mét nöa c«ng viÖc , sau ®ã ngêi thø hai lµm tiÕp nöa cßn l¹i th× toµn bé c«ng viÖc hoµn thµnh trong 9 ngµy .Hái nÕu lµm riªng th× mçi ngêi lµm hoµn thµnh c«ng viÖc trong bao nhiªu ngµy [r]
(1)Ôn Thi vào THPT
A-Phần đại số I-Căn Bậc hai -bậc ba
A- Lí thuyết ( Đề cơng ôn tËp)
B-
Bµi tËp
Bµi 1: Không dùng máy tính hÃy so sánh
a, 2
√31vµ 10 -3
√26vµ 15 -3
√11vµ -12
2
√5vµ 5
√2√
5√3 va√
3√53❑
√2
.3 vµ
332(căn bậc
3)
b,
3 7315vµ 15 vµ
3 1337 315
vµ 14 vµ
313 153c,
3+
38và 6+
3 22
3 2363+
35 Bài 2: Biểu thức sau xác định với giá trị của xA=
√2− xB=
√−7xC=
√4x+12D=
√
3x2+1E=
√
4x2−1F=
√
x2−2x+1G=
√
2x2+4x+5H=
√−5x −10I=
√
− x −−57J=
√
−5x
− x −7
K=
√
2x − x2M=
√
x2−4N=
√
x −2x −3
P=
√
x −√
x2−4x+4
Q=
√
x2+2x+4R=
√
x2−3U=
√
x+x+√−3x
Bµi 3a,
Cho A=
5vµ B=
5TÝnh
A+B ;A-B ; A.B; A:B3b,
Cho C=
√
36+10√11vµ D=
√
36−10√11TÝnh
C+D;C-D ; C.D ; C:DBµi 4 Thùc hiÖn phÐp tÝnh
A=
3√2−4−
3√2+4
B=
1+√34+1
√34+√67+
√67+√100
C=
√5−√3√5+√3+¿
√5+√3
√5−√3
D= (
√12+3√15−4√135¿.√3E=
(√252−√700+√1008)√448F=2
√
40√12−2√√
75−3√
5√48H=
√
3+√
5+2√3√
3−√
5+2√3G=(15
√50+5√200−3√450¿:√10I=
(√
4+√15)(√10−√6)(√
4−√15)J=(
3+2√3√3+2 + 2+√2
√2+1¿:(1:
2+3)
Bài 5:
Rút gọn biểu thức sau
A=
√
9−4√5-
❑√5
B=
√
23−8√7-
√7C=
2+√32+
√
4+2√3+
2−√3
2−
√
4−2√3D=
√
3+√5−√
3−√5−√2E=
√
4−√7−√
4+√7−√7F=
√
6,5+√12+√
6,5−√12+2√6G=
√
7−√24+1−1
√
7+√24−1H=
√
4+√15+¿√
4−√15-2
√
3−√5I= 4
√
3+2√2−√
57+40√2J=
√
3−2√2−√
6+4√2 (2)Bµi 7:
Rót gän biĨu thøc
a, x-4-
√
16−8x2+x4víi x>4 d,
√
a2+6a+9+√
a2−6a+9víi a bÊt k×
b,
√
x −2√x+1x+2√x+1
víi x
e,
√
a+2√a −1+
√
a −2√a −1víi
1≤ a ≤2c,
√a+√b√a −√b−
√a −√b
√a+√b
víi a
0;b ≥0;a ≠bg,
a − b
√a −√b−
√
a3−√
b3a −b
víi a
0;b ≥0;a ≠bh,Tìm đk xác định biểu thức sau rút gọn
H
1=
√
x+4√x −4+√
x −4√x −4H
2=
√
x −√
x2−4x+4Bài 8:
Chứng minh đẳng thức
a,
√a+√b a − b ¿
2=1
(
√
a+
√
b3√a+√b −√ab).¿
víi mäi a>0 ; b>0 ; a
b
b,
a+b −2√ab√a−√b :
√a+√b=a −b
víi mäi a>0 ; b>0 ; a
b
c, (2+
2− a−√a
√a −1¿.¿
a+√a
√a+1¿=4−a
víi mäi a>0 ; a
1
d,
√
x+12+6√x+3-
√
x+12−6√x+3=6 víi mäi x
6
e, (
√a+2a+2√a+1−
√a −2 a −1 ¿
√a+1
√a =
a−1
víi mäi a>0 ; a
1
f, (
1− a¿2 1− a√a
1−√a +√a¿.(
1+a√a
1+√a −√a)=¿
víi mäi a
0 ; a
1
g,
4 neu 2≤ x ≤6 ¿
2√x −2 neux>6 ¿
¿ ¿
x 4x 2+2+x+4x 2+2=Bài 9:
Tìm gía trị lín nhÊt hc nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau
A=
x
2- 4x +1 B=4x
2+4x+11
C=3x
2-6x+1 D=2+x-x
2E=x
2-2x+y
2-4y+6 F= x
2-2xy +3y
2-2x-10y +20
H=x (x+1) (x+2) (x+3) G=
x2−6x+17
Bµi 10 Cho biÓu thøc sau
10.1 A=
√
x −2√2√
x2−4x√2+8
-√
x+2√2√
x2+4x√2+8 a,Rót gän A
b,TÝnh gÝa trÞ cđa A t¹i x=3 ( KQ: A= =2) 10.2 B=(
√1+x+√1− x¿:(
1
√
1− x2+1) víi -1<x<1 a,Rót gän BbTÝnh gÝa trị B x=4 25 ( KQ: B= √1− x = =2- √2 ) 10.3 C= x+5−5√x −1
x −1−3√x −1 víi x 1; x ≠10
(3)b,Tìm x để C<3 (đúng với x ; x 1; x ≠10 ) 10.4 D= √x+1
√x −2+ 2√x
√x+2+
1+5√x
4− x víi mäi x 0; x ≠4 )
a,Rút gọn D b,Tìm x để D=2
10.5 § =( x+2
x√x −1+
√x x+√x+1+
1 1−√x¿:(
√x −1 )
a,Rút gọn Đ ( KQ:Đ= x+√x+1 ) b, C/m Đ >0 với đk x để Đ có nghĩa
10.6 E= (
√x -1
√x −1 ) : (
√x+2
√x −1−
√x+1
√x −2¿
( víi x>0 ;x
1 vµ x
4)
1; Rót gän E2; Tìm x để E=0
10.7 F= 15√x −11
x+2√x −3−+
3√x −2 1−√x −
2√x+3
3+√x
a,Rót gän F ( KQ:F= 2−5√x
√x+3 ) bTìm gía trị x để F=0,5 ( x=1/121)
c, Tìm x để F nhận giá trị lớn Tìm giá trị lớn (EMAX=2/3<=>x=0)
10.8 G= x
−√x x+√x+1−
2x+√x
√x +
2(x −1)
√x −1
a,Rút gọn G b, Tìm x để G nhận giá trị nhỏ Tìm giá trị
10.9 H= 12− x −√x √x+4
,Rút gọn H ( KQ: H=3- √x 3 bTìm x để H có giá trị lớn Tìm giá trị lớn
10.10
I= ( √x+2 x+2√x+1−√x −2 x −1 )
√x+1
√x víi x>0;
x
1
a,Rút gọn I ( KQ : I = x −1 ) bTính gía trị ngun x để I có giá trị nguyên
10.11 J = 3x+√9x −3
x+√x −2 −
√x+1
√x+2+
√x+2
1−√x (víi mäi x 0; x ≠1 )
a,Rót gän J ( KQ J = √x −3
√x −1
bTính gía trị nguyên x để J có giá trị nguyên ( x=0;4;9) 10.12 K= 2√x −9
x −5√x+6+
2√x+1
√x −3 +
√x+3
2−√x
a,Rót gän K ( KQ:K= √x+1
√x −3 bTính gía trị ngun x để K có giá trị nguyên ( x=1;16;25;49) 10.13 M = x+2
x√x −1+
√x+1 x+√x+1−
1
1−√x
a,Rót gän M bTÝnh gÝa trÞ cđa M nÕu x=28-6 √3 ( M= √x
x+√x+1 = =
3√3−1
(4)c, C/m r»ng M <
3 (xÐt hiÖu vµ c/m hiƯu <0) 10.14 N =1+( 2x+√x −1
1− x −
2x√x −√x+x 1− x√x ¿
x −√x 2√x −1 a,Rót gän N
b, C/m N > c,T×m x biÕt N= √6
1+√6
10.15 P= 2√x
√x+3+
√x
√x −3−
3(√x+3) x −9 ¿:(
2√x −2
√x −3 −1) víi mäi x 0; x ≠9 ) a,Rót gän P
b,Tìm x để P<-1 (KQ: 3(√x −3)
√x+3 <−1 <=>
4(√x −6)
√x+3 <0 )
c,Tìm x đẻ P có giá trị nhỏ 10.16 Q= x
2 +√x x −√x+1−
2x+√x
√x +1
a,Rót gän Q b,BiÕt x>1so s¸nh Q vµ / Q/
c,Tìm x đẻ Q=2
d
,Tìm x đẻ Q có giá trị nhỏ
Hµm sè y=a x+b (a 0) hệ phơng trình
Bài 1: Cho hàm sè y=f(x)=(3-a) x+8
a, Với giá trị a hàm số hàm số bậc b,Với giá trị a hàm số đồng biến R ? c, Với giá trị a hàm số nghịch biến R ?
d,Nếu a=5 hàm số đồng biến hay nghịch biến ? e, Tính f(-4); f(0); f(5)
Bµi 2: Cho hµm sè y= k x+(k2-3) (d)
a, Tìm k để đờng thẳng (d) qua gốc toạ độ
b, Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng có phơng trình y=-2x+10
Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : y=k2x+(m+3),và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=(3k-2)x+(5-m) Xác định k m để đờng thẳng trùng
Bµi 4:Cho hµm sè : y=(k-1) x+3 vµ y= (2k+1)x -4
a,Xác định k để đờng thẳng cắt
b, Xác định k để đờng thẳng song song với c, Hai đờng thẳng có trùng đợc khơng? Vì sao?
Bài 5: Cho đờng thẳng: y=kx-2 (d1) ; y=4x +3 (d2) ; y=(k-1)x+4 (d3) Tìm k để : a, (d1) song song với (d2) d, (d1) vng góc với (d3) b, (d1) song song với (d3) e, (d2) cắt (d3)
c, (d1) vu«ng gãc víi (d2)
Bài 6: Cho hàm số : y=2 x+1 y= 4-x Tìm toạ độ giao điểm đồ thị hàm số ?
Bài 7: Xác định hàm s y=a x+b bit
a, Đồ thị hàm số qua M(1;-1)và có hệ số góc b, Đồ thị hàm số qua A(4;3) vµ B(-2;6)
c, Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y=2-3x cắt trục tung điểm có tung độ d,Xác định toạ độ giao điểm đờng thẳng AB với trục honh v trc tung
Bài 8:Cho điểm: A(1;2) ; B(2;1) ; C(3 ;k)
a, Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm A B b, Tìm k để điểm A;B;C thẳng hàng
(5)a,Tìm toạ độ giao điểm (d1) (d2)
b, Tìm k để đờng thẳng đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ
Bài 10: a,Vẽ đồ thị hàm số sau hệ trục toạ độ : y=-x+5 (1) ; y=4x (2) ; y= x (3) b, Gọi giao điểm đờng thẳng có phơng trình (1) với đờng thẳng có phơng
trình (2) (3) A B Tìm toạ độ điểm A B c, tam giác AOB tam giác ? sao?
d, TÝnh S Δ ABO =?
Bµi 11: Cho hµm sè y=(m-1)x+m (1)
a) Xác định m để hàm số đồng biến , nghịch biến b) Xác định m để đờng thẳng (1)
b1 Song song víi trơc hoµnh
b2 Song song với đờng thẳng có phơng trình x-2y=1 b3 Cắt trục hồnh điểm A có hồnh độ x=2- √3
2 c) C/m đờng thẳng (1) qua điểm cố định m thay đổi
Bµi 12: Cho hµm sè y=(m-2)x+ n (1) (m;n lµ tham sè )
a) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua điểm : A(1;-2); B(3;-4)
b) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hồnh điểm C có hồnh độ x=2+ √2 Cắt
trục tung điểm D có tung độ y=1- √2
c) Xác định m;n để đờng thẳng (1)
c1 Vng góc vớiđờng thẳng có phơng trình x-2y=3 c2 Song song với đờng thẳng có phơng trình 3x+2y=1 c3 Trùng với đờng thẳng có phơng trình y-2x+3 =0
Bµi 13: Cho hµm sè y=(2m-1)x+ n -2 (1)
a) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x= √3 cắt trục
tung điểm có tung độ y=- √2
b) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua gốc toạ độ vuông góc với đờng thẳng có phơng
tr×nh 2x-5y=1
Bài 14: Cho hệ phơng trình
2x ay=b ax+by=1
¿{ ¿ a) Gi¶i hƯ a=3 ; b=-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm (x;y)=( √2;√3¿ c) Tìm a;b để hệ có vơ số nghim
Bài 15: Cho hệ phơng trình
ax− y=2
x+ay=3 ¿{
¿ a) Gi¶i hƯ a= √3−1
b) C/m r»ng hƯ lu«n cã nghiƯm víi mäi a
c) Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) cho x+y=<0 a) Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) cho x<0; y<0 d) Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) cho x>0; y>0
Bµi 16:Cho hƯ phơng trình
ax2y=a 2x+y=a+1
{ a)Giải hƯ a=-2
(6)Bµi 17:Cho hƯ phơng trình
2x+my=1 mx+2y=1
{
b) Giải biện luận nghiệm hệ theo tham sè m
c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x; y số nguyên KQ:( Với m ±2 hệ có ng nhất: x=y=
m+2 ; x=y Z <=>1 ⋮ m+2 <=>
Bµi 18:Cho hệ phơng trình
mx+4y=10 m x+my=4
{
a) Giải biện luận nghiệm cđa hƯ theo tham sè m
b)Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x; y số nguyên dơng
KQ: (m ±2 hÖ cã ng : x= 8− m
m+2 ; y= m+2 ;
x nguyên dơng<=>x N<=> 8 m
m+2 N<=>
−(m+2)+10
m+2 =−1+
10
m+2 N<=>10 ⋮ m+2 )
Bµi 19:Cho hệ phơng trình
(m1)x my=3m1 2x y=m+5
{
a)Giải biện luận nghiƯm cđa hƯ theo tham sè m
b)Tìm tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x;y) mà S=x2+y2 đạt giá trị nhỏ (min S=8 m=1)
Bài 20:Cho hệ phơng trình
(m+1)x+my=2m −1 mx− y=m2−2
¿{ ¿ a)Gi¶i hƯ m=2
b)Tìm tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x;y) mà P=xy đạt giá trị lớn (max P=
4 m= )
Bài 21:Cho hệ phơng trình
x+my=2 mx2y=1
¿{ ¿ a)Gi¶i hƯ a=2
b)Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) cho x>0; y<0
c)Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x; y số dơng KQ: ( hệ có ng vơi m : x= m+4
m2+2; y=
2m1
m2+2 ; .) Bài 22: Giải hệ phơng trình sau
a)
x+y
2 x − y=2
x+y− x − y=3 ¿{
¿
b)
¿
3√x −4√y=−8 2√x+√y=2
¿{ ¿
(7)c)
¿
3√x −2−4√y −2=3 2√x −2+√y −2=1
¿{ ¿
(®k x;y ) d)
¿
√
2y −x+11+√
2x+1 y −1 =2 x+y=5
¿{ ¿
(®k y −1
2x+1>0 <=>
e)
¿
√
xy+√
y x=5 x+y −5=0
¿{ ¿
tơng tự câu c đặt ẩn phụ y −1
2x+1=t (t>0) Khi
2x+1 y −1=
1 t
Bài 23: Giải hệ phơng trình sau ( N©ng cao)
)
¿ x2+1=3y y2
+1=3x ¿{
¿
(Trừ vế đợc pt tích ta có hệ
¿ x2+1=3y (x − y)(x+y −3)=0
¿{ ¿
<=>
¿x2+1=3y x − y=0
¿ ¿ ¿ x2
+1=3y ¿ x+y −3=0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿{
¿ b)
¿ x2+xy+y2=4
x+xy+y=2 ¿{
¿
(đặt x+y=u; xy=t ta có hệ ¿ u2− t=4
u+t=2 ¿{
¿
cộng vế giải đợc u;t
c)
¿ x+y=1 x5
+y5=31 ¿{
¿
( đặt x+y=u; xy=t ta có u=1; t2 -t-6=0 =>u=
d)
¿ x+y+xy=19 x2y
+y2x=84 {
( đặt x+y=u; xy=t ta cã u vµ v lµ nghiƯm cña pt k2-19k+84=0
=> k1=7; k2=12 <=>
¿ xy=12
x+y=7 ¿{
¿
e)
¿ x+y=4 x2+y2=10
¿{ ¿
(8)f)
¿
(x −1)(y −1)=18 x2+y2=65
¿{ ¿
( từ (1) => xy-(x+y)=17 ta có hệ đặt -(x+y)=u; xy=t
g)
¿ x+y+xy=5 x2y+y2x=6
¿{ ¿
tơng tự câu d
h)
¿ x+y=5 x
y+ y x=
13 ¿{
¿
®k x; y
Bµi 24:a) cho hƯ ph /t
¿
mx− y=3m−4 x2+y2=25
¿{ ¿
Tìm m để hệ có nghiệm kép (kq; Δ =0=>m=- )
b) Cho hÖ ph /t
¿ x+y=8 x
y+ y x=m ¿{
¿
Tìm m để hệ có nghiệm kép (kq: a=2=>(x;y)=(4;4)
Bµi 25: Cho hƯ ph /t
¿ xy+1=2m
x2
+y2=2m ¿{
¿
Tìm m để hệ có nghiệm phân biệt Tìm nghiệm
( đa dạng
x y2=1 ¿ xy=2m−1
¿ ¿ ¿
th× xảy hệ giải )
Bài 26: Cho hÖ ph /t
¿
x(x+2y −4)+4k2=8+4y − y2
y2−2y+2=4x(y − x −1)+2k2+2k
¿{
¿
Tìm k ngun để hệ có nghiệm Biến đổi phơng trình dạng (a ± b ± c)2 =A , Hệ có ng <=> A 0
Bµi 27: Cho hƯ ph /t
¿ x − y=m x2
+y2=1 ¿{
¿
Tìm m để hệ có nghiệm Tìm nghiệm
KQ; m= √2 th× hƯ cã nghiƯm (
√2;−
√2 ); m=- √2 th× hƯ cã nghiÖm (-1
√2;
√2 )
Hµm sè y=a x2 (a 0)
Sự tơng giao đồ thị hàm số y=ax2 và Y=a x+b
Bµi 1: Cho Parabol (P): y=
2 x2 đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x-2
(9)Bµi 2: Cho Parabol (P): y= −1
4 x2 đờng thẳng (d) có phơng trình : y=x+m a) Tìm m để đờng thẳng (d) Parabol (P) có điểm chung b) Tìm m để đờng thẳng (d) Parabol (P) cắt điểm phân biệt c) Tìm m để đờng thẳng (d) Parabol (P) khơngcó điểm chung
Bài 3: Cho Parabol (P): y=x2 đờng thẳng (d) có phơng trình : y=ax+b
Tìm a b để đờng thẳng (d) Parabol (P) tiếp xúc điểm A(1;1)
Bµi 4: Cho Parabol (P): y=
4 x2
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d -) có hệ số góc k qua M(1,5; -1)
b) Tìm k để đờng thẳng (d) Parabol (P) tiếp xúc
c) Tìm k để đờng thẳng (d) Parabol (P) cắt điểm phân biệt
Bµi 5; Cho Parabol (P): y=ax2
a)Tìm a biết (P) qua A(2;-1) vẽ (P) với a vừa tìm đợc
b) Điểm B có hồnh độ thuộc (P) (ở câu a) viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) (ở câu a) song song với AB
Bµi 6: Cho Parabol (P): y=
2 x2 điểm N(m;0) I(0;2) với m Vẽ (P) a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm N; I
b)C/m (d)và (P) cắt diểm phân biệt A B với m
c) Gọi H;K hình chiếu A B lên trục hoành c/m tam giác HIK vuông I
Bài 7: Cho Parabol (P): y=x2
a) Gọi A B điểm thuộc (P) lần lợt có hồnh độ -1 2.C/m Δ OAB vuông A b) Viết phơng trình đờng thẳng (d1) // AB tiếp xúc với (P)
c) Cho đờng thẳng (d2) : y=mx+1 (với m tham số )
+C/m đờng thẳng (d2) qua điểm cố định với m
+Tìm m cho đờng thẳng (d2)cắt Parabol điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 thoả mãn x1
12
+ x22
=11
Bµi 8:Cho Parabol (P): y=(2m-1)x2
a)Tìm m để Parabol (P)đi qua A(2;-2)
b) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) câu a qua B(-1;1)
c) Viết phơng trình đờng thẳng qua gốc toạ độ qua điểm C thuộc (P)ở câu a có tung độ −1
16
d) Tìm (P) điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ
Bài 9: : Cho Parabol (P): y=x2 đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x+m
a)Tìm m để (d) Parabol (P) tiếp xúc Xác định toạ độ điểm chung
b) Tìm m để (d) (P) cắt điểm ,một điểm có hồnh độ x=-1.Tìm điểm cịn lại c)Giả sử đờng thẳng cắt Parabol điểm A B Tìm tập hợp trung điểm I ca AB
Bài 10: Bài thi năm 06-07 05-06
Giải Phơng trình Bài 1: Giải phơng trình sau
1) 1,5x2 -2,5x -1=0 6)
√
x2+x+1
4−
√
4−2√3=0 2) -x2 +4x+3=0 7)√
4x+4√x+1−√
7−4√3=0 3) x -2(1+√3 )x +2 √3 +1=0 8) |x −5|−|x|=1 ( LËp b¶ng xÐt dÊu) 4) x 2 -(
√2+√3¿|x|+√6=0 9) x −1 x2−1−
x 1+x=
x+1 1− x 5) |3x −2|=3−√2 10) 2x
x2−1−2= 1+x Bài 2: Giải phơng trình sau ( có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ)
1) x4 -x2-6=0 2) x+1
x 1+ x 1
x+1 =3 Đặt x+1
(10)3) (x2 +2x)2 -2(x2+2x) -3=0 Đặt (x2+2x)=t 4) (x2 +2x+2)2 -2(x2+2x) -28=0 Đặt (x2+2x)=t
5) (x2 -5x)2 -30(x2-5x) = 216
6) (y-x-2)2 + (x+2y) 2 =0 a2+b2 = <=>
¿ a=0 b=0 ¿{
¿
7) (x-
x +x-
x - 2=0 Đặt x-
x =t (®k x 0) 8) (x+
x¿
−4,5(x+1
x)+5=0 Đặt x+
x =t (đk x 0) 9)
x2−4− x2−2x+
x −4
x2+2x=0 MTC: x(x-2)(x+2) => ng x=3 lu ý §KX§ (x+
2¿
+6x +11=0 T¸ch 11=
2 +8 Đặt x + =t
Bài 3; Giải phơng trình (có nhiều phơng pháp)
1) x+1+1=x (đk ; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ bình phơng vế hoặc
2) x-1= √x+1 Vận dụng t/c đại số :
2 ; 2 0 a
a b a b a b
b o
®a vỊ hƯ pt…) 3) 3x-4 √x −1=18
4) x- √x −12=14 5)
√
x+1x −1−
√
x −1 x+1=3
2 đặt ẩn phụ ta có pt: t -
t =
3
2 (®k t>0 ; x>1 hc x<-1) 6) √1− x −√2+x=1
7) √1− x+√4+x=3 8)
√
x2−4=x −2 9)
√
3x2−12x+16+
√
y2−4y+13=5 (ta cã x −2¿+4≥4 3x2−12x
+16=3¿ Nªn
√
3x2−12x+16≥2 ;
√
y2−4y+13≥3 10)
√
x+3+4√x −1+√
x+8−6√x −1=511)
√
x2−2x+5=x2−2x −1 đặt ẩn phụ√
x2−2x+5=t ( t ≥ 0) 12) 3x2 +2x=1-x+2√
x2+x đặt√
x2+x =t ( t 0)Phơng trình bậc cao (Dành cho n©ng cao)
Phơng trình a x3 +bx2 +cx+d=0(1) (a 0) -Biến đổi vế trái dạng tích bậc với bậc hai để giải -Nếu a+b+c+d=0 (1) có 1nghiệm x=1
- Nếu a-b+c-d=0 (1) có 1nghiệm x=-1 Khi ta đẽ dàng Biến đổi vế trái dạng tích
-Nếu (1) có hệ số ngun , có nghiệm ngun nghiệm nguyên ớc hạng tử tự , giả sử nghiệm x1;x2;x3 x1+x2+x3 =-b/a
x1.x2.x3 =-d/a
x1.x2 +x1x3 + x2.x3 =c/a
Bài 4.1: a) Giải phơng trình 2x3+7x2+7x+2=0
a-b+c-d=0 (1) có 1nghiệm x=-1 Khi ta đẽ dàng Biến đổi vế trái dạng tích
b) Gi¶i phơng trình x3+7x2-56 x+48=0 a+b+c+d=0 (1) có 1nghiệm x=1
d) Giải phơng trình 2x3+5x2+6x+3=0
e) Giải phơng trình sau : x3+ 4x2 -29+24 =0 (1) <=> (x-1 )( x2+5x-24 )=0
Bài 4.2 Giải phơng trình sau 4x - 109x2+ 225 =0 (1)
Bài 4.3 phơng trình hệ số đối xứng bậc : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0
(11)(Đặc điểm : vế trái hệ số số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối ) ph
ơng pháp giải gồm b ớc
-Nhận xét x=0 nghiệm (1) ta chia hai vế (1) cho x2 (đk x 0) rồi nhóm số hạng cách hai số hạng đầu cuối thành nhóm ta c phng trỡnh mi
-Đặt ẩn phụ : (x+
x¿ =t (3) => x2+ x2 =t
2 -2 ta đợc phơng trình ẩn t -giải phơng trình ta đợc t = …
- thay giá trị t vào (3) để tìm x tr li nghim (1)
Giải phơng trình sau
10x4- 27x3- 110x2 -27x +10=0 (1) Ta nhận thấy x=0 nghiƯm cđa (1)
chia hai vế (1) cho x2 (đk x 0) ta đợc pt <=>10x2 -27x - 110 - 27
x + 10
x2 =
Nhóm số hạng cách hai số hạng đầu cuối thành nhóm ta đợc PT 10( x2 + )
1 ( )
2 x x
x ) -110 =0 (2)
Đặt ẩn phụ (x+
x¿ =t (3) => x2+ x2 =t
2 -2 thay vào (2) ta có <=> 10t2 -27t -130=0 (4) Giải (4) ta đợc t1=-
2 ; t 2= 26
5 + Víi t1=-
2 (x+
x¿ =-
2 2x2 +5x+2=0 cã nghiƯm lµ x1=-2 ; x2=-1/2 +Víi ; t 2= 26
5 (x+ x¿ =
26
5 5x2-26x+5 =0 cã nghiƯm lµ x3=5 ; x4=1/5 Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm S=
{
12 ; −2; 5;5
}
Bài 4.4
Phơng trình hồi quy dạng tổng quát : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (1) Trong x ẩn , a, b, c, d, e hệ số ; a e 0)
d b¿
2
e a=¿
; phơng tình hệ số đối xứng bậc trờng hợp đặc biệt phơng trình hồi quy Chú ý :Khi e
a =1hay a=e d= ± b; lúc (1) có dạng a x4 + bx 3+ cx2 ± bx +e =0 Cách giải:
-Do x=0 khơng phải nghiệm phơng trình (1)nên chia hai vế cho x2 ta đợc a x2 +bx +c + d
x+ c
x2 = (2)
Nhãm hỵp lÝ a (x2 + c
ax2¿+b(x+ d
bx)+c=0
-Đổi biến đặt x+ d
bx =t => x2 +( d bx2 ¿+2
d b=t
2
(d/b)2 =c/a nªn x2+ c/ a x2=t2 -2 d/b
Khi ta có phơng trình a (t2 - 2 d
b ) bt +c =0
Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at2+ bt +c=0 (3) -Giải (3) ta đợc nghiệm phơng trình ban đầu
Giải phơng trình : x4-4x3-9x2+8x+4=0 (1) Nhận xét 4/1= 842
; Nên phơng trình (1) phơng trình hồi quy
(12) Do chia hai vế phơng trình cho x2 (x 0) ta đợc x2- -4x -9 +
x+
x2 =0 (x
2 +
x2¿ 4( x -2
x ) -9 =0 (2)
* Đặt ( x -
x ) =t (3) => ( x2 +
x2¿ =t
2 +4 thay vµo (2) Phơng trình (1) trở thành t2-4t -5 =0 có nghiƯm lµ t1=-1 ; t2=5
nhận xét : tơng tự nh giải phơng trình bậc hệ số đối xứng , khác bớc đặt ẩn phụ Đặt x+ m
bx =yb => x2 + m2 b2x2=y
2 −2m
b
Bài 4.5 Phơng trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (Trong a+d=b+c) cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) triển khai tích
Khi phơng trình có dạng
[x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0
Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k ad bc ) Ta có phơng trình At2 +B t + C =0 (Với A=1)
Giải phơng trình ta tìm đợc t sau thay vào (2) giá trị tìm đợc nghiệm x
Gi¶i phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
nhËn xÐt 1+7 =3+5
Nhãm hỵp lý (x+1) (x+7 ) (x+3) (x+5 ) +15=0
(x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2) *Đặt (x2 +8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta cã (2) t( t+ 8) + 15=0
y2 +8y +15 =0 nghiệm y1=-3 ; y2=-5 Thay vào (3) ta đợc phơng trình
1/x2 +8x +7 = -3 x2+ 8x +10=0 cã nghiÖm x1,2 = -4 ± √6 2/ x2 +8x +7 = -5 x2 +8x +12 = cã nghiÖm x3=-2; x4 =-6 VËy tËp nghiÖm phơng trình (1) S = {2;6;46}
Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong x ẩn số ;a, b, c hệ số )
c
¸ch gi¶i :
Đối với dạng phơng trình ta đặt ẩn phụ trung bình cộng (x+a) (x+b) Đặt t =x+ a+b
2 => x+a =t+ a− b
2 vµ x+b=t - a− b
2
Khi phơng trình (1) trở thành : 2t4 +2 ( a+b
2 )2 t2 + 2( a+b
2 )4 -c =0
Đây phơng trình trùng phng ó bit cỏch gii
Giải phơng trình sau : (x+3)4 +(x-1)4 =626 Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta cã ph¬ng tr×nh (t+2)4 + (t - 2)4 =626 9t4+8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626 t4 +24t2 - 297 =0 => t=-3 vµ t=3
Từ tìm đợc x=2 ; x=-4 nghiệm phơng trình ó cho
Bài 4.7/ Phơng trình dạng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c =
(trong x ẩn ;a ; f(x) a thc mt bin )
cách giải: - Tìm TXĐ phơng trình
- i bin cách đặt f(x) =t ó phơng trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) PT bậc +/nếu (2) có nghiệm t=t0 ta giải tiếp phơng trình f(x) =t
+/ nghiệm phơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ phơng trình cho ) nghiệm phơng trnh (1)
Ví dụ : Giải phơng trình x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TX§ : ∀ x R
Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 Vậy ta có phơng trình <=> (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 =0 Đặt x2+ 3x =t (2)
Ta cã PT <=> t2 -4t +3 = cã nghiƯm lµ t1=1 ;t2=3
Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5
)
(13)Phơng trình có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ , có nghiệm x=- Nên biến đổi phơng trình dạng
( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0 Khi phơng trình có dạng
[x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0
Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k ad bc ) Ta có phơng trình At2 +B t + C =0 (Với A=1)
Giải phơng trình ta tìm đợc t sau thay vào (2) giá trị tìm đợc nghiệm x
Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
nhËn xÐt 1+7 =3+5
Nhãm hỵp lý (x+1) (x+7 ) (x+3) (x+5 ) +15=0
(x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2) *Đặt (x2 +8x +7 ) =t (3) thay vµo (2) ta cã (2) t( t+ 8) + 15=0
y2 +8y +15 =0 nghiệm y1=-3 ; y2=-5 Thay vào (3) ta đợc phơng trình
1/x2 +8x +7 = -3 x2+ 8x +10=0 cã nghiÖm x1,2 = -4 ± √6 2/ x2 +8x +7 = -5 x2 +8x +12 = cã nghiÖm x3=-2; x4 =-6 VËy tập nghiệm phơng trình (1) S = {−2;−6;−4±√6}
Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong x ẩn số ;a, b, c hệ số )
c
ách giải :
i vi dng phng trỡnh ta đặt ẩn phụ trung bình cộng (x+a) (x+b) Đặt t =x+ a+b
2 => x+a =t+ a− b
2 vµ x+b=t - a− b
2
Khi phơng trình (1) trở thành : 2t4 +2 ( a+b
2 )2 t2 + 2( a+b
2 )4 -c =0
Đây phơng trình trùng phơng biết cách giải
Gi¶i phơng trình sau : (x+3)4 +(x-1)4 =626 §Ỉt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phơng trình (t+2)4 + (t - 2)4 =626 9t4+8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626 t4 +24t2 - 297 =0 => t=-3 vµ t=3
Từ tìm đợc x=2 ; x=-4 nghiệm phng trỡnh ó cho
Bài 4.7/ Phơng trình dạng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c =
(trong x ẩn ;a ; f(x) l a thc mt bin )
cách giải: - Tìm TXĐ phơng trình
- Đổi biến cách đặt f(x) =t ó phơng trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) PT bậc +/nếu (2) có nghiệm t=t0 ta giải tiếp phơng trình f(x) =t
+/ nghiệm phơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ phơng trình cho ) nghiệm phơng trnh (1)
VÝ dơ : Gi¶i phơng trình x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TXĐ : ∀ x R
Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 Vậy ta có phơng trình <=> (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 =0 Đặt x2+ 3x =t (2)
Ta cã PT <=> t2 -4t +3 = cã nghiƯm lµ t1=1 ;t2=3
Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5
)
Giải phơng trình 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0
Phơng trình có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ , có nghiệm x=- Nên biến đổi phơng trình dạng
( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0
Ngồi nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm cịn lại ta giải phơng trình
2x4+x3 -6x2+x+2 =0(2) phơng trình đối xứng (bậc 4) biết cách giải Giải (2) ta đợc x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5
Vậy phơng trình cho có nghiệm x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 ;x5=-1
Bài tập VN : Giải phơng trình sau
1) x3 - 4x2- 29x -24 =0 2) 8x3 - 20x2 +28x - 10 =0
(14)5, x4 +5x3 -14x2-20x +16 =0 6, x4 +4x3 -10 x2 -28 x-15=0
4, (x+4) (x+5) (x+7) (x+8) =4 h, (x+10) (x+12) (x+15) (x+18) =2x2 7) (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x2 nhóm (x+2)(x+12) (x+3) (x+8) chia vế cho 4x2 đặt t=x+7/x (đk x 0)
8) 3x5 -10x4 +3x3+3x2-10x+3=0 9) x5 +2x4 +3x3+3x2+2x+1=0 10) 6x5 -29x4 +27x3+27x2-29x+6=0 11) x5 +4x4 +3x3+3x2-4x+1=0 12) (x2-8x+7)(x2-8x+15)=20
13) (x2-3 x+1) (x2+3x+2) (x2-9x+20)=-30 biến đổi <=> (x2-3 x+1) (x2-3x-4) (x2-3x-10)=-30 14) 3(x2+x) -2(x2+x ) -1=0 15) (x2-4x+2)2 +4x2-4x-4=0
16) (x2-x+1)4-6x2(x2-x+1)2+5x4=0 17) (x+6)4+(x+4 )4 =82 18) x
2 +x −5
x +
3x
x2+x −5+4=0 19) (x-2,5)
4+(x-1,5)4 =17
Định lí Vi et - dấu nghiệm Bài 1: Cho phơng trình (m 2 -5m+3)x2 +(3m-1)x -2 =0 (1)
a) Giải phơng trình m=2
b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm Khi tìm nghiệm cịn lại (thay x=1 Bài 2: Cho phơng trình x2 +(2m+1) x +m2 +3m =0 (1) ( m tham số)
Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm mà tích nghiệm Tìm nghiệm ú
Bài 3: Cho phơng trình x2 +(2m-5) x +3n =0 (1)
Tìm m n để phơng trình (1) có nghiệm x1=2; x2=-3
Bài 4: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiƯm lµ
a) x1=1/2 vµ x2=2 b) x1=2+ √3 vµ x2=2- √3 c) 1/x1 vµ 1/x2
Bài 5: a) Tìm m để phơng trình x2 - x +2m-2 =0 (1) có nghiệm dơng b) Tìm m để phơng trình 4x2 +2x +m-1 =0 (1) có nghiệm âm
c) Tìm m để phơng trình m 2x2 +2mx -2 =0 (1) có nghiệm phõn bit
Bài 6: Cho phơng trình x2 -2(m+1)x +m-4=0 (1) ( m lµ tham sè) a) Giải phơng trình m=2
b) Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm phân biệt với m c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm trái dấu
d) Chøng minh r»ng biĨu thøc M=x1(1-x2)+(1-x1) x2 kh«ng phơ thuộc vào m
Bài 7: Cho phơng trình x2 - (m- 1)x - m 2+m-2 =0 (1) ( m tham số) a) Giải phơng trình m=-1
b) Chøng minh r»ng ph¬ng trình (1) có nghiệm trái dấu với m
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm cho S=x12 +x22 đạt giá trị nhỏ
Bài 8: Cho phơng trình x2 - (m +2)x +m+1 =0 (1) ( m tham số) a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm đối
Bài 9: Cho phơng trình x2 - (m +1)x +m =0 (1) ( m tham số) a) Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm với m b) Giả sử (1) có nghiệm x1;x2 tính S=x12 +x22 theo m c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm cho x12 +x22 =5
Bài 10: Cho phơng trình x2 - 2mx +2m-1 =0 (1) ( m lµ tham sè) a) Chøng tỏ phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 với m
b) Gọi A=2(x12 +x22 )-5 x1.x2 ; b1) c/m A=8m2-18m +9 ; b2)Tìm m cho A=27 c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm lần nghiệm
Bài 11: Cho phơng trình 2x2 - (2m+1)x +m2-9m +39 =0 (1) ( m tham số) a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt
b)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm lần nghiệm Tìm nghiệm
Bài 12: Cho phơng trình (m-1)x2 +2(m-1)x -m =0 (1) ( m tham số) a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm
Bài 13: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x -3 -m =0 (1) ( m lµ tham sè) a)Chøng tá phơng trình (1) có nghiệm với m
b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 cho x12 +x22 10
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 cho E=x12 + x22 đạt GTNN
(15)a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm âm
b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm cho / x13 - x23/ =50
a) (1) có nghiệm âm t/m: Δ =25 với ∀ m ; x1x2 =(m-2)(m+3) >0 ; x1+x2 =2m+1< Kq:m<-3b tính
x1=m-2 ;x2 =m+3 theo c«ng thøc ng =>/ x13 - x23/ =50 <=>
m+3¿3 m−2¿3−¿
¿ ¿
=50=>m= −1±√5
2 Bài 15: Cho phơng trình x2 -6x +m =0 (1) ( m lµ tham sè)
a)Tìm m để (1) có nghiệm phân biệt
b)Tìm m để (1) có nghiệm cho x13 + x23 =72
(Víi Δ <=> m ta cã x13 + x23 =72 < => (x1+ x2)3 -3x1x2 (x1+ x2)<=>63-3.m.6=72 =>m=8(t/m)
Bài 16: Cho phơng trình x2 -(m-1)x -m2+m-2=0 (1) ( m lµ tham sè)
a)Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm tr¸i dÊu víi mäi m
b)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm cho E=x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
Bµi 17: Cho phơng trình x2 -2(m+1)x +2m+10 =0 (1) ( m tham sè)
Giả sử (1) có nghiệm phân biệt x1;x2 Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm cho E=x12 + x22 +10 x1x2 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ
Bµi 18: Cho phơng trình x2 -(m-1)x +1=0 (1) ( m tham sè)
Giả sử (1) có nghiệm phân biệt x1;x2 Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm cho M=3x12 + 3x22 +5 x1x2 đạt giá trị nhỏ Tìm nghiệm trờng hợp M đạt GTNN
Bài 19: Cho phơng trình x2 -2(m-1)x -m2-3m+4=0 (1) ( m tham số) a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 cho x1
1
+ x1
=1 b) LËp mét biÓu thøc x1 x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài 20: Cho phơng trình 2x2 +(2m-1)x +m-1=0 (1) ( m tham số) a)C/m phơng trình (1) lu«n cã nghiƯm víi mäi m
b)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 cho -1<x1<x2<1
c) Khi (1) cã nghiƯm ph©n biƯt x1;x2 LËp mét biĨu thøc x1 x2 mà m
Bi 21:Cho phng trình : x2 + (m-1)x+m2=0 (1) ; -x2 -2mxx+m=0 (2) C/m phơng trình cho phải có nghiệm
( XÐt Δ 1+ Δ víi mäi m Thì phải có biểu thức => đpcm)
Bài 22: Cho phơng trình : x2 - a
1x+b1=0 (1) ; x2 - a2x+b2=0 (2)
Cho biết a1.a2 2(b1+b2) C/m phơng trình cho có nghiệm
Δ 1+ Δ 2= a12+a22-4(b1+b2) a12+a22-2a1a2 = (a1-a2)2 víi m Thì phải có 0hoặc Δ
0=> ®pcm
Bài 23: Cho phơng trình : ax2 + 2bx+c=0 (1) ; bx2 +2cx+a=0 (2) ; cx2 +2ax+b=0 (3) Cho biết a ;b;c C/m phơng trình cho có nghiệm
Δ 1+ Δ 2+ Δ 3= =1/2
[
(a − b)2+(b −c)2(c − a)2]
≥0 => cã Ýt nhÊt biĨu thøc Δ 0hc Δ0
Bài 24:Cho phơng trình : ax2 + bx+c=0 (1) cx2 + bx+a=0 (2) trong a; c>0 a) Chứng minh phơng trình có nghiệm vơ nghiệm
b) Gi¶ sư (1) cã nghiƯm x1;x2 vµ (2) cã nghiƯm x3;x4.Chøng minh x1x2+x3.x4 c) Giả sử (1) (2) v« nghiƯm C/m r»ng a+c>b
+Vì a;c>0 nên (1) (2) bậc có chung Δ =b2-4ac => đpcm
+¸p dơng ViÐt x1x2= c
a ; x3x4= a
c a;c>0 nên x1x2 +x3x4= c
a +
a
c (đã c/m bđt ) +(1) vô ng <=> Δ =b2-4ac<0 <=>b2<4ac<(a+c)2 mà a+c>0 nên b /b/<a+c
Bài 25: Cho phơng trình : x2 + mx+n=0 (1)
a) Giải phơng tr×nh m=-(3+ √3 ) n=3 √3 (kq: Δ =(3- √3 )2 >0)
b)Tìm m;n để (1) có nghiệm x1=-2; x2=1
c) C/m r»ng (1) cã ng/ d¬ng x1;x2 ph/tr: n x2+mx+1=0 (2) có ng/ dơng x3;x4 x1x2=m/n ; x3x4 =n/ m nªn (1) cã ng trái dấu (2) có ng trái dấu
Vì x1 ng (1) <=> x12 + mx1+n=0 <=> 1+
m x1+
n x12
(16)Hay x =
1
x1 ng dơng (2) T.tự x4=
1
x2 ng dơng (2) (vì x1;x2>0 nên
1 x1
1
x2 >0 ) đpcm Bài 26; Cho phơng trình (m-1)x2 -2(m+1)x +m=0 (1) ( m tham số)
a) Giải biện luận nghiệm phơng trình (1) theo m
b) Khi (1) có nghiệm phân biệt x1;x2 Hãy tìm hệ thức x1 x2 mà m c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 cho /x1-x2 /
d) a)m=1=>th× (1) cã ng c) /x1-x2 / 2<=> (x1-x2)
e) m Δ =3m+1 <=>(x1+x2)2 - x1x2
+) m<-1/3 (1) Vô ng <=> +) nÕu m=-1/3 th× (1) cã ng kÐp ; +) nÕu m>-1/3 th× (1) cã ng
Bài 27; Cho phơng trình x2 -2mx -m2-1=0 (1) ( m lµ tham sè)
a) Chứng minh phơng trình (1) có nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m
b) Khi (1) có nghiệm phân biệt x1;x2 Hãy tìm hệ thức x1 x2 mà m c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 cho x1
x2
+ x2 x1
= −5 Bµi 28; Cho phơng trình x2 -ax -
a2 =0
(1) ( a lµ tham sè) T×m P=x14+x24 ( min P=2
√2 +4 <=> a8=2)
Bài 29; Cho phơng trình x2 -mx +m-1=0 (1) ( m lµ tham sè)
Phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 với m T×m max Q= 2x1x2+3
x12+x
22+2(1+x1x2)
(Q=
m −1¿2 ¿ ¿ 2m+1
m2
+2=1−¿
råi t×m ma x Q= =1<=> m=1)
Bài 30; Cho phơng trình x2 -ax -
2a2 =0
(1) ( a lµ tham sè) C/m r»ngx14+x24 2+
√2 dấu (=) xảy nào? ( dấu đẳng thức xảy a4=
2a4 <=>a
8=
2 từ tính x1;x2
Bài 31: Cho phơng trình x2 + 2(a+3)x +4(a+3)=0 (1) (a tham số) a) Tìm a để phơng trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b) Tìm a để (1) có nghim phõn bit >-1
Đặt x=t-1 ; (1) <=> t2+2(a+2)t+2a+7=0
(1) cã nghiÖm ph©n biƯt >-1<=>
¿ Δ'>0 t1t2=2a+7>0 t1+t2=−2(a+2)>0
¿{ { ¿
<=> -7/2<a<-3
Bµi 32: Cho phơng trình bậc ba :x3- (2m-1)x2 + (m2-3m-2)x +2m2+2 m=0 (1)(m tham số) a)C/m phơng trình (1) có nghiƯm x=-2 víi mäi m
b)Tìm m để (1) có nghiệm ; c) Tìm m để (1) có ng cho x12 +x22 +x32 đạt GTNN
Bài 33: Cho phơng trình bậc ba :x3- (2m+1)x2 - (3m2-6m+2)x +3m2-4 m+2=0 (1)
a) C/m phơng trình (1) có nghiệm phân biệt x1;x2 ;x3 x1=1 với m b) Tìm m để (1) có nghiệm phân biệt x1;x2 ;x3 cho K=x1+/x2 -x3 / đạt GTNN.Tìm K nghiệm x1;x2 ;x3
b) Emin=1+ |x2− x3| <=> |x2− x3| <=>E2=(x2-x3)2-4x2x3
mà E2= =16m2-16m+8 >=4 nên E=2<=>m=1/2 ú x=1 ;x=-1/2;x=3/2
Giải toán cách lập phơng trình
Dng 1
:Toỏn chuyn ng
Bài 1:Một ô tô từ A->B dài 120 km thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đến B sớm dự định 12 phút Tính vận tốc dự định
S (km) v (km/h) t (h)
(17)Nửa quãng đờng đầu 60
Nửa quãng đờng sau 60
Kq: Vận tốc dự định 50km/h
Bài 2:Một ôtô từ A-B dài 250 km với vận tốc dự định.Thực tế xe hết quãng đờng với vận
tốc tăng thêm 10km/h sovới vận tốc dự định nên đến B giảm đợc 50phút Tính vận tốc dự định Kq: Vận tốc dự định 50km/h
Bài 3:Một ngời đixe máy từ A->B lúc 7h sáng với vận tốc trung bình 30km/h Sau đợc nửa quãng đờng ngơi nghỉ 20 phút tiếp nửa quãng đờng sau với vận tốc trung bình 25 km/h Tính SAB Biết ngời đến B lúc 12 50 phút
Bài 4:Một ô tô từ A->B thời gian dự định ,nếu với vận tốc trung bình 35km/h đến B chậm giờ,nếu với vận tốc trung bình 50km/h đến B sớm Tính SAB thời gian dự định ban đầu ?
S (km) v (km/h) t (A->B)
quãng đờng AB x (đk: x>0)
Thay đổi x 35
Thay đổi x 50
x
35 - = x
50 +1 Kq: giê ; 350 km
Bµi 5:Mét chiÕc thun khëi hµnh tõ bÕn A Sau 5h 20 Mét chiÕc ca n« cịng khëi hành từ
bến A đuổi theo gặp thuyền c¸ch A 20km TÝnh vËn tèc cđa thun BiÕt vận tốc ca nô lớn vận tốc thuyÒn 12km/h
S (km) v (km/h) t (A->B)
Thun 20 x (®k: x>0)
Ca nô 20 x+12
Bài 6:Hai ca nô khởi hành từ bến A B cách 85 km ngợc chiều gặp sau giê 40 vËn tèc ca nô xuôi dòng lớn vận tốc ca nô ngợc dòng 9km/h Tính vận tốc riêng ca nô Biết vận tốc dòng 3km/h
Vận tốc riêng V xuôi dòng V ngợc dòng t (h) S (km)
Ca n« x X+3 5/3
Ca n« y y-3 5/3
Bài 7:Một ngời xe máy ngời xe đạp từ A->B dài 57km Ngời xe máy sau
khi đến B nghỉ 20 phút quay A gặp ngời xe đạp cách B 24 km Tính vận tốc ngời Biết vận tốc ngời xe máy lớn vận tốc ngời xe đạp 36km/h
S (km) v (km/h) t (A->gặp nhau) Xe đạp 57-24=33 x (đk: x>0) 33/ x
Xe m¸y 57+24=81
Bài 8:Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình 9km/h từ B vềA ngời chọn đờng khác để nhng dài đờng lúc km, với vận tốc 12 km/h nên thời gian lúc 20 phút Tính SAB lúc (Gọi độ dài qũãng đờng AB x (>0) Kq: SAB =30km)
Bài 9:Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình 12km/hSau đợc 1/3 quãng xe bị hỏng ngời ngồi chờ ôtô 20 phút ôtô với vận tốc 36km/h,nên đến B sớm dự định 1h20phút Tính SAB Gọi độ dài qũãng đờng AB x (>0) Kq: SAB= 45km
Bài 10:Một ca nô khởi hµnh tõ bÕn A - B dµi 120 km råi tõ B quay vỊ A mÊt tỉng céng 11
giờ Tính vận tốc ca nơ.Biết vận tốc dịng 2km/h vận tốc thật khơng đổi
Bài 11:Một ca nô chạy sông 7h , xuôi dòng 108 km ngợc dòng 63 km Một lần khác
ca nô chạy 7h ,xuôi dòng 81 km ngợc dòng 84 km.Tính vận tốc dòng nớc chảy vận tốc riêng ca n« (Cã thĨ chän Èn Kq: vËn tỉc riêng x=24km/h ;vận tốc dòng y=3km/h
Bi 12:Lỳc 7h30 phút ôtôđi từ A-B nghỉ 30phút tiếp đến C lúc 10h 15phút Biết quãng
đ-ờng AB=30km;BC=50km, vận tốc AB nhỏ BC 10km/hTính vận tốc ơtơ qng đờng AB, BC (Gọi vận tốc quãng đờng AB x, BC: (x+10) kq: 30km/h ; 40km/h
Dạng 2
:Toán cã néi dung h×nh häc
Bài 1:Một khu vờn hcn có chu vi 280m ngời ta làm lối xung quanh vờn ( thuộc đất vờn
) rộng 2m , diện tích lại 4256m2 Tính kích thớc vờn (rộng x=60m, dài =80m)
Bài 2:Một hcn có chu vi 90m.Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi giảm chiều dài đi15m ta đợc
hcn có diện tích = diện tích hcn ban đầu Tính cạnh hcn cho (rộng x=15m, dài =30m)
Bµi 3:Mét hcn Nếu tăng chiều dài thêm 2m chiều rộng 3m diện tích tăng 100m2 Nếu
(18)Bài 4:Một ruộng hình tam giác có diện tích 180m2, Tính chiều dài cạnh đáy ruộng , biết tăng cạnh đáy thêm 4m chiều cao giảm 1m diện tích khơng i (cnh ỏy x=36m)
Bài 5:Một tam giác vuông có chu vi 30m , cạnh huyền 13m Tính cạnh góc vuông tam
giác
Dạng 3
:Toán có nội dung số học- phần trăm
Bài 1:Cho số gồm chữ số Tìm số biết tổng chữ số nhỏ số lần
thêm 25 vào tích chữ số đợc số viết theo thứ tự ngợc lại số cho
Có thể chọn ẩn Kq:só 54
Bài 2:Cho số gồm chữ số Tìm số biết :Khi chia số cho tổng chữ số
đợc thơng d 11.Khi chia số cho tích chữ số đợc thơng d 5,
Có thể chọn ẩn Kq: só 95
Bµi 3: Tìm số biết tổng chúng 17 tổng lập phơng chúng 1241
Có thể chọn ẩn Kq: só 8
Bài 4: Tìm số tự nhiên biết hiệu chúng 1275 lấy số lớn chia cho số nhỏ đợc
thơng d 125 (số lớn x; sè nhá y , ta co x-y=1275 ; x=3y+125)
Bài 5:Cho số tự nhiên có chữ số Nếu đổi chỗ chữ số đợc số lớn số cho
36 Tổng số cho số 110 Tìm số cho ( số 37)
Bài 6:Dân số khu phố năm tăng từ 30.000 ngời đến 32.448 ngời Hỏi trung bình hàng
năm dân số khu phố tăng % (Gọi số% dân số hàng năm khu phố tăng x % Kq:4%
Bµi 7:Hai líp 9A vµ 9B gåm 105 hs; líp 9A cã 44 hs tiªn tiÕn ,líp 9B cã 45 hs tiªn tiÕn, biÕt tỉ lệ học sinh tiên tiến 9A thấp 9B 10%.Tính tỉ lệ học sinh tiên tiến lớp ,và lớp có học sinh
Gọi x % tỉ lệ học sinh tiên tiến cđa líp 9A -> 9B lµ (x+10)% ta cã pt: 4400/x +4500/x =105 Kq:80 % vµ 90% ; 9A: 55hs , 9B 50 hs
Bài 8:Trong tháng đầu tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy Sang tháng tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt
mức 20%,, dó cuối tháng tổ sản xuất đợc tổng cộng 945 chi tiết máy Tính xem tháng đầu , tháng hai tổ sản xuất đợc chi tiết máy
Bµi Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 360 dụng cụ Nhờ xếp hợp lý dây chuyền sản xuất
nên xí nghiệp I vợt mức 12% kế hoạch xí nghiệpII vợt mức 10% kế hoạch ,do làm đợc 400 dụng cụ Tính số dụng cụ mà xí nghiệp làm theo kế hoch v thc t lm
Dạng 4
:Toán có nội dung công việc-năng xuất ;phân chia xếp
Bài 1:Hai công nhân làm chung hoàn thành công việc ngày Nếu làm riêng
thì ngời thứ làm hoàn thành công việc ngời thứ hai ngày Hỏi làm riêng ngời làm hoàn thành công việc ngày ?
Bài 2: công nhân làm chung1công việc hoàn thành ngày.Khi lµm ngêi thø nhÊt lµm
một nửa cơng việc , sau ngời thứ hai làm tiếp nửa cịn lại tồn cơng việc hồn thành ngày Hỏi làm riêng ngời làm hồn thành công việc ngày ?
Mét ng T1 làm x(ngày) xong -> 1/2 c.v x/2 (ng)
Tg ng T2 lµm cv 9- x/2(ng) -> cv 2(9-x/2)=18-x (ng)
Phơng tr: 1/x -1/18-x =1/4
Bài 3: Một phân xởng theo kế hoạch phải dệt 3000 thảm Trong ngày đầu họ thực đợc kế hoạch , ngày lại họ dệt vợt mức ngày 10 ,nên hoàn thành kế hoạch trớc kế hoạch ngày Hỏi theo kế hoạch ngày phân xởng phải dệt tấm?
Sè thảm Số thảm dệt /ngày Sỗ ngày dệt
Kế hoạch 3000 x 3000/x
8 ngày đầu 8x x///////////////// 8/////////////////
Những ngày lại 3000-8x X+10 (3000-8x):(x+10)
3000/x =(3000-8x):(x+10) +2+8
Bài 3: Một tổ sản xuất dự định sản xuất 360 máy nông nhgiệp Khi làm tổ chức quản lí tốt nên ngày họ làm đợc nhiều dự định máy;Vì tổ hồn thành trớc thời hạn ngày Hỏi số máy dự định sản xuất ngày ?
Sè m¸y /ngày Số máy Số hàng /1xe
D nh x 360 360/x
Thùc tÕ x+1 360 360/ (x+1)
Bài 4:: Một đoàn xe vận tải dự định chở 180 hàng từ cảng nhà kho Khi bắt đầu chở
đợc bổ xung thêm xe ,nên xe chở 0,5 hàng Hỏi đồn xe lúc đầu có ?
Sè xe Sè hµng(tÊn) Sè tÊn hàng /1xe
Lúc đầu x 180 180/x
(19)Bài 5Một đoàn xe chở 30 hàng từ cảng nhà kho Khi bắt đầu chở xe bị hỏng ,nên xe phải chở thêm hàng đồn cịn chở vợt mức dự định 10 Hỏi đoàn xe lúc đầu có ?
Sè xe Sè hàng(tấn) Số hàng /1xe
Lúc đầu x 180 180/x
Lóc sau x-1 180+10=190 190/ (x-1)
Bài 6: Trong phịng có 70 ngời dự họp đợc xếp ngồi dãy ghế Nếu bớt dãy
thì dãy cịn lại phải xếp thêm ngời đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phịng họp có dãy ghế dãy xếp đợc ngời?
Bµi 7:Trong 1buổi liên hoan văn nghệ , phòng họp có 320 chỗ ngồi, nhng số ngời tới dự hôm
đó có tới 420 ngời Do phải thu xếp để dãy ghế thêm đợc ngời ngồi phải đặt thêm dãy ghế đủ Hỏi lúc đầu phịng có ghế ?
Số dÃy Số ngời Số ngời /1dÃy
Lúc đầu x 320 320/x
Lóc sau x+1 420 420/ (x+1)
Bài 8; 2 đội công nhân làm chung công việc d định xong 12 ngày họ làm chung với
ngày đội nghỉ đội làm tiếp với suất tăng gấp đơi nên đội hồn thành phần việc cịn lại ngày rỡi Hỏi làm đội phải làm xong cơng việc trên?
II BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập1: Giải toán sau cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị viết thêm chữ số chữ số hàng chục vào bên phải số lớn số ban đầu 682
HD:
Gọi x chữ số hàng chục (x N, < x 9).
Gọi y chữ số hàng đơn vị (y N, x 9)
Số cần tìm có dạng xy= 10x + y
Vì chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị nên ta có pt: x – y = (1)
Khi thêm chữ số chữ số hàng chục vào bên phải số mới: xyx=100x +10y + x =
101x +10y
Vì số lớn số ban đầu 682 nên ta có phương trình:
(101x + 10y) – (10x + y) = 682 91x + 9y = 682 (2).
Từ (1) (2) ta có hệ pt:
2
91 682
x y
x y
Giải hệ pt ta
7
x y
(thỏa ĐK) số cần tìm 75.
Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng hai số 59; hai lần số bé ba lần số Tìm hai số
HD:
Gọi x, y hai số cần tìm (x, y N)
Theo đề ta có hệ pt:
59
2
x y
x y
59
2
x y x y
Giải hệ ta được:
34 25
x y
(thỏa ĐK) hai số cần tìm 34 25.
Bài tập 3: Giải tốn sau cách lập phương trình: Cho số tự nhiên có hai chữ số Tổng hai chữ số 10; tích hai chữ số nhỏ số cho 12 Tìm số cho
HD:
(20) Chữ số hàng đơn vị: 10 – x
Số cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10
Tích hai chữ số ấy: x(10 – x)
Theo đề ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 x2 – = 0
Giải pt ta được: x1 = –1( loại); x2 = (nhận)
Vậy số cần tìm 28.
Bài tập 4: Giải tốn sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 280m Nếu giảm chiều dài hình chữ nhật 2m tăng chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 144m2 Tính kích thước hình chữ nhật
HD:
Nửa chu vi hình chữ nhật:
280
2 = 140 (m).
Gọi x (m) chiều dài hình chữ nhật (0 < x < 140).
Chiều rộng hình chữ nhật 140 – x (m).
Diện tích ban đầu hình chữ nhật x(140 – x) (m2).
Khi giảm chiều dài hình chữ nhật 2m tăng chiều rộng thêm 3m hình chữ nhật có
diện tích: (x – 2)[(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2)
Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m2 nên ta có phương trình:
(x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144 5x = 430 x = 86 (thỏa ĐK)
Vậy hình chữ nhật có chiều dài 86m chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m).
Bài tập 5: Giải toán sau cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 320m Nếu chiều dài khu vườn tăng 10m chiều rộng giảm 5m diện tích tăng thêm 50m2 Tính diện tích khu vườn ban đầu
HD:
Chiều dài 100m chiều rộng 60m.
Diện tích khu vườn: 000 m2.
Bài tập 6: Giải toán sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm có diện tích 1500m2 Tính kich thước nó.
HD:
Nửa chu vi hình chữ nhật:
160
2 = 80 (m).
Gọi x (m) kích thước hình chữ nhật (0 < x < 80).
Kích thước cịn lại hình chữ nhật 80 – x (m).
Diện tích hình chữ nhật x(80 – x) (m2).
Vì diện tích hình chữ nhật 1500m2 nên ta có phương trình:
x(80 – x) = 1500 x2 – 80x + 1500 =
Giải pt ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận).
Vậy hình chữ nhật có kích thước 30m 50m.
Bài tập 7: Giải tốn sau cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m Ba lần chiều dài lần chiều rộng 20m Tính diện tích sân trường
HD:
Gọi x, y (m) chiều dài chiều rộng sân trường ( < x, y < 170)
Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340 x + y = 170 (1).
Vì ba lần chiều dài lần chiều rộng 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2).
Từ (1) (2) ta có hệ pt:
170
3 20
x y
x y
(21) Giải hệ pt ta 100 70 x y
(thỏa ĐK).
Bài tập 8: Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vng lên 4cm 5cm diện tích tam giác tăng thêm 110cm2 Nếu giảm hai cạnh 5cm diện tích giảm 100cm2 Tình hai cạnh góc vng tam giác
HD:
Gọi x (cm), y (cm) độ dài hai cạnh góc vng (x > 5, y > 5).
Theo đề ta có hệ pt:
5 200
45 x y x y
Giải hệ pt ta
20 25 x y
(thỏa ĐK).
Vậy độ dài hai cạnh góc vng 20cm 25cm.
Bài tập 9: Cho tam giác vng có cạnh huyền 5cm, diện tích 6cm2 Tìm độ dài cạnh góc vng
HD:
Gọi x (cm), y (cm) độ dài hai cạnh góc vng (0 < x, y < 5).
Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1).
Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt:
1
2xy = xy = 12 (2).
Từ (1) (2) ta có hệ pt:
2 25 12 x y x y
( ) 25
12
x y xy x y
( ) 49
12 x y x y 12 x y x y
( x, y > 0)
Giải hệ pt ta
3 x y
4 x y
(thỏa ĐK).
Vậy độ dài hai cạnh góc vng 3cm 4cm.
Bài tập 10: Giải toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước 48 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ vòi thứ hai
3
4 bể nước Hỏi vịi chảy đầy bể? HD:
Gọi x (h), y (h) thời gian vòi 1, vòi chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4).
Trong 1h, vòi chảy được:
1
x (bể).
Trong 1h, vòi chảy được:
1
y (bể).
Vì hai vịi nước chảy 48 phút =
24
5 h đầy bể nên 1h hai vòi chảy
được
5
24 bể, ta có pt:
1
x +
1
y =
5
(22) Vì vịi thứ vịi thứ hai
3
4 bể nước nên ta có pt:
3
x +
4
y =
3
4 (2).
Từ (1) (2) ta có hệ pt:
1
24
3
4 x y x y
(I)
Đặt u =
1
x, v =
1
y , hệ (I) trở thành:
5 24 3 4 u v u v
(II).
Giải hệ (II), ta được:
1 12 u v 1 12 1 x y 12 x y
(thỏa ĐK).
Vậy: Vòi chảy riêng đầy bể 12h, vòi chảy riêng đầy bể 8h.
Bài tập11: Giải tốn sau cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước 20 phút đầy bể Nếu để vịi thứ chảy 10 phút vịi thứ hai chảy 12 phút
2
15 thể tích bể nước Hỏi vịi chảy bao
lâu đầy bể?
HD: Vòi chảy riêng đầy bể 120 phút = 2h, vòi chảy riêng đầy bể 240 phút = 4h.
Bài tập 12: Giải toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể cạn (khơng có nước) sau
4
5 đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ sau mở thêm vịi
thứ hai sau
6
5 bể nước Hỏi từ đầu mở vịi thứ hai sau đầy
bể?
HD:
Gọi x (h), y (h) thời gian vòi 1, vòi chảy riêng đầy bể ( x > 9, y >
6 5).
Trong 1h, vòi chảy được:
1
x (bể).
Trong 1h, vòi chảy được:
1
y (bể).
Vì hai vịi nước chảy
4
5 giờ =
24
5 h đầy bể nên 1h hai vòi chảy được
5
24 bể,
do ta có pt:
1
x +
1
y =
5
(23) Vì lúc đầu mở vịi thứ sau mở thêm vịi thứ hai sau
6
5 bể
nước nên ta có pt:
9
x +
6 1
5 x y
= (2).
Từ (1) (2) ta có hệ pt:
1
24
9 1
1
x y
x x y
(I)
Đặt u =
1
x, v =
1
y , hệ (I) trở thành:
5 24 u v
u u v
24 51 5 u v u v
(II).
Giải hệ (II), ta được:
1 12 u v 1 12 1 x y 12 x y
(thỏa ĐK).
Vậy: Vòi chảy riêng đầy bể 8h.
Bài tập13: Giải toán sau cách lập phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể cạn chưa có nước sau 18 đầy bể Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể chậm vòi thứ hai 27 Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể?
HD:
Gọi x (h) thời gian vòi thứ chảy riêng đầy bể (x > 27).
Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h).
Mỗi vòi thứ chảy
1
x (bể).
Mỗi vòi thứ hai chảy
1 27
x (bể).
Vì hai vịi chảy sau 18 h bể đầy, nên 1h hai vòi chảy
1
18 bể, nên ta
có pt:
1 1
27 18
x x x2 – 63x + 486 = 0.
Giải pt ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = (loại).
Vậy: Vòi thứ chảy riêng đầy bể 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể 27h.
Bài tập 14: (HK II: 2008 – 2009 _ Sở GD&ĐT Bến Tre):
Giải tốn cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A B cách 90 km Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ từ A xe thứ hai từ B ngược chiều Sau chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ tới B 27 phút Tính vận tốc xe
HD:
Gọi x, y vận tốc xe I xe II (x, y > 0).
Sau hai xe gặp nên tổng quãng đường hai xe đoạn đường AB, ta
có pt: x + y = 90 (1).
Thời gian xe I hết đoạn đướng AB:
90
(24) Thời gian xe II hết đoạn đướng AB:
90
y (h)
Vì xe II tới A trước xe I tới B 27 phút =
9
20 h nên ta có pt:
90
x –
90
y =
9
20 (2)
Từ (1) (2) ta có hệ pt:
x + y = 90
90 90
20
x y
y = 90 ( )
10 10
( )
90 20
x a
b
x x
.
Giải pt (b)ta được: x1 = 40(nhận) ; x2 = 450 (loại).
Thế x = 40 vào (a) y = 50 (nhận).
Vậy:
Bài tập 15: Giải toán cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A B cách 110 km Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ từ A xe thứ hai từ B ngược chiều Sau chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ tới B 44 phút Tính vận tốc xe
HD:
Gọi x, y vận tốc xe I xe II (x, y > 0).
Sau hai xe gặp nên tổng quãng đường hai xe đoạn đường AB, ta có
pt: 2x +2y =110 (1).
Thời gian xe I hết đoạn đướng AB:
110
x (h).
Thời gian xe II hết đoạn đướng AB:
110
y (h)
Vì xe II tới A trước xe I tới B 44 phút =
11
15 h nên ta có pt:
110
x –
110
y =
11
15 (2)
Từ (1) (2) ta có hệ pt:
2x + 2y = 110
110 110 11
15
x y
y = 55 ( )
110 110 11
( )
55 15
x a
b
x x
.
Giải pt (b)ta được: x1 = 25(nhận) ; x2 = (loại).
Thế x = 25 vào (a) y = (nhận).
Vậy:
Xe I có vận tốc: 40 km/h.
Xe II có vận tốc: 50 km/h.
(25)Phần hình học
(cần bổ xung lí thuyết chơng )
Các tập hình học điển hình
*************&*************Bi 1: cho(o) ng kớnh AB =2R OA lấy điểm kẻ đờng thẳng d vng góc ABtại
I C¾t (O) hai điểm M;N trênIM lấy điểm E (E khác M;I) nối AE cắt (O) K, BK cắt d t¹i D
a) CMR : IE ID = MI2
b) Gọi B điểm đối xứng củaB qua I CMR tứ giác BAED nội tiếp c) CMR : AE.AK + BI BA =4R2
d) Tìm vị trí I để chu vi tam giác MIO lớn
Bài 2: cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB =2R Clà trung điểm AO đờng thẳng Cx vng góc
với AB C , Cx cắt nửa đờng tròn I , K điểm CI (K khác C,I ) Tia AK cắt (O) M ,cắt Cx N Tia BM cắt Cx D
a) CMR: điểm A,C,M,Dcùng nằm đờng tròn b) CMR: tam giác MNK cân
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABD K trung điểm CI
d) CMR: K di động CI tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác AKD nằm đờng thẳng cố định
Bài 3: Cho nửa đờng trịn đờng kính BC , điểm A di động nửa đờng trịn kẻ AH vng góc
với BC H Đờng trịn tâm I đờng kính AH cắt nửa đờng tròn tâm O điểm thứ G cắt AB,AC D E
a) CMR: Tø giác BDEC nội tiếp
b) Các tiếp tuyến D, E (I) lần lợt cắt BC M,N CMR: M,N lần lợt trung điểm BH,CH
c) CMR: DEAO Từ suy AG, DE,BC đồng quy. d) Tìm vị trí A để SDENM lớn
Bài 4: cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R M di động (O) vẽ(E) tiếp xúc (O) M, tiếp xúc
với đờng kính AB tại N , đờng trịn giao với MA,MB C,D a) CMR : CD//AB
b) MN phân giác AMB đờng thẳng MN qua K cố định c) CMR: KN.KM không đổi
d) Gọi giao điểm CN,CM với KB,KA lần lợt C D Tìm vị trí E để chu vi tam giác NCD nhỏ
Bài 5: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB , C,D thuộc nửa đờng trịn , AC AD cắt tiếp tuyến Bx
của nửa đờng tròn E F
a) CMR: Tø gi¸c CDEF néi tiÕp
b) Gọi I trung điểm BF Chứng minh DI tiếp tuyến na ng trũn
c) Giả sử CD cắt Bx tạiG , phân giác CGE cắt AE,AF lần lợt M,N Chứng minh AMN cân
Bi 6: Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB M thuộc cung AB , H điểm ca
cung AM , BH cắt AM I cắt tiếp tuyến Ax K AH cắt BM E a) ABE tam giác gì?.
b) Xác định vị trí tơng đối KE với (B;BA)
c) Đờng tròn ngoại tiếp BIE cắt (B;BA) điểm thứ N Chứng minh M di động MN qua điểm cố định
(26)e) Với vị trí M tìm đợc Chứng minh đờng trịn ngoại tiếp tam giác EHQ tiếp xúc với (O) , ( Q giao BM Ax)
Bài 7: Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp (O) Tia phân giác góc B cắt đờng
trịn D Tia phân giác góc C cắt đờng tròn E, hai phân giác cắt F Gọi I,K theo thứ tự giao dây DE với cạnh AB,AC
a) CMR:EBF cân
b) CMR : Tứ giác DKFC nội tiếp FK// AB c) Tứ giác AIKF hình g× ?
d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác hình thoi,đồng thời có diện tích gấp lần diện tích tứ giác AIFK
Bài 8: Cho ABC nội tiếp (O) ,tia phân giác góc BAC cắt BC I cắt (O) P K ng kớnh
PQ ,các tia phân giác góc ABC ACB cắt AQ thứ tự E F CMR: a) PC2 = PI.PA
b) Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng trịn
Bài 9: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O) đờng cao AM,BN,CE đồng quy H Kẻ đờng
kÝnh AD
a) CMR: H tâm đờng tròn nội tiếp MNE b) CMR: BNM CBD
c) Đờng thẳng d qua A song song EN cắt BC K CMR: KA2 = KB.KC d) BC cắt HD I CMR: IH = ID
Bµi 10: Cho ABC néi tiÕp (O;R) H,G lần lợt trựctâm ,trọng tâm củaABC I,K trung ®iĨm
cđa BC,CA CMR: a)HABOIK b) AH = 2OI
c) H,G,O thẳng hàng
d) Gọi AH cắt BC M ,cắt (O) điểm thứ hai D , có E,F hình chiếu D AB ,AC Chứng minh EF qua M
Bài 11: Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp (O).Có H trực tâm , BH cắt AC D cắt (O)
tại M CH cắt AB E cắt (O) N CMR: a) ED// MN
b) OAED
c) Gọi P điểm cung nhỏ BC CMR: AP phân giác HAO d) Cho BC cố định A di động cung lớn BC
1- CMR: bán kính đờng trịn ngoại tiếp AED ln khơng đổi 2- Tìm điều kiện ABC cho OH//BC
3- Tìm vị trí A để diện tích ABC lớn nhất 4- Tìm vị trí A để HA+HB+HC lớn
Bài 12: cho nửa đờng trịn đờng kính AB, C cung AB Kẻ CH AB I,K tâm đờng tròn
ngọai tiếp CAH, BCH,đờng thẳng IK cắt CA,CB M,N a) CMR: CM =CN
b) Xác định vị trí C để tứ giác ABNM nội tiếp
c) kẻ CDMN.CMR: C di động AB CD ln qua điểm cố định.
d) Tìm vị trí C để diện tích CMN lớn
e) CMR: R12 R22R32 Trong R R R1; ;2 3lần lợt bán kính đờng trịn nội tiếp ABC; CHA;
CHB.
Bài 13: Cho (O;R) đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C;D , điểm M tuỳ ý d kẻ tiếp tuyến MA,
MB , I lµ trung ®iĨm cđa CD
a) CMR: điểm M,I,A,O ,B nằm đờng tròn b) Gọi H trực tâm MAB Tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di động d CMR: AB qua điểm cố định
(27)Bài 14: Cho (O) điểm A nằm ngồi đờng trịn Từ A kẻ tiếp tuyến AB ; AC cát tuyến AMN với đờng tròn (B,C,M,N nằm đờng tròn AM<AN) Gọi E trung điểm dây MN I giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với đờng tròn CMR:
a) bốn diểm A,O,E,C nằm đờng tròn b) AOC BIC
c) BI//MN
d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích AIN ln nht.
Bài 15: Từ điểm M (O;R) ,vẽ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B tiếp diÓm) Mét
đờng thẳng qua M cắt (O) Cvà D Gọi I trung điểm CD Gọi E,E,K lần lợt giao điểm AB với MO,MD, IO CMR:
a) OE.OM = OI OK = R2. b) Tø gi¸c BOIA néi tiÕp
c) Khi CAD CBD CMR: DEC2DBC d) Cho MO = 2R, CD = R TÝnh SKAM
Bµi 16: Từ điểm M (O;R) ,vẽ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B tiếp diểm) Gọi I
trung điểm MA K giao điểm BI với đờng tròn Tia MK cắt (O;R) C CMR: a)
MIK BIM
b)BC // MA
c) Gọi H trực tâm MAB CMR : Khoảng cách HA không phụ thuộc vào vị trí M d) Xác định vị trí M để tứ giác AMBC hình bình hành
Bài 17: Cho (O) (O) cắt A,B tiếp tuyến Acủa (O) , (O) cắt (O), (O) lần lợt E;F gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp EFA CMR:
a) Tứ giác OAOI hình bình hành OO // BI b) OBIO néi tiÕp
c) kÐo dài AB phía B đoạn CB=AB CMR tø gi¸c AECF néi tiÕp
Bài 18: Cho (O;R) dây cung AB Từ P tuỳ ý AB vẽ đờng tròn (C; r)và (D;R),đi qua P
tiếp xúc (O) theo thứ tự A,B Hai đờng tròn (C); (D) cắt N Chứng minh:
a) tứ giác OCPD hình bình hành từ suy R = r +R b) PNO 900
c) P di động AB N đờng nào?
d) NP qua điểm cố định P di động AB e) Xác định vị trí P để tích PN.PK lớn Tính giá trị
Bài 19: Cho đờng tròn (O;R) (O;R) cắt hai điểm A;B Kẻ tiếp tuyến chung hai
đ-ờng tròn (tiếp điểm D E ), DE cắt tia AB M CMR: a)MDBMAD.
b) M trung điểm DE
c) Gọi N điểm đối xứng B qua M CMR: tứ giác ADNE nội tiếp
d) Qua D kẻ đờng thẳng // với AE , qua E kẻ đờng thẳng // AD Hai đờng thẳng cắt S CM: SB R 1R2
Bài 20: Cho (O) đờng kính AB =2R Vẽ dây AD = R, BC = R 2, kẻ AM,AN vng góc với
CD.CMR:
a) M,N n»m ngoµi (O) b) DN = CM
c) tÝnh MN theo R d) SABMN SABD SABC
Bµi 21: Cho ABC néi tiÕp (O) cã AC >AB Gäi D điểm cung nhỏ BC P lµ giao
điểm AB CD Tiếp tuyến đờng tròn C cắt tiếp tuyến D AD E Q Chứng minh :
(28)c) NÕu F lµ giao điểm AD BC :
1 1
CE CQ CF
§Ị thi tuyển sinh vào lớp 10
Tham KhảoNm học
2006 - 2007
(Thời gian150) Câu 1 : (1 điểm) Tìm giá trị a b để hệ phơng trình :¿ a.x+by=2006 b.x+ay=2007
¿{ ¿
nhËn x=1 vµ y= √2 lµ nghiệm
Câu 2 : (1 điểm) Chứng minh r»ng
√
2+√3+√
2−√3√
3+2 √3+√
3−2.√2=√3
Câu 3 : (1đ ) : Tìm số tự nhiên có hai chữ số , biết tổng chữ số 12 bình phơng chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị
Câu 4 : (1đ) : Trong hình thoi có chu vi 16cm, tìm hình thoi có diện tích lớn Tìm giá trị lớn
C©u : (1đ) : Giải phơng trình x4 -4x3 + 4x2 - = 0.
Câu 6 : (1đ) : Tìm giá trị a để đờng thẳng y=ax+a+1 tạo với hai trục toạ độ tam giác
vng cân Tính chu vi tam giác
Câu 7 : (1đ) : Chứng minh mặt phẳng toạ độ vng góc Oxy đờng thẳng y=mx+1 luụn
cắt parabol y=x2 hai điểm A,B phân biệt OAB vuông.
Cõu : (1) : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Trên đờng cao BH lấy điểm M cho
AMC = 90 đờng cao CK lấy điểm N cho ANB = 90 Chứng minh : AM=AN
Câu 9 : (1đ) Giả sử a,b,c ba hệ sè cho tríc Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt mét ba phơng trình
sau có nghiệm : ax2 + 2ax + c = 0, bx2 + 2cx +a =0, cx2 + 2ax +b = 0.
C©u 10 : (1đ) Cho tam giác cân ABC (AB=AC) có A = 20 Trên cạnh AC ta lấy điểm D
cho AD = BC dựng tam giác ABO ABC Chứng minh O tâm đờng trịn ngoại tiếp ABD tính góc ABD
Đề số (Thời gian 120) Bài1
Câu a, (1đ) Tính A=
7+2107210 B=( 3+2√3√3 + 2+√2
√2+1¿−(1 :
2+3) Câu b, (2đ) Cho biểu thức P=( 2x
√x+3+
√x
√x −3− 3x+3
x −9 ¿:(
2√x −2
√x −3 −1) víi x ;x 1) Rót gän P (1®)
2) Tìm x để P< −1
3 (0,75đ) 3) Tìm giá trị nhỏ P (0,75đ)
Bài 2:(1,5đ) Hai đội đào mơng , đội làm 12 ngày xong Nhng
2 đội đào chung ngày , sau đội thứ hai nghỉ đội thứ làm tiếp ngày xong việc Hỏi đội làm xong mơng?
(29)Cho phơng trình x2 -2(m+1)x+m-1=0 (1)
a, Chứng tỏ phơng trình (1) có nghiệm phân biệt víi mäi m b, C/m r»ng biĨu thøc sau kh«ng phơ thc vµo m
A=x1(1-x2)+x2(1-x1) ( Trong x1;x2 nghiệm (1) )
Bµi 4:(3,5®)
Cho hình thang cân ABCD (BC//AD) ;đờng chéo AC BD cắt O cho góc BOC=600 ,gọi I;M, N,P,Q lần lợt trung điểm BC,OA,OB, AB ,CD
a, C/m DMNC nội tiếp đợc đờng tròn b, C/m Δ MNQ
c, So s¸nh c¸c gãc MQP ; QND ; NMC
d, C/m trực tâm MNQ O; I thẳng hàng
Bài 5:(1đ) C/m 9x2y2+y2- 6xy-2y+2 0 víi mäi x;y
§Ị sè (Thêi gian 120)
Bài1:(2đ)Cho biểu thức B=
(
a2 − 2√a
)
2
(
√a −1√a+1−
√a+1
√a −1
)
a) Rót gän Bb) Tính giá trị biểu thức B a=
√
4+2√3 c) Tìm giá trị a để B >0Bài 2;(1,5đ) Cho hệ phơng trình
ax2y=a 2x+y=a+1
{ a) Giải hệ phơng trình a=-2
b) Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x-y=1
Bµi 3; :(1,5đ)Cho phơng trình x2 - (a -1)x - a2+a-2=0
a) Tìm giá trị a để phơng trình có nghiệm trái dấu
b) Tìm giá trị a để phơng trình có nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện x12+x22 đạt giá trị nhỏ
Bài 4:(4đ)
Cho tam giỏc ABC cân A; Vẽ cung tròn BC nằm bên tam giác ABC tiếp xúc với AB;AC B C cho đỉnh A tâm cung trịn nằm khác phía BC , lấy M thuộc cung BC ; kẻ MI BC, MH AC , MK AB ; BM cắt IK P ; CM cắt IH Q
a) Chứng minh tứ giác BIMK; CIMH nội tiếp đợc b) Chứng minh MI2 =MH.MK
c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp đợc MI PQ d) Chứng minh nu KI=KB thỡ IH=IC
Bài 5(1đ) Giải phơng trình
√
x2−4x+4+
√
4x2−12x+9=1§Ị sè (Thêi gian 120)
Bài 1: (2,5đ)
1) Tính giá trị biểu thøc P=
√
4+2√3−√
12+6√3 2)Cho biÓu thøc C=√x −1−√x+
√x −1+√x+
√
x3− x√x −1 a) Rót gän C
b)Tìm x để C>0 (Với x>1 ;C= x -1 - 2 √x −1+1 =( √x −1−1¿2 0
c) TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc C x= 53
(30)Bài 2: (1,5đ) Cho hệ phơng trình
ax−2y=a −2x+y=a+1
¿{ ¿ a) Gi¶i hƯ a=-2
b)Tìm tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x;y) mà x-y=1 (với a 4 x= 3a+2
a−4 ; y= a2+3a
a −4 ;
Bài 3: (2đ) Cho Parbol (P) đờng thẳng (d) có phơng trình : (P): y= x
2
2 ; (d) : y=mx - m+2 a)Tìm m để đờng thẳng (d) Parbol (P) qua điểm có hồnh độ x=4
b)C/m với m đờng thẳng (d) Parbol (P)luôn cắt điểm phân biệt c)Giả sử đờng thẳng (d) Parbol (P)luôn cắt điểm phân biệt(x1;y1) (x2;y2) Hãy c/m y1+y2 (2 x
√2−1¿ ¿ 1+x2)
Bài 4:(4đ) Cho đờng tròn (O) đk AC lấy điểm B thuộc OC vẽ đờng tròn (O)đk BC Gọi M
trung điểm AB ,qua M kẻ dây cung vng góc với AB cắt đờng trịn (O) D E Nối DC cắt đ-ờng trũn (O) ti I
a) Tứ giác DABE hình ?Tại ? b) c/m BI // AD
c) c/m điểm I;B;E thẳng hàng MD=MI
d) Xác định vị trí tơng đối MI với đờng trịn (O)
§Ị sè (Thêi gian 120)
Bài 1: (2,5đ)
1)Tính giá trị biểu thøc M=
(
15 √6+1+4
√6−2− 12
3−√6
)
(√6+11) (M=-115) 2)Cho biÓu thøc D= ( √x −13√x −1− 3√x+1+
8√x
9x −1):
(
1−3√x −2 3√x+1
)
a) Rót gän Db)Tìm x để D (Với x 0; x ≠1
9 ; D= √ x+x
3√x −1≥0 ; c)Tìm giá trị x để D=
5 ( √ x+x 3√x −1=
6
5 ( Víi x 0; x ≠
9 ) <=>
Bài 2: (1,5đ) Cho hệ phơng trình
2yx +21+
y+2 2x −1=m x+y=5
¿{ ¿ a) Gi¶i hƯ m=
2
b)Tìm tất giá trị tham số m để hệ vô nghiệm
Bài 3: (2 đ) Cho Parabol (P): y=ax2 (a 0) đờng thẳng (d) :y=kx+b
a) Tìm k b biết đờng thẳng (d) qua điểm : A(1;0) B(0;-1)
b) Tìm a biết Parabol (P) tiếp xúc với đờng thẳng (d) vừa tìm đợc c) Viết phơng trình đờng thẳng (d2) qua C(
2;−1¿ vµ cã hƯ sè gãc lµ m
d) Tìm m để đờng thẳng (d2) tiếp xúc với (P) (tìm đợc câu b) Và chứng tỏ qua điểm C có đờng thẳng (d2) tiếp xúc với (P) câu b vng góc với
Bài 4: (4 đ) Cho tam giác ABC vuông A (AB>AC) đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng có bờ
(31)b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc
c) Chứng minh FE tiếp tuyến chung nửa đờng tròn
d) Giả sử ∠ ABC 300 C/m bán kính nửa đờng trịn gấp lần bán kính nửa đờng trịn ( Hay c/m HB=3HC ; HC=1/2 OC=1/4.BC)
§Ị sè (Thời gian 120)
Bài 1: (2,5đ)
1) Tính giá trị biểu thức N= (53+50)(524):(7552) (N=1) 2)Cho biểu thøc E=
(
x −3√xx −9 −1
)
:(
9− x x+√x −6+
√x −3
√x −2−
√x+2
√x+3
)
a) Rót gän Eb)Tìm x để E<1 (Với đk x ; E=
√x+2<1 <=> c)Tìm giá trị x Z để E Z
Bài 2: (1,5 đ) Cho Parabol (P): y=x2 đờng thẳng (d) :y=3x+m2 (m tham số) a) C/m đờng thẳng (d) Parabol (P) cắt điểm phân biệt với m b)Giả sử đờng thẳng (d) Parbol (P)luôn cắt điểm phân biệt có tung độ y1và y2 Tìm m để y1+y2 =11 y1y2
Bài 3: (2 đ) Cho hệ phơng trình
¿ (m+1)x+y=4 mx+y=2m
¿{ ¿
-a) Gi¶i hệ m=2
b)C/m với giá trị cđa tham sè m hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt (x;y) cho x+y
Bài 4: (4 đ) Cho đờng tròn (O) dâyAB lấy điểm C ngồi đờng trịn (O) C thuộc tia đối
tia BA Lấy điểm P nằm cung AB lớn , kẻ đờng kính PQ (O) cắt dây AB D.Tia CP cắt đờng tròn điểm thứ hai I., dây AB QI cắt K
a) C/m tứ giác PDKI nội tiếp đợc
b) C/m CI CP=CK CD vµ CK CD= CB CA
c) C/m IC tia phân giác góc ngồi đỉnh I Δ AIB
d) Giả sử A;B;C cố định chứng minh đờng tròn (O) thay đổi nhng qua A;B QI ln qua điểm cố định
§Ị KiĨm tra sã (Thời gian 150-Dành cho hs lớp A)
Bài1 :(2đ) Cho biÓu thøcA=
√
x+2−4√x −2+√
x+2+4√x −2√
x42−4 x+1
a) Rót gän A
(32)Bài 2:(1đ)Cho hệ phơng trình
x+5+y 2=m
√x −2+√y+5=√m ¿{
¿
Tìm số dơng m để hệ có nghiệm
Bµi 3:(2đ) 1) Cho x1 x2 nghiệm phơng trình x2 -3x +a =0
x3 x4 nghiệm phơng trình x2 -12x +b =0 T×m a;b biÕt x2
x1 =x3
x2 =x4
x3 2) Cho ph¬ng tr×nh: x
2
+2 mx+1
x −1 =0
(1) Tìm m để phơng trình (1) vơ nghiệm
Bài 4:(1,5đ) Cho phơng trình : x2 -2(m -1)x+m-3=0 a) Tìm m để phơng trình luụn cú nghim
b) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm mà không phụ thuộc vào m
c) Xác định m cho phơng trình có nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối
Bài 5: (3đ) Cho đờng tròn (O;R), M điểm nằm ngồi đờng trịn Qua M kẻ tiếp tuyến
MA MB với đờng tròn (A;B tiếp điểm ) Một đờng thẳng d qua M cắt đờng tròn điểm C D ( Cnằm M D ) Gọi I trung điểm CD Đờng thẳng AB cắt MO ; MD;OI theo thứ tự E;F;K
a) Chøng minh OE.OM=OK.OI=R2
b) Khi d không qua O chứng minh tứ giác OECD nội tiếp đợc c) Khi R=10cm; IO=6cm ;MC=4cm Tớnh MB
Bài 6:(0,5đ) Tìm số nguyên x;y thoả mÃn : 2y2x+x+y+1=x2+xy+2y2
Đề thi tuyển sinh vào 10
Trờng PTTH chuyên lê hông phong
Năm học 2000-2001
Môm toán
(Đề chung-Thời gian lam :120)
Bµi 1:Cho biĨu thøc A= a
√ab+b+ b
√ab− a− a+b
√ab
a) Rót gọn A (1,25đ) b) Tính giá trị A a=
6+25 ; b= 625 (0,75đ) Bài 2;: Cho phơng trình x4-2mx2 +m2-3=0a) Gii phơng trình m= √3 (1đ) b) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt (1,5) Bài 3: Cho parabol (P): y= −1
2 x
điểm A(2;-3) thuộc mặt phẳng toạ độ a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc k qua A (0,5đ) b)Chứng tỏ đờng thẳng (d) cắt parabol (P) điểm phân biệt với k (1đ)
Bài 4: Cho điểm M ngồi đờng trịn (O;R) ,qua M kẻ tiếp tuyết MP;MQ với đờng tròn
(P;Q tiếp điểm ) MO cắt đờng tròn I , qua M kẻ đờng thẳng d cắt đờng tròn (O) Tại Avà B ( A nằm M B)
a) Chứng minh I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ (1,25đ) b) Tìm tập hợp điểm M thuộc d để tứ giác MPOQ hình vng (1,75đ) c) Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ M thay đổi ? (1đ)
P
(33)A Δ K
B d Q
Đề thi tuyển sinh vào 10
Trng PTTH chuyờn lờ hụng phong-nam nh
Năm học 2002-2003
Môm toán (
Thời gian lam 150) (Đề vòng dành cho thí sinh)Bài 1:(2đ) 1) Chứng minh với mọigiá trị dơng n , ta lu«n cã
(n+1)√n+n√n+1=
√n−
√n+1 2)TÝnh tæng
S= 2+√2+
1 3√2+2√3+
1
4√3+3√4+ +
1
10099+99100 Bài 2:(1,5đ)
Tìm đờng thẳng y=x+1những điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức y2-3y
√x+2x=0
Bài 3:(1,5đ) Cho phơng trình sau : x2-(2m-3)x +6=0 2x2 +x+m-5=0 (m tham số ) Tìm m để phơng trình cho có nghiệm chung
Bài 4:(4đ)Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB MN Tiếp tuyến với đờng tròn (O) A cắt
đờng thẳng BM BN tơng ứng M1 N1 Gọi P trung điểm A M1 , Q trung điểm AN1
1) Chứng minh tứ giác MM1N1N nội tiếp đợc đờng trịn 2) Nếu M1N1 =4R tứ giác PMNQ hình ? ?
3) Khi đờng kình AB cố định , tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ MN thay đổi ?
Bài 5:(1đ) Cho đờng trịn (O;R) hai điểm A;B nằm phía ngồi (O) ; OA=2R Xác định vị trí
điểm M đờng tròn (O) cho biểu thức P=MA+2MB đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
Đề thi tuyển sinh vào 10
Trng PTTH chuyờn lờ hụng phong-nam nh
Năm học 2002-2003
Môm toán (
Thời gian lam 150)(Đề vòng dành cho thí sinh thi vào chuyên toán) Bài 1: 1) Cho số a; b dơng thoả mÃn a2-b > hÃy chứng minh
√
a+√b=√
a+√
a2− b +√
a
a2 b2)Không sử dụng máy tÝnh h·y chøng tá r»ng : 5<
2+√3
√2+
√
2+√3+2−√3
√2−
√
2−√3 < 29 20 Bài 2: Giả sử x;y số dơng thoả mãn đẳng thức x+y= √10 (34)Bµi 3: Giải hệ phơng trình
x x y+
y y − z+
z z − x=0 x − y¿2
¿ y − z¿2
¿ z − x¿2
¿ ¿0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x ¿
Bài 4: Cho Δ ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O;R).với BC=a , AC=b ,AB=c lấy điểm I bất
kỳ phía Δ ABC gọi x;y;z lần lợt khoảng cách từ I đến cạnh BC; AC;AB tam giác Chứng minh √x+√y+√z ≤
√
a2+b2+c22R
Bài 5; Cho tập hợp P gồm 10 điểm có số cặp đợc nối với đoạn thẳng
Số đoạn thẳng có tập P nối từ điểm A đến điểm khác gọi bậc điểm A Chứng minh tìm đợc điểm tập P cú cựng bc
Đề thi tuyển sinh vào 10
Chuyên toán Thời gian lam 150
Năm học 2003-2004
Môm toán
Bài 1: 1) Rót gän biĨu thøc P=
x2−√x:
√x+1
x+√x+x√x (0,5®) 2) Chøng minh r»ng
n+1¿2 ¿ n2+¿
1 ¿
(0,75®)
Ap dơng chøng tá r»ng: 15+
13+ +
1
20062+20072<
Bài 2: 1)Giải hệ phơng trình
xy 1+yx 1=xy (x −1)√y+(y −1)√x=√2y
¿{ ¿
(1®)
2) Cho xy=1 vµ x>y Chøng minh r»ng x
+y2
x − y ≥2√2 (0,75®)
Bài 3: 1) Tìm m để phơng trình (m+1) x2 -3mx+4m =0 có nghiệm dơng (1đ)
2) Giải phơng trình x2+3x +1=(x+3)
x2+1 (1®)Bài 4: (4đ) Cho hình vng ABCD ; M điểm thay đổi cạnh BC ( M không trùng B )và N
điểm thay đổi cạnh DC ( N không trùng D ) cho ∠ MAN= ∠ MAB+ ∠ NAD 1) BD cắt AN AM tơng ứng P Q Chứng minh điểm P,Q,M,C,n nằm đờng tròn
2) Chứng minh MN luôntiếp xúc với đờng tròn cố định M N thay đổi 3)Gọi diện tích tam giác APQ S1 diện tích tứ giác PQMN S2 c/m S1
S2
không đổi
(35)Bài 5: Cho a;b;clà độ dài cạnh tam giác Chứng minh phơng trình x2 +(a+b+c) x+ ab+bc+ca =0 vơ nghiệm (1đ)
§Ị thi tun sinh vµo 10
Trờng PTTH chun lê hồng phong-nam nh
Đề tuyển sinh vào lớp 10 ban A;B
Năm học 2004-2005
Môm toán (
Thời gian lam bµi 150) Bµi 1: Rót gän biĨu thøca) P= m −n √m −√n+
m+n+2√mn
√m+❑
√n víi mäi m;n ; m n
b) Q= a
b−ab2
ab :
√a −√b
a+b với a>0; b>0 Bài 2: Giải phơng tr×nh
√6− x+√x −2=2
Bài 3: Cho đờng thẳng (d1): y=2x+2 (d2): y=-x+2 (d3): y=mx ( m tham số) a) Tìm toạ độ giao điểm A;B;C theo thứ tự (d1) với (d2) ; (d1)với trục hòanh (d2) với trục hồnh
b) Tìm tất giá trị m cho (d3)cắt đờng thẳng (d1); (d2) c) Tìm tất giá trị m cho (d3)cắt tia AB AC
Bài 4; Cho Δ ABC nội tiếp đờng tròn (O), D điểm nằm cung BC khụng cha
điểm A.Trên tia AD lấy ®iÓm E cho AE=DC a) Chøng minh Δ ABE = Δ CBD
b) Xác định vị trí D cho tng DA+DB+DC ln nht
Bài 5: Tìm x; y dơng thoả mÃn
x+y=1 8(x4
+y4)+ xy=5 ¿{
¿
§Ị thi tun sinh vào 10
Trờng PTTH chuyên lê hồng phong
Năm học 2007-2008
Môm: toán (Đề chung)
(Ngµy thi:25-6-2007-Thêi gian lµm bµi :150)
Bài 1:(2đ) Cho biểu thức P= x (
√x −1+
√x+1¿+ x2−
√x x+√x+1+
x√x −√x
√x −1 víi x 0; x ≠1 a)Rót gän P
b)Tìm số ngun x để biểu thức P nhận giá trị nguyên
Bài 2:(2đ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho parabol y=x2 (P) đờng thẳng y=2(m-1)x+m+1 (d)
a)Khi m=3 Tìm hồnh độ giao điểm (d) (P)
b)Chứng minh đờng thẳng (d) parabol (P) cắt điểm phân biệt với m c)Giả sử đờng thẳng (d) parabol (P) cắt điểm phân biệt A(x1;y1) B(x2;y2)
T×m m cho tho¶ m·n x1y2 + x2y1=1
Bài 3:(3đ) Cho nửa đờng trịn (O;R) ,đờng kính AB=2R, gọi C điểm cung AB, M
thuộc cung AC (M A C ).Kẻ tiếp tuyến (d) (O;R) M ; Gọi H giao điểm BM OC Từ H kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng thẳng cắt (d) E
1)Chứng minh tứ giác OHME nội tiếp đợc đờng tròn 2)Chứng minh EH =R
(36)Bài 4: a) Giải hệ phơng trình (1đ)
¿
x+y+2=4(x+1)(y+1) x+y+xy=−3
4 ¿{
¿
b) Giải phơng trình (1đ)
√
x(x2+1) =3(x2-x+1)Bài 5:(1đ) Cho số x;y thay đổi thoả mãn x2+y 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức
M=y2+(x2+2)2
§Ị thi tuyển sinh vào 10
Trờng PTTH chuyên lê hồng phong
Năm học 2007-2008
Môm: toán (Đề chuyên)
(Ngày thi:26-6-2007-Thời gian làm :150) Câu 1: (2,5đ)
1)Chứng minh víi mäi sè tù nhiªn n ta cã : √n+1−√n> 2n+1 Từ kết hÃy chứng minh :
√2+
√3+
√4+
√5+
√6<2√6−2 2) Giải phơng trình :
x24x+5+
1 x2− x
+5=−4x2+16x −12
Câu 2: (2,0đ) Cho đờng tròn (I;r) nội tiếp Δ ABC, với A;B;C theo thứ tự tiếp điểm
cạnh BC;AC;AB
1)Kí hiƯu gãc ACB lµ C , chøng minh 2r=(BC+CA-AB)=tg C
2)Giả sử điểm M di động cung nhỏ BC đờng tròn (I;r) cho M khác Bvà C
Tiếp tuyến tiếp điểm M đờng tròn (I;r) cắt AB AC thứ tự E F.Đờng thẳng BC cắt IE IF theo thứ tự P Q.Chứng minh tỉ số PQ
EF có giá trị khơng đổi
Câu 3: (1,5đ) Cho đờng tròn (O;R) điểm phân biệt A;B cố định nằm đờng tròn (O;R)
cho đờng thẳng AB không qua tâm O Gọi d d theo thứ tự tiếp tuyến (O;R) tiếp điểm A B.Điểm M thay đổi cung nhỏ AB (O;R) cho M A B
Kẻ MH d ; Kẻ MK d.Hãy tìm vị trí M để MH+
1
Mk đạt giá trị nhỏ Câu 4: (2,0đ) Cho phơng trình a x2 +bx +c =0 (1) a;b;c hệ số ; ac 0
1) Khi a=1 , tìm b c số nguyên để phơng trình (1) nhận x=2-2 √3 nghiệm 2)Giả sử phơng trình (1) nhận x=k nghiệm Chứng minh tồn số thực d để phơng trình a3x2 +dx+c3 =0 nhận x=k3 nghiệm
Câu 5: (2,0đ)
1) Cho số dơng a;b thoả mÃn a+b 2 Chứng minh r»ng :
√
a3+√
b3≥ a+b2)T×m tÊt số thực x;y;z thoả mÃn hệ sau
¿ x2
(y+1)=y
y2(z+1)=z
z2(x+1)=x
¿{{