dấu x0

1

1

1 x

x

  

 , dấu

khi x = Vậy ta có phương trình:

1

1 2008 2008

1

x x x

x

     



Đơi số phương trình tạo từ ý tưởng :

 

( ) A f x B f x

   

 

 :

   

A f x A B

B f x

     

  

 Nếu ta đốn trước nghiệm việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có

nhiều nghiệm vơ tỉ việc đốn nghiệm khơng được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá

II-BÀI TẬP:

Bài 1. Giải phương trình : 2

9

1 x x

HD:Đk: x0

Ta có :

 

2

2

2

2

1

1

x

x x x

x

x x

 

      



      

     

  

   

     

Dấu

2 1

7

1 x

x x

   

 

Bài 2. Giải phương trình : 13 x2 x4 9 x2x4 16

HD:Đk:   1 x

Biến đổi pt ta có :  

2

2 13 1 9 1 256

x  x  x 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

 13 13 1 x2 3 3 1 x22 13 27 13 13 x2 3 3x2 40 16 10 x2

         

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:  

2

2 16

10 16 10 64

2 x  x   

 

Dấu

2

2

2

5

3 2

10 16 10

5 x

x x

x

x x



   

 





  



   

 



Bài 3. Giải phương trình: x3` 3x2 8x40 4 x4 0

HD:Ta chứng minh : 44 x4  x 13 x3 3x2 8x40 0  x 3 2 x3  x 13

Bài 4: Giải phương trình: 7 x x x2  12x38 HD:Ta có :VT2=( 7 x x 5)2(1 + 1).(7- x + x - 5) = 4

Nên : < VT 

Mặt khác:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2  2

Theo giả thiết dấu ''='' xảy khi:x = Vậy x = nghiệm phương trình cho Bài 5: Giải phương trình:  x2 3x 2 x 1 HD:ĐK:x1; 2 (1)

PT  x2 3x  2 x1 (2) Từ (2) ta có:

2

1

1 (3)

x x x x

  

  

  

 

Từ (1) (3) Ta có x = thế vào (2) thoả mãn.Vậy :x =

Bài 6:Giải phương trình :

x 4x

2 x

4x



 

 HD: Điều kiện

1 x

4 

x 4x x 4x

2

x x

4x 4x

 

   

 

Theo giả thiết dấu xảy khi:

x 4x

x 4x

  

2

x 4x (x 2) x

   

  

  

Dấu “=” xảy  x 4x 1  x2 4x 0 

 x2 4x 0    (x 2) 2 3 x 2  3 x 2  3(Thoả mãn)

Vậy :x 2

Bài 7:Giải phương trình : x 1  5x 1  3x 2 HD: Cách điều kiện x ≥

Với x ≥ thì: Vế trái: x 1  5x 1  vế trái âm

Vế phải: 3x 2 ≥  vế phải dương Vậy: phương trình cho vơ nghiệm

Cách Với x ≥ 1, ta có:

x 1  5x 1  3x 2

 x 8x (5x 1)(3x 2)       7x (5x 1)(3x 2)   

Vế trái số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥  phương trình vơ nghiệm

Bài 8:Giải phương trình : 3x26x 7  5x210x 14 2x x    2 (1)

HD: Ta có (1) 

2

3 x 2x x 2x (x 2x 1)

3

   

          

   

   



2 2

3(x 1) 4 5(x 1) 9 (x 1)  

Ta có: Vế trái ≥ 4 5   Dấu “=” xảy  x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy  x = –1

Vậy: phương trình cho có nghiệm x = –1

Bài 9:Giải phương trình :

2 x

8 2x 2x x



   

 HD: điều kiện x ≥

1

Dễ thấy x = nghiệm phương trình

– Nếu

x

2  : VT =

6

1 8

x

   

 Mà: VP > 8 – Nếu x > 2: VP = 2x2 + 2x 1 > 2.22 + 3 = 8 3 VT < 8

x x

6

1

x

    

   

 

Bài 10:Giải phương trình :

6

6 x  x  HD: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x =

3

2 nghiệm phương trình Ta cần chứng

minh nghiệm Thật vậy:Với x < 2:

6

3 x 

4 x  

6

6 x  x  .

Tương tự với

2 < x < 2:

6

6 x  x  Bài 11:Tìm nghiệm nguyên dương phương trình:

 

1 1 4

1.2 2.3 3.4

x

x x x

 

    

  

HD:ĐK:x4 (1)

Ta có:

1

1

1

x x

  

  

 4 x  x 4 (*)

Ta có: VP(*) = x 0  x4 (2)

Từ (1) (2) ta có:x = nghiệm III-BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Giải phương trình sau :

1 2

1 2

1 2

x x

x x

x x

 

    

 

2

2

1

2 x x

x x

 

       

 

4 4

2x  8 4x 4 x  16x4 5 43 x3x 3` 3 8 40 44 4 0

x  x  x  x  8 x3 64 x3 x4 8x2 28

     

4 x 41 x x 1 x 2 48

       x 3 5 x x28x18

Bài 2: Giải phương trình sau :

1/ x - + - x = x - 8x + 242 2/ x 4 6 xx210x27 3/ 6 x x2x2 6x13 4/ 1 x 4x 3

5/ 2x 3 2 x 3x212x14 6/ x 2 10 x x2 12x40 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng tốn quen thuộc Ta có hướng áp dụng sau đây:

Hướng 1: Thực theo bước:

Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f x( )k Bước 2: Xét hàm số yf x( )

Bước 3: Nhận xét:

 Với x x  f x( )f x( )0 k x0 nghiệm

 Với x x  f x( ) f x( )0 k phương trình vơ nghiệm

 Với x x  f x( ) f x( )0 k phương trình vơ nghiệm

Hướng 2: Thực theo bước

Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f x( )g x( )

Bước 2: Dùng lập luận khẳng định f x( )và g(x) có tính chất trái ngược xác định x0 cho f x( )0 g x( )0

Bước 3: Vậy x0là nghiệm phương trình

Hướng 3: Thực theo bước:

Bước 1: Chuyển phương trình dạng f u( )f v( )

Bước 2: Xét hàm số yf x( ), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

Bước 3: Khi f u( )f v( ) u v

Ví dụ: Giải phương trình :     

2

2x1 2 4x 4x4 3 2x  9x 3 0

HD:pt              

2

2x 2x 3x 3x f 2x f 3x

             

Xét hàm số    

2

2

f t t  t 

, hàm đồng biến R, ta có

1 x

Ví Dụ 2: Giải phương trình: x63 x23 x3 0 HD: nhận thấy x = -2 nghiệm phương trình Đặt f x  3 x63 x23 x3

Với x1 x2  f x 1  f x 2 hàm số f(x) đồng biến R Vậy x = -2 nghiệm phương trình

Bài tập áp dụng: Giải phương trình:

a) 4x 1 4x2  1 c) x 3  x x2 e) x 1 x2 3

b) x 1 x3 4x5 d) x  1 2x2x2 x3 f) 2x 1 x2 3 4 x

    

PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Một số phương trình vơ tỉ ta nhẩm nghiệm x0 phương trình ln đưa

về dạng tích x x A x 0   0 ta giải phương trình A x  0 chứng minh

 

A x  vô nghiệm , chú ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía

 

A x  vô nghiệm

Bài 1:Giải phương trình: x x 2  x x 1 2 x2 (1) HD: C1: ĐK x2;x1

 

   

     

2 2

1

1

3

2

1

x x x x

x

x x x x

x

x

x x x x

  

 

  



 

  

Nếu x 1 ta có

   

   

   

3

1 3

2 2

2

1 2

x x x x

x x x

x x x x x

 

    



   



    

Giải (3) ta tìm x

Nếu x-2 ta có

   

   

   

3

1 3

2 2 1 2 4

2

1 2

x x x x

x x x

x x x x x



   



   



    

 Giải (4) ta tìm x C2: ĐK: x2;x1

Nếu x 1 ta chia hai vế cho x ta được: x2  x 1 2 x Bình phương hai vế sau giải phương trình ta tìm x

Nếu x-2 Đặt t = -x  t 2Thay vào phương trình ta được

     

     

2

2

2

t t t t t

t t t t t

        

    

Chia hai vế cho t ta t 2  t1 2 t Bình phương hai vế tìm t

Sau tìm x

Trong C1 ta sử dụng kiến thức liên hợp Còn C2 ta vận dụng kiến thức miền xác định ẩn phương trình.nhìn chung việc vận dụng theo C2 đơn giản

Bài Giải phương trình sau :  

2 2

3x  5x 1 x   x  x  x  3x4

HD:

Ta nhận thấy :      

2

3x  5x1  3x  3x 2 x

v      

2 2 3 4 3 2

x   x  x  x

Ta trục thức vế :  

2

2

2

2

3

x x

x x x

x x x x

  



   

    

Dể dàng nhận thấy x = nghiệm phương trình

Bài 3. Giải phương trình sau: x212 3  x x25

HD: Để phương trình có nghiệm :

2 12 5 3 5 0

3 x   x   x   x

Ta nhận thấy : x = nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng

x 2  A x 0, để thực điều ta phải nhóm , tách sau :

 

 

2

2

2

2

4

12 3

12

2

2

12

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

 

          

   

   

       

   

 

Dễ dàng chứng minh : 2

2

3 0,

3

12

x x

x

x x

 

    

   

Bài 4. Giải phương trình :3 x2 1 x x3

HD :Đk x1

Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình

 

 

  

2

3

2

2

3

3

3

1

2

1

x x x

x

x x x x

x

x x

 

  



 

            

 

   

 

Ta chứng minh :    

2

2 3

3

3

1

1 1

x x

x x x

             3 x x x     

Vậy pt có nghiệm x =

Bài 5:Giải phương trình sau:

2 2 3 3 x x x

x x x x

 

 

   

HD:ĐK:x2 

Nhân với lượng liên hợp mẫu số phương trình cho ta được: x2 3x x2 3 x2 3x x2 3 3.x

       

x2 33 x2 33 3 3.x

    

  3 3  3

3 3 27

x

x x x x

                  

4 4 3 4 4

0 ; 0

2 ( 3) 4( 3) 9 2

x x x

x

x x x x x x

                     

Giải hệ ta tìm x

Bài 6:Giải phương trình: 

2 2

9

x x x     HD:ĐK: x x        Pt       2 2

2

9

3 9

x x x x x            2

2 18

9

x x x

x x

  

  

 2 x 0

x   nghiệm

Bài tập vận dụng:

1) x x  3  x x  4 2 x2

2)          

3 3

x x  x x  x

Tổng quát:          

f x g x f x h x f x

  

3)

3 1 10

x

x

x   

 

2 2

1 2005 2005

1

1 2 2 2005 2005

2

x   x    x   x x  x

Bài 2: Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:

 

1

1

2

x y  z  x y z  Bài 3: Giải phương trình sau:

1

x  x  3(x2 x1) ( x x1)2 √3 x −2−√32x −2=−1

3

√x −2+√x+1=3 x2  x5 5

(x+2)(x+4)+5(x+2).√x+4 x+2=6

2 48 4 3 35

x   x  x   x 4   x  9 x √5− x6−√33x4−2=1

2

2(x 2) 5 x 1 x 17 x2 x 17 x2 9 1 1 x   x x  x 

4 10 3  x  x √√3− x=x.√√3+x x2  x 1 x x  1 x2  x2

5

√27 x10−5x6+√5 864=0 3x2 2x 2 x2 x 1 x

     √x2+24+1=3x+√x2+8 Bài 4: Giải phương trình sau:

√25− x2−√10− x2

=3 x2 4x 5 x2 4x 8 x2 4x 9 3 5

         

7   

2

7

x x x x

x x

    



        

1

3 3

3 x

x x x

x



     



x3 10  x2 x2 x12 x29x20 3 x10 2x 3 x x24x 5 2x3 3x2

+3x −2√x2+x=1 x 1  4x 20 1 37 x 1 x 2 3x2 5 3x2 5x 12 48 5x

    

1

4

x x

x x

 

 

    

   

   

2

5

5 3

x x

  

 

5

4 20 45

9

x

x    x  52 52

5

x x   x x  

2

2

2 2

x x

x x

 

 

   

7   

2

7

x x x x

x x

    



  

1

4 9

2

x   x  x =

√√3− x

√3+x

x4 + x22005 2005 a b 1 x  1 a b 1 x

(a , b > 0)

2 5 4 5 5 28 0

x  x  x  x  64x6 - 112x4 + 56x2 - = 2 1 x2

Bài 5: Ký hiệu [x] phần nguyên x Giải phương trình sau:

3

31 2  x 1 855       

     

Bài 6:Cho phương trình:x2.6x x2 x2.6 x 62x

  

Gọi tổng nghiệm phương trình S,tính S15

Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

Bài 8:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

1 1225

74 771

2 771 x y z

x  y  z       

Bài 9:Giải phương trình sau :

2

5x  14x 9 x  x 20 5 x1 36x 1 8x3 4x

1 1

2x x x

x x x



     1530  2004 30060 1

2 x  x  x 

4x 1 x3 1 2x3 2x 1

     4x2 4x 10 8x2 6x 10

   

3 2x  1 x 3 x8 2x 1 x2 x 12 x 1 36

 2  2

3

2 1x 3 1 x  1 x 0 2008x2 4x 3 2007 4x

2

(2004 )(1 )

x  x   x (x3 x2)(x9 x18) 168 x

3

1 1

x  x x    x x  2 x416 4  x2 16 2  x9x216

3

4 x 1 x 1 x x

     4x23x 3 4x x 3 2x1

2

2x 16x18 x  2 x4 12 x2 x1 3 x9

2

3 x 1 3x 2 3x 2

     2x211x21 4 x 0

       

2 2 x 5 x  x 2 x 10 x x24 x 2 x

4x 5 3x 1 2x7 x3 x2 3x 1 x 3 x2 1

    

3 x 1 x 1 x 2

    x x 1 2x1

 3

3 1 2 2

x   x x  x

2

2 3

2

3

x x

x x

x

 

  



Bài 10: Giải phương trình:

a) x2 x22x 8 12 2 x b) 2x2  2x23x9 3x

c) x2 4x 6 2x2 8x12 d) 3x215x2 x25x 1

e) (x4)(x1) 3 x25x2 6 f) 2x25x2 2 x25x 1

g) x23x2 2 x26x2  h) x2 x211 31

Bài 11: Giải phương trình:  3  

3 2

1

x   x x  x

   

3

2

1 1 x  1 x  1x   2 1 x

 

 

35 12 x x

x

 

      

1

3 3

3 x

x x x

x



    



2

1 x 2x 1 x  2x  1 64x6 112x456x2 1  x2

Bài 12: Cho phương trình: 1x 8 x 1x 8 x m a) Giải phương trình với m =

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

c) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 13: Cho phương trình:

1

1 m

a) Giải phương trình với

2

3 m 

b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình:  

2

2 x  2x  x  2x 3 m0 a) Giải phương trình với m =

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 15:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

y = x2 x 1 x x x x x x y

2 1 9 4

y    x  x y x x 2 x1

2 2

y  x x  x x y x1 2 x  x 2 x Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

x x x  x y nếu:

a/ Vế trái có 100 dấu b/ Vế trái có n dấu

Bài 17:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

4 4

x x x  x x x

(Vế trái có 100 dấu căn)

Bài 18:Tìm số hữu tỉ a b thoả mãn:

3

7 20

3

a b  a b   Bài 19:Cho hai số x , y thoả mãn:  

2 4 4 4

x   x y   y 

Tính x + y Bài 20:Giải phương trình:32x 1 x 1

Bài 21:Cho số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện:

2 2

1 1

2 x  y y  z z  x 

Chứng minh rằng:

2 2

2 x y z 

Bài 22:Cho số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện: a b c  a b c  Chứng minh rằng:2010a2010b 2010c 2010a b c 

Bài 23:Giải phương trình nghiệm nguyên: 4y2  2 199 x2  2x Bài 24:Tìm số hữu tỉ a b biết: a  b  11 28 Bài 25:Giải phương trình:

2

1

x x

x

   

Bài 26:Tìm số nguyên k thoả mãn:

 

2

2 2 2

1 1 1 2009

1

2009

1 2 k k 1



         

 Bài 27:Giải phương trình:

1/ 8 x  5 x 5 2/ x x  x x  x

4/ 2x2 1 x2 3x  2x22x 3 x2 x2

5/ x 1 4x 4 9x 9  100x100 165 6/

1 1

1

3 2 1

x  x  x  x  x  x 

7/

2

2 25 125

9 45 16 80

12 16

x x

x   x      

8/ x712671620 52408 x26022004  x712619213 56406 x26022004 1 9/ 2009 2010 x2  x 20 2009 2010 x2 x

10/ (x5)(2 x) 3 x23x

Bài 28:Giải phương trình sau:

2

15x 2x  5 2x 15x11 (x5)(2 x) 3 x23x

2

(1x)(2 x) 2  x 2x x 17 x2 x 17 x2 9

2

3x 2 x 4 x 3 x  5x2 x2 x211 31

2 2

2 (1n x) 3 1n  x n(1 x) 0 x (2004 x)(1 1 x)2

   