Olympic 20102011

Câu 5. a) Cho 10 điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng?.. b) Giải bài toá[r]

(1)

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2010 – 2011 MƠN: TỐN - LỚP 6

Thời gian làm 120 phút

Câu 1. a) Tìm x: 22x – 1 + 6.28 = 14.28 b) Tính: A = (1−1

4).(1− 9).(1−

1

16).(1−

25) (1−

196).(1− 225) Câu 2. a) Cho S = 2010 + 20102 + 20103 + 20104 + + 20102009+ 20102010. Chứng tỏ S chia hết cho 2011.

b) Tìm kết phép nhân: B = 33 x 99 9 20 chữ số 20 chữ số

Câu a) Tìm phân số phân số 200520 biết tổng tử mẫu 306.

b) Tìm giá trị nguyên n để phân số M = 3n−n −11 có giá trị số nguyên.

Câu 4. Tìm tất số nguyên tố p cho p tổng hai số nguyên tố và bằng hiệu hai số nguyên tố.

Câu Cho hai điểm C D nằm hai điểm A B Biết AB = 12cm, AC = 7cm, CD = 3cm Tính BD ?

Câu 6. a) Cho 10 điểm phân biệt mặt phẳng cho khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi vẽ tất đường thẳng?

b) Giải toán câu a trường hợp có điểm thẳng hàng.

-HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC NĂM HỌC 2010 – 2011 MƠN: TỐN - LỚP 6

Câu1 (4điểm) 1a (2điểm) 1b (2điểm) Câu2 (5điểm) 2a (3điểm) 2b (2điểm)

a)22x – 1 + 6.28 = 14.28 => 22x-1 = 28.(14 – 6) = 211

=> 2x – = 11 =>x =6

¿ b=3

4

15 16

24

25 195 196

224 225=

1 2

2 3

3

4

5 13 15 14 14

14 16 15 15 ¿=

(1 13 14).(3 15 16) (2 14 15).(2 14 15) =

16 15 2=

8 15 ¿

a) Ta có: S = 2010 + 20102 + 20103 + 20104 + + 20102009+ 20102010

= 2010(1 + 2010) + 20103(1 + 2010) + + 20102009(1 + 2010) = 2010.2011

+ 20103.2011 + + 20102009.2011

= 2011.( 2010 + 20103 + + 20102009) ⋮ 2011 (đpct)

b) B = 33 x 99 = 33…3 x (1020 – )

20 chữ số 20 chữ số

= 33…3 x 1020 – 33…3 = 33…300…0 – 33…3 = 33…3266…67

(2)

Câu3 (4,5điểm) 3a (2,5đ)

3b( điểm)

Câu4 (2 điểm)

Câu5 (2,5điểm) Vẽ hình (0,5đ) TH1(1điểm TH2(1điểm Câu 6 6a(1,5 điểm) 6b ( 0,5đ)

20chữ số 20chữ số 20chữ số 20chữ số 20chữ số 19chữ số 19chữ số

a) Ta có 200520=

13 phân số tối giản nên phân số 200

520 có dạng

tổng quát 135mm ( m Z , m 0) => 5m + 13m = 306 = > m = 17 => phân số cần tìm 85221

b) M = 3n−n −11 có giá trị số nguyên => 3n - 1 ⋮ n –

=> 3(n – 1) + ⋮ n – => ⋮ n – 1=> n - 1 Ư(2) =

{−1;1;−2;2}

Ta có bảng n – -1 -2 n -1

thử lại ta có n {0;2;−1;3} M nhận giá trị nguyên

Dễ thấy p > nên p lẻ Vì p vừa tổng vừa hiệu số nguyên tố nên số phải chẵn, số lẻ Số chẵn

Như p = a + = b – ( a, b số nguyên tố)

Mà a = p – , p , b = p + số lẻ liên tiếp nên có số chia hết cho Vậy phải có số

Nếu a = p = b = thỏa mãn Nếu p = a = khơng số ngun tố Nếu b = p = khơng số nguyên tố

Vậy số nguyên tố p = số nguyên tố thỏa mãn đầu | A D C D B Vì C nằm A B nên AC + CB = AB => CB = 12 – = 5cm Vì D nằm hai điểm A B DC = cm nên có trường hợp TH1 D nằm A C hay C nằm B D ta có

BC + CD = BD => BD = 8cm

TH2: D nằm C B => BD + DC = CB = > DB = 2cm

a) Chọn điểm Qua điểm điểm lại ta vẽ đường thẳng Làm với 10 điểm ta 10 = 90 đường thẳng Nhưng đường thẳng tính lần tất có 90 : = 45 đường thẳng

b) Giả sử điểm thẳng hàng có 45 đường thẳng Vì có điểm thẳng hảng nên số đường thẳng giảm – =

Vậy có 43 đường thẳng

2đ 1đ 1đ 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ 1đ 1,5đ 0,5đ

(3)

Câu 1. a) Tìm x, biết: ||x −2010|−1| = 2011

b) Cho ba số x, y, z có tổng khác thỏa mãn xy=y

z= z

x Tính:

x123.y456 z579 Câu a) Cho A = √x+1

√x −2 Tìm x Z để A có giá trị số nguyên dương. b) Biết m, n, p độ dài ba cạnh tam giác.

Chứng minh rằng: m2 + n2 + p2 < 2(mn + np + pm) Câu 3. Tìm a, b Z thoả mãn: ab + 2a – 3b = 11

Câu 4. Thực phép tính:

P = (1 – 1+21 ).(1 – 1+12+3 ) (1 – 1+2+3+4+1 +2011 )

Câu 5. Cho tam giác ABC có ^A = 900, B^ = 600, đường cao AH Trên HC lấy điểm D cho DH = BH.

a) Xác định dạng tam giác ABD.

b) Vẽ CF vng góc với AD (F thuộc đường thẳng AD). Chứng minh rằng: AH = HF = FC.

c) Chứng minh rằng: AB2 +

1 AC2 =

1 AH2

-HƯỚNG DẪN CHẤM thi O lym pic toán 7

năm học : 2010-2011 Câu1.(4đim) a (2đ) - TH1: /x-2010/-1= 2011

/x-2010/ = 2012 ⇒ x= 4022 hc x=-2 (1®) - TH2: /x-2010/-1= - 2011

⇒ /x-2010/= - 2010 ( lo¹i) (1®) b (2®) : x

y = y z =

z x =

x+y+z

y+z+x =1 ⇒ x=y=z

(1®)

⇒ x456 = y456 ; x579 = z579 ⇒ x 123

.y456 z579 =

x123.x456 x579

x579

(4)

A= √x+1 √x −2=1+

3

√x −2 ( ®k x≥0 , x≠4 ) (1d)

A nguyªn

√x −2 nguyªn ⇒ √x −2 Ư (3)

Ư(4) = {-3; -1; 1; 3}

Các giá trị x : {9 ;25 } ( 1đ) b (2đ) Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh thứ Vậy có:

m + n > p.

Nh©n vÕ víi p >0 ta cã: m.p + n.m > p2.(1)

T¬ng tù ta cã : m.n + p.n > n2 (2) ( 1®) p.m + m.n > m2(3).

Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta đợc:

2(m.n + n.p + p.m) > m2 + n2 + p2 (dpcm) (1đ) Câu (3®iểm) Ta cã : ab+2a-3b=11 ⇒ (a-3).(b+2)=5 (2®) ⇒ (a,b)=(4;3);(8;-1);(2,-7);(-2;-3) (1®) Câu 4 (4đim) Thực phép tính:

A=(1-1 (1+2).2

2

)

(1-1 (1+3).3

2

) …

(1-1

(1+2011) 2011

) =

3 . .

9 10 …

2012 2011−2 2012 2011 =

4 .

10 12

18 20 …

2011.2012−2 2012 2011

(1)

Mµ: 2012.2010 - = 2011(2013 - 1) + 2011 - 2013

= 2011(2013 - 1+ 1) - 2013 = 2013(2011 -1) = 2013.2010 (2) (2®) Tõ (1) vµ (2) ta cã:

A=

2 . .

6 …

2013 2010 12011.2012 =

(4 .2013).(1 2010) (2 2011).(3 2012) =

2013 2011.3 =

2013 6030 =

671

2011 (2®)

Câu 4 (5điểm) a/ (1đ) Tam giác ABD có AH vừa đờng cao vừa trung tuyến nên Là tam giác cân, có <B= 600 nên Δ ABD

b (2đ) tam giác ABC vuông A, <B=600 nên <C1=300 tam giác AFC vuông F, <A3=300 nên <C1+C2=600 mà <C1=300 nên <C2 =300

AHC= Δ CFA ( c¹nh hun gãc nhän), nªn HC= AF

Δ ADC cân A < A3= <C1 =300 nên AD=CD <ADC=1200 (1 đ) suy ra:

DH=DF < HDF=1200 tam giác cân DHF, có <H1=<F1=300 Δ AHF cân H có <A2= <F1 ta có HA=HF

FHC cân F <H1=< C2 , ta cã HF=FC

Từ ta có: HA=HF=FC (DPCM)(1đ) c (2đ) ta có: SABC = 12 AB.AC

SABC = 12 AH.BC (1®)

Suy ra: AB.AC=AH.BC , AB2.AC2=AH2.BC2 A

B H D

F

C 3

1 2

1

(5)

hay BC

2

AB2 AC2 = AH2

Hay AB2+AC2/ AB2.AC2=1/ AH2 suy ra: AB2 +

1 AC2 =

1

AH2 (1đ)( đpcm) ( Làm cách khác vẩn cho điểm tối đa)./.

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1. a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x3 + x2 – 13x + 6

b) Tìm cặp số x, y thỏa mãn: 2x2 + y2 – 6x + 2xy – 2y + = 0

Câu Cho biểu thức : A =

2

3

6 1 10

: 2

4 6 3 2 2

x x

x

x x x x x

    

   

   

   

   

a) Tìm điều kiện xác định A, rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị biểu thức A

1 x 

.

c) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên. Câu 3. Cho hai số a, b thỏa mãn a + b = 1.

Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = a3 + b3 + ab.

Câu 4. Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x + dư 3, chia cho x – dư 8 và chia cho (x + 2)(x – 3) thương 2x dư.

Câu 5. Cho

2 2 2 2 2 2 x y z x y z a b c a b c

 

  

  .

Chứng minh rằng:

2011 2011 2011 2011 2011 2011

x y z x y z

a b c a b c

 

  

 

Câu 6. Cho hình vng ABCD M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh BC, tia đối tia AB lấy điểm E Biết AM = BN = AE =

1

4AB Gọi F là

giao điểm MC DN Chứng minh rằng: a) DN vng góc với CM.

b) EF = DM.

(6)

HƯỚNG DẪN CHẤMthi O lym pic toán năm học : 2010-2011

-Câu 1.(4 ®iểm)

a) (2 ®)Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x3 + x2 – 13x + Ta cã 2x3 + x2 – 13x + = (2x3 – 8x) + (x2 – 5x + ) = 2x(x-2)(x+2) + (x-2)(x-3) = (x-2)(2x2 +4x +x – 3)

= (x-2)(2x2 + 6x - x – 3) = (x -2)(x+ 3)(2x- 1)

b) (2®)Tìm cặp số x, y thỏa mãn: 2x2 + y2 – 6x + 2xy – 2y + = Ta cã: 2x2 + y2 – 6x + 2xy – 2y + =

<=> 2[ x2 + x(y-3)] + y2 – 2y + = 0

<=> 2(x + y

)2 -

2 ( 3)

2 y

+ y2 – 2y + = 0

<=> (2x + y – 3)2 + y2+2y +1 = 0<=> (2x + y – 3)2 + (y +1)2 = (*)

Do (2x + y – 3)2  ; (y +1)2 

víi mäi x,y nªn VT  víi

mäi x, y nªn dÊu “=” xÈy 2x + y - = y + = Vậy cặp số x, y cần tìm là: x = 2; y = -1

Câu 2: (3,5 đim)

a)( 1,5 đ) Với x 0, x 2 giá trị biểu thức A đợc xác định

A=

2

3

6 10

:

4 2

x x

x

x x x x x

    

   

   

   

   

=

2

: ( 2)( 2) 2

x

x x x x x

 

 

 

    

 

=

2( 2) 6

:

( 2)( 2) ( 2)( 2)

x x x x

x x x x x

     



     =

1 2

x x

 

 

b)( ®) x

nên x =

2 x = -1

2(TM§KX§) NÕu x =

1

2 th× A =

3 NÕu x = -

2 th× A =

c)( đ)Để A có giá trị nguyên - x phải ớc 1.Từ suy - x = - x = -1 => x = hoc x = ( TMKX)

Vậy giá trị nguyên x cần tìm x = ;x = Câu 3.(2, ®iểm)

Ta cã B =a3 + b3 + ab = (a+b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab +b2 +ab = a2 + b2 Do (a - b)2  víi mäi a,b

<=> a2 -2ab +b2  <=> a2 +b2  2ab <=> 2(a2 +b2)  a2 -2ab +b2 <=> 2(a2 +b2) (a + b)2=1 ( gi¶ thiÕt cho a + b = 1) a2 +b2 

1 VËy minB =

1

2 a = b =

Câu 4:(2,5 đim)

Vì đa thức (x+2)(x- 3) có bậc hai nên d f(x) chia cho (x+2)(x- 3) phải cã d¹ng R(x) = ax+b

 f(x) = (x+2)(x-3).2x +(ax + b) Ta cã f(-2) = -2a + b = ;f(3) = 3a + b =

 a = vµ b =

(7)

Do

2 2 2 2 2 2 x y z x y z a b c a b c

 

  

  nªn :

2 2 2

2 2 2 2 2 2

x x y y z z

a b c a a b c b a b c c

     

     

     

     

     

hay x2 2 2

1

a b c a

 



 

 

 +y2 2 2

1

a b c b

 



 

 

 +z2 2 2

1

a b c c

 



 

 

 = (*)

V× 2 2

1

0

a b c  a  ; 2 2

1

0

a b c  b  ; 2 2

1

0 a b c  c 

mà x2; y2; z2  nên đẳng thức (*) xẩy x2= y2= z2 =0 hay x = y = z = Từ suy điều phải chứng minh

I F A

D C

B

E M

N

K C/M:

a) (2,5 đ)Xét hai tam giác vuông MBC vµ NCD cã: BC = CD

BM = CN = 3/4AB

=> MBCNCD(2 c¹nh gãc vu«ng) =>C

^

M B = DN^ C(2 gãc t¬ng øng) Ta cã C

^

M B + NC^ F = 900 => D

^

N C+ NC^ F = 900 => NFC vu«ng F => DN MC(đpcm)

b) (2,5 đ)

Do AD  EM trung điểm A nên DA đờng trung trực đoạn ME

=> DM = DE (1)

Qua E kẻ đờng thẳng song song với MC, đờng thẳng cắt DF I, cắt DC K Tứ giác EMCK hình bình hành( EM//CK EK//MC)

 EM = CK = 1/2DC

K trung điểm CD

 Do KI // CF nên I trung điểm DF Mặt khác MC DN; EK// MC nên EK DF =>EI đờng trung trực đoạn DF

=> ED = EF (2)